автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обобщение знаний о числовых множествах на основе понятия "алгебраическая структура" в классах с углубленным изучением математики

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Васильева, Ирина Викторовна, 2002 год

Введение.

Глава 1 Теоретические предпосылки организации процесса обобщающего повторения по теме «Числовые множества» на основе понятия «алгебраическая структура» в классах с углубленным изучением математики.

§1.1 Проблема обобщения в процессе обучения математике в школе.

1.1.1 Способность к обобщениям как структурная составляющая процесса интеллектуального воспитания школьников.

1.1.2 Понятие обобщения в психолого-педагогической литературе.

1.1.2.1 Обобщение как операция мышления.

1.1.2.2 Трактовка понятия обобщения в педагогической науке.

1.1.2.3 Роль обобщения в методике преподавания математики.

1.1.3 Обобщающее повторение.

§1.2 Структурный аспект школьного курса математики на примере цикла уроков обобщающего повторения по теме «Числовые множества» в классах с углубленным изучением математики.

1.2.1 «Алгебраическая структура» как одно из ведущих понятий школьного курса математики.

1.2.2 Основные определения понятий темы «Числовые множества» в контексте понятия «алгебраическая структура».

1.2.3 Алгебраические структуры в школьном курсе математики.

1.2.3.1 Проблема модернизации содержания школьного математического образования на основе понятия «алгебраическая структура».

1.2.3.2 Содержательная линия числа в современных школьных учебниках.

§1.3 Структурирование учебного материала для цикла уроков обобщающего повторения на основе понятия «алгебраическая структура».

Выводы главы 1.

Глава 2 Методика проведения обобщающего повторения в классах с углубленным изучением математики.

§2.1 Методика проведения обобщающего повторения по теме

Числовые множества».

§2.2 Организация и основные итоги эксперимента.

Выводы главы 2.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Обобщение знаний о числовых множествах на основе понятия "алгебраическая структура" в классах с углубленным изучением математики"

В Программе для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев, а также в Концепции математического образования в 12-летней школе отмечается, что одной из основных целей обучения математике в школе вообще, и в классах с углубленным изучением математики в частности, является интеллектуальное развитие школьников, формирование таких качеств мышления, которые характерны для математической деятельности. Интеллектуальное развитие подразумевает развитие способностей к анализу, синтезу, обобщению. [126, 82, 83,167].

Помимо выявления и развития интеллектуальных и математических способностей углубленное изучение математики предполагает выработку ориентации на профессии, существенным образом связанные в перспективе с математическим циклом дисциплин. Это связано с тем, что большинство школьников, обучающихся в классах с углубленным изучением математики, в будущем планируют продолжить свое образование в вузах, где математика является профилирующим предметом.

Однако личный опыт работы в университете и анализ современной педагогической и методической литературы показывают, что многие студенты-первокурсники естественно - научных и особенно математических факультетов университетов, в том числе и выпускники математических школ и классов, испытывают серьезные трудности, прежде всего на первых этапах обучения в высшей школе, при изучении математических теорий высокого уровня абстракции. Следовательно, учащихся классов с углубленным изучением математики целесообразно подготовить к преодолению упомянутых трудностей в процессе изучения математики в школе, например, провести курс обобщающего повторения в контексте одного из фундаментальных математических понятий. В качестве такого ведущего понятия можно выбрать понятие алгебраической структуры.

Таким образом, выявляется проблема поиска методики обобщения и систематизации знаний при контекстуальном обобщающем повторении для учащихся классов с углубленным изучением математики.

В качестве темы, на материале которой проиллюстрирована методика организации обобщающего повторения, взята тема «Числовые множества» в 10 классе.

Выбор этой темы обоснован следующими соображениями:

- содержательная линия числа является одной из ведущих линий школьного курса математики, которая изучается с первых классов. Знания о числе и числовых множествах приобретаются на протяжении ряда лет, следовательно, очевидна необходимость разработки методики их систематизации;

- рассматривая различные числовые множества с введенными на них операциями, а затем множества нечисловой природы (векторы, многочлены, геометрические преобразования) с соответствующими операциями, можно показать общую идею, связывающую все эти объекты (алгебраическая структура). В этом случае обобщение знаний будет проводиться на новом идейном уровне;

- изучая, например, разбиение множества целых чисел (Z) на непересекающиеся классы (фактор-множество Z/nZ) в соответствии с остатком при делении на данное натуральное число и вводя операции во множестве классов, мы продемонстрируем примеры алгебраических структур (групп, колец, полей). Таким образом, мы покажем связь школьной и вузовской математики.

Практическим введением в курс средней школы понятия алгебраической структуры (группы, кольца, поля) занимались многие ученые. Профессор киевского университета Д.А. Граве (1915 г.) выступал за модернизацию курса алгебры русской средней школы в плане введения понятия поля. Во Франции А. Лихнерович в процессе подготовки будущих учителей математики, а также в процессе работы Международной комиссии по изучению и улучшению преподавания математики (1953 г.) говорил о необходимости проникновения духа современной алгебры в элементарную алгебру и геометрию [93]; профессор

Ж. Папи (1963 г.) организовал эксперимент по обучению школьников понятиям высшей алгебры (группы, кольца, поля, векторные пространства) [172]. Но для массовой школы попытка органического слияния в едином курсе «классических» и «современных» разделов математики не увенчалась успехом.

О необходимости введения ряда идей абстрактной алгебры в школьную математику говорил академик П.С. Александров (1935 г.), за внедрение обобщающих и объединяющих понятий (отношение, группа, поле, линейное пространство) - как итогов изучения - выступали А.И. Маркушевич [102], Г.А. Гинзбург [39]. Аналогичную точку зрения высказывал Ш. X. Михелович [110], утверждая, что знакомство с алгебраическими структурами можно проводить на теоретико-числовой основе. В работе В.В. Деменчука [56] в популярной форме рассказывается о началах абстрактной алгебры. Авторы А.Д. Семушин, О.С. Кретинин, Е.Е. Семенов [140] показывают возможности обучения обобщению и конкретизации на уроках алгебры на примере пропедевтики теоретико-групповых представлениий в различных классах средней школы. В основном подход к вопросу пропедевтики алгебраических структур либо сугубо научный, либо научно-популярный, либо фрагментарный (на протяжении нескольких лет обучения, в момент изучения соответствующего программного материала).

Мы полагаем, что большей эффективностью будет обладать не фрагментарный подход, а проведение цельного курса (или цикла уроков) обобщающего повторения.

Таким образом, существует объективная необходимость творческого переосмысления учебного материала темы «Числовые множества» и разработка принципов его отбора с тем, чтобы на примере этой конкретной темы найти эффективные способы, как показать учащимся особенности обобщения знаний о числе на основе понятия алгебраической структуры и начать подготовку учащихся к более действенному изучению математических абстракций.

Все сказанное выше определяет актуальность темы исследования.

На наш взгляд понятие алгебраической структуры, во-первых, должно появиться естественным образом в ходе повторения изученного материала, а, во-вторых, в результате построения теоретических обобщений, которые возникают в процессе решения специально подобранных задач.

Проблема исследования заключается в выделении фундаментального математического понятия, которое будет служить основой для структурирования материала курса обобщающего повторения темы «Числовые множества» в классах с углубленным изучением математики.

Объектом исследования является процесс обучения математике в классах с углубленным изучением математики.

Предметом исследования является содержание учебного материала темы «Числовые множества».

Гипотеза исследования состоит в том, что если методику организации обобщения знаний о числовых множествах строить на основе понятия алгебраической структуры, то это позволит преобразовать сумму знаний учащихся о числовых множествах в действенную систему, что в свою очередь будет стимулировать интеллектуальное развитие школьников и сократит разрыв между школой и вузом.

Из проблемы и гипотезы исследования вытекает необходимость решения следующих задач исследования:

1. Структурировать учебный материал курса обобщающего повторения темы «Числовые множества» в контексте понятия «алгебраическая структура».

2. Разработать систему упражнений, ориентированную на обобщение и систематизацию знаний по теме «Числовые множества».

3. Разработать методику организации обобщающего повторения темы «Числовые множества».

4. Провести экспериментальную проверку разработанной методики.

При решении поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования; анкетирование учителей, работающих в классах с углубленным изучением математики, проводящих занятия со школьниками, увлекающимися математикой, с целью сбора и анализа данных по проблеме исследования; структурирование содержания темы «Числовые множества»; организация и проведение апробации материалов в процессе обучения (обучающий эксперимент); количественная и качественная обработка данных, полученных в процессе апробации.

В ходе исследования автором учитывался собственный опыт работы в качестве учителя средней школы (общеобразовательный курс и курс углубленного изучения математики), преподавателя математического факультета Кубанского государственного университета, преподавателя Краснодарского краевого института дополнительного профессионального педагогического образования (курсы повышения квалификации учителей г. Краснодара и Краснодарского края), преподавателя летних математических школ Краснодарского края.

Диссертационное исследование проводилось с 1994 г. по 2001 г. и включало в себя несколько этапов.

На первом этапе был проведен анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы, определен предмет исследования, организован поисковый эксперимент, проведено тестирование учителей.

На втором этапе была разработана методика обобщения знаний о числе, обоснованы принципы отбора теоретического материала для проведения обобщающего повторения по теме «Числовые множества» на основе понятия алгебраической структуры с учетом обобщенных теоретических знаний и взаимосвязи их с методами решения задач. Также была проведена подборка системы задач и даны методические рекомендации по их решению.

На третьем этапе разрабатывалась методика проведения педагогического эксперимента и осуществлялась его реализация.

На четвертом этапе была проведена количественная и качественная обработка материалов эксперимента, сформулированы общие выводы и заключение по проведенному исследованию, подготовлен текст диссертации.

Научная новизна и теоретическая значимость настоящего диссертационного исследования обусловлена тем, что в нем:

- обоснована необходимость и возможность использования понятия «алгебраическая структура» как основы для обобщения знаний учащихся классов с углубленным изучением математики по теме «Числовые множества»;

- обоснована необходимость введения в программу для 10-х классов с углубленным изучением математики цикла уроков обобщающего повторения в контексте одного из ведущих понятий математики «алгебраическая структура» на примере темы «Числовые множества»;

- сформулированы принципы отбора теоретического материала для проведения уроков обобщающего повторения на основе выделенного ведущего понятия;

- реализована организация обобщающего повторения темы «Числовые множества», в результате которой естественным образом появляется понятие алгебраической структуры.

Практическая значимость работы заключается в том, что разработанная методика проведения обобщающего повторения темы «Числовые множества» в контексте понятия алгебраической структуры может быть использована учителями, преподающими в классах с углубленным изучением математики; учителями, проводящими занятия с одаренными школьниками; преподавателями педвузов для проведения спецкурсов; абитуриентами при подготовке к поступлению в вуз (разделы «Позиционная запись числа» и «Обобщенные признаки делимости»).

На защиту выносятся следующие теоретические положения:

1. Теоретическое обоснование необходимости проведения курса обобщающего повторения на основе понятия «алгебраическая структура» в классах с углубленным изучением математики.

2. Методические особенности процесса обобщения признаков делимости на некоторые натуральные числа, способствующего формированию представлений школьников о возникновении новых алгебраических структур, что в свою очередь стимулирует развитие интеллектуальных способностей школьников и сокращает разрыв между школой и вузом.

Апробация результатов исследования. О результатах исследования регулярно докладывалось на Герценовских чтениях в РГПУ им. А.И. Герцена (1997 - 2001 гг.), на семинарах и курсах повышения квалификации учителей математики Краснодарского края, на методических семинарах кафедры высшей алгебры и геометрии Кубанского государственного университета.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ВЫВОДЫ ГЛАВЫ 2

Теоретические знания и практические умения, получаемые учащимися за годы изучения курса математики, не являются в полной мере действенными, то есть сумма знаний учащихся не преобразована ими в систему знаний. Поэтому возникает необходимость эти знания систематизировать; систематизация знаний может быть проведена с большим эффектом при обобщающем повторении, когда учебный материал группируется на основе одного из ведущих понятий математики (например, на основе понятия «алгебраическая структура»); обобщая материал о числовых множествах, учащиеся старших классов имеют возможность в процессе решения специально подобранных задач увидеть выход в сферу абстрактной математики, что особенно важно для школьников, связывающих свое будущее обучение с циклом математических дисциплин; экспериментально подтверждена эффективность предложенной методики организации обобщающего повторения по теме «Числовые множества».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современная алгебра изучает только те множества, внутри которых определена, по меньшей мере, одна операция или отношение, то есть множества, которые обладают структурой, независимо от того, что представляют собой его элементы. Главная задача при этом заключается в поиске структуры и свойств операций в структурах. Задача алгебры - раскрыть одинаковую структуру различных объектов. По словам Д. Гильберта «математика - это игра, в которой играют согласно простым правилам и пользуются при этом обозначениями, не имеющими самостоятельного значения». Если принять поиск структуры за игру, то: стратегию игры - определяют основные понятия формальной логики и теории множеств; правила игры - алгебраические операции и свойства структуры; игровое поле - определенная алгебраическая структура.

Важность алгебраических структур для современной науки трудно переоценить. Первым в математике появилось понятие группы. Плодотворность понятия группы и необходимость его введения были очевидны для многих математиков. Одной из важнейших причин бурного развития теории групп является то, что по существу теория групп - это учение о биективных преобразованиях, ибо каждая группа изоморфна подгруппе группы всех биективных преобразований некоторого множества. Биективные же преобразования, а значит, и их группы, встречаются практически во всех областях математики.

Учащиеся классов с углубленным изучением математики, как правило, связывают свое будущее обучение с профилирующим циклом математических дисциплин. Именно поэтому в таких классах необходимо проводить работу по введению понятия «алгебраическая структура». В качестве инструмента пропедевтики понятия «алгебраическая структура» можно использовать процесс обобщения знаний о числе.

Анализ методической, математической, психолого-педагогической литературы, а также результатов проведенного автором тестирования учителей и учащихся позволил определить то направление, в котором, на наш взгляд, должно идти формирование методики так называемого обобщающего повторения на основе одного из ведущих понятий школьного курса математики. В процессе обобщающего повторения теоретические знания и практические умения учащихся из некой совокупности преобразуются в конкретную, деятельную систему, что будет способствовать выходу на качественно иной теоретический уровень, который в свою очередь является основой для решения новых задач. Причем смысл здесь заключается не в том, что мы стремимся решать все новые и новые задачи, а в том, что в этих задачах школьник работает с новыми для него категориями. Таким образом, происходит развитие интеллектуальных способностей учащихся. Значимость наличия пунктов обобщающего повторения в планировании учебного материала школьной программы объясняется также значительным разбросом по времени изучения и по школьным курсам математических понятий, невыявленностью необходимых связей между отдельными блоками теоретических знаний.

В диссертации разработаны принципы отбора теоретического материала курса обобщающего повторения на примере темы «Числовые множества» в контексте понятия «алгебраическая структура»: группировка отбираемого материала вокруг ведущего понятия «алгебраическая структура»; принцип построения последовательных содержательных обобщений на основе ведущего понятия «алгебраическая структура»; принцип логического завершения изучаемого вопроса и, в результате этого, выход в сферу абстрактной математики (выражающийся в решении качественно новых задач).

Для указанной темы представлена методика отбора задач с учетом теоретического материала и дана классификация задач по типам теоретических знаний.

Отобранный учебный материал, наборы соответствующих задач, а также разработанная методика прошли экспериментальную проверку в школах г. Краснодара и Краснодарского края, а также в летних математических школах Краснодарского края.

Как показал эксперимент, изучение отобранного материала с помощью разработанной методики способствует повышению уровня интеллектуального развития учащихся, развитию самостоятельности учащихся в учебной деятельности.

Завершая исследование, необходимо наметить пути его дальнейшего продолжения. В качестве основы для обобщения и систематизации знаний учащихся, нами было выбрано одно из ведущих понятий математики - «алгебраическая структура». Также обобщение знаний учащихся можно проводить на основе фундаментальных понятий «порядковая структура», «топологическая структура», которые являются системами для хранения знаний. Школьные курсы алгебры и геометрии содержат большое число различных примеров соответствий и бинарных отношений. Например, числовые функции числового аргумента являются отношениями во множестве чисел. Рассматривая функциональность как одно из свойств, которым может обладать отношение, учащиеся имеют возможность осознанно воспринять моменты, характеризующие понятие «функция» школьного курса математики. Познакомившись со свойствами бинарных отношений (рефлексивность, симметричность, транзитивность, антисимметричность), учащиеся увидят, что многие отношения (параллельности; симметричности; равенства геометрических фигур, векторов, чисел; подобия; коллинеарности векторов; делимости чисел нацело; неравенства чисел; отношение «меньше или равно»; отношение включения числовых множеств) обладают набором схожих свойств. Этот факт имеет большое значение для процесса обобщения знаний школьника и приведения их в систему.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Васильева, Ирина Викторовна, Краснодар

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред, шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. 3-е изд. - М.: Просвещение, 1994. - 254 с.

2. Алгебра: для 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, Г.С. Сурвилло и др.; Под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение, 1995. - 256 с.

3. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред, шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 1991.-191 с.

4. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред, шк./ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1994. - 239 с.

5. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1995. - 223 с.

6. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред, шк./ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндкж, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 1990.-272 с.

7. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М. Просвещение, 2000. -287 с.

8. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М. Просвещение, 2000. -287 с.

9. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М. Просвещение, 2001. - 383 с.

10. Алгебраические дроби: Учеб. пособие по математике для 7-го класса/ Э.Г. Гельфман, Ю.Ю. Вольфенгаут. Л.Н. Демидова, Н.Б. Лобаненко. Томск: Изд-во Том. ун-та. - 1994. - 288 с.

11. П.Андронов И.К. Арифметика рациональных чисел: Пособие для учителей / И.К. Андронов, И.К. Окунев. — М.: Просвещение, 1971. -400 с.

12. Аракелян О.А. Некоторые вопросы повторения математики в средней школе. М.: Учпедгиз, 1960. - 84 с.

13. П.Аракелян О.А. Некоторые вопросы повторения математики в средней школе: Дис. канд. пед. наук, М., 1958.

14. Артемов А.К. Методологические основы методики формирования математических умений школьников: Дис. д-ра пед. наук,- Пенза, 1984.

15. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. М.: Госполитиздат, 1954. - 89 с.

16. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике (очерки истории 17 по 20 в.). 2-е изд. - М.: Мысль , 1965. - 312 с.

17. Аткинсон Р. Человеческая память и процесс обучения: Пер. с англ./ Под ред. Ю.М. Забродина, Б.Ф. Ломова. М.: Прогресс, 1980. - 528 с.

18. Бабанский Ю.К. Избранные педагогические труды. М.: Педагогика, 1989. -559 с.

19. Барчунова Ф.М. Организация обобщенного повторения курса алгебры восьмилетних школ // Из опыта преподавания математики в школе: Пособие для учителей / Сост. А.Д. Семушин, С.Б. Суворова. М.: Просвещение, 1978. С.78 - 95.

20. Берман Г.Н. Число и наука о нем. М.: Гос. изд-во технико-теор. лит., 1954. - 164 с.21 .Богоявленский Д.Н. Психология усвоения знаний в школе / Д.Н. Богоявленский., Н.А. Менчинская. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1959. - 347 с.

21. Безрукова Г.К. Технология проектирования системы повторения школьного курса математики: Дис. канд. пед. наук. М., 2000.

22. Брудный А.А. Психологическая герменевтика. М.: Изд-во , 1998. - 332 с.

23. Брунер Дж. Процесс обучения. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - 83 с.

24. Буйдаков X. Дидактические основы формирования обобщенных знаний учащихся старших классов в целостном педагогическом процессе: Дис. канд. пед. наук. Душанбе, 1993.

25. Васильева И В. Теория чисел в задачах школьного курса математики: Кн. для учителя. Краснодар, 1998. - 51 с.

26. Вертгеймер М. Продуктивное мышление / Пер. с англ.; Под общ. ред. С.Ф. Горбова, В.П. Зинченко. Вступ. ст. В.П. Зинченко. М.: Прогресс, 1987. -336 с.

27. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: кн. для учащихся 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, Л.П.Шибасов, З.Ф. Шибасова. М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.-320 с.

28. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/ Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 3-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 1992.-335 с.

29. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/ Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1995.-228 с.

30. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.- 176 с.

31. Войшвилло Е.К. Понятие как форма мышления (логико-психологический анализ) -М.: Изд во МГУ, 1989. - 238 с.

32. Воробьев Н.Н. Признаки делимости. 2-е изд. испр. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. - 80 с.

33. Выготский Л.С. Избранные психологические исследования. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1956.-519 с.

34. Выготский J1.С. Собр. соч. В 6 ти т. - М.: Педагогика, 1982. Т.1. - 487 е., Т.2. - 504 е.; 1983. - Т.З. - 367 е.; 1984. - Т.4. - 432 е., Т.5. - 369 е., Т.6. - 397 с.

35. Ганелин Ш.И. Дидактический принцип сознательности. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1961.-223 с.

36. Гельфман Э.Г. Положительные и отрицательные числа в театре Буратино: Учеб. пособие по математике для 6-го класса. Томск: Изд-во Том. ун-та. 1994.-320 с.

37. Гельфман Э.Г.Десятичные дроби в Муми-Доме: Учебное пособие по математике для 5-го класса / Э.Г. Гельфман, Ю.Ю. Вольфенгаут. JI.H. Демидова, Н.Б. Лобаненко. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1994. - 271 с.

38. Гинзбург Г.А. Некоторые понятия общей алгебры (группы, кольца, поля) в школьном курсе математики: Дис. канд. пед. наук (по методике математики).-Л., 1968.

39. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение, 1985. - 191 с.

40. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика: Учеб. пособие для студентов физ,-мат. фак-тов пед. ин-тов. М.'.Учпедгиз, 1959. - 232 с.

41. Горский Д.П. Проблема общей методологии науки и диалектической логики,- М.: Мысль, 1996. 232 с.

42. Горский Д.П. Обобщение и познание.- М.: Мысль, 1985. 208 с.

43. Грабарь М.И. Применение математической статистики в педагогических исследованиях / М.И. Грабарь, К.А. Краснянская. М.: Педагогика, 1977. - 136 с.

44. Грин Р. Введение в мир числа / Р. Грин, В. Л аксон; Пер. с англ. М.: Педагогика, 1982.- 193 с.

45. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. М.: Педагогика, 1987. - 160 с.

46. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

47. Давыдов В.В. Абсолютизация рассудочно-эмпирического мышления в педагогической психологии и дидактике // Оптимизация процесса обучения в высшей и средней школе / Под ред. В.В. Давыдова, Д.И. Фельдштейна. -Душанбе, 1970,- С. 15 -21 .

48. Давыдов В В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика, 1972. - 423 с.

49. Далингер В.А. Методические рекомендации к проведению обобщающего повторения // Математика в школе. 1983. - № 1.

50. Далингер В.А. Методика реализации внутрипредметных связей при обучении математике: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1991. - 80 с.

51. Далингер В.А. Внутрипредметные связи как методическая основа совершенствования процесса обучения математики в школе: Дис. д-ра пед. наук. -Омск, 1992.

52. Данилов М.А. Процесс обучения в советской школе. М.: Учпезгиз, 1960. -299 с.

53. Данилов М.А. Дидактика / М.А. Данилов, Б.П. Есипов. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1957.-518 с.

54. Данилов М.А. Урок как основная форма организации учебной работы в школе / М.А. Данилов, Б.П. Есипов. М.: Изд-во , 1954. - с.

55. Деменчук В.В. На пороге алгебры. М.: Высш. шк., 1987. - 144 е.- (Мир занимат. науки.).

56. Депман И.Я. История арифметики. М.: Гос. учебно - пед. изд-во м-ва просвещения РСФСР, 1959.-422 с.

57. Депман И.Я. К вопросу о методике повторения при преподавании математики // Математика в школе. 1964. - №1, - С. 36 - 42.

58. Депман И.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 56 кл. сред, шк./ И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин. М.: Просвещение, 1989. - 287 с.

59. Дополнительные главы по курсу математики: Учеб. пособие по факультативному курсу для учащихся 10 кл.: Сб. статей. / Сост. З.А. Скопец. 2-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1974. - 256 с.

60. Зорина Л.Я. Дидактические основы формирования системности знаний старшеклассников. М.: Наука, 1978. - 123 с.

61. Иванов М.М. Техника эффективного запоминания в бизнесе, учебе, деловом общении и повседневной жизни. 2-е изд., доп. - М.: АО "МЕНАТЕП -ИНФОРМ", 1996.-224 с.

62. Иванова Т.А. Теоретические основы гуманитаризации общего математического образования: Дис. д-ра пед. наук. Нижний Новгород, 1998.

63. Икрамов Дж. Математическая культура школьника: Методические аспекты проблемы развития мышления и языка школьников при обучении математике. -Ташкент: Укитувчи, 1981. -278 с.

64. Ильиных Ю.С. Функции повторения в учебном процессе: Дис. канд. пед. наук. Комсомольск - на -Амуре, 1969. - 242 с.

65. Иржавцева В.П. Систематизация и обобщение знаний учащихся в процессе изучения математики: Пособие для учителя / В.П. Иржавцева, Л.Я. Федчен-ко; Под ред. Коломенского. Киев, 1988. - 205с.

66. Ительсон Л.Б. Психологические основы обучения // Знание. 1972. - Вып.1.-С.57-61.

67. Кабанова-Меллер Е.Н. Психология формирования знаний и навыков у школьников. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - 186 с.

68. Коменский Я.А. Избр. пед. соч. в 2-х т.т. / Под ред. А.И. Пискунова . М.: Педагогика 1982. - Т. 1. - 656 с, Т.2. - 576 с.

69. Кагтлан Б.С. Методы обучения математике / Б.С. Каплан, Н.К. Рузин., А.А. Столяр. Минск: Народная асвета, 1981. - 191 с.

70. Карева В.А. Обобщающее повторение в 9-11 классах средней школы (на материале литературы и истории): Дис. канд. пед. наук. -М., 1964.

71. К вопросу о реформе преподавания математики в средней школе /Под ред. И.Я. Депмана. Минск: Народная асвета, 1968. - 159 с.

72. Килина Н.Г. Требования к современному уроку математики // Математика в школе. 1980. - №6. - С.9 - 11.

73. Кириллова Г.Д. Теория и практика урока в условиях развивающего обучения: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1980. -159 с.

74. Кондаков Н.М. Логический словарь. -М.: Наука, 1971. -717 с.

75. Концепция математического образования (в 12-летней школе). Проект // Математика в школе. 2000. - №2. - С. 13 - 18.

76. Концепция структуры и содержания общего среднего образования (в 12-летней школе). Проект // Математика в школе. 2000. - №2. - С.6 - 13.

77. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. - 492 с.

78. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. -М.: Просвещение, 1968. -431 с.

79. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание / С предисловием П.С. Александрова: Учеб. пособие для вузов. 2-е изд. доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. — 176 с.

80. Лазарев Ф.В. Обобщение / Ф.В. Лазарев, М.М. Новоселов // Б.С.Э.- 3-е изд. -Т. 18.-С.201-203.

81. Ларин С.В. Что такое натуральные числа?: Кн. для учащихся М.: Просвещение: АО "Учеб. лит.", 1996. - 78 с.

82. Левитов Н.Д. Детская и педагогическая психология: Учеб. пособие для пед. инст. М.: Учпедгиз, 1958. - 87 с.

83. Леонтьев A.M. Мышление // Философская энциклопедия. Т.З /Гл.ред. Ф.В. Константинов. М.: Советская энциклопедия, 1964,- С.514 - 519.

84. Левитас Г.Г. Лекции по методике преподавания математики (общая методика). -М.: МГУ, 1996.

85. Литцман В. Великаны и карлики в мире чисел / Пер. с нем.; Под ред. И.М. Яглома. М.: Гос. изд-во физ. - мат. литературы, 1959. - 67 с.

86. Лихнерович А. Проникновение духа современной алгебры в элементарную алгебру и геометрию // Преподавание математики. М.:Учпедгиз, 1960. -С.54-64.

87. Любецкий В.А. Основные понятия школьной математики: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. №2104 "Математика". М.: Просвещение, 1987.-400 с.

88. Ляпин Е.С. Алгебра и теория чисел / Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев. Ч. I. Числа: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1974.-382 с.

89. Лященко Е.И. К вопросу о системно-структурном подходе в определении содержания предмета математики 4-5 классов // Сб. науч. тр. / Под ред. Е.И. Лященко. Минск, 1975. - 136 с.

90. Ляудис В.Я. Память в процессе развития. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. -255 с.

91. Макарычев Ю.Н. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Ю.Н. Макарычев., Н.Г. Миндюк; Под ред. Г.В. Дорофеева. 2-е изд. - М.: Просвещение, 1998. - 207

92. Максименко В.П. Пути повышения эффективности обобщающего повторения в современной школе: Автореф. дис. канд. пед. наук. -Киев, 1979.

93. Манин Ю.И. Математика и физика. М.: Знание, 1979. - 63 с.

94. Map куше вич А. И. К вопросу о реформе школьного курса математики // Математика в школе. 1964. - №6. - С. 4-8.

95. Маркушевич А.И. Математическая наука и школьное образование // Советская педагогика. 1965. - №5. - С. 43-44.

96. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для об-щеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимо-вич и др.; Под. ред. Г.В. Дорофеева. М.: Дрофа, 1999. - 304 с.

97. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс: Учеб. для об-щеобразоват. учеб. заведений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимо-вич и др.; Под. ред. Г.В. Дорофеева. М.: Дрофа, 2000. - 352 с.

98. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/ Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Буни-мович и др.; Под. Ред. Г.В. Дорофеева. 3-е изд. -М.: Дрофа, 1999. - 288 с.

99. Математика: 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений/ Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, И.Ф. Шарыгин и др.; Под. Ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Дрофа, 1995. - 416 с.

100. Махмутов М.И. Современный урок. 2-е изд. - М.: Педагогика, 1985.- 184 с.

101. Менчинская Н.А. Психология обучения арифметике. М.: Учпедгиз, 1955.-320 с.

102. Михелович Ш.Х. Теоретико-числовые вопросы в школьном курсе математики: Дис. канд. пед. наук. Т.1. - М., 1968.

103. Молодший В.Н. Очерки по вопросам обоснования математики. М.: Учпедгиз, 1958.-228 с.

104. Муравин К.С. Алгебра 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. 2-е изд. испр. и доп. - М.: Дрофа, 1998.-240 с.

105. Муравин К.С. Алгебра 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. М.: Дрофа, 1997. - 208 с.

106. Муравин К.С. Алгебра 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. М.: Дрофа, 2000. - 240 с.

107. Оганесян В.А. Научные принципы отбора основного содержания обучения математике в средней школе: Дис. д-ра. пед.наук. -JI. 1985.

108. Оконь В. Процесс обучения / Пер. с польского E.J1. Мойтлис, B.C. Аран-ского; Под редакцией М.А. Данилова. М.: Учпедгиз, 1962. - 170 с.

109. Онищук В.А. Урок в современной школе: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1981. - 191с.

110. Осинская В.Н. Формирование умственной культуры учащихся в процессе обучения математике: Кн. для учителя. Киев: Радяньска шк., 1989. - 192 с.

111. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М.: Междунар. пед. академия, 1994. - 674 с.

112. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления // Преподавание математики. М.: Учпедгиз, 1960. - С. 10 - 30.

113. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся 7-9 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

114. Пойа Д. Как решать математическую задачу. М.: Учпедгиз, 1961. -207с.

115. Пойа Д., Математическое открытие. М.: Наука, 1970. - 448 с.

116. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. -463 с.

117. Помогайба В.И. Об усвоении учащимися системы понятий в учебном предмете // Сов.педагогика. 1948. - №4. - С.ЗЗ - 48.

118. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / Сост.: Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. М.: Дрофа, 2000. -320 с.

119. Радемахер Г. Числа и фигуры. (Опыты математического мышления) / Г. Радемахер, О. Теплиц. Л.: ОНТИ, 1936. - 236 с.

120. Рубинштейн C.JI. О мышлении и путях его исследования. М.: Изд-во АН СССР, 1958 - 147 с.

121. Рубинштейн C.J1. Основы общей психологии. 2-е изд. - М.: Учпедгиз, 1946.-704 с.

122. Рубинштейн СЛ. Проблемы общей психологии/ Отв. ред. Шорохов С.А. 2-е изд. - М., Педагогика, 1976. - 416 с.

123. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль, 1968. -302 с.

124. Рыжик В.И. 25000 уроков математики: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1993.-240 с.

125. Рынков А.Е. Обобщение и систематизация знаний учащихся по алгебре в системе подготовки к обучению в средних профессиональных учебных заведениях: Дис. канд. пед. наук. -Киев, 1995.

126. Самарин Ю.А. Очерки психологии ума. Особенности умственной деятельности школьников. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1962. - 504 с.

127. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. Саранск: Красный Октябрь, 1999.-208 с.

128. Сачков Ю.В. Процессы обобщения в синтезе знаний // Синтез современного научного знания. М., 1973.

129. Сборник задач по алгебре: Учеб. пособие / Под ред. А.И. Кострикина. -М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1987. 352 с.

130. Сборник задач по математике (для факультативных занятий в 9-10 классах)/ Под ред. проф. З.А. Скопеца. М.:Просвещение, 1971. - 208 с.

131. Семенко Е.А. Обучение теме «Движения плоскости» с использованием понятия группы в классах с углубленным изучением математики: Дис. канд. пед. наук. -С.-Пб., 1994.

132. Семушин А.Д. Активизация мыслительной деятельности при обучении математике: Обучение обобщению и конкретизации: Пособие для учителей/

133. А.Д. Семушин, О.С. Кретинин, Е.Е. Семенов. М.: Просвещение, 1978. - 64 с.

134. Сентябова Т.А. Методика реализации уровневой дифференциации в процессе обобщающих повторений курса алгебры и начал анализа: Дис. канд. пед. наук. -Омск, 1997.

135. Славская К.А. Процесс мышления и использование знаний // Процесс мышления и закономерности анализа, синтеза, обобщения. М.: Просвещение, 1970. - С. 5-48.

136. Смирнова И.М. Профильная модель обучения математике // Математика в школе. 1997. - № 1. С. 32 - 36.

137. Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей: Учеб. пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов/ Сост.: Н.С.Антонов, В.А. Гусев. М.: Просвещение, 1985. - 304 с.

138. Соловьев И.М. Листы повторения (Об одном эффективном приеме повторения и закрепления знаний по математике). Владивосток, 1960. - 59. с.

139. Солсо Р.Л. Когнитивная психология. Пер. с англ. - М.: Тривола, 1996. -600с.

140. Сорокин Б.В. О заключительном повторении в 10 классе алгебры и началам анализа // Математика в школе. 1980, - №2, - С.27 - 30.

141. Стальков Г.А. Организация и методика повторения // Математика в школе. -№ 1,- 1946.

142. Столяр А.А. Педагогика математики. Курс лекций. Минск: Вышэйшая школа, 1969.-368 с.

143. Стрезикозин В.П. Организация процесса обучения в школе. -М.: Просвещение, 1986.-245 с.

144. Суворова М.В. Повторительно обобщающие уроки в курсе математики //Математика в школе. - 1995.-№ 4. С. 12 -13.

145. Теплов Б.М. Проблемы индивидуальных различий // Избр. тр. В 2-х т. -Т.2. -М.: Педагогика, 1985. 359 с.

146. Тестов В.А. Стратегия обучения математике. М.: Технологическая Школа Бизнеса, 1999. - 304 с.

147. Тихомиров O.K. Структура мыслительной деятельности человека (опыт теоретических и экспериментальных исследований). М.: Из-во МГУ, 1969. -304 с.

148. Тряпицына А.П. Организация творческой учебно-познавательной деятельности школьников. -JI.: Изд-во ЛГПИ им.Герцена, 1989.

149. Усова А.В. Психолого-дидактические основы формирования у учащихся научных понятий: Учеб. пособие. Челябинск, 1979. - 123 с.

150. Философская энциклопедия, Т.4 / Гл. ред. Ф.В. Константинов. М.: Сов. Энцикл., 1967.-592 с.

151. Философский словарь / Под ред. М.М. Розенталя. М.: Полит, литература, 1963.- 544 с.

152. Фирсов В.В. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике / В.В. Фирсов, О.А. Боковнев, С.И. Шварцбурд М.: Просвещение, 1977.-46 с.

153. Формирование приемов математического мышления/ Под ред. Н.Ф. Талызиной. М.: ТОО «Вентана-Граф», 1995. - 231 с.

154. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

155. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: Пособие для учителей. В 2-х частях; сокр. / Пер. с нем.; Под ред. Н.Я. Виленкина. М.: Просвещение. - 4.1. 1982. - 208 е.; - 4.2. 1983. - 192 с.

156. Хитнякова Л.С. Обобщающее повторение в курсе физики средней школы (на примере классов с углубленным изучением физики). Дис. канд. пед. наук.-М., 1972.-202. с.

157. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования. -Томск: Изд-во «Барс», 1997. 391 с.

158. Худяева Г.В. Способы повторения // Математика в школе. 1995. - №1. -С. 25 -26.

159. Шардаков М.Н. Мышление школьника. М.: Учпедгиз, 1963. -255 с.167. «Школа 2000.". Математика для каждого: концепция, программы, опыт работы // Под науч. ред. Г.В. Дорофеева. Вып. 3. М.: УМЦ "Школа 2000.", 2000.-272 с.

160. Эльконин Д Б. Психологические проблемы в связи с обучением по новым программам // Народное образование. 1973. - №7. - С. 120 - 125 .

161. Эрдниев П.М. Сравнение и обобщение при обучении математике. М.: Учпедгиз, 1960. - 151 с.

162. Combes A. Exercises et problemes de mathematiques (aves Solutions) a Г usage de classes de Seconde. Paris, 1961.

163. Lusienne Felix. The Development of the Teaching of Mathematics in France at the first and second Degree Levels. Vol. 58, Number 7, November, 1965.

164. Papy G. Mathematique moderne. / M. Didier, editeur. Bruxelles Paris, 1963. - Vol 1.

165. Synopses for Modern Secondary School Mathematics. Organization for European Economic Co-operation Office for Scientific and Technical. Personnel 1961.§ 1. Задачи, связанные с позиционной записью числа

166. Достоинства такого представлешм числа дадут возможность ученику решать разнообразные задачи.

167. Как показывает опыт, изложение данной темы можно провести так, что школьники буд\т оперировать с записью числа в системах счисления с основанием 10,8,12,5,2,3 (см.6.). Рассмотрим несколько задач из учебника [6].1. Задача 1.

168. В каждой строке таблицы одно и тоже число в разных системах счета. Заполнитьтаблицу

169. Заполните пропуски в таблице2012} 2 -З3 + 0 -З2 + 1 -3 + 2-3° 2-27 + 0-9+ 1- 3 + 2 = 59•23 + 1 • 22 + 0 • 21 +1-2°3145 7 • 1000 5 10 + 7=705730801 2316 1. Задача 3.

170. В некотором царстве для записи чисел в позиционной системе продумали только 5 цифр, причем необычных: О, I, Л, Л, □.

171. Определить, какое число записывается каждой цифрой и определите основание системы счисления.

172. Запишите чиста Л □, IЛ О, Л Л О О, □ Л О О, □ □ IЛ арабскими цифрами в этой системе ^ счисления.

173. Расшифруйте записи, то есть запишите эти числа в десятичной позиционной системе счисления арабскими цифрами.

174. Дчя сравнения приведем упражнения из учебников 4., [5]1. Задача 1.

175. Используя все цифры, причем каждую только один раз, запиши:1. наибольшее десятизначное число;2. наименьшее десятазшчное число.1. Задача 2.

176. Одно трехзначное число записано цифраш: 1,3,5, другое 8,7 и 2.

177. Расположи в каждом числе цифры таким образом, чтобы произведение этих чисел было: ~"J1. наибольшим; 2) наименьшим. Jj1. Задача 3. q

178. В числе 3728106 зачеркни цифры так, чтобы оставшиеся цифры ( в этой же чу последовательности) образовывали:1. возможно большее четырехзначное число, !!2. возможно меньшее четырехзначное чисто. «гп1. Задача 4.

179. Запишите все двузначные числа, для записи которых употребляются только цифры 2 и 3. Найдите сумму этих чисел.

180. Сначала применим этот принцип для доказательства признака делимости на 9 ( аналогично на 3).

181. Итак, рассмотрим произвольное число, записанное в десятичной системе счисленияan.a2ata0 = а0-10 + а2-102+а3-103+.+ал-10" =а0 + а, (9 +1) + а2 (99 +1) + а3(999 + 1)+.+а„ (99U) +1) =л раз(a0+a, + a2+ai+.+an) + (9ai+99-a2 + 999 ai+.+99;^9an)п раз

182. Точно так же решается вопрос делимости на 11.

183. Рассмотрим, к примеру, пятизначное числоа4аза2а,а0 = а0 + aj 10 + а2Ю0 + а31000 + а410000 = = а0 + а, (11 -1) + а2 (99 +1) + а3 (1001 -1) + а4 (9999 +1) =(а0 а, +а2 -а3 +а4) + 11а1 +99а2 +1001а3 +9999а4

184. Каждое слагаемое вне скобки делится на 11. Следовательно, число а4аза2а1а0 делится на 11 одновременно с выражением а0 -Э| +а2 -а3 +а4.

185. Сформулируем общее правило: Число ап.а3а2а|а0 делится нацело на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр с чередующимися знака.чи а0 -а, + я2 -аз+.+(-1)лал делится нацело на 11.

186. Например, число 201503792105 кратно 11. так как сумма 5-0+1-2+9-7+3-0+5-1+0-2=11 (т. е. делится на И).

187. Напротив, число 23571 на 11 не делится нацело, поскольку сумма 1-7+5-3+2= -2 и на 11 не делится.1. Пример 1

188. Делится ли число 1Ц.1 на 81?81ей1. Решение.

189. Следовательно, исходное число делится нацело на 81.

190. Замечание. Обратим еще раз внимание на прием, использованный при записи исследуемого числа.1Ш = 4.(10')8 + Л7(109)7 + 4-(10')6+.+ Д(109)' + 48 Ы

191. Роль "цифр" Ао, Ai,., As играет число ц .л . Проведите9еосравнение с тождеством: апал,.а,а0 = ап • 10" + ■ 10"'1 +.+а, ■ 10 + а0

192. Аналогия полная! И в первом случае основанием системы будет 10».1. Пример 2

193. Если между цифрами двузначного числа X вписать это же число, то полученное четырехзначное число будет в 66 раз больше первоначального двузначного. Найти X.1. Решение.

194. Представим искомое число в виде \=ab. где запись ab означает х=10а+Ь. По условию 66-ab =aabb или66(10a+b)=103a+102-a+10b+b 660-a+66b=l 100-a+l l b 440a = 55b 8a=b

195. Так как а и b это цифры (0<а<9и0<Ь<9), то а может только принять значение 1, иначе b не будет цифрой (например, при а=2 значение b= 16, чего быть не может). Итак, а=1 и Ь=8. Искомое число х= 18.

196. Заметим, что достаточно важную роль здесь играет понятие цифры. Часто этот факт упускается из виду и решение останавливается на равенстве 8а=Ь.1. Пример 3

197. Вычислите: 19871987-198919891989-19891989-1987198719871. Решение.

198. Обратим внимание на структуру множителей в выражении. Число 19871987 можно представить как19870000+1987= 1987(10000+1 )= I987-10001. Аналогично поступим с другими множителями. Имеем:1987-10001 1989-100010001-1989-10001-1987-100010001=0.

199. Задачи для самостоятельного решения

200. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой и третья - с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

201. Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр дает в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр дает в частном 4, а в остатке 6?

202. Произведение двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, равно 2430. Найдите это число.

203. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном будет 2, в остатке 7. Найдите это число.

204. Можно ли в трехзначном числе, делящемся на 37, переставить цифры так, чтобы полученное число тоже делилось на 37?

205. Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 100, сумма цифр которого равна 100.

206. Четыре последовательных целых числа являются цифрами тысяч, сотен, десятков и единиц некоторого четырехзначного числа. На сколько увеличится это число, если его цифры написать в обратном порядке?

207. При сложении двух целых чисел ученик по ошибке поставил во втором слагаемом лишний нуль на конце и получил в сумме 6641 вместо 2411. Определить слагаемые.

208. Представим исходное число в виде A=abc. kxyz = abc. k • 1000 + xyz. По условиюabc. к xyz = 7 • к или abc. к = xyz + 7 • к, A = abc. к • 1 ООО + xyz = (xyz + 7 - к) • 1000+ xyz = 7 - к ■ 1000+ xyz -1001 ■

209. Первое слагаемое делится на 7, второе также, так как 1001=7 1113. В силу последнего представления числа 1001, делимость на 11 и 13 доказывается аналогично.

210. Запишем данное число: abcabc = abc• 1000 + abc = abc 1001. M ы уже видели, что 1001=711-13.

211. Обозначим двузначное число ab = 10-a + b. Исходя из данных задачи, имеем:fl0-a + b = (a2 + b2) -2 + 6 10-а + b = а • b -4 + 6

212. Первый из указанных вариантов не удовлетворяет условию а+Ь>7. Искомое число 29.

213. Если abc делится на 37, то Ьса также будет делитьсяна 37.

214. Итак, abc =100 а+10 Ь+с=37 к, тогда с=-100 а-10 Ь+37 к. Рассмотрим bca =100 Ь+10 с+а=-999 а+370 к. так как 999=37 27,1. Ьса делится на 37.

215. По условию задачи: а+Ь = 2411 а +106 = 6641

216. Решив систему, найдем а=1941, Ь=470.

217. Царевичу выгодно назвать числа 1. 100. 1002= 10000, тогда Кащей сообщит ему число СВ\ , записанное в 100-ичной системе счисления, где двузначные числа Кашея играют роль цифр.§ 2. Разложение на множители (основная теорема арифметики)

218. Заранее следует обсудить следующие вопросы:

219. Делится ли 29'3 на 2? А на 5? На 6? На 16?

220. Имеем ли мы право утверждать, что, если натуральное число делится на 4 и на 3 одновременно, то оно делится и на 12? (Да).

221. Число 2А делится на 3. Следует ли отсюда, что А делится на 3 (Да).

222. Число А не делится на 3. Будет ли делиться на 3 число 5А.1. Нет).

223. В качестве теоретического задания можно предложить для доказательства признаки делимости на 4 и на 8.1. Задача 1.

224. Число делится нацело на 4 тогда и только тогда , когда двузначное число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 4.1. Доказательство:

225. Запишем исследуемое число в виде:anan-i---aiao =апап,.а2 -ЮО + а^о;

226. Замечание. Обратите внимание, что. если в формулировке и доказательстве признака делимости на 4 заменить число 4 на число 25, то смысл рассуждений будет полностью сохранен.

227. Итак, число делится нацело на 25 тогда и только тогда, когда двузначное число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 25. (возможны варианты последних цифр: 00, 25, 50, 75).1. Задача 2.

228. Число делится нацело на 8 тогда и только тогда, когда трехзначное число, образованное его тремя последними цифрами, делится нацело на 8.

229. Доказательство проводится аналогично.

230. Рассмотрим некоторые примеры.1. Пример 1

231. Докажите, что ( р2 1 ) делится нацело на 24, если р - простое число, большее 3,1. Решение.

232. Запишем исходное выражение р2-1 =(р-1)(р+1). Нас интересует делимость на 24=8-3. Так как 8 и 3 взаимно простые числа, то мы будем отдельно рассматривать делимость на 8 и на 3.1. Делимость на 3.

233. Числа р-1 и р+1 два подряд идущих четных числа (р>3 и простое, т.е. р - нечетное). Тогда одно из них делится по крайней мере на 2, а второе - по крайней мере на 4. Тогда произведение (р-1) (р+1) делится на 8.

234. Учитывая пункты 1 и 2, делаем заключение, что р2 1 делится нацело на 24 при указанных условиях на р.1. Пример 2.

235. Найлпе все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению: \2-у2=&).1. Решение.

236. Разложим на множители левую и правую часть равенства: (х-у )•( х+у)=1 -69=3-23;

237. Заметим, что х и у разной четности, в противном случае произведение (х-у) ( х+у) делилось бы на 2. И, поскольку х,у натуральные числа, имеем х+у>х - у. Тогда есть две возможности:1. Гх + у = 23 fx + у = 691. J J или J Jх у = 3 х - у = 1

238. Окончательно, находим две пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению: ( 13,10) или ( 35,34 ).1. Пример 3.

239. Доказать, что число 333555+555333 делится нацело на 37.1. Решение.1 1 1-3)555 + (1 11-5)333;

240. Видим, что наше выражение делится на 111, а значит и на 37, так как 111=37-3.1. Пример 4.

241. Доказать, что если х и у целые числа такие, что число Зх+8у делится нацело на 17, то число 35х+65у так же делится нацело на 17.1. Решение.35х + 65у = 6(3х + 8у) + 17х + 17у: очевидно, что полученное выражение делится нацело на 17.1. Пример 5.

242. А и В различные простые числа. Сколько делителей у числа1. А" В".1. Решение.

243. Задачи для самостоятельного решения

244. Докажите, что уравнение х2 у2 = 70 не имеет решений в целых числах.

245. Найдите все простые числа р и q, для которых p2-2q2= 1.

246. Сколькими нулями оканчивается число, полученное при перемножении всех чисел от 1 до 100?

247. Доказать, что при любом целом п число п5-п делится на 30.

248. Доказать, что при любом целом п число n5-5n3+4n делится нацело на 120.

249. Доказать, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом целого числа.

250. Доказать, что если neN и п>1,то п4+4 составное число.

251. Найти целые числа х и у, удовлетворяющие уравнению х + у = ху.

252. Докажите, что если уравнение n-ой степени с целыми коэффициентами имеет целый корень, отличный от 0, то он является делителем свободного члена.

253. Взяли два различных натуральных числа. Эти числа сложили, перемножили, вычли из большего меньшее и разделилибольшее на меньшее. Оказалось, что сумма всех 4-х результатов равна 441. Найдите эти числа., i\4 , 4 1

254. Доказать, что дробь !:, где neN, можно2представить в виде произведения двух натуральных чисел, разность которых равна двум.

255. Доказать, что ни при каком натуральном п суммап3 + 6п2 + 15п + 15 не делится на п+2.

256. Найти все натуральные п, при которых число п4+п2+1 является простым.

257. Найти все пары чисел, х,уе Z, удовлетворяющих уравнению: х2 = у2 + 2у + 13.15. р простое число. Сколько существует натуральных чисел:а) меньших р и взаимно простых с ним;б) меньших р2 и взаимно простых с ним?

258. Каково наименьшее натуральное N, такое, что N! делится на 990?

259. Может ли N! оканчиваться ровно на 5 нулей?

260. Докажите, что число, имеющее нечетное количество делителей, точный квадрат.19. 56а=65Ь. Докажите, что а+b составное число.

261. Решите в натуральных числах уравнение:а) х2 -у2 =31;б) х2 у2 =303;в) х3 +х2 +х-3 = 0.

262. Докажите, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1.

263. Может ли быть квадратом целого числа число, состоящее из: а) нулей и единиц, в котором единиц 300 штук;б) нулей и двоек?

264. Докажите, что если 6х+11у делится на 31, то х+7у также делится на 31 ( х,у целые числа ).

265. Докажите, что m'n-nhn делится на 30 при любых целыхшип.

266. Выразим х при у*1: х У т у-1 = 1 или у-1=-1. Имеем ву-1ответе (2,2) или (0,0).

267. Пусть с целый корень, тогда а0 = -с(апсп~' + . + а2с + а,)10. а + ь + аь+а K + ^ = 44l- Следовательно, ii. = к илиа = кЬ,1. Ь Ьгдек е Z1 Kieat к( b+1 )2=441 =32.72:а) к=9, в+1 =7, тогда а=54 и Ь=6;б) к=49, Ь+1=3. Следовательно, а=98, Ь=2.

268. Слева стоит произведение целых чисел. Рассмотрим все варианты представления 12 в виде двух целых множителей. Ответ: (4,1), (-4,1), (4,-3), (-4,-3).15. а) р-1;б) р2-р;16. 11!, так как 990=2-5-ЗЧ 1.17. Нет.

269. Рассмотрим 56(a+b)=56a+56b=65b+56b=121b, тогда левая часть кратна 121, 56 на 121 не делится, следовательно а+b делится на 121 = 112, т.е. является составным числом.20. а) ( 16,15);б) ( 52,49 ),( 152,151 );в) 1.

270. Определение: разделить целое число а на натуральное число b с остатком значит представить число а в видеa=bq+r, где 0 < г < Ь.

271. Здесь q неполное частное, г - остаток от деления.

272. Очевидно, что г=0 тогда и только тогда, когда а: b (а делится нацело на Ь). В этом случае q равно частному отделения а на Ь.

273. Теорема (о делении с остатком)

274. Для произвольных целых чисел а и b (b>0) существуют и единственные целые числа гид такие, что а= Ьд+г, причем 0<r<b.

275. В школьном курсе математики данная теорема изучается без доказательства, тем более важно обратить внимание учащихся на оценку остатка0<r<b. Эта оценка играет большую роль при решении задач и доказательстве некоторых теоретических фактов.

276. Необходимо поэтому попытаться найти способ нахождения остатка непосредственно, минуя вычисление неполного частного.2°. Равноостаточные числа. Критерии равноостаточности ( сравнимости по модулю m )

277. Определение 1: Назовем числа а и b равноостаточными при делении на ш, если остатки от деления а и b на га равны.

278. Определение Г: Назовем числа а и b сравнимыми по модулю т, если они имеют одинаковый остаток при делении на т.

279. Здесь модулем называется любое натуральное число, большее 1).

280. Будем использовать для термина "а и b сравнимы по модулю ш " символ a=b(mod m).

281. Например, пусть ш=7, тогда 8=22(mod 7), т.к. 8=7-1 + 1 и 22=7-3+1. Или lls25(mod 7), т.к. 11=7-1+4 и 25=7-3+4.

282. Далее приводятся два критерия, которые дают возможность проверки на равноостаточность (или сравнимость).1. Критерий 1a=b(mod m) тогда и только тогда, когда (а-b) делится нацелона т.1. Доказательство:1. Необходимость.

283. Так как a=b(mod m), то a=mqi+ro и b=mq2+ro. Рассмотримa-b=m(qi- q2). Очевидно, что (а—Ь): т.1. Достаточность.

284. Замечание. Критерий 2 можно было бы доказать непосредственно по определению. Но так как уже выведен критерий 1, мы им и воспользовались.3°. Свойства сравнений

285. Тогда по определению а+с = b+d (mod m) и сравнения можно почленно складывать.

286. Следствие 1. Можно переносить слагаемое из одной части сравнения в другую с противоположным знаком.1. Доказательство:

287. Сложим сравнение a=b(mod m) (*) почленно с очевидным сравнением -b=-b(mod ш). Получаем a-b=0(mod m) (**).

288. Еще раз посмотрим на сравнения (*) и (**). Видим, что b было перенесено в левую часть с противоположным знаком.

289. Следствие 2. К обеим частям сравнения можно прибавить одно и то же целое число.

290. Свойство 2. Сравнения можно почленно перемножать, т.е., имея a=b(mod m) и c=d(mod ш), получим ac=bd(mod m).

291. Доказательство проводится аналогично.

292. Рекомендуется предложить его в качестве теоретического задания школьникам.

293. Следствие 1. Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же натуральную степень. Т.е. имея а = b(mod ш), получим а" = b" (mod m).

294. Для доказательства достаточно перемножить п раз почленно сравнение a=b(mod m) с самим собой.

295. Следствие 2. Обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число.

296. Далее разберем некоторые примеры.4°. Несколько примеров Пример 1

297. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.1. Решение.

298. Запишем сумму квадратов пяти последовательных натуральных чиселп-2)2 +(п-1)2 + п2 +(п + 1)2 + (п + 2)'! = 5п2 +10 = 5(п2 +2)

299. Окончательно, мы перебрали все натуральные числа и убедились, что исходное выражение полным квадратом не является.

300. Заметьте, что в переборе участвовали не отдельные числа, а целые классы сравнимых между собой чисел! Таких классов конечное количество в отличие от множества натуральных чисел. Это очень важная идея, подчеркивающая достоинства данного метода.1. Пример 2

301. Какой цифрой оканчивается сумма 5435+2821?1. Решение

302. Тогда 5435+282l=4+8s2 (mod 10), т.е. исходное выражение оканчивается цифрой 2.

303. Найти все простые числа п такие, что п:+8 простое число.1. Решение.

304. Обратим сразу внимание на то, что п нечетное простое число (п*2, иначе п2+8 - составное). Проследим ситуацию при п=3, 5, 7, 11.

305. Пусть п=3, тогда п2+8=17 простое число;п=5, тогда n2+8=33=311;п=7, тогда п2+8=57=319;п=11, тогда п2+8= 129=3-43;

306. Когда n=3k+2, то n2+8=9k2+12k+12=3(3k2+4k+4) кратно 3.

307. Гипотеза подтвердилась. Единственный случай, удовлетворяющий условиям задачи, п=3.

308. Умножим обе части каждого сравнения соответственно на ao,ai, ., ап, получаем:ansao (mod 9); 10 ai=ai (mod 9); 10- a:=aj (mod 9);10n an=an(mod 9).

309. Теперь все эти сравнения сложим почленно:а0 +10а, + 102а2 + . +Юпап =а0 +а, +. + an(mod9);anan-i aiao = ао +ai +- + an(mod 9)

310. Мы вывели следующий факт: "Произвольное число всегда имеет такой же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр".

311. Как видим, признак делимости на 9 является частным случаем этого факта.

312. Сравните технику доказательства одного и того же признака делимости на 9 здесь и в § 1.1. Далее рассмотрим1. Пример 4

313. Доказать, что натуральное число делится на 9, если сумма цифр числа не меняется при умножении на 5.1. Решение.

314. Исходное число A = an.ala0 =а0+a1+.+an(mod 9), 5А = а0 +a,+.+an(mod 9),

315. Так как сумма цифр числа 5А не поменялась по отношению к сумме цифр числа А. Но ao+ai+.+an=A(mod 9). Тогда 5А = А (mod 9) или 4А s 0 (mod 9).

316. Эта запись означает, что 4А делится нацело на 9. 4 не имеет с 9 общих простых сомножителей, значит А делится без остатка на 9.

317. Принцип, которым мы воспользовались при формировании признака делимости на 9, настолько удобен, что возникает законное любопытство а нельзя ли таким же образом получить признаки делимости и на другие числа?

318. Рассмотрим в качестве эксперимента делимость на 7:

319. А = апап,.а,а0 =ап • 10п+.+а2 -102 + а, -10 + а0 -1

320. Как и прежде, проследим за степенями десятки по модулю 7.1 = 1 (mod 7);10=3(mod 7);10J=9=2(mod 7);10'збз-1 (mod 7);104s4s-3(mod 7); 105=-2(mod 7); 106= 1 (mod 7);

321. С этого момента все остатки повторяются (убедитесь!). Умножим обе части каждого сравнения на ао, ai. . , ап соответственно. Получаем:ao=ao(mod 7); 10ai=3ai(mod 7); 102 аг=2 a2(mod 7); 103аз=- aj(mod 7); 104a4=-3a4(mod 7); 105a5=-2a5(mod 7);и так далее

322. Сложим полученные сравнения почленно А=а0+\Оа ,+Ю2а 2+103a3+104fl4+105a5+.s аа+3а,+ 2a,-(a3+3a4+2a5)+.(mod D Например,23571630н1*0+3*3+2*6-(1»1+3*7+2*5)+l*3+3*2=-2=5(mod 7). Значит, данное число при делении на 7 имеет остаток 5.

323. A = an.aiaiaya2aa0 = а2а,а0-1 + а5а4а3-1000+а8а7а6 ■ 10002+.

324. Опять нас интересуют степени основания системы (теперь уже 1000, а не 10) в связи с их остатками при делении на 7 1=1 (mod 7); 1000=6=-1 (mod 7); 1000Ч- l)2=l(mod 7);1000n=(-l)n(mod 7);

325. Теперь обе части каждого сравнения также умножаются на соответствующие "цифры" а2а,а0 , а5а4а3, а8а7а6 и т. д. соответственно. Имеема2а,а0 (mod 7);looo-а5а4аз ^-aja^j (mod 7); looo--a8a7a6 saxa7a6 (mod 7);

326. Складываем сравнения почленно, А = а ,а ,а „+Ю00а 5а 4а 3+Ю002а 8а 7а 6+. ■ а 23,30-8 5а 4а 3 + а 8а 7а 6 -. (mod7)

327. Например, 23571630=630-571+23=5(mod7)

328. В заключение заметим, что аналогичные признаки можно вывести для 11 и 13, т.к. 1001=7-11-13, т.е. 1000=-l(mod 11) и 1000= -l(mod 13).

329. Задачи для самостоятельного решения

330. Докажите, что значение выражения 967-225-485 делится нацело на 10.

331. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

332. Какой цифрой оканчивается число 19 821982.

333. Доказать, что число 1015+10|7-74 делится нацело на 9.

334. Доказать, что ни при каком целом п число п2+5п+16 не делится на 169.

335. Доказать, что если сумма квадратов двух целых чисел делится на 3, то и каждое из этих чисел делится на 3.

336. Доказать, что ни одно из чисел вида п3-3, где neN, не делится на 7.

337. Доказать, что если р простое число и р>5, то остаток от деления числа р2 на 12 равен 1.

338. Трехзначное число X, кратное 5, можно представить в виде суммы куба и квадрата одного и того же натурального числа. Найдите число X.

339. Пусть m, п € N и пусть число ш-1 делится на Зп.Доказать, что число т3-1 делится на Зп+|.

340. Доказать, что число 7п2+1, не делится на 3 ни при каком натуральном п.

341. Доказать, что если m, n, к натуральные числа и число m+n+k делится на 6, то число m3+n3+k3 также нацело делится на 6.

342. Доказать, что если целые числа m и п не делятся на 5, то число m4-n4 делится на 5.

343. Найдите число, при делении на которое числа 1108, 1453, 1844 и 2281 дают одинаковый остаток.

344. Найдите все р, для которых р, р+10 и р+20 являются простыми.

345. Найдите все простые р, для которых р+2, р+6, р+8, р+12, р+14 являются простыми.

346. Выведите признак делимости на 27 и 37.

347. Докажите, что если а2+Ь2 делится на 7, то а и b делятсяна 7.

348. Докажите, что для любого натурального N, число N5 оканчивается на ту же цифру, что и N.

349. Докажите, что если а3+Ь3+с3 делится на 9, то, по крайней мере, одно из чисел a, b или с делится на 3.1. Указания к решению задач

350. Можно рассмотреть слагаемые по модулю 9. Используйте доказанный выше признак делимости на 9.

351. Если а и b не делятся нацело на 3, то a2=l(mod 3) и b2sl(mod 3). Если а кратно 3 и b не кратно 3, то условия задачи также не выполнены, остается случай, когда а и b кратны 3.

352. Перебор классов по mod 7, п = -3, -2, -1, 0, 1,2, 3(mod 7).t8. p=12k+r, 0<r< 11. Так как p простое, для г возможны случаи г=1, 5, 7, 11. Тогда psl, 5, 7, 11 (mod 12). Убедимся, что p-=l(mod 12) во всех четырех ситуациях.

353. Возможен перебор классов по mod 6 с учетом условияm+n+k=0(mod 6).13. m, n=± 1, ± 2(mod 5);а) m=± l,n=tl(mod 5);б) m=± 1, n=± 2(mod 5);в) m=±2, n=t2(mod 5).

354. Убедимся, что m4- nM)(mod 5) во всех случаях.14. 23. Все эти числа сравнимы (равноостаточны) по какому-то модулю. Критерий 1 сравнимости: ищем любой общий делитель всевозможных разностей этих чисел.15. 3.16. 5.

355. Так как 27-37=999, то 1000=l(mod 27) и 1000=l(mod 37). Признак удобно формулировать, представляя число в системе счисления с основанием 1000.

356. Если п не кратно 7, то п2=1; 2; 4(mod 7). Сумма квадратов двух таких чисел никогда не будет кратна 7.

357. Перебор классов по mod 10.

358. Рассмотрим, какие остатки при делении на 9 могут давать кубы целых чисел. Оказывается, только остатки 0, 8 и 1. Чтобы а3+Ь3+с3 делилось нацело на 9 (т.е. имело в остатке 0), возможны два случая:1. а3=0, bM.c^Umod 9);2. а3=0, ЬМ), cM)(mod 9).

359. В каждом из двух случаев присутствует хотя бы одно число xM)(mod 9). Нетрудно заметить, что xM)(mod 9) только в трех случаях: x=0(mod 9), x=3(mod 9), x=6(mod 9). Во всех этих случаях мы имеем число х кратное 3.§ 4. Наибольший общий делитель (НОД).

360. Наименьшее общее кратное (НОК).1°. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД

361. Если натуральные числа а и b рахтожены на простые сомножители, т.е.то НОД(а,Ь) = р?рг2г.р1к, где у, = mm{ц,Д}и НОК{а,Ъ) = р? pf.pSkk, где 8, = тах{а,,Д}

362. Но иногда такое разложение сделать довольно сложно. В этом случае можно воспользоваться так называемым алгоритмом Евклида, известным уже более 2 тысяч лет.

363. Утверждение 1. Пусть a,b е N и a=bq+r, тогда (a, b) = (b,r).1. Доказательство:

364. Докажем, что множество общих делителей чисел а и b и чисел b и q совпадают. Пусть л/, = {л|а:л и Мг = {.x|i:xwг:*}

365. Так как Mi и Мг конечные множества, должны совпасть и их наибольшие элементы, а это как раз и будут соответствующие наибольшие общие делители.

366. Покажем, что Mi включено в Мг (Mi с М2). Возьмем элемент xeMi, тогда a=xai, b=xbi. Нас интересует r=a-bq=xai-xbiq=x(ai-biq). Видим, что х является общим делителем b и г, т.е. х е Мг.