автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Построение курса "числовые системы" на основе аксиом теории множеств и методика его преподавания при подготовке учителей математики

Автореферат диссертации по теме "Построение курса "числовые системы" на основе аксиом теории множеств и методика его преподавания при подготовке учителей математики"

московский государственный открытый

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Специализированный совет К 113.25.03

На правах рукописи

КОЗИОРОВ Юрий Николаевич

ПОСТРОЕНИЕ КУРСА «ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ» НА ОСНОВЕ АКСИОМ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МЕТОДИКА ЕГО ПРЕПОДАВАНИЯ ПРИ ПОДГОТОВКЕ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

13.00.02 — методика преподавания математики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1993

г, ■

Работа выполнена в Шуйском государственном педагогическом институте имени Д. А. Фурманова.

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Столяр А. А., кандидат физико-математических наук, доцент Нижников А. И.

Ведущая организация —

Московский педагогический университет.

в 14 часов на заседании специализированного совета К 113.25.03 по присуждению ученой степени кандидата педагогических наук в Московском государственном открытом педагогическом институте по адресу: 109004, Москва, ул. Верхняя Радищевская, 16/8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного открытого педагогического института.

Автореферат разослан « я?» .Я^св . . 1993 г.

Защита состоится

1993 г.

Ученый секретарь

специализированного совета кандидат педагогических наук, доцект

ДЕНИЩЕВА Л. О.

ОШН ХАРАКГКИЮТКА РАГОТЦ

Процессы, происходите в нашем обществе, обнаружили необходимость реорганизации всей систем народного образования и, в частности, коренного изменения 1мятельностя высшей школы. Одной из актуальных проблем остается проблема.подготовил специалистов, нмекцях навыки саюстоятолыюго творчества и критического шиле шш, 'ориентир?,тоипхся в потоке ин!ош-?цпи, :р.вюта использовать последние достууенля науки в своей профессиональной деятельности. Особенно ваино это для тех. кто избрал для себя учительскую профессию, так как учитель, не имеювдй творческих качеств, не заложит их и в своих учениках. Такой учитель не сюжет в должной мере способствовать повышению культуры и образованности общества, беэ чего невозможна никакая перестройки ни в экономите ни в политической лизни.

Настоящая работа посвящена некоторым проблемам подготовки •учителей математики. Важность зтих проблем обусловлена той ролью, которую играет курс математики в обучении и воспитании школьников. Не говоря уже о том, что сведения, получаемые при .изучении этого предмета, необходимы как в производственной деятельности, так и в повседневной жизни, изучение математики вырабатывает правильное логическое мышление, прививает творческие навыки, трудолюбие, способствует выработке четкой мировоззренческой позиции. Но свою уникальную воспитательную и образовательную роль этот школьный предмет может играть лишь' в том случае, если учитель математики будет обладать достаточной культурой, позволяющей следить за развитием преподаваемой им науки,и уметь при необходимости популярно рассказывать ученикам о ее важнейших достижениях. Для этого он должен представлять себе структуру математики в целой, не только знать классические математические дисциплины, ко иметь представление и о современных ветвях математики. Он доляен быть знаком с проблемам* обоснования математики, с философским! проблемами, связанными с математикой. Он должен иметь представление о многочисленных приложениях математики, о ее связях: с другими наукага, знать историю преподаваемой им ^науки.

Если исходить из перечисленных требований, то становится ' ясным, что одним из непременных компонентов образования и воспитания учителя математики должен быть курс "числовые системы" ввиду следующих его особенностей: I) он знакомит с современней

трактовкой одного из основных понятий наук! - понятия числа, а это знакомство необходимо каждому культурному математику, тем более тому, кто ее преподает; 2) курс профессионально направлен:' построение и изучение чисел является главной темой школьного курса математики; 3) курс хорошо ил-аострирует основной современный метод изложения математической теории -' аксиоматический метод; 4) курс содетаит Доказательства, иллюстрирующие саше разнообразные способы лэгического рассуждения, основная часть задач по курсу - задачи "на доказательство", все это способствует совершенствованию навыков абстрактного мышления, необходимых учителю математики, поскольку привитие этих навыков школьникам -.важнейшая задача уроков математики; 5) курс имеет все возмож- . ности пробуждения интереса студентов к вопросам обоснования математики, что является необходимой предпосылкой повышения их математической культуры, углубления математической интуиции и выработки четкого научного мировоззрения. •

Больше образовательные и воспитательные возможности, заложенные в курсе числовых систем, до сих пор полностью не реализованы, так как теоретически не обоснована структура курса, его традиционное содержание имеет сутцэственные логические пробелы, не систематизированы методические приемы преподавания курса, нет достаточного количества разнообразных по содержанию и форме изложения учебников, обеспечивавших студентам возможность выбора. Эти обстоятельства обусловили актуальность темы и определили проблему исследования, заключающуюся в совершенствовании структуры и содержания курса "Числовые системы" как основы для создания учебников и составления системы упражнений по курсу, а также в нахождении оптимальной системы методических приемов

прохождения курса.

Объект исследования. Продеес обучения студентов математических и физико-математических факультетов пединститутов современной теории числовых систем.

Предмет исследования. Структура и содержание курса "Числовые системы" и методика его преподавания.

. Цель исследования состоит в разработке структуры и методики курса числовых систем,' наилучшим образом учитывающих профессиональную направленность этого курса:, реализующих его возмаж-. ности в деле повышения познавательной .активности и математической культуры обучаюиихся, обеспечивавших доступность и эффекта-

вное усвоение материала.

Анализ некоторых работ, посвященных основаниям математики, психолого-педагогической и методической литературы, практики • преподавания привел к следуйтей гипотезе, подлежащей исследованию: если изложение числовых систем тесно связать с изложением теории множеств, которое предпочтительно провести на содержате-льно-аксиоеттической остове, и строить числа как объекты теории множеств, то осуществляется необходимое совершенствование логической структуры курса, так как на этом пути исключаются все логические пробелы, ютвтаеся при традиционном построении числовых систем, обеспечивается целенаправленный отбор учебного материала, его эффективное усвоение, а такте максимальная активизация учебной деятельности студентов.

Для достижения пели исследования и проверки указанной гипотезы потребовалось оепкть следующие основные задачи:

1) провести анализ г.етодолэгических и теоретических основ ' курса "числовые системы", учебных пособий, гонограций и статей по основаниям математики;

2) выявить теоретические предпосылки, определяющие содержание курса "Числовые системы";

3) усовершенствовать гетогическое обеспечение курса;

4) установить содержание курса, составить альтернативную программу, определить число учебных часов на ее прохождение;

5) разработать изложение основных тем курса, систему задач и упразднений по нему.

В ходе работы использовались следующие методы исследования: изучение и теоретический анализ психолого-педагогических и методических работ, связанных с проблемой исследования; анализ научной и учебкой литературы по вопросам обоснования математики и числовым системам; теоретическая разработка курса " "деловые системы", составление учебных пособий, системы упражнений и контрольных заданий по курсу; проведение педагогического эксперимента, обработка и анализ полученных результатов.

В ходе длительного педагогического эксперимента была проверена вся предлагаемая организация прохождения курса "Числовые системы": В процессе эксперимента использовались пособия и разработки автора. Теоретический анализ предлагаемых путей решения проблемы исследования, экспериментальная работа и применение современных методов статистической обработки полученных данных обеспечили достоверность результатов исследования. '

Научная новизна исследования заключатся в том, что впервые осуществлен системно-структурны:'! анализ содержания курса "Условие система" на факультетах, готовящих учителей математики; оппеделены и обоснованы структура и содержание курса, основанные на определении чисел как объектов.аксиоматической теории-шоке ста; в соответствии с предложенной структурой разработаны изложение курса и система упражнений по нему; даны методические рекомендации для преподавания курса на указанной основе.

Практическая значимость исслелования определяется возможно стъю широкого внедрения полученных результатов, в практику подготовки учителей математики в пединститутах; это позволит , усилить пвофсссиональную направленность курса "деловые систе— . мы", совершенствовать его преподавание, привлечь интерес обучающихся к основаниям математика, что является необходимой предпосылкой повышения общей и математической культуры будущих учителей математики. ■

Положения, выносимые на-защиту; Для совершенствования структуры курса "Числовые системы" необходим существенный отход _ от его традиционного построения, который заключается в следующем:

1. Курс должен начинаться изложением основных фактов аксиоматической теории множеств.

2. .Аксиомы основных числовых систем должны рассматриваться как условия в определениях соответствующих родов структур.

. 3. Для каздого такого рода структур должна быть построена, хотя бы одна, структура этого рода. Другими словами, должны быть построены модели аксиоматик всех осноеных числовых систем, в том числе и системы натуральных чисел (действующая программа традиционно исключает эту последнюю модель).

4. Числа каждого вида должны определяться как элементы в точности одной из структур соответствующего рода.

5. Курс числовых систем должен строиться как единая содер-кательноя аксиоматическая теория.

Надлежащие методические приемы обеспечивают доступность курса при указанных принципах построения и его неформальное усвоение обучающимся.

/пробам;я работ». Результаты исследования докладывались на • ХХУ% XXXI, ХШУ, XXXIX научно-методических конференциях преподавателей' Щуйсюго государственного пединститута им.Д.А.Фурманова

(1980- 1991 гг), на заседании научного семинара ка&здры алгебры -Ивановского государственного университета (1993 г.), на межвузовской научной конференции "Математические чтения" (город 1!Еаново, 1991 г.). на кафедре алгебры Минского государственного педагогического института км. А.М.Горьюго (1991 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, даух глав, заключения, списка и спо ль зов энной литературы, включающего 132 наименования, и трех приложений. В диссертации 2 чертежа и 4 таблицы. Обтай объем работы - 202 страницы, в том числе 138 страпиц основного текста.

КРАТГОЕ ГОДРГ7АШЕ ЛИСШТАЦИ!

Во введении обосновывается актуальность темы, ставится проблема исследования, Формулируется цель, гипотеза и задг я исследования, перечисляются методы исследования, раскрываются научная новизна и практическая значимость исследования.

Порвал-глава "Психолого-педаготические и теоретические основы изучения числовых систем на математических и фязико-г,«тематических факультетах педвузов" состоит из четырех параграфов и посвяиена теоретическому обосновании полокений, выносимых на защиту. № исходим из того, что в системе подготовки учителей математики теория числовых систем является принципиально важной, так как подводит базу под все изученные ранее основные математические курсы и является основой профессиональной деятельности учителя в школе, где изучение и употребление чисел составляют главные темы уроков математик. Изучение современной теории числовых систем требует от обучающихся довольно высокого уровня.абстрактного кышления, что вполне согласуется с положением учебной дисциплины "Числовые системы" на старших 10фоах математических и физико-математических Факультетов педвузов. Исследование некоторых теоретических вопросов, связанных с развитием понятия числа, логическими и дидактически»® аспектами этого понятия, позволяет ' построить изучение числовых систем наиболее рациональным способом и в пределах разумной строгости так, чтобы оно могло способствовать дальнейшему повышению математической культуры студен- ■ тов, развить дальше их способность к абстрактному мышлению, пробудить интерес'к истории и методологии науки.

За последнее десятилетие опубликовано большое количество

официальных документов (в качестве примера-шжно привести "Основные направления перестройки высшего и среднего специального образования в стране"), в юторых отмечается заметное снижение качества подготовки специалистов с высшим образованием. Одной из глазных причин отого является низкая культура логических рассуждений выпускников средних школ, поступакдах в вузы, а так как в первую очередь именно математическое образование способствует выработке правильного (лота чес ко го) мышления, то становится ясным, что нельзя достичь совершенства процесса развития логического мышления школьников, не совершенствуя логическую подготовку школьного учителя математики. Для достижения этой цели необходимо использовать возможности всех изучаемых будущими педагогами . . математических дисциплин, при этом курс числовых систем играет выдающуюся роль,. так как знакомит студентов с современными концепциями числовых систем, причем в связи с этими концепциями используются и покаецваются в действии основные понятия всей современной математики, такие как множество, отображение, алгебраическая операция, алгебраическая система, факторизация и т.д. К тому же для усвоения курса приходится изучать теоремы, доказательства которых иллюстрируют самые разнообразные способы математических р&ссуэдений, и решать зацачи как'раз такого .типа, которые наилучшим образом тренируют логическое мышление (задачи "ца доказательство" и которых, к сожалению, становится недопустимо шло в школьном обучении. Особенностям, курса, связанными с развитием логического мышления обучаемых, является и наличие рекурсивных определений с обоснованием их корректности и также выяснение необходимости доказательства таких положений, которые до изучения курса казались очевидными (например, тот факт, что произведение отрицательных чисел положительно, или что 2-2 =4). 1 Одна из важнейших точек зрения современной математики состоит в том, что все математические объекты шжно строить и изучать как объекта теории шожеств. Эта точка зрения систематически проводится во многих работах нашего выдающегося математика А.Н.Нзлшгорова, в многотомном трактате "£лементы математики", написанном группой видных математиков разных стран под общим псевдонимом Н.Еурбаки, и многих друтих работах как отечествен-'ных, так и зарубежных математиков.

. В изданных у нас в разное врет учебных пособиях по число-' в им системе,?/! теория множеств используется на интуитивном уровне.

Теоретико-множественный язык птмменяется пта изложении аксиома- ■ тических теорий основных числовых систем ÍN >Е ,0, , а затем для построения их интерпретаций, наличием этих интерпретаций доказывается непвотиворечивость соответствуют« теорий. При этом ■ для теста к натуральных чисел траьидкжно не строится никакой интерпретации или, что хуке, ее интерпретируют с помощью понятий, но шлзю'дих математического сгасла (напшмер, в. одном из пособий предлагается такая "интерпретация": "последовательность годовых оборотов Реши вокруг Оолтща, если обогхзт настоящего года принять за единицу"; такая интерпретация неправомерна eme к в виду конечности используемэго множества). тем натуральные числа

доволгш просто шжно интерппетнровать как объекты теории множеств. Две такие интерпретации предложены создателем теории шоке ста Г-Кантоном - это кардинальные и ордийальные числа конечных множеств. В практике преподаьания эти интерпретации используются обычно при условии, что теория множеств излагается на интуитивном уровне, так как при аксиоматически: изложении их аккуратное построение требует довольно много учебного ввемени. Употребительны еше две интешретацгм, которые без особых затрат учебного времени могут быть аккуратно изложены и при аксиоматическом построении теории множеств, та из них, которая неоднократно и успешно использовалась автором в лекционной практике, имеет вид

2=4№ з^да, ••• •

Необходимость построения интерпретации теории натуральных чисел ддктуется не столько возможностью установления непротиворечивости этой теории (в сущности, эта непротиворечивость сводится к непротиворечивости теории тохеств, до снх пор не доказанной), сколько возможностью корректного определения натуральных чисел (а следовательно, и целых, рациональных, действительных и комплексных чисел). Во многих пособиях натуральные числа традиционно определяются как элементы любой (!) структуры вида (ÍN,',I), описываемой известным! аксиог/ами Пеано. Из такого определения немедленно следует, что все объекты, изучаемые математикой, являются натуральными числами, так как любой из них мы можем включить в какую-либо структуру Пеано. Пусть, например, |)sJ=JI,2,3,- множество элементов какой-нибудь такой структуры. Отталкиваясь от него, построим обычным образом целые,рациональные, действительные и комплексные числа и, в частности, оп-

ределим число ¿. Полагая 11 мы получаем, оче-

видно, новую структуру Пеано (М*. '. С ). и согласно упомянутому традиционному определению число С оказывается натуральным.

Итак очевидно, что развитие любой математической теории, в число объектов которой включены натуральные числа, возможно лишь • при условии, что выбрана и зафиксирована какая-то одна структура Пеано, элементы которой названы натуральными числами, в то время как элементы других структур, хотя бы и изоморфных выбранной, если они не входят в зту последнюю, натуральными числами не считаются. В противном случае все объекты этой теории придется считать натуральными числами. Таким образом, чтобы иметь возможность определить натуральные числа, необходим) построить хотя бы . одну интерпретацию аксиоматики натуральных чисел. Отсутствие же точного определения натуральных (а также и других) чисел влечет существенные логические пробелы в дальнейших построениях, которые и обнаруршаются-в имевшейся учебной литературе.

Рассмотрим в качестве примера обычное построение поля комплексных чисел. Вначале рассматривается множество С всех упорядоченных тор действительных чисел, в котором вводятся над-хащим образом операции сложения и умножения так, что множество

вместе с этими операциями образует' поле. В этом поле упорядоченные пары вида (х,0) образуют подполе, изоморфное шлю действительных чисел; изоморфизм задается равенством: £(х,0)=х.. Теперь необходимо произвести реконструкцию.полученного поля с тем, _ чтобы построить поле, изоморфное полученному, но содержащее в качестве подполя само голе действительных чисел. Замечательно, что такая реконструкция осуществляется и в тех учебниках, где натуральные, целые, рациональные и действительные числа определяются "с точностью до изоморфизма", хотя при таком определении поле, изоморфное полю действительных чисел, само является полем ' действительных чисел и указанная реконструкция бессмысленна. Это относится, например, к книге И ^В .Проскурякова "Числа и многочлены", откудэ мы берем дальнейшие рассуждения (используя наши обозначения). •

. Итак, пусть К. - совокупность упорядоченных пар вида (х,0), где хбК. Положим С = (С'чй') и « • Отображение £ , определенное 'на а' как указано выше, продолжим на С, полатая /(х,у)=(х.у), если у/о, тогда £ взаимно однозначно .(?) отображает Сна С и мы можем-определить теперь сложение и умножение на С, полагая -

*

для .любых с*,р€£' /(сО + {(($Н(с<|-Р). ■|и)]'(р)={(о/(\)- Получала*-' яся алгебраическая структура есть поле комплексных чисел, содержащее в качестве подполя голе действительных чисел.

Логический изъян этого рассуздения, который отмечен вопро-сительнык знаком, состоит в том, что отображение ^ не обязано бить взаимно однозначным отображением С на £ и будет таковим ■ только в том случае, если (С 1И= но этот факт не дока-

зывается. Легко убедиться, что это равенство не может быть доказано, если нет точного определения действительных и, в частности, натуральных чисел, а имеется лишь определение "с точностью до • изоморфизма". Действительно, если использовать для определения натуральных чисел интерпретацию, о которой говорилось на стр.7, а также- положить (х,у)= [(х!| Дх.уЙ, то это равенство не имеет места, так как (I,]>[ 1,1{] = Н^МК^Ш®3*® и в т0 же время имеем (I, I) £ С'4 К'. Несмотря на это во многих пособиях множество комплексных чисел определяется именно как и, в частности, упорядоченная пара (1,1) интерпретируется как комплексное число 1+ { .

Рассмотренные логические пробелы невозможно, по-видимому,"" устранить, оставаясь в рамках интуитивной теории тожеств. При аксиоматическом изложении теории множеств указанные затруднения легко преодолеваются с помощью так называемой аксиомы регулярности, введенной в теорию множеств в 1925 г. фон Нейманом (эту аксиому называют также аксиомой Фундирования).

Немаловажным доводом в пользу построения курса числовых систем, основанного на аксиоматической теории множеств, является педагогическое требование единства учебного курса. Бри использовании теории множеств на интуитивном уровне этот'курс как бы распадается на 5 аксиоматических теорий (а точнее полуинтуитивных, так как наряду с первичными терминами бтих теорий, описываемых аксиомами^используются первичные термины теории множеств, . понимаемые интуитивно). Использование аксиом теории множеств превращает курс числовых систем в единую содержательную аксиоматическую теорию, в которой аксиомы конкретных числовых систем становятся условиями в определениях соответствующих структур. При этом'оказывается, что и основные понятия других изученных ранее студентами математических, курсов южно трактовать как объекты одной аксиоматической теории. Это обстоятельство способст-

вуг>т осознанию единства математики в целом и пробуждает интерес буг.т.цх учгтелей к вопоо сем обо снова ния науки, преподавание которой станет их профессией.

Во второй главе "Путл совершенствования методического обеспечения курса "Числовуе системы"", состоящей из четырех параграфов, рассматриваются основные вопросы методкга курса "Числовые системы": пропедевтика курса, использование аксиоматического метода, реализация в процессе преподавания курса дидактических принципов, вопросы организации практических занятий и самостоятельной работы студентов. В заключительном параграфе анализируется эффективность предлагавши методики в соответствии с результатами эксперилкнтальной работы.

Исторический процесс развития некоторой идеи'в научном познании окруяаогего нас мира находит отражение в пшцессе усвоения этой идеи каждым отдельны,- членом обшэства .Поэтому, например, при первоначальном ознакомлении с развитием идеи числа в процессе школьного обучения оказывается целесообразной не та логическая'схема , кототся принята в соврешшой

математике, а "историческая": ©"''ь&йРч . Отсюда ясно, что учитель математики должен не только знать современную теорию числа, но и пути развития науки, приведшие к этой теории: это не только игеет значение для диалектической организации его шиле ни я, но представляет и пряма й педагогический интерес, связанный с поисками путей построения школьной математики, то есть с процессом, в котором до яке н участвовать каждый творчески работающий учитель.

Имеет место последовательное осуществление трех этапов развития математической теории: первый, основной и самый длительный, - развитие на интуитивном уровне, второй этап - аксиоматическое изложение данной теории (на содержательном уровне) и, наконец, третий - формализация теории. Последний этап, вообще говоря, не обязателен, посколыу содержательное изложение в большинстве случаев оказывается достаточным как для самой математики, так и для приложений. Нормальное изложение осуществляется обычно для теорий, относящихся к основаниям математики, например хорошо разработаны Формализации теории множеств и арифьЕтики натуральных .чисел. Для практики вузовского преподавания (как и школьного) имеет значение тот факт, что указанным этапам развития теории соответствуют этапы ее изучения.'

Лишь хорошо овладев основными понятиям данной теории на интуитивном уровне, шкш приступить к изучению ее аксиомптическо-го описания. хорош изучив аксиоматическую теорию, изложенную содержательно, можно пытаться понять ее цормальше изложение.

Усвоение понятия числа на интуитивном уровне начинается в дошкольном возрасте, охватывает весь период игольного обучения и завершается на младших курсах вуза (комплексные числа). Таким образов, мн гокем исходить из того, что к мз менту проходами я курса "Числовые системы" изучение чисел на интуитивном уровне уже завершено и составляет пропедевтику этого курса. Отсюда необходиг/о следует, что в процессе преподавания курс "Числовые системы" должен строиться как содержательная аксиоматическая теория. Рнакомство с йормализсванными теориями есть одна из задач курса математической логики, в котором и рассматриваются некоторые пример» форматизаций.

Аксиоматический метод в преподавании традиционно связывается с геометрическими теориям, однако, как справедливо ¡замечает Л. А.Столяр (в книге "Педагогика натематики"), геометрия меньше всего подходит для обучения аксиоматическому методу, так как в ее основе лежит "громоздкая аксиоматика". Достаточно вспогнить, что полный список аксиом евклидовой'геометрии, составленный Д.Гильбертом, содержит 20 аксиом, в то время как теория натуральных чисел Пеано содержит всего 5 аксиом (их (Южно свести л четырем, исключив единицу из тлела первичных понятий).

В экспериг/йнтальном преподавании курса числоеых систем ав-тором-использовались всего 8 аксиом теории множеств: аксиома объемности (другое лаззание' "аксиома экстенсиональности"), ак-у сио_ма пусного множества, аксиома выделения, аксиома" степени, аксиома объединения, аксиома неупорядоченной пары, аксиома регулярности (ее часто называют "аксиомой фундирования") и аксиома бесконечности, чормулировки отих аксиом и необходимые следствия из них приводятся в приложении I к диссертации, где кратно излагается содержание экспериментального курса. &тих ' аксиом оказывается достаточно для построения всех числовых систем и для получения всех теорем теории множеств, необходимых для этого построения.-В педагогическом плане е а ясно то обстоятельство,- что с интуитивной-точки зрения эти аксиомы оказываются для обучающихся вполне естестпсннцш и не вызывают

особых затруднений при усвоении.

Гемение структутою-содерпательных проблем обучения создает основу для определения рациональных методов обучения, обес-пе'п:во!сг"!х достаточную эффективность учебного процесса. Эта методы дол.чнч не только обеспечивать усвоение обучаемыми оппе-деленннх знаний, но и способствовать решению определенных воспитательных задач как в плане повышения интеллектуального уровня обучаемых, так и в плане развития их профессиональных качеств. курс числовых систем имеет значительные образовательные и воспитательные возго-оюсти, но для их реализации необходимы не только четкая научная отэганизешя курса, но и нал"чие согласованной с принятой структурой курса техники преподявапия. При этом обучение должно происходить та'к, чтобы обучаемые не получали кагдый раз готовые гсчшы, которые им затем надлежит заучивать, а как бы участвовали ссми в открытии нового, другими словами, необходима решение проблемы активизации обучаемых в процессе обучения, пвичем решение этой проблемы додано в значительной мере определяться особенностями преподаваемого курса.

Методы активизации служат реализации важнейшего дидактического принципа - принципа активности обучаемых в процессе обучения и являются поэтому пзедметогл большого количества исследований многих педагогов. в этих исследованиях рассматриваются различные системы дидактических принципов, но легкэ убедиться, что в любой такой системе принцип активности об^гчаемых играет особую роль, так как приемы реализации в процессе преподавания многих остальных принципов являются, как правило', и приемами активизации обучаемых (вто касается дидактических ' принципов наглядности, индивидуального подхода, сознательного усвоения и т.д.). Необходима перечислить те мзтодические прне-. мы, которые оказались особенно полезными пр! лекционном изложения курса числовых систем в процессе экспериментального преподавания.

1. Организация учебного материала, при которой каждый шаг в построении какого-либо объекта или доказательства какого-либо свойства представляется для студентов к моменту его проведения не только обоснованным, но даже и необходимым.

2. Иллюстрация логических ходов, приводящих к новому понятию или методу.

3. Связывание изучаемого со школьным матешалом. .

4. Предоставление некоторых доказательств, а тпкке фрагментов доказательств для самостоятельной работы (заметим, что утверждение, предоставляете для самостоятельного доказательства, дотаю быть выделено и четно сйормулировано).

5. Употребление логических символов как средство достижения наглттности записи.

6. Использование графических иллюстраций при построении ■систем целых, рациональных, действительных и комплексных чисел.

7. Введеш1е в лекционное изложение исторического матери- .

ала.

8. Выяп.'лние межтоедметных связей курса.

I) связи,с последшм пунктом можно указать такие интересные приложения, как .гостроение обшей теории пределов действительных и комплексных Функций (не обязательно числового аргумента), применение комплексных чисел для доказательства формул тригонометрии, применение гиперюмплексннх чисел 2-го ранга к геометрии, использование кватернионов в геометрии и механике и другие, с этим материалом связано множество интересных тем для курсовых работ.

Необходимым средством для сознательного усвоения любого математического курса и для осуществления воспитательных возможностей, связанных с этим кутсои, является решение задач. При изучении курса числовых систем почти не цриходитея решать какие-либо стандартные упражнения определенных типов, но оказываются необходим»! именно нестандартные задачи, требующие заинтересованности и значительного впрочем вполне посильного для старшекурсников напряжения мысли. В этом и заключается основная ценность практических занятий по данному курсу для подготовки педагога-математика. Использованные на практических занятиях задачи составили приложение 2 к диссертации (почти все задачи оригинальны). Что же касается организации практических занятий, то она во многом определялась сравнительно небольшим количеством учебного времени, которое оказалось воз-южным отвести на эти занятия в процессе экспериментальной работы, и нестандартностью заданий. При экспериментальном преподавании оптимальной оказалась такая организация практических занятий, когда список задач выдается каждый раз перед занятием для решения дома, а на'аудиторных занятиях-производится анализ

получению: решений. Таким образок, решение задач оказывается целиком отнесенным к самостоятельной работе студентов, связанно» с постоянным контролем. Преимущество такой организации вытекает г.з очевидного факта, что без упорной целенаправленной самостоятельной работы будущего специалиста невозможно как получение пточных знаний, так и Формирование его профессиональных качеств. ?то особенно касается будущих учителей, которым придется не только обучать, но и воспитывать школьников. Воспитание ке происходит не на каких-то специальных воспитательных мероприятиях, а в первую очередь на уроках, где учитель воспитывает ученика преете всего своим личным отношением к работе и своим! профессиональным! качествами, в том числе умением мыслить сагосгоятельно, нешаблонно .

При прохождении курса чистовых систем оказыв.-ются эффективным! и многие другие форт самостоятельной работы: работа с конспектом лекций, в частности, восстановление доказательств, отнесенных на самостоятельную работу, изучение к конспектирование учебной литературы, подготовка сообщений и докладов, участие в их обсуждении, подготовка к контрольным мероприятиям, курсовые работы и т.д. Специфика учебной дисциплины "Числовые системы", отнесение ее на старшие куосй педвуза позволяет сделать объем самостоятельной работы то этой дисциплине весьма значительным, при. этом особую роль приобретают контролирующие функции преподавателя.

Бкспери'вятальная проверка предлагавши организации курса "Числовые системы" и его методического обеспечения проводилась на физию-математическом фащглътете Шуйского государственного педагогичестого института им. Д.Л.Фурианова. Его целью явля- — лось построение учебного курса, содержащего современные научные представления о понятии числа и в го же время удовлетворяющего современным требованиям математической строгости (которые не выполняются при традиционном построении курса). Построение числовых систем, основанное на аксиоматической теории множеств, совершенствуя логическую структуру курса, вместе с тем повышает его абстрактность. Поэтому главной задачей эксперимента была проверка того, что предложенная структура в достаточной степени обеспечивается методическими приемами, позволяющими сделать курс не менее доступным и получить в процессе преподавания результаты по крайней мере не хуже, чем при тради-

ционном построении курса. Второй задачей, которая была решена в процессе эксперимента,: било подтверждение нашего предположения о том, что предлагаемая структура и методика курса повышают заинтересованность студентов в изучении курса, способствуй привлечению будущих педагогов-математиков к вопросам обоснования понятия числа и других основных понятий математики, в большей степс ни, чем пш традиционном преподавании, активизируют самостоятельную работу студентов.

На пеузом этапе эксперимента (1979-1982) происходило совершенствование программы и содержания экспериментального курса числовых систем, содержание курс* оформилось в виде рукописи учебного трсобия. На втором этапе (1962-1983) совершенствовалось методическое обеспечеше курса, в частности, найдены приемы активизации обучаемых в процессе преподавания курса и рациональная организация практических занятий. В этот же период .быж> завершено составление задач для практических занятий. Основной целью третьего этапа эксперимента (1983-1989) являлось решение задач эксперимента путем сравнения результатов обучения контрольных и экспериментальных групп. Обработка результатов производилась с использованием статистических критериев и показала, что преподавание купса в соответствии с предложенной структурой не снижает (с достоверностью 0,95) успеваемость по сравнению с традиционным обучением и, более того, увеличивает вероятность появления хорошей или отличной оценки как на экзамене, так и за решение задач на контрольных работах.

В заключении подведены итоги, кратко.изложены результаты Исследования. В диссертации:

1) проведен анализ теоретических и методологических основ курса "числовые системы", в результате'чего выявлено несовершенство традиционной структуры курса, затрудняющее осуществление в процессе его прелодаванияосновного дидактического принципа - принципа научности преподавания;

2) проанализированы основные имеющиеся учебные пособия по теории числовых систем, монографии и статьи'по основаниям математики, содержание различные концепции числа, разработаны теоретические предпосылки, определяющие структуру и содержание курса числовых систем; ' :

. 3) выяснена важнейшая роль" курса в профессиональной подготовке педагогов-математиков;

4) разработана, теоретически обоснована и проверена в ра-сЪтг альтернативная программа курса, рассчитано число учебных ч«сов на ее прохотаенпе;

5) пазоайотано содержание курса в соответствии с предлагает! програг.^ой;

6) разработана и проверена на практике система задач и упражнений по курсу, .предложена оптимальная организация прак-тичэских спнятий, прошедшая экспериментальную проверку;

7) теоретически обоснована и отработана на практике система юетодичесгах пгиетов, приводящая к эффективному усвоению материала, высокой степени активности студентов в процессе прохождения курса.

Ооде ржание, диссертации отражено в следуюаих публикациях:

I.Элементы математического анализа:I.Множества и числа. -Иваново :Изд-во Ивановского гос.ук-та, 1981. -48 с.

2.Посгроение курса "Числовые системы" на основе аксиом теории множеств.- 1!ваново-Л1уя:Ивановский гос. ун-т - Щуйский пед. лн-т, 1987. - 40 с. -Леп. в ВИНИТИ № 9108-В 87.

3.Роль аксиомы регулярности в построении курса "Числовые системы". - Иваново-^Уя ¡Ивановский гос.ун-т - Щуйский пед.ин-т, 1988. -21 с. -Деп. в ВИНИТИ й 5Э02-В ВВ.

4Доения и предложения/Лйтематика в школе.-1969.-й 4.-

С.16.

5.Действительные числа ¡Методические рекомендация по курсам ."Элементарная математика" и "Числовые системы".-Щуя:Иад-во 1ШШ, 1990. ЕО с.

Подписано к печати IT.01.93 г. Формат бумаги 60x04 I/T6. Печ.л. 1,0. Усл.п.л. 0,33. Тираж 100 экя. Заказ 42/р.

Типографии ГУКПК Минтопэнерго Р§, г.Иваново, ул.Ермака,