Обучение функциональной линии на уроках математики в 7 - 11 классах на основе метаметодического подхода

Иванова, Ольга Александровна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение функциональной линии на уроках математики в 7 - 11 классах на основе метаметодического подхода

Автореферат

Автор научной работы: Иванова, Ольга Александровна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Санкт-Петербург
Год защиты: 2013
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Обучение функциональной линии на уроках математики в 7 - 11 классах на основе метаметодического подхода"

На правах рукописи УДК 373.016:51

ИВАНОВА ОЛЬГА АЛЕКСАНДРОВНА

ОБУЧЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЛИНИИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 7-11 КЛАССАХ НА ОСНОВЕ МЕТАМЕТОДИЧЕСКОГО ПОДХОДА

13.00.02 — теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

г 8 НОЯ 2013

Санкт-Петербург 2013

005539747

Работа выполнена на кафедре методики обучения математике федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена»

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, профессор кафедры методики обучения математике и информатике федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Российский государственный педагогический университет имени А. И. Герцена»

Подходова Наталья Семеновна

Официальные оппоненты:

Заслуженный работник высшей школы РФ, доктор педагогических наук, профессор, заведующая кафедрой теории и методики непрерывного профессионального образования Санкт-Петербургского военного института внутренних войск МВД России Бережнова Людмила Николаевна

кандидат педагогических наук, доцент кафедры информатики, вычислительной техники и методики преподавания информатики федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова» Фефилова Елена Федоровна

Ведущая организация:

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский педагогический государственный университет» (Mill У)

Защита состоится 21 ноября 2013 года в 13 часов на заседании Совета Д 212.199.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук созданного на базе Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена по адресу: 191186, г. Санкт-Петербург, наб. реки. Мойки, д. 48, корп. 1, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке имени императрицы Марии Фёдоровны Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена, 191186, Санкт-Петербург, наб. реки Мойки, 48, корпус 5.

Автореферат разослан « // » октября 2013 года.

Ученый секретарь Диссертациоі совета, доктор педагогических профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

В современной науке процессы интеграции занимают ведущие позиции по отношению к процессам дифференциации: для исследования проблем одной научной области всё чаще привлекаются знания из других наук, появляются новые науки на стыке существующих. Происходящие изменения в науке влекут за собой ускорение темпов развития общества, которое в связи с лавинообразным ростом информации характеризуется как информационное. Человек, живущий в современном информационном обществе, должен ориентироваться в различных областях знаний, быть мобильным, способным применять свои знания в различных ситуациях, адаптироваться в условиях роста информации и быстро меняющегося мира.

В связи с описанными изменениями поменялись требования и к школьному образованию, процессы интеграции нашли отражение в Федеральных государственных образовательных стандартах (ФГОС) второго поколения. С интеграционными процессами, происходящими в науке, связан появившейся в новых стандартах блок метапредметных результатов, который включает:

- формирование у учащихся межпредметных понятий;

- овладение учащимися способами деятельности, применимыми не только в рамках образовательного процесса, но и при решении проблем в других предметных областях и в реальных жизненных ситуациях, так называемых универсальных учебных действий (УУД).

Решение проблемы организации процесса обучения математике, который будет направлен на достижение метапредметных образовательных результатов, предполагает изменения в содержании изучаемого материала. Любая наука представляет собой систему понятий, а значит, понятие является основным элементом содержания материала, изучаемого на уроках, в том числе и на математике. В ФГОС второго поколения рассматриваются предметные и межпредметные понятия, усвоение последних является базовым условием достижения метапредметных результатов. Проблемой формирования понятий у учащихся занимались следующие учёные: Выготский Л.С., Лященко Е.И., Менчинская H.A., Подходова Н.С. и др. В области методики обучения математике проблемой формирования межпредметных понятий занимались Василенко О. А., Подходова Н. С., которыми был разработан механизм отбора межпредметных понятий, выделены этапы формирования понятий, сводимых к межпредметным понятиям. Под сводимыми к межпредметным понятиями понимались предметные понятия, подчинённые межпредметным. Исследований, посвященных формированию именно межпредметных понятий в основной и старшей школе, нами не выделено.

Другим направлением достижения метапредметных образовательных результатов является овладение учащимися УУД, которые связаны с применением учащимися знаний, полученных в рамках изучения одного или нескольких учебных предметов, в жизненных ситуациях и при решении задач других учебных предметов. Исследования, проведённые на международном уровне (PISA 2000, 2003, 2006, 2009), показали низкий уровень сформированное™ умений российских школьников применять полученные на уроках математики знания во внеучебных ситуациях. Исследований, посвященных формированию у учащихся УУД при обучении математике в основной школе, нами не обнаружено. Возникает необходимость разработки содержания и организации процесса обучения математике, который будет способствовать развитию у учащихся умения применять полученные знания не

/Л /

.1 -J

только в рамках одного предмета, но и на других учебных предметах, и в жизненных ситуациях.

Но усвоение информации невозможно без мотивации и содержательной связи с опытом ученика как субъекта деятельности. Усвоению новой для учащихся информации будет способствовать раскрытие содержания субъектного опыта учащихся по изучаемой теме и установление связи субъектного опыта с вводимыми научными знаниями. Любую информацию человек переводит на свой язык, и другого пути формирования знаний нет (Якиманская И.С.). То есть, поступающую информацию человек пропускает через свой субъектный опыт, после чего она превращается в индивидуальное знание или отбрасывается. Субъектный опыт учащиеся обретают как в процессе жизнедеятельности, так и при обучении. Несмотря на то, что математика является абстрактной наукой, существует очень немного математических понятий, термин которых не знаком ребёнку, а значит, у ребёнка сформирован определённый субъектный опыт, связанный с этими понятиями. Поэтому, для прочного усвоения знаний необходимо создать на уроке условия, при которых новый учебный материал будет вводиться на основе установления связи с субъектным опытом учащегося. Предоставление учащемуся возможности использовать в процессе обучения имеющийся у него субъектный опыт является необходимым направлением индивидуализации образования, характеризующейся тем, что на первый план выходит личность человека с её индивидуальными особенностями, его сознание, мышление. Индивидуализация является ещё одной тенденцией развития современного информационного общества. Индивидуализация образования нашла отражение в ФГОС второго поколения, в которых появился блок личностных результатов, в частности, такое личностное УУД как смыслообразование.

Анализ научно-педагогической, методической литературы, результатов международных исследований позволил выделить ряд противоречий:

- между современными тенденциями развития науки и общества и исключительным приоритетом внутрипредметной направленности процесса обучения математике в 7-11 классах;

- между образовательными результатами, выделенными в ФГОС второго поколения и результатами, полученными при обучении математике в рамках преобладающей в настоящее время в школе методики обучения математике.

Таким образом, возникает необходимость разработки методики обучения математике, соответствующей современным тенденциям развития науки и общества, отражённых в образовательных стандартах, а именно способствующей достижению метапредметных и личностных образовательных результатов. Такая методика должна быть направлена на установление связи предметных и внепредметных (связанных с другими учебными предметами и жизненными ситуациями) знаний и умений, и построена на основе связи с субъектным опытом ребёнка.

Проблема диссертационного исследования заключается в поиске путей и средств обучения математике, способствующих достижению учащимися в процессе обучения математике метапредметных и личностных образовательных результатов и повышению эффективности усвоения ими математических знаний и умений.

и др.), системный подход к обучению (Беспалько В.П., Сластёнин В.А. и др.), реализация принципа целостности (Зинченко В.П., Маслова Н.В. и др.), укрупнение дидактических единиц (Эрдниев П.М.), метод проектов (Блонский П.П., Шацкий С.Т. и др.), идеи фузионизма (Александров А.Д., Глейзер Г.Д., Гусев В.А. и др.) и другие.

Чтобы определить, какое из перечисленных направлений целесообразно выбрать для решения проблемы нашего исследования, необходимо учитывать роль математики в системе наук. Поэтому мы обратились к исследованиям, связанным со спецификой математики, ролью математики в познании мира (Рузавин Г.И., Нысанбаев А.Н., Сухотин А.К. и др.).

Одна из основных ролей математики для остальных наук заключается в описании структуры мысли, формул, на основе которых можно решать определённые проблемы других наук, требующие высокого уровня обобщения и абстракции. Это связано с особенностью математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств. Математические объекты являются «абстракцией от абстракции» (Сухотин А.К.), поэтому специфика математики заключается в том, что природа изучаемых объектов несущественна для математики, ей важны отношения между объектами (Сухотин А.К., Клини С., Бурбаки Н., Фейнман Р). Школьная математика, являясь проекцией соответствующей науки, сохраняет эту абстрактность, оторванность от жизни, что вызывает у учащихся сложности в усвоении данного учебного предмета. В целях повышения у учащихся 7-11 классов уровня усвоения математики и развития умения применять полученные на уроках математики знания при решении задач других учебных предметов и в жизненных ситуациях, учителю необходимо устанавливать связь математики с содержанием других учебных предметов. А так как понятие является основным элементом содержания учебного материала, то при установлении такой связи проявится многозначность понятий, которая заключается в наличии у понятий различных учебных предметов, термин или часть термина которых совпадает, как общих, так и специфических свойств. Ввиду абстрактности математики, в субъектном опыте ребёнка смысл понятий, рассматриваемых вне математики, преобладает над смыслом математических понятий, имеющих одинаковый термин. Например, усвоение математического понятия «отношение» вызывает трудности у учащихся, связанные с тем, что с данным термином учащиеся чаще всего встречаются в жизненных ситуациях, и под отношением понимают определенную связь между людьми. На уроках связь между многозначными понятиями не устанавливается, поэтому учащиеся могут перенести специфику понятия одной предметной области на понятие другого учебного предмета. Многозначность понятий проявляется и внутри математики, например, на уроках алгебры учащиеся знакомятся с понятиями «корень уравнения» и «арифметический квадратный корень», с отношениями, используемыми в разных смыслах, но сравнительному анализу таких понятий не уделяется должного внимания, что приводит к ошибкам в применении учащимися этих понятий. Поэтому возникает необходимость выделения общих и специфических свойств понятий, термин или часть термина которых совпадает на различных учебных предметах.

предполагает установление связи между содержанием различных учебных предметов, за содержание отвечает методика обучения конкретному предмету, поэтому установление связи на уровне содержания различных учебных предметов требует интеграции методик обучения данным предметам.

С целью осуществления интеграции предметных методик группой учёных (Валицкой А.П., Воюшиной М.П. Подходовой Н.С., Титовой И.М., и др.) разработан метаметодический подход к образовательному процессу. Метаметодика реализует интеграцию в двух направлениях: 1) общественно-исторического опыта, реализуемого в разных учебных предметах, с сохранением особенностей методики каждого; 2) общественно-исторического опыта и субъектного опыта учащихся.

Интеграция в этих направлениях фактически позволяет решить проблему построения методики обучения математике, соответствующей современным тенденциям развития науки и общества, отражённых в ФГОС второго поколения для средней школы. То есть реализация метаметодического подхода при обучении математике способствует решению проблемы нашего исследования. Поэтому в качестве основного подхода в нашем исследовании был выбран метаметодический подход.

Необходимая для реализации метаметодического подхода связь между содержанием различных учебных предметов достигается, в первую очередь, на основе установления связи между понятиями, так как понятие является базовым элементом содержания изучаемого материала. К межпредметным понятиям, встречающимся в математике, относятся такие понятия, как: «система», «функция», «координаты», «угол», «линия», «круг», «отношение», «пропорция» и другие.

Одним из основных понятий математики является понятие «функция», а функциональная линия, являясь одной из основных содержательных линий школьного курса математики, выделена отдельным блоком в ФГОС второго поколения и является сложной в усвоении учащимися. Результаты исследования РКА показывают, что у учащихся возникают затруднения при применении знаний о функции в конкретных ситуациях, при решении задач других учебных предметов Ковалева Г.С.). В заданиях, которые предлагались учащимся, необходимо было на основе информации об изменении значений некоторых величин, сделать вывод о свойствах других величин, связанных с ними определённой зависимостью. Учащиеся в этих исследованиях показали наличие узкого объёма понятия «функция», неумение распознавать функциональные зависимости в реальных процессах.

Вышесказанное определяет актуальность разработки методики обучения функциональной линии на основе метаметодического подхода, которая позволит устанавливать связи между зависимостями, рассматриваемыми на разных учебных предметах и встречающихся в жизни, а значит, будет способствовать достижению метапредметных результатов. На различных учебных предметах учащиеся знакомятся с понятиями, соподчинёнными математическому понятию «функция»: «функция пищеварения», «функция растений», «функция денег», «функция государства». Понятия «зависимость», «соответствие» являются родовыми для математического понятия «функция», и на различных учебных предметах учащиеся часто встречаются с зависимостями и соответствиями, что позволяет установить содержательную связь между учебными предметами при изучении этого понятия.

Объектом исследования выступает процесс обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах.

Предметом исследования является методика обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах, способствующая достижению метапредметных результатов.

Цель исследования - разработка методики обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах на основе метаметодического подхода.

В области методики обучения математике исследований, посвященных изучению функциональной линии в 7-11 классах на основе метаметодического подхода, нами не обнаружено. Вопрос о разработке методики формирования межпредметных и подчинённых им понятий в 7-11 классах, выделении требований к введению частных видов функций на основе метаметодического подхода рассматривается впервые.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности и новизне темы исследования.

Нами были разработаны основные положения реализации метаметодического подхода к изучению функциональной линии, которые кратко могут быть сформулированы следующим образом:

1) понятие «числовая функция числового аргумента» вводится на основе выделенных в рамках исследования этапов формирования межпредметных и подчинённых им предметных понятий;

2) частные виды функциональных зависимостей вводятся на основе выделенных требований к введению частных видов функций, которые направлены на развитие у учащихся умения выделять функциональные зависимости среди зависимостей, изучаемых на различных учебных предметах, и описывать реальные процессы с помощью функции.

Гипотеза исследования: если организовать процесс обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах на основе метаметодического подхода, то это будет способствовать:

1) достижению метапредметных результатов, а именно:

• овладению учащимися межпредмстными понятиями;

• формированию у учащихся логических УУД, связанных с формированием понятий;

• формированию у учащихся умений применять знания, полученные при изучении функциональной линии, в конкретных ситуациях.

2) повышению эффективности усвоения учащимися функциональной линии;

Для достижения поставленной цели и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо решить следующие задачи исследования:

1. На основе анализа психолого-педагогической и методической литературы, констатирующего эксперимента обосновать необходимость разработки методики формирования межпредметных и подчинённых им предметных понятий.

2. На основе анализа школьных учебников алгебры, алгебры и начал математического анализа 7-11 классов и констатирующего эксперимента, обосновать необходимость разработки методики введения частных видов функций.

3. Дать определение межпредметному понятию и установить связи между межпредметными и предметными понятиями.

4. Выделить этапы формирования межпредметных и подчинённых им понятий и требования к введению частных видов функций.

5. На основе выделенных требований и этапов разработать методику обучения частным видам функциональных зависимостей в основной и старшей школе.

6. Осуществить экспериментальную проверку разработанных материалов.

При решении поставленных задач нами использовалась следующая методологическая основа исследования:

• Логическая трактовка понятия и его основные характеристики (Фреге Г.).

• Теоретические разработки в области формирования понятий в сознании человека, методики формирования понятий (Веккер JI.M., Выготский JI.C., Менчинская H.A., Лященко Е.И., Подходова Н.С.).

• Исследования по проблеме реализации процессов интеграции в обучении (Гршценко Н.В., Данилюк А. Я., Дик Ю. И., Кириллова Г.К., Колесникова И.А., Коложвари И., Комаров Б.А., Хуторской A.B.).

• Исследования по проблеме метаметодического подхода в образовательном процессе (Валицкая Н.П., Подходова Н.С., Титова И.М.).

• Использование субъектного опыта учащихся в образовательном процессе (Выготский Л.С., Осницкий А.К., Подходова Н.С., Тихомиров O.K., Якиманская И.С.).

Помимо этого в ходе исследования учитывался собственный опыт работы учителем в школе.

В ходе исследования использовались следующие группы методов:

• теоретический анализ научной литературы по теме исследования;

• диагностические методы (опросы);

• констатирующий, поисковый и формирующий педагогические эксперименты;

• математические методы обработки результатов исследования. Основные этапы и организация исследования.

Исследование проводилось на кафедре методики обучения математике в РГПУ им А.И. Герцена с 2009 по 2013 год и включало три этапа.

На первом этапе (2009-2010 гг.) осуществлялся анализ литературы по теме исследования, были определены проблема, объект, предмет, цель исследования, сформулирована гипотеза исследования.

На втором этапе (2011-2012 гг.) была уточнена формулировка межпредметных и подчинённых им понятиям, разработаны этапы формирования межпредметных и подчинённых им понятий, выделены требования к введению частных видов функций, разработана методика изучения тем «Линейная функция» в 7 классе, «Квадратичная функция» в 8 классе, «Показательная функция» в 10 классе, «Логарифмическая функция» в 11 классе, проведён поисковый эксперимент.

На третьем этапе (2012-2013 гг.) проведён формирующий эксперимент по разработанным методикам, осуществлена количественная и качественная обработка материалов апробации, сформулированы общие выводы и заключение по проведённому исследованию.

На защиту выносятся следующие положения: 1. В целях достижения мегапредметных результатов процесс обучения математике целесообразно строить на основе метаметодического подхода. Это обусловлено тенденциями развития науки и общества на современном этапе, которые нашли отражение в ФГОС второго поколения в блоке метапредметных и личностных образовательных результатов, направленностью метаметодического подхода и спецификой математики.

2. Содержание межпредметного понятия составляют общие свойства понятий, подчинённых межпредметному. Объём межпредметного понятия состоит из всех значений подчинённых ему понятий, которые являются соподчинёнными между собой. В процессе обучения математике необходимо устанавливать связь между: а) межпредметным и подчинёнными ему предметными понятиями; б) соподчинёнными понятиями, изучаемыми на разных учебных предметах. Эту связь целесообразно устанавливать на уровне обобщённого представления (предпонятия по Выготскому Л.С.) о межпредметном понятии. Обобщённое представление включает в себя набор свойств, существенных для понятия, и образы (восприятия и памяти), адекватные понятию.

3. Математическое понятие «функция» и функции, рассматриваемые вне математики, являются соподчинёнными понятиями. Установление связи между различными смыслами (объективными и субъективными) понятия «функция» целесообразно с точки зрения достижения метапредметных и личностных результатов, а также предметных результатов в силу абстрактности математических понятий. Установление такой связи не противоречит математической трактовке понятия «функция» и обосновано с точки зрения логики, семантики и истории развития понятия «функция» в математике.

4. Методика формирования межпредметных и подчинённых им понятий строится в соответствии с этапами, которые должны учитывать формирование понятий в сознании человека и связь с субъектным опытом учащихся. Этапы объединены в два блока, этапы первого блока учитель выполняет при подготовке к уроку, второй блок реализует непосредственно на уроке. При подготовке к уроку учителю необходимо выполнить логико-предметный анализ соподчинённых понятий и сконструировать обобщённое представление о межпредметном понятии.

5. Методика изучения функциональной линии должна строиться на основе требований к введению частных видов функций, которые отражают направления реализации метаметодического подхода. Эти требования включают группы требований к: 1) этапам урока; 2) задачному материалу; 3) организации урока.

6. Изучение функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах на основе метаметодического подхода способствует повышению уровня усвоения знаний учащимися и достижению ими метапредметных результатов, а именно формированию межпредметных понятий и овладению учащимися познавательными УУД, в частности, умением выделять свойства, существенные для понятия, определять понятия и относить объект к понятию.

Научная новизна исследования заключается:

• в постановке проблемы изучения функциональной линии в процессе обучения математике на основе метаметодического подхода;

• в выделении объёма и содержания межпредметного понятия;

• в раскрытии связи между предметными понятиями и межпредметными, обосновании необходимости формирования обобщённого представления о межпредметном понятии;

• в разработке методики формирования математического понятия «числовая функция числового аргумента», как подчинённого межпредметному понятию «функция»;

• в разработанной методике изучения частных видов функций на основе метаметодического подхода.

Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:

• обоснована целесообразность использования метаметодического подхода при изучении математики в целях реализации ФГОС второго поколения;

• разработана трактовка межпредметного понятия;

• обоснована необходимость формирования обобщённого представления о межпредметном понятии на уроках математики;

• обоснована и описана связь между межпредметными и предметными понятиями;

• обоснована с логической и исторической точки зрения возможность установления связи между различными смыслами межпредметного понятия «функция», встречающихся как на уроках математики, так и на других учебных предметах;

• выделены этапы формирования межпредметных и подчинённых им понятий;

• выделены требования к введению частных видов функций на основе метаметодического подхода.

Практическая значимость исследования состоит в:

• разработке методики формирования понятия «функция» на уроках алгебры на основе выделенных этапов формирования межпредметных и подчинённых им понятий;

• разработке учебного материала, который можно использовать для обучения функциональной линии на основе метаметодического подхода;

• разработке методики введения таких частных видов функций, как линейная функция, квадратичная функция, показательная функция и логарифмическая функция;

• возможности применения основных положений реализации метаметодического подхода не только к понятиям функциональной линии, но и к другим понятиям школьного курса алгебры, алгебры и начал анализа.

Рекомендации об использовании результатов диссертационного исследования: разработанная методика и учебный материал могут быть использованы учителями математики общеобразовательных школ в процессе работы, кафедрами методики обучения математике при подготовке учителей математики, структурами системы повышения квалификации учителей математики.

Обоснованность и достоверность полученных выводов основывается на анализе научной литературы по проблеме исследования, проведении констатирующего и формирующего экспериментов, в которых участвовало 505 учащихся, применении методов исследования, адекватных предмету, целям, задачам исследования, апробацией результатов опытной работы в школах.

Апробация результатов исследования: основные результаты исследования докладывались на Международной научной конференции «Герценовские чтения» (2010, 2013 гг.), Всероссийской научно-практической конференции «Метаметодика как перспективное направление предметных методик» (2011, 2012 гг.), Международной научной конференции «Геометрия и геометрическое образование в современной средней и высшей школе» (2012 г.), Второй всероссийской научно-практической конференции «Организация опытно-экспериментальной работы в школе (в контексте ценностно-смысловых ориентиров ФГОС)» (2013 г.), на областных курсах повышения квалификации учителей (2013 г.).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав (8 параграфов), заключения, библиографического списка и трёх приложений. Содержательная часть диссертации иллюстрирована 20 таблицами, 8 схемами, 9 рисунками, 16 графиками, 2 диаграммами.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы проблема, цель и задачи исследования, гипотеза и положения, выносимые на защиту, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, выделены методы и этапы исследования.

Первая глава «Теоретические основы обучения математике на основе метаметодического подхода» состоит из пяти параграфов.

Приведённый в первом параграфе теоретический анализ литературы позволил обосновать, что удовлетворению запросов современного общества и достижению метапредметных результатов, выделенных в ФГОС второго поколения, будет способствовать обучение математике на основе метаметодического подхода.

Интеграция содержания различных учебных предметов строится на основе интеграции понятий, подчинённых межпредметным, следовательно, будет способствовать формированию межпредметных понятий, а значит, и достижению метапредметных результатов. Под метапредметными результатами понимаются способы деятельности, применимые как в рамках образовательного процесса, так и при решении проблем в реальных жизненных ситуациях, освоенные обучающимися на базе одного, нескольких или всех учебных предметов (ФГОС второго поколения). Установление связи вводимого материала с субъектным опытом учащихся будет способствовать «встраиванию» новых знаний в субъектный опыт ребёнка (Якиманская И.С.). А значит, учащиеся смогут применять полученные знания в решении задач других учебных предметов и жизненных ситуациях. Это будет способствовать достижению метапредметных результатов. Выявление и учёт субъектного опыта ребёнка в образовательном процессе способствует формированию такого личностного УУД, как смыслообразование. Таким образом, реализация метаметодического подхода при обучении математике повлияет и на достижение личностных результатов.

Анализ методической литературы позволил выделить основные проблемы достижения метапредметных результатов на уроках математики:

1) нет трактовки определения межпредметного понятия;

2) не выделена связь между межпредметными и предметными понятиями;

3) не разработана методика формирования межпредметных понятий, которая должна включать как общую, универсальную часть для разных учебных предметов, так и специфическую для каждого учебного предмета;

4) не выделена связь между освоением учащимися межпредметных понятий и формированием УУД.

Наше исследование направлено на решение выделенных проблем достижения метапредметных результатов.

Во втором параграфе диссертации приводится определение межпредметного понятия, устанавливается связь между межпредметными и предметными понятиями, выделяются этапы формирования межпредметных и подчинённым им понятий в процессе обучения математике.

В школьной математике преимущественно используется логический подход к трактовке понятия. Поэтому межпредметное понятие целесообразно описать в рамках этого подхода. С точки зрения логики любое понятие характеризуется именем, смыслом и значением (Г. Фреге). В методике обучения математике рассматривают такие характеристики понятия, как объём и содержание. Объём - множество объектов, выделяемых и обобщаемых в понятии. Содержание - совокупность свойств

объектов, существенных для понятия. Фактически объём представляет множество значений понятия, а содержание отражает смыслы понятия.

На различных учебных предметах рассматриваются понятия, термин, или часть термина которых совпадает. Например, «система уравнений» (на алгебре), «система отсчёта» (на физике), «кровеносная система» (на биологии) и т. д. У этих понятий можно выделить общие свойства, следовательно, данные понятия являются соподчинёнными. Совокупность общих свойств соподчинённых понятий представляет с логической точки зрения понятие (в данном случае понятие «система»), и его целесообразно назвать межпредметным. А понятия «кровеносная система», «система уравнений» и т.д. являются подчинёнными межпредметному понятию «система». Отношение между объёмами соподчинённых понятий (количество соподчинённых понятий зависит от рассматриваемого понятия) можно изобразить с помощью диаграмм Венна или кругов Эйлера, где каждый «круг» обозначает объём понятия (рис. 1а). Отношение между содержаниями соподчинённых понятий можно также изобразить с помощью кругов Эйлера (рис. 16).

А-висиР -

/ Тч О \ А • мсжлреаметное понятие

/( \ А • меашрслмстяое понятие / {. /\ \

I - содержание понятия I

о)

В - о5ьем понятия 1

^ , , - содержание пошепт 2 С-обьсапсяятн*'1 ^ 1 ^ -

- содержание

О- овьемП1

«. потннетше мгятредмягон» понятию ' - понятая, подчиненные иетарелметаому п

Рисунок. 1 а. Отношение между объёмами Рисунок. 1 б. Отношение между содержаниями

соподчинённых понятий межпредметных понятий

У соподчинённых понятий есть и общие свойства, есть и специфические для каждой предметной области, что делает такие понятия трудными в усвоении. Например, координаты изучаются и в математике, и в географии, и в истории. На уроках географии с координатами учащиеся знакомятся раньше, чем на уроках математики. В географической системе координат положение точки определяется долготой и широтой. Счёт широт ведётся от экватора к полюсам от 0° до 90°, то есть, чем ниже или левее расположена точка относительно начала координат, тем её координата больше. Это свойство, специфическое для географических координат, дети, усвоив, могут перенести на декартовы координаты в математике. Тем более что учителя для краткости не называют термин полностью (декартовы координаты, географические координаты), а говорят просто о координатах. Проблема усвоения соподчинённых понятий, обозначенных одним термином, проявляется и внутри математики. Например, с понятием «отношение» на уроках математики учащиеся встречаются при изучении следующих тем: «Отношения» (в 6 классе, под отношением понимается частное двух чисел), «Параллельность» (в 7 классе, отношение параллельности - определённое взаимное расположение двух и более прямых), «Множества» (в 5-6 классе). Кроме того, при изучении различных школьных дисциплин, учащиеся знакомятся с «международными отношениями», «семейными отношениями», «отношением к воинской обязанности» и т.п. Проведённый нами эксперимент показал, что субъективный смысл понятия «отношение» у учащихся преобладает над объективным (математическим) смыслом. То есть, для учащихся отношение - это, прежде всего связь между людьми. При выявлении субъектного опыта, связанного с понятием «отношение», так отвечали и учащиеся, не знакомившиеся с понятием «отношение» на уроках математики, так и учащиеся, которые изучили темы, в которых встречается данное понятие. Преобладание у учащихся субъективного смысла над объективным характерно для

многих математических понятий, являющихся соподчинёнными понятиям из других учебных предметов и встречающихся в окружающем мире. Это объясняется спецификой математики: её предметом являются абстракции, и даже абстракции от абстракций (Сухотин А.К.). Именно абстрактность изучаемых математических понятий, отсутствие связи с жизнью, а значит, и с субъектным опытом ребёнка, делает математические понятия трудными в усвоении. В силу основополагающей роли субъектного опыта в восприятии и переработке информации, при усвоении соподчинённых понятий будут преобладать смыслы понятия, которые связаны с субъектным опытом ребёнка, с окружающим его миром. А значит, чем более учебный предмет связан с окружающим миром, чем чаще используется этот предметный смысл при употреблении термина понятия, тем больше вероятность, что именно смысл соподчинённых понятий этого предмета будет преобладать над математическим смыслом понятий в силу абстрактности математических понятий. Этот вывод подтверждался в ходе исследования при выявлении субъектного опыта относительно таких понятий, как «отношение», «функция», «предел» и др.

Таким образом, именно в целях эффективности усвоения математических понятий, необходимо установление связи между соподчинёнными понятиями, изучаемыми на разных предметах и внутри одного предмета. Установление таких связей возможно через выделение общих свойств, то есть «выход» на межпредметное понятие, и уже на этой основе выделение специфических свойств для данной предметной области.

Нами были выделены этапы формирования межпредметных и подчинённых им понятий в процессе обучения математике. Этапы разделены на 2 блока, первый блок выполняет учитель при подготовке к урокам, второй блок реализуется непосредственно на уроке введения понятия, подчинённого межпредметному. Для межпредметного понятия целесообразно формировать не собственно понятие, так как оно не является предметной целью обучения математике, а обобщённое представление, включающее набор свойств, существенных для понятия и образы понятия. Предметное понятие, подчинённое межпредметному, вводится на основе установления связи с соподчинёнными ему понятиями, являющимися целью изучения других предметов. Определение понятия целесообразно записывать в алгоритмизированном виде (в виде алгоритма, с выделением родового понятия, видовых отличий и связей между ними), так как это способствует формированию такого УУД, как умение относить объект к понятию.

Одним из основных понятий математики является понятие «функция», соподчинённое понятиям, изучаемым на разных учебных предметах: «функции внутренних органов», «функции государства», «функции растений» и т.д. Также данное понятие является одним из самых сложных для учащихся. Это связано, в том числе, и с тем, что у учащихся преобладает понимание функции в бытовом смысле, то есть под функцией они понимают действие кого-либо или чего-либо, назначение человека или предмета. Термин «функция» в своей речи человек применяет довольно часто, согласно проведённым исследованиям, каждое 165 слово в нашей речи - это «функция», и чаще этот термин употребляется в нематематическом смысле. Проведённый нами эксперимент показал, что большинство учащихся (80%) не усваивают математическое понятие «функция», так как оно представлено в учебниках абстрактно, вне связи с субъектным опытом учащихся. А так как частные виды функций могут являться моделью описания реальных процессов, то необходимо устанавливать связь между частными видами функций, изучаемыми на уроках

математики и реальными процессами, с которыми учащиеся встречаются в жизни и изучают на других учебных предметах.

Поэтому необходимо разработать методику изучения функциональной линии на уроках математики на основе метаметодического подхода.

В третьем параграфе диссертации рассмотрены основные аспекты обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах.

Проведён анализ различных трактовок понятия «функция», который позволил выделить несколько смыслов этого понятия:

1) о функции мы говорим как о действии, выполняемом кем-либо или чем-либо, назначении человека или предмета.

2) под функцией понимается соответствие (у = f(x)) между элементами двух множеств (X и Y), при котором каждому элементу множества X (х е X) ставится в соответствие единственный элемент множества Y {у е У).

3) под функцией понимается зависимая переменная.

Первый смысл ближе к субъектному опыту ребёнка, поэтому на уроках математики целесообразно введение понятия «функция» именно на основе установления связи с этим смыслом. Чтобы выяснить, возможен ли такой подход, мы обратились к семантике и выяснили, что понятие «функция» в толковых словарях представлено как многозначное понятие, то есть математическое понятие «функция» и функции, используемые вне математики, имеют общие свойства, а значит, связь между ними установить можно. Но установление такой связи не должно противоречить математической трактовке понятия «функция», поэтому

в четвёртом параграфе мы обратились к истории развития понятия «функция» в науке математике.

Термин «функция» впервые был употреблён в 1673 году Готфридом Вильгельмом фон Лейбницем. Речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекциях на оси координат и о «другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию». То есть применение термина соответствовало его этимологии, под функцией понималось действие. В 1718 году Иоганн Бернулли ввёл следующее определение: функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных. Под функцией стали понимать зависимую переменную, то есть элементы одного из множеств, между которыми установлена связь. Такую трактовку понятия «функция» принято считать традиционной, она ближе к субъектному опыту ребёнка, к наиболее часто используемой трактовке понятия «функция». Во второй половине XIX века, с введением понятия множества, появилась теоретико-множественная трактовка понятия «функция». Г. Кантор и Р. Дедекинд дали общее определение отображения: пусть X и Y - два множества; говорят, что задано отображение / множества X в множество Y, если для каждого элемента х из X указан соответствующий ему элемент у из Y. Таким образом, числовые функции числового аргумента являются отображениями одного числового множества в другое. Итак, в истории математики понятие «функция» имело несколько смыслов, под функцией понимали и связь между множествами, и множество зависимых переменных.

В современных пособиях по математике и словарях также встречаются трактовки, отражающие оба указанных выше смысла понятия «функция». Например, в математическом словаре под редакцией Прохорова A.M. описывается следующая функция: «функция Дирихле равна 1, если х - рациональное число, и 0, если х -иррациональное число» - традиционная трактовка понятия. В словаре Ожегова С.И.

представлены сразу две трактовки понятия: «функция - закон, по которому каждому значению переменной величины (аргумента) ставится в соответствие некоторая определенная величина, а также сама эта величина».

Таким образом, установление связи между различными смыслами понятия «функция» не противоречит математической трактовке понятия. Наличие двух множеств и связи между ними - общие свойства понятий, подчинённых межпредметному понятию «функция», а в математике функцией называют не только множество зависимых переменных, но ещё и саму связь между множествами.

В пятом параграфе нами был проведён анализ школьных учебников алгебры (7-9 класс), алгебры и начал математического анализа (10-11 класс) следующих авторов: Алимов Ш.А., Мордкович А.Г., Макарычев Ю.Н., Никольский С.М.

Проведённый анализ позволил выделить следующие проблемы изучения функциональной линии:

1) в учебниках представлена и теоретико-множественная, и традиционная трактовка понятия «функция», но связь между этими трактовками не устанавливается;

2) в учебниках, учебных и методических пособиях при введении понятия «функция» не показана связь с соподчинёнными понятиями других предметов, кроме учебников по алгебре, алгебре и началам анализа Мордковича А.Г. для 7-11 классов. Но в этих учебниках только указывается на существование такой связи, но сама связь не раскрывается.

3) в учебниках при введении частных видов функций связь с реальными процессами или не устанавливается или устанавливается на основе сходства задания конкретных примеров частных видов функций. Примеры процессов рассматриваются только из физики и математики. В пособии Глаголевой А.Г. «Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе», методика введения частного вида функции заключается в выделении особенности процессов, которые описываются данным видом функции и характеристического свойства функции, но учащимся предъявляется уже готовая особенность процессов, системно-деятельностный подход не реализуется, что затрудняет усвоение материала учащимися.

4) В учебниках, учебных и методических пособиях не уделяется внимания связи изучаемого материала с субъектным опытом учащихся, не реализуется системно-деятельностный подход.

Такая организация изучения функциональной линии не способствует развитию у учащихся умения применять полученные знания о функции при решении задач других учебных предметов и в жизненных ситуациях, устанавливать связи математических понятий с понятиями других учебных предметов. Такое обучение не направлено на достижение метапредметных образовательных результатов.

Во второй главе «Организация процесса обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах» описаны методические особенности обучения функциональной линии на основе метаметодического подхода.

В шестом параграфе раскрывается содержание этапов формирования межпредметных и подчинённых им понятий для математического понятия «функция». Необходимо отметить, как было указано в параграфе 2, этапы разделены на блоки, первый блок выполняется учителем при подготовке к урокам, а второй блок реализуется непосредственно на уроке. Реализация этапов фактически конструирует процесс обучения математическим понятиям.

I блок. I этап. Логико-предметный анализ. Выделение понятий, соподчинённых изучаемому на уроках математики понятию и рассматриваемых на других учебных предметах.

До изучения функциональной линии в 7 классе необходимо выделить понятия, которые являются соподчинёнными математическому понятию «функция» и встречаются на различных учебных предметах. Проведённый анализ учебников для 7 классов показал, что учащиеся рассматривали понятие «функция» на уроках истории и биологии (функция растений, функция денег, функция опорно-двигательного аппарата). А значит, у учащихся сложился определённый опыт понимания понятия «функция», определяющий субъективный смысл этого термина, который необходимо учитывать при обучении математике.

II этап. Построение обобщенного представления о соответствующем межпредметном понятии.

Обобщённое представление включает в себя набор свойств, существенных для понятия, и образы понятия. На основе анализа различных трактовок понятия «функция» нами были выделены свойства, существенные для межпредметного понятия «функция»: 1) выделяются два множества; 2) устанавливается связь между элементами этих множеств. Объём межпредметного понятия «функция» представлен для учащихся различными конкретными примерами функций, рассматриваемых на разных учебных предметах. Образ межпредметного понятия «функция» может быть представлен схемой, на которой квадратами обозначены элементы одного множества, кругами - элементы другого множества, а стрелками показана связь между элементами множеств (рис. 2.).

Специфика математического понятия «функция» определяет целесообразность предъявления и другого образа, который отражает графическое задание функции в математике. При этом элементы множеств будут располагаться на координатных осях абсцисс и ординат (рис.3.).

III этап. Выделение свойств, специфичных для математического понятия, подчиненного межпредметному.

Для математического понятия «функция», изучаемого на уроках математики, специфичными являются следующие свойства: 1) элементами множеств X и У являются числа; 2) каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества У.

II блок. IV этап. Выявление субъектного опыта учащихся Нами был проведён эксперимент, в ходе которого учащимся 7-х и 8-х классов было предложено на уроках математики, истории и биологии ответить на вопрос: «Что такое функция?». Большинство учащихся в качестве ответа приводили примеры представителей понятия «функция», чаще всего функций мобильного телефона или других бытовых приборов, причём такие ответы преобладали и на математике, и на истории, и на биологии. Поэтому введение математического понятия целесообразно начать именно с функций бытовых приборов, в частности, мобильного телефона, что

Рисунок. 2. Образ межпредметного понятия «функция»

Рисунок. 3. Образ математического понятия «функция»

будет способствовать не только восприятию, но и прочному усвоению понятия «функция» как связанному с субъектным опытом ученика.

V этап. Формирование у учащихся обобщённого представления о межпредметном понятии.

На этом этапе целесообразно предложить учащимся задачи типа следующих:

1) На доске в произвольном порядке представлены картинки моделей телефонов с названиями и годами выпуска и также, в произвольном порядке, записаны функции, которые появились с выпуском той или иной модели телефона. Учащимся предлагается разделить объекты, изображённые на доске на две группы; записать в тетради элементы этих групп в два столбика; соединить стрелками каждую модель телефона с функцией, которая появилась впервые вместе с выпуском данной модели. На основании выполненных заданий учащимся предлагается заполнить пропуски, выбрав нужные слова в скобках: с помощью стрелок мы установили ... между ... моделей телефонов и ... их функций (взаимопонимание, ответственность, соответствие; сообществом, множеством, коллективом).

2) Учащимся предлагается с помощью стрелок показать зависимость основных характеристик климата территории (температура, количество осадков, влажность) от природных условий и характеристик территории (рельеф, широтное положение, влияние океана, преобладающие ветры).

Такая работа подводит учащихся к выделению свойств, существенных для межпредметного понятия «функция», а именно, наличия двух множеств и связи между ними.

VI этап. Демонстрация специфики понятия данной предметной области, подчинённого межпредметному, связи его с другими учебными предметами. Введение определения предметного понятия, подчиненного межпредметному. Запись определения в алгоритмизированном виде.

Введение предметных понятий целесообразно начинать с рассмотрения объёма понятия, что позволит не только сделать доступным учебный материал для учащихся с преобладанием образного стиля мышления, но и подвести учащихся к самостоятельному выделению свойств, существенных для понятия. А значит, подготовить к формулировке определения, что будет работать на формирование такого УУД, как умение определять понятие. Такая организация деятельности позволит реализовать и системно-деятельностный подход, необходимость осуществления которого указана в ФГОС второго поколения. Кроме того, необходимо учитывать, что в алгебре рассматривается 4 основных способа задания функции: аналитический, графический, табличный и словесный. Поэтому целесообразно, формируя объём понятия, предложить учащимся задачи, в которых рассматриваются все эти способы. Задачи, которые предлагались учащимся в ходе исследования, были построены на основе следующих зависимостей и соответствий: соответствие числа людей определённому моменту времени, зависимость уровня воды в ёмкости от времени, зависимость энергии от времени. Также учитывалось, что объём понятия «функция» включает непрерывные функции, кусочно-заданные функции и функции, заданные на множестве натуральных чисел. Поэтому необходимо в процессе решения задач знакомить учащихся с такими функциями.

Для формирования объёма и содержания понятия и также для подведения к определению понятия, после решения каждой задачи дети отвечали на вопросы и постепенно заполняли таблицу (Таблица 1), с помощью которой они сами смогли подойти к формулировке определения «числовой функции числового аргумента».

Множество 1 Множество 2 Правило (соответствие, закон) Единственность

Время (ч) Число покупателей (чел) Каждому моменту времени соответствует определённое число людей Каждому моменту времени соответствует единственное число

порядковый номер дня недели Уровень воды в поилке (см) Каждому дню недели соответствует определённый уровень воды в ёмкости Каждому дню недели соответствует единственное число

Время (ч) Потребляемая энергия (кВт/ч) Каждому моменту времени соответствует определённое количество израсходованной электроэнергии Каждому моменту времени соответствует единственное число

Число Число

Вопросы формулировались к каждой задаче и были направлены на выделение двух множеств и связи между ними (общие свойства соподчиненных понятий) и на выявление природы выделенных множеств и особенность связи между ними: единственное значение зависимой переменной для каждого определенного значения независимой переменной (специфические свойства математического понятия, подчиненного межпредметному).

Результатом такой работы является запись определения понятия «функция» в алгоритмизированном виде:

Функция - 1) соответствие (правило, закон) у = А[х) между

2) элементами двух множеств (X и У)

3) каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества У.

Работа с такой формой определения способствует формированию у учащихся таких УУД:

1) выделение свойств, существенных для понятия;

2) выделение родового понятия (подчеркивается в определении);

2) определение понятия;

3) отнесение объекта к понятию.

В седьмом параграфе нами были выделены требования к введению частных видов функциональных зависимостей, которые способствуют достижению метапредметных результатов. Рассмотрим эти требования:

1) обязательным этапом введения частного вида функции является актуализация понятия «функция» как межпредметного понятия;

2) изучение частного вида функциональной зависимости начинается с выполнения заданий, связанных с субъектным опытом ребёнка;

3) частные виды функциональных зависимостей вводятся на основе решения содержательных задач, которые рассматриваются в определённой последовательности: «идеальные задачи»; задачи, придуманные детьми самостоятельно; «реальные задачи».

«идеальные задачи» - задачи, сформулированные на основе процессов, которые, возможно, не существуют в природе в силу определённых условий, но тесно связаны с субъектным опытом ребёнка, а значит «работают» на усвоение нового материала. «реальные задачи» - задачи, сформулированные на основе реальных процессов, по возможности с достоверными данными.

4) после решения «идеальных задач» и задач, придуманных детьми, выделяется характерная особенность процессов, которые описываются с помощью изучаемой функции. Особенность процесса формулируется без использования терминов математики, она позволяет учащимся в дальнейшем осуществить переход к

характеристическому свойству функции. Например, особенность процессов, которые описываются с помощью показательной функции можно сформулировать следующим образом: при увеличении (уменьшении) одной величины на одно и то же число, другая величина увеличивается (уменьшается) в одном и том же отношении.

5) на основе выделенной характерной особенности процессов, после решения «реальных задач», вместе с учащимися выводится характеристическое свойство функции, которое формулируется на языке математики;

6) из характеристического свойства функции по возможности выводится аналитическое задание функции. Выполнение учащимися такого перехода будет способствовать развитию у учащихся такого УУД, как умение определять понятие;

7) на заключительном этапе введения частных видов функций выполняются упражнения на раснознавание введённой функции среди зависимостей, рассматриваемых на разных учебных предметах. Такая работа направлена на установление связи с другими понятиями, развитие умения применять математические знания и умения вне математики, а также развитие у учащихся познавательных УУД, а именно умения относить объект к понятию.

Восьмой параграф диссертации посвящен описанию эксперимента и его результатов.

Педагогический эксперимент проводился на базе школ МБОУ «ОГ №24», МБОУ «СОШ №45» МБОУ «СОШ №55» г. Архангельска; ГБОУ «СОШ №45» г. Санкт-Петербурга; МБОУ «СОШ №2» г. Бокситогорска и МОУ «СОШ №2» г. Всеволожска. В эксперименте участвовали учащиеся 7-11 классов, всего 505 человек.

На этапе констатирующего эксперимента и после формирующего эксперимента у учащихся проверялась сформированность математического понятия «функция», усвоение учащимися функциональной линии, а также достижение ими метапредметных результатов. Также предлагались задания на проверку сформированное™ умения анализировать реальные процессы и выделять: 1) два множества; 2) зависимую и независимую переменную; 3) определять вид связи между множествами (линейная зависимость, логарифмическая, показательная).

В констатирующем эксперименте приняли участие 112 учеников 8-х классов и 77 учеников 11-х классов. Для выявления усвоения тем «Линейная функция», «Показательная и логарифмическая функция» и достижения метапредметных результатов учащимся каждого класса была предложена контрольная работа. В результате было выявлено, что у большинства учащихся не сформировано математическое понятие «функция» и учащиеся не умеют применять знания о линейной, показательной и логарифмической функции в задачах других учебных предметов, в жизненных ситуациях.

В результате проведённого поискового эксперимента нами была скорректирована методика обучения функциональной линии в 7-11 классах на основе метаметодического подхода. Были выделены этапы формирования межпредметных и подчинённых им понятий, требования к введению частных видов функций.

В формирующем эксперименте принимали участие учащиеся 7-х классов и 10-х классов, которые изучали темы «Линейная функция» и «Показательная и логарифмическая функция» соответственно.

Чтобы убедиться, что повышение уровня усвоения учащимися учебного материала и развитие умения применять полученные знания в жизни и других учебных предметах, происходит именно под влиянием разработанной и внедряемой нами методики нами была выделена контрольная группа учащихся. Уровень

успеваемости учащихся экспериментальной и контрольной группы был идентичен. После изучения темы «Линейная функция» в 7 классе и «Показательная и логарифмическая функция» в 10 классе, у учащихся экспериментальной и контрольной групп были проведены контрольные работы.

На диаграмме 1 представлены результаты контрольной работы, проведённой в 7-х классах. Диаграмма 1.

га Экспериментальная группа 1, (?©} Ш Экспериментальная группа 2, (%} ^Экспериментальная группа 3, {%} ■ Контрольная группа 1,

9 I Ю 111 |12 |

Ногле р задания

Задания 1-3 предлагались учащимся с целью проверки сформированное™ у них познавательных УУД, связанных с формированием понятия. Цель 4 задания -проверить умение учащихся устанавливать связь между различными способами задания функции: аналитическим, графическим, словесным (особенность процессов, которые описываются данным видом функции). Задания 5-12 направлены на проверку у учащихся умения применять полученные знания о функциональной линии в жизненных ситуациях и при решении задач других учебных предметов. Задания 3, 4, 6, 7 предлагались учащимся с целью проверки эффективности усвоения темы «Линейная функция».

На диаграмме 2 представлены результаты контрольной работы, проведённой в 10-х классах.

Диаграмма 2.

К Э-КС П й ЭКСП

па X.

па 2. (*.)

па 3. {ад

мер ЧД.ИН

Задания 1-2 направлены на проверку сформированности у учащихся умения выделять свойства, существенные для понятия, определять понятие, относить объект к понятию. Задание 3 проверяет у учащихся умение устанавливать связь между различными способами задания функции. Цель заданий 4-8 - проверить умение учащихся применять знания о функции, полученные на уроках математики при решении задач других учебных предметов и в жизненных ситуациях. Задания 1-3 и 5 предлагались учащимся с целью проверки эффективности усвоения показательной и логарифмической функции.

Результаты, полученные в экспериментальных и контрольных классах, обрабатывались и сравнивались с использованием критерия Пирсона.

Из данных, приведённых на диаграммах, виден положительный сдвиг в выполнении каждой группы заданий, что свидетельствует о подтверждении положения гипотезы исследования о достижении повышении эффективности усвоения учащимися функциональной линии и достижению ими метапредметных результатов.

Таким образом, в результате проведённого исследования была подтверждена эффективность разработанной методики обучения функциональной линии в 7-11 классах на основе метаметодического подхода и справедливость сформулированной нами гипотезы исследования.

В заключении диссертации изложены основные результаты исследования, сформулированы общие выводы и определены перспективы дальнейших исследований проблемы.

В результате проведённого исследования были получены следующие выводы:

1. Установлено, что на фоне изменений, происходящих в настоящее время в науке и обществе, проблема достижения учащимися метапредметных образовательных результатов при изучении математики является актуальной и требует решения. В данном исследовании предложено и обосновано одно из направлений решения данной проблемы, а именно построение процесса обучения математике на основе метаметодического подхода.

2. Выделены этапы формирования межпредметных и подчинённых им понятий при обучении математики, которые отражают связь между предметными и межпредметными понятиями, а также между понятиями, разных учебных предметов, соподчинённых между собой.

3. Разработаны требования к введению частных видов функциональных зависимостей на основе метаметодического подхода. На базе этих требований выделены этапы введения частных видов функций на уроках математики в 7-11 классах.

4. Результаты обучения на основе разработанной методики обучения функциональной линии, полученные в ходе проведения экспериментального исследования, подтвердили выдвинутую гипотезу о том, что если организовать процесс обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах на основе метаметодического подхода, то это будет способствовать повышению эффективности усвоения учащимися функциональной линии и достижению ими метапредметных результатов.

Дальнейшее исследование проблемы может быть связано с разработкой методики формирования межпредметных и подчинённых им понятий на уроках геометрии в 7-11 классах; методики обучения решению метапредметных задач; разработкой системы подготовки будущих учителей к организации процесса обучения математике, направленного на достижение метапредметных результатов. Основное содержание исследования отражено в публикациях автора:

1. Иванова, O.A. Проблемы формирования межпредметных понятий при изучении математики / O.A. Иванова, Н.С. Подходова // Письма в Эмиссия. Оффлайн (The Emissia.Offline Letters) (электронный журнал). - 2013 (июнь), ART 2006. - URL: http://ww.emissia.org/offline/2013/2006.htm (0,5 п.л./0,25 пл.) - ISSN 1997-8588. - [дата обращения 08.10.2013].

2. Иванова, O.A. Межпредметные понятия и формирование универсальных учебных действий при изучении математики / O.A. Иванова // Известия

Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена. Серия Общественные и гуманитарные науки. - 2013 (июль). - №161. -с. 215 - 219. (0,3 пл.)

3. Иванова, О. А. Особенности формирования межпредметных понятий / O.A. Иванова // Вестник Северного (Арктического) федерального университета Серия. Гуманитарные и социальные науки. - 2013 (август). - №4- с. 122 - 125. (0,25 п.л.)

4. Иванова, O.A. Изучение функции как модели описания реального процесса (на примере показательной и логарифмической функции) / O.A. Иванова // Вестник студенческого научного общества РГПУ им. А.И. Герцена: Сборник лучших научных работ студентов: В 3 кн. Вып. 11.- СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2010.-с. 15-17. (0,19 п.л.)

5. Иванова, O.A.. Анализ различных подходов к изучению показательной функции в старшей школе /O.A. Иванова // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «63 Герценовские чтения», посвященную 90-летию кафедры методики обучения математике». - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2010. - с. 355-361. (0,44 п.л.)

6. Иванова, О.А.Установление связей с другими предметами и субъектным опытом ученика при введении функции / Н.С. Подходова, O.A. Иванова // Метаметодика как перспективное направление развития предметных методик обучения: Сборник научных статей. Выпуск 8. - СПб.: ООО «Статус», 2011. - с. 241-245. (0,31 п.л./0,15 п.л.)

7. Иванова, O.A. Реализация генетического подхода при изучении функциональной линии на уроках математики / O.A. Иванова // Метаметодика как перспективное направление развития предметных методик обучения: Сборник научных статей. Выпуск 9. - СПб.: ООО «Статус», 2012. - с. 244-247. (0,25 п.л.).

8. Иванова, O.A. Проблема достижения метапредметных результатов при изучении геометрии / Н.С. Подходова, O.A. Иванова // Геометрия и геометрическое образование: сборник трудов Международной научной конференции «Геометрия и геометрическое образование в современной средней и высшей школе» (к 70-летию В .А. Гусева). - Тольятти: Изд-во ТГУ, 2012. - с. 38-42. (0,31 п.л./0,15 п.л.)

9. Иванова, O.A. Объективный и субъективный смысл понятия функции. Соотношение между ними в школьной математике / O.A. Иванова // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «66 Герценовские чтения». - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2013. - с. 274-277 (0,25 п.л.)

10. Иванова, O.A. Изучение функциональной линии в курсе алгебры средней школы на основе метаметодического подхода (на примере функции вида у=кх) / O.A. Иванова // Молодой ученый. - Чита: «ООО Издательство Молодой ученый» — июль 2013. - №7(54). с. 384 - 387. (0,32 п.л.)

Подписано в печать 10.10.13 Формат 60х841/і6 Цифровая Печ. л. 1.37 Тираж 100 Заказ 10/10 печать

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

Текст диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Иванова, Ольга Александровна, Санкт-Петербург

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А. И. ГЕРЦЕНА»

Специальность

13.00.02 - Теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень

общего образования)

ИВАНОВА ОЛЬГА АЛЕКСАНДРОВНА

04201453623

На правах рукописи УДК 373.016:51

ОБУЧЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЛИНИИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 7-11 КЛАССАХ НА ОСНОВЕ МЕТАМЕТОДИЧЕСКОГО ПОДХОДА

Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель: доктор педагогических наук, профессор Подходова Н. С.

Санкт-Петербург

2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение........................................................................................................................................................3-18

Глава I. Теоретические основы обучения математике на основе

метаметодического подхода......................................................................................................19-86

§ 1. Метаметодический подход к обучению математике..................................19-33

§2. Межпредметные понятия и особенности их формирования на

уроках математики..............................................................................................................................34-49

§3. Функциональная линия в школьном курсе математики..........................50-55

§4. История развития понятия «функция» в математике..................................56-64

§5. Анализ учебников математики с целью выявления особенностей

изучения функции и ее частных видов..........................................................................................65-86

Глава II. Организация процесса обучения функциональной линии

на уроках математики в 7-11 классах................................................................................87-145

§6. Этапы формирования понятия «функция» на уроках алгебры в 7

классе................................................................................................................................................................87-105

§7. Требования к введению частных видов функций..........................................106-123

§8. Организация и основные итоги экспериментальной работы..............124-145

Заключение................................................................................................................................................146-148

Библиографический список..........................................................................................................149-160

Приложение..............................................................................................................................................161-171

ВВЕДЕНИЕ

- формирование у учащихся межпредметных понятий;

базовым условием достижения метапредметных результатов. Проблемой формирования понятий у учащихся занимались следующие учёные: Выготский JI.C., Лященко Е.И., Менчинская H.A., Подходова Н.С. и др. В области методики обучения математике проблемой формирования межпредметных понятий занимались Василенко О. А., Подходова Н. С., которыми был разработан механизм отбора межпредметных понятий, выделены этапы формирования понятий, сводимых к межпредметным понятиям. Под сводимыми к межпредметным понятиями понимались предметные понятия, подчинённые межпредметным. Исследований, посвящённых формированию именно межпредметных понятий в основной и старшей школе, нами не выделено.

Другим направлением достижения метапредметных образовательных результатов является овладение учащимися УУД, которые связаны с применением учащимися знаний, полученных в рамках изучения одного или нескольких учебных предметов, в жизненных ситуациях и при решении задач других учебных предметов. Исследования, проведённые на международном уровне (PISA 2000, 2003, 2006, 2009), показали низкий уровень сформированности умений российских школьников применять полученные на уроках математики знания во внеучебных ситуациях. Исследований, посвящённых формированию у учащихся УУД при обучении математике в основной школе, нами не обнаружено. Возникает необходимость разработки содержания и организации процесса обучения математике, который будет способствовать развитию у учащихся умения применять полученные знания не только в рамках одного предмета, но и на других учебных предметах, и в жизненных ситуациях.

Но усвоение информации невозможно без мотивации и

содержательной связи с опытом ученика как субъекта деятельности.

Усвоению новой для учащихся информации будет способствовать раскрытие

содержания субъектного опыта учащихся по изучаемой теме и установление

связи субъектного опыта с вводимыми научными знаниями. Любую

I »

1 VI .

информацию человек переводит на свой язык, и другого пути формирования знаний нет (Якиманская И.С.). То есть, поступающую информацию человек пропускает через свой субъектный опыт, после чего она превращается в индивидуальное знание или отбрасывается. Субъектный опыт учащиеся обретают как в процессе жизнедеятельности, так и при обучении. Несмотря на то, что математика является абстрактной наукой, существует очень немного математических понятий, термин которых не знаком ребёнку, а значит, у ребёнка сформирован определённый субъектный опыт, связанный с этими понятиями. Поэтому, для прочного усвоения знаний необходимо создать на уроке условия, при которых новый учебный материал будет вводиться на основе установления связи с субъектным опытом учащегося. Предоставление учащемуся возможности использовать в процессе обучения имеющийся у него субъектный опыт является необходимым направлением индивидуализации образования, характеризующейся тем, что на первый план выходит личность человека с её индивидуальными особенностями, его сознание, мышление. Индивидуализация является ещё одной тенденцией развития современного информационного общества. Индивидуализация образования нашла отражение в ФГОС второго поколения, в которых появился блок личностных результатов, в частности, такое личностное УУД как смыслообразование.

Нами были проанализированы различные интеграционные процессы в образовании и методы обучения математике, основанные на идее интеграции в образовательном процессе: установление межпредметных связей (Зверев И.Д., Коротов М. Н., Скаткин М.Н. и др.), внутрипредметные связи (Коменский Я. А., Ананьев Б.Г., Гальперин П.Я. и др.), преемственность (Годник С.М., Истомина М.Б. и др.), системный подход к обучению (Беспалько В.П., Сластёнин В.А. и др.), реализация принципа целостности (Зинченко В.П., Маслова Н.В. и др.), укрупнение дидактических единиц (Эрдниев П.М.), метод проектов (Блонский П.П., Шацкий С.Т. и др.), идеи фузионизма (Александров А.Д., Глейзер Г.Д., Гусев В.А. и др.) и другие.

уроках алгебры учащиеся знакомятся с понятиями «корень уравнения» и «арифметический квадратный корень», с отношениями, используемыми в разных смыслах, но сравнительному анализу таких понятий не уделяется должного внимания, что приводит к ошибкам в применении учащимися этих понятий. Поэтому возникает необходимость выделения общих и специфических свойств понятий, термин или часть термина которых совпадает на различных учебных предметах.

Рассмотренные выше интеграционные процессы и методы обучения математике раскрывают возможности интеграции содержания различных предметов, но предполагают, что изучение каждого предмета строится в логике соответствующей науки. Обособленность предметных методик приводит к тому, что знания, полученные на одном учебном предмете, не всегда учитываются в ходе изучения другого предмета. Достижение метапредметных результатов на уроках математики предполагает установление связи между содержанием различных учебных предметов, за содержание отвечает методика обучения конкретному предмету, поэтому установление связи на уровне содержания различных учебных предметов требует интеграции методик обучения данным предметам.

Интеграция в этих направлениях фактически позволяет решить

проблему построения методики обучения математике, соответствующей

современным тенденциям развития науки и общества, отражённых в ФГОС

второго поколения для средней школы. То есть реализация

метаметодического подхода при обучении математике способствует

решению проблемы нашего исследования. Поэтому в качестве основного подхода в нашем исследовании был выбран метаметодический подход.

Одним из основных понятий математики является понятие «функция», а функциональная линия, являясь одной из основных содержательных линий школьного курса математики, выделена отдельным блоком в ФГОС второго поколения и является сложной в усвоении учащимися. Результаты исследования PISA показывают, что у учащихся возникают затруднения при применении знаний о функции в конкретных ситуациях, при решении задач других учебных предметов (Ковалева Г.С.). В заданиях, которые предлагались учащимся, необходимо было на основе информации об изменении значений некоторых величин, сделать вывод о свойствах других величин, связанных с ними определённой зависимостью. Учащиеся в этих исследованиях показали наличие узкого объёма понятия «функция», неумение распознавать функциональные зависимости в реальных процессах.

для математического понятия «функция», и на различных учебных предметах учащиеся часто встречаются с зависимостями и соответствиями, что позволяет установить содержательную связь между учебными предметами при изучении этого понятия.

Объектом исследования выступает процесс обучения функциональной линии на уроках математики в 7-11 классах.