автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Нестандартные методы решения уравнений и других задач в углубленном курсе математики

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Мещерякова, Светлана Ивановна, 1997 год

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВЫБОРА АДЕКВАТНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ В КЛАССАХ С

УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ МАТЕМАТИКИ.

§1. Теоретические основы выбора содержания и анализ литературы

§2. Приемы учебной деятельности при решении уравнений нестандартными методами. Теоретические основы организации системы задач

Выводы по главе 1.

Глава 2. НЕСТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИ^ И ДРУГИХ ЗАДАЧ В УГЛУБЛЕННОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

§ 1. Уравнения вида/Шх)) = /(И(х)) и нестандартные методы решения

§2. УравненияМ(х)) - х и близкие к ним.

§3. Функции со свойствами квадратного трехчлена и их применение

§4. Уравнения и неравенства с параметром и задачи на экстремум

Выводы по главе 2.

Глава 3. СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ

§1. Цели и задачи эксперимента.

§2. Содержание и результаты эксперимента.

Выводы по главе 3.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Нестандартные методы решения уравнений и других задач в углубленном курсе математики"

Основной особенностью современного развития системы школьного математического образования является ориентация на широкую дифференциацию обучения математике, позволяющую решить две задачи. С одной стороны - обеспечить базовую математическую подготовку всех школьников, а с другой - сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету, выявить и развить их математические способности, ориентировать на профессии, связанные с математикой, подготовить к обучению в вузе. Реализация последней задачи вновь делает актуальной проблему содержания математического образования. Разрешают эту проблему школы (в основном школы с углубленным изучением математики) по-разному. Одни - за счет углубления традиционных разделов курса математики средней школы, что закладывает прочный фундамент для дальнейшего ознакомления выпускников с математической наукой при продолжении образования в вузе, другие - за счет включения в программу различных разделов высшей математики.

Расширение школьной программы по математике путем введения в нее дополнительных разделов высшей математики не всегда, на наш взгляд, даст положительные результаты. Это объясняется и отсутствием достаточного количества времени для рассмотрения того или иного раздела в нормальном объеме, и недостижимостью должной логической строгости изложения вследствие объективных трудностей, которые представляют для учащихся те или иные методы мышления, и, наконец, возрастными психологическими возможностями. Таким образом, нестрогое, поверхностное изложение отдельных разделов высшей математики может привести, порой, к неадекватному, искаженному пониманию учащимися математических методов и идей. Именно по этому поводу проявляют озабоченность многие учителя, методисты и ученые. Так, например, Г.В. Дорофеев считает, что "деятельность учащихся, не основанная на достаточно строгой теории, носит весьма формальный характер, поскольку практически сводится к исполнению несложных предписаний алгоритмического типа. В результате теория, представляющая одно из важнейших созданий математической мысли человечества, превращается в школьной практике в рутину, в очередной набор стандартных и зачастую искусственных задач" [39]. Но в то же время академики B.C. Владимиров, JI.C. Понтрягин и А.Н. Тихонов в статье "О школьном математическом образовании" [21] отмечают, что чрезмерный объем и неоправданная сложность изложения материала приводят к непониманию многими школьниками того, чему их учат, их неверию в свои способности к математике, ущербу практическим умениям и навыкам в использовании получаемых знаний.

Ведущие ученые В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, М.И. Зайкин, В.И. Кру-пич, Н.В. Метельский, Г.И. Саранцев, A.A. Столяр, П.М. Эрдниев [38,87,95,104] и другие едины во мнении, что ведущим принципом совершенствования методической системы обучения математике является гуманизация математического образования, личностная ориентация обучения математике. Поэтому в школах (классах) с математической специализацией нет смысла поверхностного изучения дополнительных разделов высшей математики. Для учащихся этих школ (они, как правило, продолжат учебу на физико-математических и технических факультетах вузов) гораздо важнее и полезнее более глубоко рассмотреть идеи и методы самой элементарной математики, создающие прочный фундамент для изучения высшей математики. А поскольку одной из основных ее идей является идея функции, то имеется настоятельная необходимость усвоения учащимися функциональных подходов при решении задач.

Идея введения понятия функции в школьные программы по математике была выдвинута более 100 лет тому назад; ее активным сторонником был академик М.В. Остроградский. Методические разработки М.В. Остроградского и его учеников легли в основу движения за реформу преподавания математики. Одним из выдающихся математиков, возглавивших это движение, был немецкий ученый Ф. Клейн. На I Международном конгрессе математиков, состоявшемся в Цюрихе в 1897 году, он выступил с четкой программой реформы, среди важнейших принципов которой, было положение о перестройке преподавания математики на основе развития функционального мышления путем пронизывания всего школьного курса математики идеей функциональной зависимости [15]. Тенденция широкого внедрения функционального подхода к различным разделам математики, изучаемым в школах, вызывалась и обосновывалась необходимостью устранить чрезмерный формализм и разобщенность в преподавании отдельных математических дисциплин. Изучение функции призвано было способствовать подлинному, а не формальному согласованию программ средней и высшей школ, преодолению пропасти между школьным курсом и современной наукой.

За введение в школьный курс математики понятия функциональной зависимости на рубеже 19-20 веков высказывались многие отечественные методисты-математики: С.И. Шохор-Троцкий [120], В.И. Шере-метевский [119], К.Ф. Лебединцев и др. Но несмотря на это, тогда понятие функции так и не укрепилось в школьной математике. Лишь спустя несколько десятилетий оно вошло в школьные программы. Этому немало способствовали видные ученые П.С. Александров, В.Л. Гончаров, А.И. Маркушевич, А.Я. Хинчин и др. В середине 50-х годов была введена в школьный курс новая дисциплина "Алгебра и элементарные функции", а в 60-е годы - новая программа, предусматривающая изучение в 10-11 классах "Алгебры и начал анализа", которая осуществлялась под руководством академика А.Н. Колмогорова.

Вопросам методики изучения в средней школе функциональных понятий посвящен ряд исследований таких ученых, как Б.П. Бычков, Н.Я. Виленкин, В.Л. Гончаров, И.П. Гурский, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.Л. Луканкин, Ю.Н. Макарычев, Н.Х. Розов, H.A. Терешин, P.C. Черкасов и др. Этим же вопросам посвящены диссертационные исследования Д.Д. Виноградовой, В.А. Гуськова, Г.Л. Гукасяна, P.A. Майе-ра, М.В. Ткачевой, С. Хасанова [32, 34, 64, 107, 112] и др. Исследования главным образом касались следующих проблем: методики изучения функционального содержания школьного курса математики, раскрытия функциональной направленности школьного курса математики, преподавания функциональной зависимости, методики изучения элементов математического анализа, формирования функциональных умений учащихся.

Много говорится в научной литературе и о важности применения функционального подхода при решении различных задач элементарной математики, в том числе и уравнений. В учебном пособии [70,с.Ю6] отмечается, что линия уравнений и неравенств, составляющая значительную часть школьного курса математики, неразрывно связана с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей - приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств к исследованию функций (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В учебном пособии [71] дано изложение точки зрения на уравнения и неравенства, построенное на функциональной основе, которое заключается в следующем:

1) обе части уравнения (неравенства) рассматриваются как функции входящих в уравнение (неравенство) переменных, а для записи уравнений (неравенств) в общем виде применяются функциональные обозначения, например: f(x) = g(x), f(x) < g(x);

2) устанавливается понятие области определения уравнения (неравенства), которое определяется как пересечение областей определения функций, представляющих обе части уравнения (неравенства);

3) систематически применяется графический метод решения уравнений (неравенств), требующий построения графиков соответствующих функций;

4) при изучении уравнений (неравенств) в подходящих случаях используются свойства функций.

Но, несмотря на вышеизложенное, идея функционального подхода полностью так и не реализована. Нет целостной системы задач, позволяющей осуществлять их отбор и составление, адекватной содержанию материала, способствующей организации учебно-познавательной деятельности учащихся. А эффективное обучение, как подчеркивают в своих работах А.К. Артемов, Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, М.И. Зайкин, Ю.М. Колягин, Е.С. Канин, В.И. Крупич, P.A. Майер, В.И. Мишин, Г.И. Саранцев, H.A. Терешин и др., во многом зависит от отбора, конструирования, организации задач. Задачи являются одной из форм реализации почти всех групп методов обучений.

В физико-математических лицеях, в классах с углубленным изучением математики наиболее целесообразно использование эвристического и исследовательского методов обучения. Эти методы вовлекают учащихся в процесс "открытия" различных фактов, самостоятельной формулировки теорем, позволяют обеспечить овладение методами научного познания, формирование черт творческой деятельности и потребности в ней. Эти методы предъявляют свои требования как предлагаемому для изучения материалу (он должен быть доступным для учащихся), так и системе задач, обеспечивающей овладение этим материалом. Система задач должна быть насыщена сложными, проблемными, творческими, нестандартными задачами. Принципам построения систем задач по курсу математики средней школы посвящены диссертационные исследования Г.И. Саранцева, М.И. Денисовой и других; построению систем задач, обладающих свойством структурной полноты В.И. Крупича, О.Б. Епишевой, A.A. Папышева и других, В.А. Далингер разработал принципы построения системы задач для реализации внутрипредметных связей. Построение и применение взаимосвязанных и динамических задач можно найти в работах Г.В. Дорофеева, Е.С. Канина, Т.М. Калинкиной, В.И. Мишина, Г.В. Токмазова, П.М. Эрдниева и других.

Задачи, решение которых основано на использовании свойств функций, до сих пор считаются трудными. При этом приемы и методы их решения называются нестандартными (А.Н. Агапитов, И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев, Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов, С.Н. Олехник, В.Г. Чирский, Е.Г. Шавгулидзе). И хотя во многих учебных пособиях и статьях встречаются уравнения, неравенства и задачи, при решении которых используются свойства входящих в них функций [1, 6, 29, 81, 91, 99, ИЗ, 117, 121], методические проблемы, связанные с ними, не разработаны, отсутствуют методические рекомендации для школьников и учителей.

Все вышесказанное обуславливает актуальность проблемы поиска условий и средств реализации идеи функционального подхода решения задач для школ (классов) с углубленным изучением математики.

Цель исследования состоит в разработке функциональных методов решения уравнений и других задач и методики формирования функциональных умений у учащихся школ (классов) с углубленным изучением математики в курсе алгебры и начал анализа.

Объектом исследования является процесс обучения алгебре и началам анализа в школах (классах) с углубленным изучением математики.

Предметом исследования является процесс обучения нестандартным (функциональным) методам решения уравнений и других задач в школах (классах) с углубленным изучением математики.

Гипотеза исследования: если выделить уравнения и задачи, допускающие стандартное и нестандартное (функциональное) решения, на их основе построить классы уравнений и задач, при решении которых использовались бы изучаемые в основном курсе свойства функций, разработать приемы учебной деятельности учащихся, ориентированные на выполнение поиска решения уравнений нестандартными методами, создать систему соответствующих задач и внедрить это в практику, то качество знаний учащихся повысится.

Проблема, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие задачи:

1) Изучить состояние проблемы целесообразности и возможности изучения функциональных (нестандартных) методов решения задач, в том числе уравнений, в школах с углубленным изучением математики.

2) Выделить специальные классы уравнений и задач и разработать методы их решения на основе функционального подхода; указать технологию построения таких уравнений и задач.

3) Разработать приемы учебной деятельности учащихся, ориентированные на выполнение поиска решения уравнений нестандартными методами.

4) Разработать систему учебных задач.

5) Раскрыть содержание и методику экспериментального обучения.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

1) изучение и анализ математической, психолого-педагогической литературы, программ, учебников, учебных и методических пособий по теме и близких к теме исследования;

2) изучение опыта работы учителей математики в физико-математическом лицее и в классах с углубленным изучением математики, опыта проведения конкурсных экзаменов в ведущие вузы страны и опыта проведения олимпиад по математике;

3) исследование и анализ специальных классов уравнений и задач;

4) организация и проведение факультативов "Нестандартные методы решения уравнений", "Применение свойств функций при решении нестандартных задач" в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики.

Базой исследования явились старшие классы школы-лицея № 4 г. Саранска и математический факультет Мордовского университета. Исследование проводилось с 1992 по 1997 г.

Научная новизна диссертационного исследования состоит в том, что в нем проблема обучения нестандартным методам решения уравнений и других задач решена в контексте взаимосвязи функциональной линии и линии уравнений и неравенств.

Выделены классы уравнений и других задач, при решении которых используются стандартные (алгебраические) и нестандартные (основанные на свойствах функций, изучаемых в школе) методы. Использование алгебраических методов в совокупности с функциональными наметило действенные резервы совершенствования методики обучения решению уравнений и других задач в курсе алгебры и начал анализа.

Теоретическая значимость исследования заключается в обосновании целесообразности и возможности изучения в школах (классах) с углубленным изучением математики функциональных приемов решения уравнений и задач; в выделении специальных классов уравнений и задач и разработке методов их решения на основе функционального подхода; в разработке приемов учебной деятельности учащихся, адекватных выделенным классам уравнений; в создании системы учебных задач и технологии их конструирования.

Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что выделенные классы уравнений и других задач и разработанные методы их решения могут быть использованы учителями школ с углубленным изучением математики на уроках и факультативах, а также при совершенствовании программы и учебных пособий для средних школ; указана технология конструирования таких уравнений и задач.

Методологической основой исследования явились основные положения теории познания, теория развития личности, концепция деятельност-ного подхода, труды выдающихся психологов, педагогов, методистов.

Обоснованность и достоверность выводов и рекомендаций исследования обеспечиваются опорой на достижения математики и теоретические разработки в области психологии, педагогики, теории и методики обучения математике, длительностью работы в школе-лицее и в классах с углубленным изучением математики преподавателей математического факультета Мордовского университета, положительной оценкой методических материалов методистами, учителями, работающими в классах с углубленным изучением математики.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Использование функциональных методов решения уравнений и других задач позволяет совершенствовать процесс обучения математике в школах (классах) с ее углубленным изучением, способствует систематизации знаний учащихся, формирует умение решать задачи, влияет на развитие личности и ее творческие способности, ориентирует на профессии, тесно связанные с математикой.

2. Внедрение функциональных методов предполагает конструирование специальных классов уравнений и других задач на основе выделения уравнений и задач, допускающих стандартное (алгебраическое) и нестандартное (функциональное) решения.

3. Методика обучения решению уравнений нестандартными методами основывается на специальных приемах, адекватных выделенным классам уравнений.

На защиту также выносятся: специальные классы уравнений и задач, позволяющих осуществить переход от традиционных способов решения к функциональным; технология конструирования таких задач, которая может быть использована учителями школ (классов) с углубленным изучением математики; система учебных задач.

Апробация и внедрение результатов исследования проводились в виде докладов и обсуждений на научно-методических семинарах кафедры математического анализа и кафедры общей математики Мордовского университета (1992 - 1997 гг.), на научных конференциях университета (1995 -1997 гг.), на Всероссийской научной конференции (Саранск, 1995 г.), а также в форме занятий в школе-лицее и классах с углубленным изучением математики, практикума по элементарной математике со студентами математического факультета Мордовского университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ [72 - 74, 114,115].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Основное содержание изложено на 182 страницах машинописного текста. Библиография составляет 125 наименований.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по главе 3

1) Проведенные эксперименты показали, что методика обучения нестандартным методам решения уравнений и других задач элементарной математики, построенная на постепенном переходе от традиционных (основанных на преобразованиях) приемов решения уравнений и других задач к нетрадиционным (основанных на использовании свойств функций) посредством выделения специальных классов задач, допускающих стандартные и нестандартные решения, оправдана: ее использование дает значительно лучшие результаты при формировании таких умений, как умение решать задачи.

2) Выделенный класс уравнений /^(х)) = /(/?(•*)) удобен для отработки навыков использования свойств функций при решении уравнений учащимися и для создания системы упражнений учителями. При этом технология составления задач доступна даже начинающему педагогу. Она основана на варьировании функций /, Л а, следовательно, и их свойств в уравнении /(#(л)) = ЛКх)). Классы уравнений, близких к уравнениям /(/(л» = л дополняют названный выше класс уравнений и расширяют арсенал средств и приемов их решения.

3) Предложенные в работе теоретический материал и система задач и внедрение их в практику школ (классов) с углубленным изучением математики дают возможность совершенствовать процесс обучения алгебре и началам анализа и осуществлять целенаправленную подготовку учащихся к поступлению в вуз на физико-математические и инженерные специальности.

Экспериментальное исследование и статистическая обработка его результатов подтвердили справедливость гипотезы исследования и доказали, что использование функциональных методов решения уравнений и других задач позволяет совершенствовать процесс обучения математике в школах классах) с ее углубленным изучением, способствует систематизации знаний учащихся, формирует умение решать задачи, влияет на развитие личности и ее творческие способности, ориентирует на профессии, тесно связанные с математикой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

За последние годы резко возросло число школ (классов) с углубленным изучением математики. Большую часть студентов физико-математических и технических факультетов вузов составляют выпускники именно этих школ. Поэтому главная задача школ такого профиля - подготовить учащихся к поступлению в вузы, и что не менее важно, к учебе в них. В связи с этим математическая подготовка школьников должна характеризоваться не столько обширным объемом усвоенных сведений из различных областей математики, сколько навыками устанавливать глубокие связи между отдельными разделами курса, концентрировать внимание на общих идеях, выявлять сущность основных понятий и методов, уметь их применять при решении задач. Этому в немалой степени может способствовать содержание настоящей работы.

Сформулируем результаты и выводы, полученные в процессе исследования в соответствии с его целью и задачами.

1) Обоснованы целесообразность и возможность изучения нестандартных (функциональных^ методов решения уравнений и задач в курсе математики школ (классов) с ее углубленным изучением.

2) Выделены специальные классы уравнений и задач, позволяющие осуществлять переход от стандартных методов решения к нестандартным; разработаны методы их решения на основе функционального подхода; указана технология их построения.

3) Выделены приемы учебной деятельности учащихся, адекватные указанным классам уравнений.

4) Разработана система учебных задач.

5) Разработаны и внедрены в практику обучения учащихся школ (классов) с углубленным изучением математики спецкурсы "Нестандартные методы решения уравнений" и "Применение свойств функций при решении нестандартных задач".

6) Экспериментальное исследование и статистическая обработка его результатов подтвердили справедливость гипотезы исследования и доказали, что использование функциональных методов решения уравнений и других задач позволяет совершенствовать процесс обучения математике в школах (классах) с ее углубленным изучением, способствует систематизации знаний учащихся, формирует умение решать задачи, влияет на развитие личности и ее творческие способности, ориентирует на профессии, тесно связанные с математикой.

Все это дает основание считать, что поставленные задачи исследования решены.

173

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Мещерякова, Светлана Ивановна, Саранск

1. Агапитов А.Н. О некоторых видах "нестандартных" уравнений // Математика в школе. 1969. № 3. С. 49.

2. Александров Б.И., Марков В.К. Задачи с параметрами // Математика в школе. 1970. №2. С. 80-85.

3. Александров Б.И., Моденов П.С. Пособие по математике для подготовительных курсов. М: Изд-во МГУ, 1967.

4. Александров П.С. Научное содержание школьного курса алгебры // Математика в школе. 1946. № 5. С. 21.

5. Артемов А.К. Методологические основы методики формирования математических умений у школьников. Автореф. дисс. . на соис. уч. степени докт. пед наук. JI.: ЛГПИ им. А.И. Герцена, 1985. - 35 с.

6. Барчунова Ф.М., Денищева Л.О. Применение свойств функций при решении уравнений // Математика в школе. 1992. № 6. С. 11.

7. Бахтадзе A.A. К вопросу об исследовании квадратного трехчлена // Математика в школе. 1969. № 5. С. 69 72.

8. Башмаков М.И. и другие. Задачи по математике. Алгебра и анализ // Под ред. Д.К. Фаддеева. М.: Наука, 1982. - 192 с. (Библиотечка "Квант". Вып. 22.)

9. Башмаков М.И. Методические разработки для учащихся всесоюзной заочной математической школы АПН СССР при МГУ. М.: Ротапринт Института механики МГУ, 1982. - 98 с.

10. Башмаков М.И. О решении уравнений и неравенств // Математика в школе. 1970. №5. С. 45.

11. П.Бейсеков Ж., Мостовой А. Функциональный подход к доказательству тождеств // Математика в школе. 1977. № 3. С. 54.

12. Болтянский В.Г. Метод отделяющих констант// Квант. 1977. № 4. С. 42. 1 З.Болтянский В.Г. Преодолеть заблуждения, связанные с ОДЗ // Математика в школе. 1975. № 5. С. 10.

13. М.Буфеев С. Авторская программа углубленного изучения математики для 8-11 классов И Математика. Еженедельное приложение к газете "Первое сентября", 1996. №48-49.

14. Бычков Б.П. Международное движение за реформу преподавания математики в средней школе // Кишинев, гос. ун-т им. В.И. Ленина. -Кишинев: "Штиинца", 1975.- 135 с.

15. Варианты вступительных экзаменов // Квант. 1993. № 3 4. С. 64.

16. Ваховский Е.Б., Рывкин A.A. Задачи по элементарной математике повышенной трудности. 2 е изд. - М.: Наука, 1971. - 360 с.

17. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ: Учебное пособие для учащихся 10 классов школ с углубленным изучением математики. -М.: Просвещение, 1992. -335 с.

18. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ: Учебное пособие для учащихся 11 классов школ с углубленным изучением математики. -М.: Просвещение, 1993. 288 с.

19. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М.: Просвещение, 1985. -192 с.

20. Владимиров B.C., Понтрягин Л.С., Тихонов А.Н. О школьном математическом образовании // Математика в школе. 1979. № 3. С.42.-Ц.

21. Вступительные экзамены в вузы // Математика в школе. 1993. № 1. С.40.

22. Вступительные экзамены в вузы // Математика в школе. 1990. № 1. С.39.

23. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские олимпиады: Книга для учащихся / Под. ред. А.Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1986. - 303 с.

24. Глейзер Г.Д., Черкасов P.C. Центр творческих усилий педагогов // МаIтематика в школе. 1993. № 6. С. 2-5.

25. Говоров В.М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. Учебное пособие, М.: Наука, 1983. - 384 с.

26. Гончаров В.Л. Идея функции в преподавании математики в средней школе // Советская педагогика. 1945. № 3 . С. 16-32.

27. Гончаров В.Л. Математика как учебный предмет // Изв. АПН РСФСР. М., 1958. Вып. 92.

28. Горнштейн П.Н., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. -К.: РИА "Тест"; МП "Око", 1992. 290 с.

29. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М. : Педагогика, 1977. -136 с.

30. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. М.: Педагогика, 1987. -160 с.

31. Гукосян Г.Л. Развитие понятия функциональной зависимости в курсах арифметики и алгебры средней школы. Автореф. дисс. на соиск. степени канд. пед. наук. Ереван: 1961. - 18 с.

32. Гурский И.П. Функции и построение графиков. Пособие для учителя. Изд. 3-е. М.: Просвещение, 1968. - 215 с.

33. Гуськов В.А. Функциональная пропедевтика и трактовка понятия функции в 8-летней школе. Автореф. дисс. на соиск. степени канд. пед. наук. М.: 1984.- 18 с.

34. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования М.: Педагогика, 1986.-240 с.

35. Дорофеев Г.В. Как расположены корни трехчлена? // Квант. 1986. № 7. С. 45 49.

36. Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. Львов: 1991. - 103 с. (Квантор, № 2).

37. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. 1990. № 6. С. 2-5.

38. Дорофеев Г.В. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. 1980. № 5. С. 12.

39. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе // Математика в школе. 1978. №2. С. 40-2?.

40. Дорофеев Г.В., Потапов M.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы: Избранные вопросы элементарной математики. Изд. 3-е. М.: Наука, 1972.-638 с.

41. Егоров A.A. Неравенство превращается в равенство // Квант. 1996. № I. С. 53.

42. Епишева О.Б. Обучение и развитие учащихся в процессе преподавания математики // Математика. Еженедельное приложение к газете "Первое сентября", 1997. №4-5.

43. Заочные математические олимпиады / Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., Раббот Ж.М., Тоом А.Л. М.: Наука, 1981. -128 с.52.3арубежные математические олимпиады / Конягин C.B., Тоноян Т.А., Шарыгин И.Ф. и др. М.: Наука, 1987. - 416 с.

44. Зорина Л .Я. Дидактические основы формирования системности знаний старшеклассников. М., 1978. - 128 с.

45. Кабанова-Меллер E.H. Учебная деятельность и развивающее обучение. М.: Знание, 1981 (новое в жизни, науке и технике. Сер. "Педагогика и психология", № 6). 96 с.

46. Калинкина Т.М. Динамические задачи как средство совершенствования процесса обучения геометрии в средней школе. Дис. канд. пед. наук. Саранск : 1995.-170 с.

47. Каплан Б.С. Методы обучения математике: некоторые вопросы теории и практики. Мн.: Нар. асвета, 1981. - 191 с.

48. Кожухов С.К. Об одном классе параметрических задач // Математика в школе. 1996. № 3. С. 43.

49. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. 4.1 : Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977.-156 с.

50. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. 4.2 : Обучение математике через задачи и обучение решению задач. -М.: Просвещение, 1977.

51. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Основные понятия современного школьного курса математики. Пособие для учителей. / Под ред. А.И. Маркуше-вича. М.: Просвещение, 1974. - 382 с.

52. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. - 416 с.

53. Кючуков А.Н. А можно гораздо лучше! // Математика в школе. 1988. № 5. С. 53-54.

54. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М. : Политиздат, 1977.-304 с.

55. Майер P.A. Система задач с функциональным содержанием в курсе алгебры в восьмилетней школы. Автореф. дисс. на соиск. степени канд. пед. наук. -Енисейск: 1972. 18 с.

56. Макарычев Ю.Н. Система изучения элементарных функций в старших классах средней школы. Учеб. методич. пособие для учителей. М.: Просвещение, 1964.-219 с.

57. Маргулис А.Я., Радунский Б.А. Применение свойств квадратного трехчлена к решению тригонометрических уравнений // Математика в школе. 1968. №6. С. 37.

58. Маркушевич А.И. Понятие функции // Математика в школе. 1947. № 4. С. 1-16.

59. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: Пробл. соврем, методики математики. Мн.: Университетское, 1989.-160 с.

60. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. 2-е изд. - М. : Просвещение, 1980. -368 с.

61. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учебное пособие для студентов пед. институтов по физ.- мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др. Сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

62. Методика преподавания математики в средней школе: Частные методики: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин и др. -М.: Просвещение, 1977. 480 с.

63. Мещерякова С.И. Задачи "на параметр" и расположение корней квадратного трехчлена // Тезисы докл. науч. конф. "XXIV Огаревские чтения". Часть 3. Саранск: Мордовский ун-т, 1995. С. 17-18.

64. Мещерякова С.И. Об одном классе уравнений // Тезисы докл. науч. межрегиональной конф. "Проблемы гуманизации матем. образования в школе и вузе". Саранск: МГПИ им. М.Е. Евсевьева, 1995. С. 98.

65. Мещерякова С.И. О некоторых обобщениях уравнений видаМ(х)) = х И Тезисы докладов второй конференции молодых ученых Мордовского государственного университета. Саранск: Мордовский ун-т, 1997. С. 5.

66. Мишин В.И. Учитесь обучать решению геометрических задач. М. : Московский институт повышения квалиф. работ, образов. 1993. - 56 с.

67. Мнацаканян К.А., Седракян Н.М. Применение одного свойства функции к доказательству некоторых неравенств // Математика в школе. 1988. №6. С. 45.

68. Мордкович А.Г. Решаем уравнения. М.: Школа - Пресс, 1995/80 с.

69. Морозова Е.А., Петраков И.С. Международные математические олимпиады. Задачи, решения, итоги. Пособие для учащихся. / 3-е изд., испр. и доп. М.: Просвещение, 1971. - 254 с.

70. Папышев A.A. Формирование приемов учебной деятельности учащихся старших классов в процессе обучения решению показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Автореф. дисс. на соиск. степени канд. пед.наук. Жамбыл: 1993. - 115 с.

71. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах: кн. для учителя. -М.: Просвещение, 1987. 224 с.

72. Петров В.А. К вопросу о равносильности уравнений // Математика в школе. 1991. №3. CA Ъ'АА.

73. Пидкасистый П.И. Организация деятельности ученика на уроке. М.: Знание, 1985. -(Новое в жизни, науке и технике. Сер. "Педагогика и психология"; 3/1985). -ВО с,

74. Потапов М.К. и др. Математика. Методы решения задач. Для поступающих в вузы: Учеб. Пособие. М.: Дрофа, 1995. - 336 с.

75. Проблемы гуманизации математического образования в школе и в вузе. Тезисы докладов научной межрегиональной конференции. Саранск, февраль 1995т.-ЮЗо.

76. Программы средней общеобразовательной школы. Факультативные курсы. Сборник 2, часть 1. М.: Просвещение, 1990. -158 с.

77. Программы общеобразовательных учреждений. Математика. М.: Просвещение, 1994. - 240 с.

78. Развитие общих учебных умений и навыков : Рекомендации Министерства просвещения СССР // Воспитание школьников. 1984. № 4. - С. 64-69.

79. Размас P.A. О связи исследования функций с решением уравнений и неравенств // Математика в школе. 1979. № 4. С. 40.

80. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: Учебное пособие Мн.: Выш. шк., 1990. - 267 с.

81. Розов Н.Х., Дворянинов C.B. Некоторые замечания об изучении функций в школе // Математика в школе. 1994. № 5. С. 27.

82. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии : В 2 т. / АПП СССР. М.: Педагогика, 1989.

83. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе. 1995. № 5. С.36-39.

84. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М. : Просвещение, 1995.-240 с.

85. Сборник задач киевских математических олимпиад. В.А Вышенский, Н.В. Карташов, В.И. Михайловский, М.И. Ядренко. Киев: Вища школа, 1984. - 240 с.

86. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы. Учебное пособие / Под ред. М.И. Сканави. 3-е изд., М.: Высшая школа, 1978.-519 с.

87. Семёнов В.Е. О решении некоторых тригонометрических уравнений // Математика в школе. 1969. № 2. С. 46.

88. ЮО.Сивашинский И.Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям. М.: Наука, 1971. - 368 с.

89. Ю1.Скаткин М.Н. О принципах обучения в советской школе. -Сов. педагогика, 1950,№1. С. •

90. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. Киев : Рад. школа, 1983. '192 с.

91. ЮЗ.Стандарт среднего математического образования (проект для обсуждения)// Математика в школе, 1993. № 4. С. 10-23.

92. Ю4.Столяр A.A. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе. 1990. № 6. С. 5-7.

93. Ю5.Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся. М.: Знание, 1983. - (Новое в жизни, науке и технике. Сер. "Педагогика и психология"; 3/1983). - 96с.

94. Юб.Теоретические основы содержания общего среднего образования / Под ред. В.В. Краевского, И .Я. Лернера. М.: Педагогика, 1987. - 352 с.

95. Тихомиров В.М. Новелла о великом олимпийце и нестандартной задаче // Квант. 1996. № 1. С. 52-53.

96. Ткачева М.В. Формирование функциональных умений учащихся. Ав-тореф. канд. дисс. М., 1987. - 16 с.

97. Ю9.Токмазов Г.В. Задачи динамического характера // Математика в школе. 1994. №5. С. 9-12.

98. Ю.Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. - 208 с.

99. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе : Учителю математики о психологии. М.: Просвещение, 1983. -160 с.

100. Хасанов С. Изучение функциональных зависимостей нескольких переменных в школьном курсе математике. Автореф. дисс. на соиск. степени канд. пед.наук. М.: 1987. - 16 с.

101. ИЗ.Чирский В.Г., Шавгулидзе Е.Г. Уравнения элементарной математики. Методы решения. М.: Наука, 1992. - 176 с.

102. Чучаев И.И., Мещерякова С.И. Уравнения вида f(g(x)) = f(h(x)) и нестандартные методы решения // Математика в школе. 1995. № 3. С. 48 -54.

103. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1991. - 383 с.

104. Шеварев П.А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника. -М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. 293 с.

105. Шереметевский В. Математика как наука и её школьные суррогаты // Русская мысль. 1895. № 5.

106. Шохор-Троцкий С.И. Цель и средства преподавания низшей математики // Русская мысль. 1891. № 3. С. 126 127.

107. Шунда H.H. Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств // Математика в школе. 1970. № 3. С. 61.

108. Шунда H.H. Дополнительные упражнения на исследование функций // Математика в школе. 1981. № 3. С. 62.

109. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. М.: Просвещение, 1977.- 317 с.

110. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.:Педагогика, 1979. -144 с.

111. Ястребинецкий Г.А., Баранов И.А. Применение признака постоянствафункции к решению некоторых задач // Математика в школе. 1980. № 5. С.1. Zi-ZA.