автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика решения уравнений в повторительном курсе математики

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Ярыгин, Анатолий Николаевич, 1983 год

Введение

Глава I. Теоретические основы повторительного изучения решения уравнений

§1. Решение уравнений в школьной математике

1.1. Роль уравнений в школьном курсе математики

1.2. Содержание сведений об уравнениях в курсе математики школы

1.3. Уравнения на вступительных экзаменах в вузы

§2. Психолого-педагогические основы обобщающего повторения

2.1. Роль и значение повторения в процессе обучения

2.2. Обобщающие повторительные курсы

2.3. О содержании повторительного курса решения уравнений

§3. Математические основы решения алгебраических и трансцендентных уравнений

3.1. Основные понятия и обозначения

3.2. Общие методы решения уравнений

3.3. Методы проверки корней при неравносильных преобразованиях уравнений

Глава П. Решение уравнений в ходе обобщающего повторения

§4. Педагогическая эффективность методики решения уравнений

4.1. О понятии "Методика решения уравнений"

4.2. Требования к методике решения уравнений

§5, Методика решения уравнений в повторительном курсе

5.1, 0 различных методиках решения уравнений

5.2. Процедура решения уравнений

§6. Педагогический эксперимент 94 Заключение 116 Список литературы

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика решения уравнений в повторительном курсе математики"

Актуальность теш исследования»

Грандиозные задачи, поставленные перед советской школой в решениях партийных съездов, направлены прежде всего на повышение качества обучения и воспитания учащихся, повышение эффективности всего учебно-воспитательного процесса. На современном этапе развития советской школы она решает сложные задачи обеспечения всеобщего среднего образования в условиях повышения теоретического уровня обучения, сближения содержания образования с уровнем современной науки. Диалектическая противоречивость этих двух направлений требует решительного совершенствования методов обучения, приведения их в соответствие с требованиями жизни и подготовки учащихся к труду, повышения качества обучения и воспитания учащихся, повышения эффективности всего учебно-воспитательного процесса.

Математическое образование является одним из важнейших элементов обучения в школе основам наук. В настоящее время бурной математизации науки и техники роль и значение прочных и глубоких математических знаний выпускников школы особенно велики: от состояния школьного математического образования непосредственно зависит научно-технический и оборонный потенциал страны.

Именно поэтому вопросы математического образования вызывают пристальное внимание общественности страны. Многочисленные публикации в центральной, партийной и специальной педагогической печати, посвященные вопросам школьного математического образования и итогам прошедшей реформы обучения математике в школе, лишь иллюстрируют этот тезис.

Введение новых разделов в курса математики школы не перечеркнуло основного содержания традиционного курса математики. Многие из традиционных разделов по-прежнему сохраняют свое фундаментальное положение в обучении математике. Однако переход к новым программам на какое-то время сместил акценты методических исследований в область, связанную с разработкой методик изучения нового материала в рамках единого предмета школьной математики.

Определенное снижение внимания к изучению ряда традиционных разделов отмечается и в практике работы школы. Усилия учителя в период перехода на новые программы также были сосредоточены в областях, связанных с новым материалом. Известные недостатки учебников и учебных пособий, о которых сейчас много говорится, усугубили эту тенденцию. В настоящее время ведутся поиски методического равновесия между традиционными разделами и новым материалом, между использованием традиционных и относительно более новых методов обучения.

Введение новых программ по математике в ряде случаев заставило пересмотреть роль, место и объем некоторых традиционных разделов, уточнить трактовку входящих в них понятий, более тщательно подойти к определению числа и содержания изучаемых в этих разделах утверждений, формул и пр. Существенно усилены пропедевтические резервы курса математики по отношению к содержанию важнейших разделов.

Сказанное безусловно относится к такой центральной для школьной математики теме, как решение уравнений. Это ее положение вызвано многими причинами. Среди них в первую очередь необходимо отметить инструментальный характер темы "Уравнения", изучение которой дает в руки учащихся мощный метод решения многочисленных практических задач. Это является непосредственным отражением той роли, которую играет метод уравнений собственно в математике и в естествознании. Процесс решения уравнений, рассматриваемых ы школе, позволяет объединить многие детали курса математики, проиллюстрировать разнообразные аспекты курса в ходе решения уравнений.

Именно поэтому изучение методов решения уравнений входит составной частью в содержание обучения математике на протяжении всех десяти лет пребывания учащихся в школе. Совокупность относящихся к этому вопросу знаний, умений и навыков учащихся образует определенную содержательно-методическую линию курса математики, пронизывающую весь материал обучения и тесно связанную с другими основными линиями курса - вычислительной, формально оперативной, алгоритмической, логической и др.

Повышение теоретического уровня курса математики привело и к значительному повышению уровня теоретического обобщения при изучении уравнений. Многие вопросы, относящиеся к решению уравнений, которые ранее приходилось объяснять "на пальцах", получили теперь точные и однозначные трактовки и формулировки. Последовательное проведение в курсе функциональной линии позволило связать изучение уравнений и неравенств с исследованием соответствующих функций и придать изучению уравнений функциональную направленность.

Вместе с тем распределенное по курсу математики школы изучение уравнений приводит и к определенным издержкам. Многообразие частных приемов, отсутствие обобщающей теории решения уравнений приводит к появлению ряда хорошо известных устойчивых ошибок, допускаемых учащимися при решении относительно более сложных уравнений. В практике работы школы наблюдается перенос частных приемов, развиваемых для конкретного типа уравнений, на другие типы, что приводит к появлению математических ошибок принципиального плана. Необходимость построения обобщающей теории, осознаваемая учителями, приводит их к самостоятельному включению в содержание обучения отдельных фрагментов таких теорий, часто математически некорректных и методически неэффективных. Среди учителей школ распространяются , по выражению члена-корр. АПН СССР В.Г.Болтянского, весьма устойчивые заблуждения, связанные с неверной оценкой таких неправильных и малоэффективных схем.

Все это говорит о необходимости введения в курс математики школы достаточно полной и математически корректной обобщающей теории решешщ уравнений и соответствующей методики их решения, более эффективной по сравнению с используемыми. Учитывая распространенный по курсу характер изучения уравнений, было бы нецелесообразно вести преподавание на уровне теоретического обобщения, соответствующем такому курсу как из-за необходимости учета возрастных особенностей учащихся и уровня их развития, так и вследствие сравнительно малой эффективности общих подходов при решении конкретных типов уравнений. По мере продвижения к более сложным типам уравнений необходимость в таком обобщении все увеличивается и становится особенно явной в последнем классе.

Следует заметить, что это обстоятельство вполне осознавалось составителями программ и авторами учебных пособий для школы. Включение в курс 10 класса соответствующей темы, а также активное привлечение решения уравнений в ходе заключительного повторения до определенной степени позволяют решить указанный вопрос.

Однако, достигнутый в этих разделах уровень теоретического обобщения совершенно недостаточен: по существу повторение организуется путем последовательного воспроизведения изученного ранее. В то же время богатые возможности обобщающего повторения остаются практически неиспользованными. Не случайно до настоящего времени исследователи и практические работники отмечают наличие тех же устойчивых ошибок в знаниях и умениях учащихся, что и раньше, наличие тех же устойчивых заблуждений учителей, а вслед зна ними и учащихся.

Вопросам решения уравнений в школьном курсе математики посвящено большое число диссертационных и других исследований. По примыкающим сюда вопросам защищено более 30 кандидатский диссертаций, выпущено более 20 пособий, опубликовано за последние 20 лет более 50 статей в журнале "Математика в школе". Здесь нет возможности даже перечислить все эти работы, представленные в списке литературы в конце диссертации.

Многие из этих работ посвящены разработке методов начального изучения уравнений - введению основных понятий (чаще на базе теоретико-множественных или логических рассмотрений), отбору способов и приемов решения конкретных типов уравнений, обоснованию выбора теорем о равносильности. Большая группа работ посвящена рассмотрению отдельных типов уравнений и методов их решения. Наконец, в ряде работ рассматриваются общие методики решения основных классов уравнений, связываемые обычно либо с определением областей задания участвующих в уравнениях функций, либо с использованием равносильных замен. Однако громоздкость и неэффективность соответствующих процедур позволяют считать этот вопрос не исследованным до конца.

Таким образом, налицо явное противоречие между необходимостью осуществления теоретического обобщения процесса решения уравнений в школьной математике, отсутствием необходимых материалов в школьных учебниках и недостаточной разработанностью вопроса в методической науке. Этим и определяется актуальность разработки темы "Методика решения уравнений в повторительном изучении математики".

Цель, проблема и частные задачи исследования.

В соответствии со сказанным выше, общая: цель настоящего диссертационного исследования заключается в создании научно-методических предпосылок введения в курс математики обобщающего повторительного раздела, посвященного решению уравнений. ю.

Для достижения этой цели надо решить комплекс научных и организационных проблем, связанных с обеспечением такого введения в собственно математическом, методическом и непосредственно практическом плане.

Поэтому в качестве ведущей при постановке настоящего исследования была избрана следующая про блема:

Разработать и научно обосновать математически корректную и педагогически эффективную методику решения уравнений, изучаемую в процессе обобщающего повторения решения уравнений в школьном курсе математики.

Решение поставленной проблемы складывалось из исследования следующих частных задач:

- исследовать психолого-педагогические и математические основы повторения решения уравнений с целью выявления особенностей структурирования и отбора содержания обучения;

- разработать систему требований к используемым процедурам решения уравнений, обеспечивающих педагогическую эффективность обучения решению уравнений в ходе обобщающего повторения;

- определить целесообразную методику решения уравнений в ходе обобщающего повторения и последовательность ознакомления с ней учащихся.

Первая задача исследования решена в Главе I диссертации; вторая и третья - в Главе П диссертации.

Методы исследования*

В процессе исследования темы использовались различные теоретические и экспериментальные методы исследования в их сочетании. Основу исследования составил анализ состояния изучаемого вопроса в практике работы школы, а также анализ состояния его изучения в специальной математической и методической литературе .

Теоретическое исследование проблемы включало в себя как обязательный компонент сопоставление позиций различных исследователей пр изучаемому вопросу, а также обобщение высказанных ими позиций с учетом использования тех из них, которые были ориентированы в том же направлении, что и настоящая работа.

Теоретичесвее исследование дополнялось многоплановым педагогическим экспериментом, в функции которого входило: непосредственная экспериментальная разработв:а методических рекомендаций и контроль за эффективностью предложенных положений. Наряду с непосредственным авторским преподаванием использовались следующие экспериментальные методы: наблюдение, интервьюирова-ниеи и анкетирование учащихся, проведение проверочных работ, преподавание на основе специально разработанных материалов и пр. База и этапы эксперимента описаны в § 6 диссертации.

Апробация и публикация результатов исследования.

Основные результаты исследования докладывались и обсуждались методической общественностью:

- на научно-методических конференциях зрителей в Тольяттинском политехническом институте в 1978, 1979 и 1980 г.г.;

- на Всероссийской научно-практической конференции преподавателей подготовительных отделений вузов в 1980 г. в г.Сыктывкаре;

- в экспертной комиссии вузов Поволжского региона по проблемам педагогики высшей школы в г.Куйбышеве в 1981 г.;

- на сессии Научного Совета по проблеме углубленного изучения отдельных учебных предметов по выбору учащихся при АПН СССР в г.Таллине в 1975 г.;

- на заседаниях лаборатории прикладной математики НИИ содержания и методов обучения АПН СССР в 1972, 1974, 1977, 1978 г.г.

Основные положения диссертации опубликованы в 7 публикациях диссертанта.

Научная новизна исследования.

Научная новизна исследования заключается в разработке комплекса требований к процедурам решения уравнений, изучаемым в ходе обобщающего повторения решения уравнений и в определении целесообразной и педагогически эффективной методики решения уравнений, удовлетворяющей этим требованиям.

Полученные и обоснованные в диссертации требования к методике решения уравнений в ходе повторительного сйббщения являются новыми и вполне оригинальными.

Отдельные элементы этой методики не являются новыми и рассматривались в работах ряда других авторов. Новым является их сочетание в рамках предложенной методики решения уравнений.

Практическая значимость работы.

Практическая ценность исследования связана с тем, что в нем разработана эффективная методика решения уравнений в ходе повторительного обобщения, пригодная для внедрения в школу. Самостоятельное практическое значение имеют выявленные требования к процедурам решения уравнений, позволяющие оценивать педагогическую эффективность используемых процедур.

Эта методика частично внедрена в практику работы подготовительных отделений вузов и ряда школ Куйбышевской области, используется при разработке факультативного курса по математике для средней школы в НИИ СиМО АПН СССР.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе теоретического и экспериментального исследования получены следующие основные результаты.

1. Обоснована необходимость организации обобщающего повторительного курса решения уравнений в системе обучения математике в школе. Содержание такого курса должно представлять изложение общей теоретической процедуры решения уравнен ний, обобщающей наиболее распространенные на практике приемы решения сложных уравнений.

2. Разработана система методических требований к процедурам решения уравнений, используемым при обобщающем повторении темы. Система включает в себя требования математической корректности, необходимости рекомендуемых действий)(экономичности), достаточности рекомендуемых действий для решения основных типов уравнений, алгоритмизируемое^ процедуры решения уравнений. Показано, что нарушение этих требований в используемых сейчас процедурах приводит к резкому снижению педагогической эффективности обучения решению уравнений и возникновению устойчивых ошибок учащихся.

3. На основе обобщения различных методик решения уравнений и с учетом разработанных требований определена педагогически эффективная методика решения уравнений в курсе повторительного обучения. Методика предусматривает выделение двух уровней (этажей) повторения уравнений и специальную организацию изучения общей теории уравнений. В ходе педагогического эксперимента показана эффективность предлагаемой методики, ее доступность для учащихся школы, обосновано ее преимущество по сравнению с используемыми сейчас в школе методиками решения уравнений.

Работу представляется целесообразным продолжить в нескольких направлениях. Первое из них связано с разработкой аналогичных повторительных курсов по отношению ко всем другим основным содержательно-методическим линиям курса математики. На этой основе было бы целесообразно разработать специальный факультативный повторительный курс для учащихся 9-10 классов.

Второе направление связано с более глубокой проработкой темы диссертации в напрвлении изучения оптимальной глубины теоретического обобщения на различных ступенях обучения.

Наконец, важным практическим продолжением этой работы может служить разработка и публикация специального пособия по повторению школьной математики, основывающегося на проанализированных в диссертации принципах обобщающего повторения и адресованного поступающим в высшие учебные заведения в качестве пособия для подготовки к вступительным экзаменам и самоподготовки. Такое пособие может быть с успехом использовано в системе подготовительных отделений вузов.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Ярыгин, Анатолий Николаевич, Москва

1. Ленин В.И. Материализм и эмпириокритицизм.-М.:Политиздат,1980.-558 с.

2. Брежнев Л.И. Речь на Всесоюзном съезде учителей. Стенографический отчет.-М.:Просвещение, 1968,- 24 с.

3. Брежнев Л.И. Отчет Центрального Комитета КПСС и очередные задачи партии в области внутренней и внешней политики. Доклад ХХУ съезду КПСС 24 февраля 1976 г.-М. Политиздат, 1976. -Ше.

4. Брежнев Л.И. Отчетный доклад Центрального Комитета КПСС ХХУ1 съезду КПСС и очередные задачи партии в области внутренней и внешней политики 23 февраля 1981 г.-М.Политиздат,1981.-I60C.

5. Агапов Д.В. Искусственные способы решения уравнений второй степени со многими неизвестными.-Оренбург, I90I.-55 с.

6. Алгебра: пробный учебник для 6-8 классов средней школы (Ш.А.Алимов, В.А.Ильин, Ю.М.Колягин и др.)-М.Просвещение, I98I.-542 е., ил.

7. Алгебра: учебник для 7-го класса средней школы (Ю.Н.Макары-чев, Н.Г.Миндюк, К.С.%равин и др.)-М.Просвещение, 1982. -254 е., ил.

8. Алгебра* учебник для 8-го класса средней школы (Ю.Н.Макары-чев, Н.Г.Миндюк, В.М.Монахов)-М.Просвещение, I982.-255 е.,ил.

9. Алгебра и начала анализа* пробный учебник для 9-10 классов средней школы (Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.) -М.Просвещение, 1982. -272 е.,ил.

10. Александров П.С. Математика, как наука.-М.:Известия АПН РСФСР, Л92, 1958. -34 с.

11. Аракелян О,А. Некоторые вопросы повторения математики в средней школе.-М.:Учпедгиз, I960. -84 с.

12. Аракелян О.А. Некоторые вопросы повторения математики в средней школы. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-М.:1958,-524 с.

13. Айсин A.M. Показательные и логари(£шче ские уравнений.Методические указания для производственников, готовящихся к поступлению в институт.-М.:Учпедгиз, 1965.-53 с.

14. Барсуков А.Н. Уравнения первой степени в средней школе. Пособие для учителей.-М.:Учпедгиз, 1952.-280 с.

15. Барсуков А.Н. Уравнения первой степени в средней школе. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-М.:Учпедгиз, 1944. -255 с.

16. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства.-М.:Наука,1976.-96 с.

17. Башмаков М.И. Как решать уравнения. В помощь пос®упающимна механико-математический факультет(Материалы ЗМШ).-Л.:1968. -17 с.

18. Бедрина А.Ф. Систем^ работы над уравнениями в У1 классе. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Л.:1953.-21 с.

19. Бекаревич A.M. Уравнения в школьном курсе математики.-Минск.: Нар.асвета, 1968.-150 с.

20. Бекаревич А.Н. К методике преподавания иррациональных уравнений. -Математика в школе,1959, ЖЕ, с.71-73.

21. Бекаревич А.Н. Основные вопросы методики преподавания уравнений в средней школе. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Минск:1970.-21 с

22. Беляев В.Н. 0 преподавании общей теории уравнений.-Математика в школе, 1952, М, с.19-24.

23. Березанская E.G. Иррациональные уравнения.-Математика в школе, 1957, М, с.45-48.

24. Болтянский В.Г. Преодолеть заблуждения, связанные с ОДЗ.«Математика в школе, 1975, #5, с.10-15.

25. Бондарев АЛ. Общее учение об уравнениях в средней школе. -Краснодар: Советская Кубань, 1958. -125 с.

26. Бороданов М.П. Методика преподавания учения о трансцендентных уравнениях в курсе алгебры средней школы. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогическихнаук.-М.: 1959.- 16 с.

27. Бородуля И.Г. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. -М.:Просвещение, I968.-II0 с.

28. Буданцев П.А. 0 преподавании систематического курса уравнений в УП классе.-Математика в школе, 1952, ЖЕ, с,50-65.

29. Буданцев П.А., Щипакин Г.М. Квадратные и иррациональные уравнения.-И.:Учпедгиз, 1956. -119 с.

30. Витал А.Л. Теория эквивалентных уравнений и систем в курсе средней школы.-Одесса: I94I.-430 с.

31. Владимиров B.C., Понтрягин Л.С., Тихонов А.Н.-Математика в школе, 1979, №3, с.12.

32. Волхонский А.И. 0 тригонометрических уравнениях, решаемых вслед за простейшими.-Математика в школе, 1955, №1, с.20-25.

33. Вольфенгаут Ю.Н. К методике изложения вопроса о посторонних корнях тригонометрических уравнений. Сборник статей "В помощь учителю".-Томск:I960, с.31-36.121.

34. Воеканян А.Н. Обучение решению уравнений в средней школе с точки зрения функциональной зависимости. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук. -Ереван:1966. 16 с.

35. Геометрия .Учебное пособие для 6-8 классов под ред.А.НЛСолмо-горова.-М.:Просвещение, 1982.

36. Гибш И.А. Иррациональные уравнения в курсе средней школы М.:АПН ВСда, 1954. -60 с.

37. Гибш И.А. Уравнения первой степени в средней школе. Пособие для учителей.-М.:Учпедгиз, 1956. 52 с.

38. Гибш И.А. Источники приобретения и потери корней при решении уравнений.-Математика в школе, 1947, Л6, с.18-25.

39. Гибш И.А. По поводу статьи И.И.Смирнова "Тригонометрические уравнения в школьном курсе".-Математика в школе,1955,Л1,с.26-30.

40. Грекулова А.Г. Некоторые вопросы теории равносильности уравнений при решении трансцендентных уравнений,-Куйбышев:изд-во КШИ, 1958.-32 с.

41. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение методов математической статистики в педагогических исследованиях.-М.:Педагогика, 1976.-136 с.

42. Гузняев В.Ф. Пути повышения эффективности преподавания учения о системах уравнений. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-М.: 1963»-16с.

43. Давыдов У.С. Задачи на исследование уравнений с решениями и методическими указаниями. Пособие для учителей.-Минск:Учпедгиз БССР, 1962, -211 с.

44. Дейнего А.В. Элементарные трансцендентные уравнения в школьном курсе математики. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Киев: 1966.-18с.

45. Джумабаев У.Д. Методика преподавания уравнений и функций в средней школе. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Алма-Ата:I96.-I9 с.

46. Дорофеев Г.В. Проверка решения текстовых задач.-^тематика в школе, 1974, №5, с.37-44.

47. Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы.-М.:Наука, 1976. 638 с.

48. Ермолаева Е.Н., Квасникова З.Я. Уравнения в курсе алгебры 8-10 классов средней пцсолы. -М.:Учпедгиз, 1959,- 152 с.

49. Ефимов В.Н. Иррациональные алгебраические уравнения и методика их преподавания. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-М.,1954.-15 с.

50. Жвирблис М.В. Методика преподавания в средней школе показательной и логарифмической функции и решения показательных и логарифмических уравнений. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-М.,1954.-263 с.

51. Иванова A.M. Исследование уравнений и задач в курсе алгебры7 класса. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Л., 1954.-14 с.

52. Кахаров Р.К. Методика преподавания уравнений и неравенств в восьмилетней школе в их логической связи. Диссертация насоискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Ташкент, 1972.-249 с.

53. Киреев В.И. Еще раз о решении одного уравнения.-Математика в школе, 1974, ЖЕ, с.58.

54. Колдашев A.M. Равносильность уравнений и неравенств.-Тамбов., I96I.-32 с.

55. Колягин Ю.М. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средней школы. Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук.-М.,1977.-398 с.

56. Круликовский Н.Н. Об исследовании квадратных уравнений при решении задач. В помощь учителю.-Томск., I960.

57. Кудреватов Г.А.Методика преподавания алгебраических уравнений в УП-ГХ классах общеобразовательной школы с политехническим обучением. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-М., 1962.-322 с.

58. Курош А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней.-М.^.:Гос.изд.техн.-теорет.лит., 1951.- 74 с.

59. Куликов И.О. Расширение понятия о числе и исследование уравнений .-Сыктывкар, 1965.

60. Лавров А.А. Обобщающие уроки по арифметике и алгебре в 10 классе в системе повторения.-Брянск: Брянский рабочий,1957.-51 с.

61. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Муравин К.С., Суворова С.Б. Уравнения и неравенства с двумя переменными в курсе алгебры УШ класса.-Математика в школе, 1974, №3, с.5-12.

62. Макарычев Ю.Н. и др. Квадратные корни и квадратные уравнения в курсе алгебры УП класса.-Математика в школе,1973,£6,с.13-18.

63. Макичян Б.М. Конкурсные экзамены и математический факультатив. -Математика в школе, 1981, №6, с.28.

64. Маркович Э.С. Методика изучения уравнений высших степеней в связи с задачами общего образования. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-М., 1950.-261 с.

65. Математика. Учебник для 5 класса средней школыШод ред.А.Й. Маркушевича).-М.:Просвещение,1976.

66. Менцие Я.Я. 0 подготовке учащихся к составлению уравнений.-Математика в школе, 1973, №2, с.37-39.

67. Метельский Н.В. Дидактика математики.-Минск:изд-во БГУ, 1982.-256 с.

68. Митягина В.А. Графический метод решения уравнений. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-I.:1959.-349 с.

69. Монахов В.М. Проблемы дальнейшего развития факультативных занятий по математике.-Математика в школе,1981,^5, с.8-9.

70. Мухина Л.М. Заключительное повторение основных вопросов школьного курса алгебры. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Л.,1954.-326 с.

71. Моденов П.С. Об эквивалентности уравнений.-Математика в школе, 1953, ЛЗ, с.П-23.

72. Невский А.П. Исследование уравнений первой и второй степени в средней школе. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-М., I954.-346 с.

73. Нешков К.И. Неравенства в курсе математики средней школы. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-М.,1956.-256 с.

74. Нодельман А.Я. Методика преподавания основных вопросов теории уравнений первой и второй степени в школе. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Л., 1952.-313 с.

75. Новоселов А.И. О понятии уравнений и товдеста.-Математика в школе, 1954,1 I, с.15-21.

76. Онищенко М.Н. Эквивалентность уравнений, их решение и исследование. -Горький., 1959.-132 с.

77. Одинцов П.К., Пайсон Б.Д. К оформлению записи решений уравнений и неравенств.-Математика в школе,1976,11, с.52.

78. Окунев А.А. Графическое решение уравнений с параметрами.«Математика в школе,1974, 13, с.68-70.

79. Понтрягин Л.С. О математике и качестве ее преподавания.-Коммунист, 1980, 1 14, с.42-43.

80. Ностоев В.И. Уравнения и неравенства первой степени.-М.:Просвещение, 1974.-32 с.

81. Петров В.А. Уравнения и системы уравнений.-Смоленск.,1972.-70 с

82. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассувдения.-М.:Наука, 1975.-463 с.

83. Пойа Д. Математическое открытие.-М.:Наука, I976.-448 с.

84. Пойа Д. Как решать задачу.-М.:Учпедгиз, I96I.-207 с.126.

85. Парфенова В.Н. Графические и численные методы решения уравнений как средство развития функциональных представлений и вычислительной культуры учащихся. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-М.,1967.-401 с.

86. Рыжов В.В. 0 решении уравнений.-Квант, 1974, Л7, с.8-П.

87. Рыбакова Р.А. Изучение алгебраических уравнений и неравенствв курсе математики восьмилетней школы. Автореферат диссертации на соискание ученой ствнени кандидата педагогических наук.-М., 1974.-24 с.

88. Сборник конкурсных задач потматематике для поступающих во втузы(Под ред.М.Й.Сканави).-М.:Выошая школа, I977.-5I9 с.

89. Селиверстов Ф.Н. К вопросам теории равносильности в курсе алгебры средней школы.^Куйбышев: КИПИ, I961.-12 с.

90. Синакович В.Н. Равносильность уравнений и решение уравнений второй степени.-Математика в школе,1940, №2, с.15.

91. Содержание обучения математике.-Математика в школе,1981, J№4, с.12-15.

92. Скугорева Е.И. Методика преподавания алгебраических уравнений в средней школе. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Киев, 1962.-326 с.

93. Столяр А.А. Педагогика математики.Курс лекций.-Минск:Вышэйш. школа, 1974.-382 с.

94. Смирнов И.И. Тригонометрические уравнения в школьном курсе .-Математика в школе, 1953, №3, с.42-62.

95. Смирнов А.А. Психология запоминания.-М.:Учпедгиз, 1948.-325 с.

96. Талочкин А.Б. Неравенства и уравнения. Упражнения и методические указания.- М.: Просвещение, 1970.

97. Томашев Б.И. Иррациональные алгебраические функции и уравнения над полем комплексных чисел и методика их преподавания. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-М., 1958. 466 с.

98. Томашев Б.И. Решение иррациональных уравнений в УШ классе.-Математика в школе, 1957, ЖЕ, с.49-53.

99. Топуридзе И.Н. Преобразование иррациональных выражений и иррациональных уравнений в средней школе. Дисс^^ция на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Тбилиси., I954.-I53 с.

100. Тураев С.Т. Методические особенности повторения в курсе алгебрь восьмилетней школы. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Ташкент, 1978.-172 с.

101. Тураев С.Т.Методические особенности повторения в курсе алгебры восьмилетней школы. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Ташкент,1978.-23 с.

102. Ушинский К.Д. Избранные педагогические сочинения, т. .-М.: Учпедгиз, 1953. 639 с.

103. Ушинский К.Д. Педагогические приложения анализа памяти, т.2.-М.:Учпедгиз, 1966.-735 с.

104. Фирсов В.В., Яглом Й.М. 0 вступительных экзаменах по математике .-Математика в школе, 1972, Л2, с.82-87,

105. Фирсов В.В., Боковнев О.А., Шварцбурд С.И. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике.-М.:Просвещение, 1977.-48 с.

106. Фирсов В.В.О прикладной ориентации курса математики.-М.:Просвещение, 1977.

107. Чайковский Н.А. Квадратные уравнения. Пособие для учителей.-Киев, 1970.

108. ПО. Чернышев К.И. Решение показательных и логарифмических уравнений.-Курск, 1954.

109. Чуканцев С.М. Квадратные уравнения в курсе алгебры УП класса Математика в школе, 1974, №6, с.31-33.

110. Шварцбурд С.И. Системы уравнений.-М.: АПН РСФСР, 1955.

111. Шувалов A.M. 0 равносильности уравнений.-Математика в школе, 1952, Л1, С.23.

112. Шимарев П.А. Функциональная и формальная трактовка уравнений в курсе алгебры средней школы. Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.-Тольятти., 1967.-337 с.

113. Шимарев П.А. Алгебраические уравнения на подготовительном отделении. -Тольятти.: изд-во ТЛИ, 1974.-56 с.

114. Шиханович Ю.А. Введение в современную математику.-М.:Наука, 1965.

115. Зрдниев П.М. Об изучении уравнений в УЗ-УШ классах.-Сталин-град, I960. -76 с.

116. Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры.^-М.:Просвещение, 1972.

117. Ярыгин А.Н. Задания для учащихся УН классов на факультативных занятиях по теме уравнения.-М. :изд-во НИИ СиМО АПН СССР, 1977.

118. Ярыгин А.Н. Тригонометрические уравнения (методическое пособие для слушателей подготовительного отделения).-Тольятти: изд-во ТЛИ, 1975.

119. Ярыгин А.Н. Задания для учащихся УШ классов на факультативных занятиях по теме уравнения.-М.:изд-во НИИ СиМО АПН СССР, 1977,

120. Ярыгин А.Н. Решение уравнений в углубленном изучении математики.-В кн.:Углубленное изучение математики в 8-10 классах.-М.: изд-во НИИ СиМО АПН СССР, 1976,-с.57.

121. Ярыгин А.Н., Плевако Т.С., Сальникова I.M. Программа для поступающих на подготовительное отделение в 1975 г.-Тольятти: изд-во ТПИ, 1975.

122. Ярыгин А.Н. К методике решения уравнений .-В кн.:Углубленное изучение математики и ее приложений.-М.:изд-воНИИ СиМО АПН СССР, 1977.