автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Профессиональная направленность обучения студентов педагогических вузов в процессе углубленного изучения понятия числа

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Неискашова, Елена Валентиновна, 1999 год

Введение

Глава 1. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки будущего учителя математики

§1 Принципы профессионально-педагогической направленности обучения математике

§2 Роль специальных курсов в реализации профессиональной направленности обучения математике

Глава 2. Содержание и методика изучения курса "Нестандартные неархимедовы) модели арифметики и анализа"

§1 Краткий очерк развития понятия числа

§2 Нестандартные модели в математике

§3 Р-адические числа 4$

3.1. Необходимость введения р-адических чисел и их •'

§ чэ возможные приложения

3.2. Р-адические числа как систематические числа 5 \

3.3. Поле р-адических чисел ^ ^

3.3.1. Нормы поля рациональных чисел г

3.3.2. Поле р-адических чисел

3.3.3. Сходимость в поле р-адических чисел Р ^^

3.4. Ряды в поле р-адических чисел

3.4.1. Числовые ряды в поле р-адических чисел 40 Ч

3.4.2. Запись р-адического числа в виде ряда у

3.4.3. Степенные ряды в поле р-адических чисел

3.5. Некоторые особенности р-адических чисел и 4Z Н р-адического анализа

§4 Гипердействительные числа

4.1. Актуальные бесконечно малые в процессе их ' 428 исторического развития.

4.2. Поле гипердействительных чисел

4.2.1. Система аксиом поля гипердействительных чисел

4.2.2. Стандартная часть гипердействительного числа

4.2.3. Гипер действительные функции 1G

4.3. Элементы классического анализа с точки зрения //JT нестандартного анализа

§5 Педагогический эксперимент Заключение

Введение диссертации по педагогике, на тему "Профессиональная направленность обучения студентов педагогических вузов в процессе углубленного изучения понятия числа"

На современном этапе развития общества в средних учебных заведениях наблюдается изменение содержания, форм и методов учебно-воспитательного процесса. К настоящему времени в среднем образовании появились учебные заведения нового типа (гимназии, лицеи, колледжи, частные школы и др.), а также профильные классы и классы с углубленным изучением предметов в обычной образовательной школе; широко внедряются базисные и индивидуальные учебные планы, которые содержат новые для средней школы предметы (специальные курсы и курсы по выбору), расширяющие возможности проведения различных форм внеурочных занятий и способствующие развитию способностей учащихся. Сложившаяся ситуация предъявляет повышенные требования к выпускникам педагогических высших учебных заведений: их профессиональная квалификация во все возрастающей мере должна определяться научной базой подготовки, способностью быстро адаптироваться к изменяющимся условиям, умением постоянно пополнять и творчески использовать свои знания. Это, в свою очередь, требует от высшей педагогической школы создания новых подходов к формированию личности учителя, совершенствованию его профессиональной подготовки.

Под профессиональной подготовкой современного учителя математики традиционно понимается формирование совокупности математических, психолого-педагогических и методических знаний и умений, которые определяют деятельность учителя математики в современных условиях. Проблемы, связанные с формированием основ профессионального мастерства учителя в период его подготовки в педагогическом вузе, нашли свое отражение в трудах известных педагогов и психологов: С. И. Архангельского, Ф. Н. Гоноболина, В. В. Давыдова,

В. И. Загвязинского, Н. В. Кузьминой, Н. Н. Нечаева, В. А. Сластени-на, П. И. Пидкасистого, Н. Ф. Талызиной, А. И. Щербакова и др.

В связи с возрастающей ролью математических знаний на современном этапе развития общества требует пристального внимания и математическая подготовка будущего учителя математики. Проблемам совершенствования специальной, а также методической, подготовки учителя математики посвящены исследования математиков и методистов: Н. Я. Виленкина, В. А. Гусева, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогорова, Ю. М. Колягина, Г. Л. Луканкина, А. Г. Мордковича, Г. И. Саранцева, А. А. Столяра, Р. С. Черкасова, М. И. Шабунина и др.

Наиболее полное исследование вопросов профессионально-педагогической направленности подготовки будущего учителя математики проведено в докторской диссертации А. Г. Мордковича [89], где сформулирована концепция профессионально-педагогической направленности обучения; выявлены основополагающие принципы этой концепции: принцип фундаментальности, принцип бинарности, принцип ведущей идеи и принцип непрерывности. В результате дальнейших исследований, проводимых Г. Л. Луканкиным и его учениками [25, 43, 77] и Н. И. Батькановой [9], к уже названной совокупности принципов добавились еще два: принцип информатизации обучения и принцип комплексного подхода.

В целом ряде диссертационных исследований (В. В. Андреев, М. Р. Арабова, Н. И. Батьканова, М. В. Бородина, В. А. Гаранин, Л. Н. Евелина, Н. Н. Егармина, М. А. Новик, Н. П. Рыжова, О. А. Саввина, С. А. Севостьянова, Т. К. Юрзанова и др.) рассматриваются вопросы совершенствования профессиональной направленности обучения при изучении студентами педагогических вузов отдельных математических дисциплин.

Среди дисциплин, входящих в каждую из составляющих (общекультурная, психолого-педагогическая, специальная и методичеекая) профессиональной подготовки будущего учителя математики в педвузе, содержатся курсы по выбору, которые направлены, с одной стороны, на повышение общей, в том числе математической и информационной, культуры и, с другой стороны, на обеспечение профессиональной подготовки будущего учителя математики. Использование системы курсов по выбору позволяет педагогическому вузу более гибко реагировать на содержательные изменения, происходящие в средних общеобразовательных учреждениях, повышать качество подготовки специалистов, вводить новые специализации в связи с запросами регионов. Что же касается курсов по выбору математического содержания, то они позволяют познакомить студентов с некоторыми проблемами и задачами современной математики, приобщить их к самостоятельной исследовательской работе. Последнее особенно важно, поскольку преподаватель школы и вуза должен не только передавать своим ученикам уже известные, устоявшиеся в науке знания, но и подготавливать их к несравненно более сложной работе - к творчеству. Но для того чтобы успешно участвовать в творческом процессе, необходимо пройти немалый путь и прежде всего научиться самостоятельно и критически мыслить. Приобретению этих навыков в достаточно большой степени и призваны способствовать специальные курсы и специальные семинары, "которые дают возможность быстро подойти к современному знанию в сравнительно узкой области науки. Как правило, лектор выбирает специальный курс близко к своим научным интересам; он делится со слушателями постановками задач, которые его интересуют, знакомит с трудностями, которые он встретил при их решении и, таким образом, вводит учеников в современную проблематику науки". [32]

Известные в научно-методической литературе исследования посвящены, в основном, организации и проведению курсов по выбору по гуманитарным дисциплинам. Однако, в последнее десятилетие появился ряд исследований, связанных с организацией и проведением курсов по выбору по математическим дисциплинам (В. В. Андреев, JT. Н. Еве-лина, Н. П. Рыжова, С. А. Севостьянова, Т. К. Юрзанова).

Число - одно из основных понятий математики вообще и школьной математики в частности, поэтому углубленное изучение этого понятия является важнейшей составной частью математического образования будущего учителя математики. Так, в "Комментариях к началам Евклида" Прокла утверждается: "Геометрия есть часть математики в целом и она занимает второе место вслед за арифметикой, от которой у нее полнота и определенность, потому что все, что рационально описывается и познается в геометрии, определяется числовыми соотношениями."

Знакомство с числами начинается в школе, именно там закладываются интуитивные знания о числах и их свойствах, но, чтобы грамотно закладывать эти знания, учитель должен усвоить их научные основы. Для этих целей, то есть для углубленного изучения понятия числа, в программе подготовки учителя математики предусмотрен курс "Числовые системы", основная задача которого - перевести интуитивные знания о числах, полученные студентами еще в школе, на твердую основу доказательств, исходя из системы аксиом. Так, в ходе изучения этого курса, студенты узнают о том, что если представление о числе ограничить определенными рамками, то, кроме последовательно рассматриваемых натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и кватернионов, других чисел нет. Вместе с тем, в процессе изучения этого курса практически остается без внимания тот факт, что действительные числа - это всего лишь модель, достаточно хорошо описывающая окружающую нас действительность и наиболее нам привычная, что возможны и другие модели, которые также достаточно хорошо описывают окружающий нас мир. Так, в последние десятилетия достаточно интенсивно развиваются разделы современной математики, неотъемлемой частью которых являются р-адические числа, получившие в настоящее время широкое применение в физике при изучении процессов, протекающих в микромире, и гипердействительные числа, лежащие в основе нестандартного анализа, приложения которого внутри математики охватывают обширную область от топологии до дифференциальных уравнений, теории мер и вероятностей, теории игр.

Все вышесказанное определило тему исследования и ее актуальность.

Проблема исследования заключается в усилении профессиональной направленности обучения будущих учителей математики в процессе углубленного изучения понятия числа.

Объектом исследования является процесс обучения студентов в педагогическом вузе.

Предметом исследования является содержание и структура спецкурса "Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа", систематизирующего и обобщающего знания о числе, полученные студентами в процессе изучения различных математических дисциплин, и направленного на усиление профессиональной направленности изучения понятия числа.

Целью исследования является разработка специального курса "Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа".

Гипотеза исследования заключается в том, что если разработать спецкурс "Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа" , способствующий расширению представлений студентов о числе, полученных ими в результате изучения математического анализа, теории чисел, числовых систем, а также ориентированный на повышение уровня фундаментальной подготовки и информационной культуры студентов, то он будет способствовать выработке необходимых профессиональных умений и навыков, повышению уровня профессиональной подготовки будущего учителя математики. В данном исследовании мы исходим из того, что предлагаемый спецкурс может стать яркой иллюстрацией того, что в действительности математику следует рассматривать как источник разнообразных моделей, пригодных для отображения разных сторон действительного мира. Так, при не слишком больших и не слишком малых (по сравнению с размером человека) пространственных размерах физическое пространство с достаточной точностью описывается обычной геометрией Евклида; при значительном же уменьшении или увеличении размеров эта точность начинается расшатываться. Например, в силу справедливости неравенства где Ах - погрешность в измерении длины, h - постоянная Планка, с - скорость света, G - гравитационная постоянная), измерение расстояний, меньших 1р, невозможно и, следовательно, использование действительных чисел при изучении процессов, происходящих в микромире, нецелесообразно. В. А. Успенский, относительно существования различных моделей окружающего нас мира, пишет: "По-видимому, разумно принимать принцип множественности моделей и считать, что действительность описывается сразу целой совокупностью математических моделей, частично противоречащих друг другу. Так, скорее всего, разумно считать, что физическое пространство одновременно описывается несколькими моделями, одна из которых -обычная евклидова геометрия ." [127, с. И9]

Высказанные цель и гипотеза потребовали решения следующих исследовательских задач:

1) разработать структуру и содержание специального курса "Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа", который бы систематизировал и расширял знания о числе;

2) разработать заданный фонд, сопровождающий изучение теоретической части данного спецкурса;

3) экспериментально проверить выдвинутую гипотезу.

В соответствии с поставленными задачами в процессе работы над диссертацией были использованы следующие методы педагогического исследования;

1) теоретический анализ, опирающийся на изучение философской, педагогической, математической и учебной литературы и литературы по истории математики, а также трудов крупнейших математиков прошлого;

2) анализ личного опыта преподавания числовых систем и математического анализа;

3) педагогический эксперимент.

Исследование проводилось на базе математического факультета Московского педагогического государственного университета в течение 1993-1999 годов. В ходе первого этапа исследования был проведен анализ состояния профессиональной подготовки будущего учителя математики, изучен и проанализирован опыт преподавания курсов по выбору в педагогических вузах. Основной задачей второго этапа исследования являлось определение оптимального содержания специального курса "Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа", направленного на систематизацию и обобщение знаний студентов о числе. Часть результатов, полученных в ходе проведения первых двух этапов исследования, была представлена в магистерской диссертации "Исследование некоторых проблем, связанных с понятием числа". Во время третьего, завершающего, этапа исследования велось преподавание разработанного специального курса на старших курсах математического факультета МПГУ.

Основные положения, результаты исследования докладывались и обсуждались: и

1) на защите магистерской диссертации "Исследование некоторых проблем, связанных с понятием числа" (июнь 1996 г);

2) на научно-методической конференции математического факультета МПГУ (март 1997 г);

2) на всероссийской научно-практической конференции "Вариативное образование на селе: актуальные проблемы организации, содержания и технологии обучения" (Арзамас, 1997 г);

3) на научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики МПГУ (март 1999 г).

Научная новизна исследования состоит в том, что

1) обоснована необходимость спецкурса, который бы систематизировал и обобщал знания студентов о числе, полученные ими в процессе изучения таких дисциплин, как математический анализ, теория чисел, числовые системы, и создавал тем самым целостное представление о числе;

2) разработан спецкурс, содержание и методика которого ориентированы на повышение профессиональной направленности обучения будущих учителей математики.

Практическая значимость работы заключается в том, что материал разработанного спецкурса, содержание и методика которого направлены на усиление профессиональной направленности изучения понятия числа могут быть использованы преподавателями, ведущими занятия по математическому анализу, числовым системам и методике преподавания математики; студентами педагогических вузов в их дальнейшей работе в школе при определении содержания факультативных курсов.

На, защиту выносятся:

1) обоснование необходимости создания специального курса, систематизирующего и обобщающего знания о числе;

2) содержание и структура специального курса "Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа".

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Заключение

Проведенное теоретическое и экспериментальное исследование показало, что первоначально выдвинутая гипотеза полностью подтвердилась. Число - одно из основных понятий математики вообще, и школьной математики в частности, поэтому углубленное изучение этого понятия является важнейшей составной частью математического образования будущего учителя математики. Именно в школе закладываются интуитивные знания о числах и их свойствах, которые человек использует на протяжении всей своей дальнейшей жизни. Но для того, чтобы грамотно закладывать эти знания, учитель сам должен обладать фундаментальными знаниями в этой области. Опыт вузовского преподавания специальных курсов показывает, что специальные курсы обладают широким спектром возможностей для совершенствования профессиональной подготовки будущего учителя математики.

Сформулируем основные выводы и полученные результаты исследования.

1) Обоснована необходимость спецкурса, который бы систематизировал и обобщал знания студентов о числе, полученные ими в процессе изучения таких дисциплин, как математический анализ, теория чисел, числовые системы, и создавал тем самым целостное представление о числе.

2) Разработан спецкурс, содержание и методика которого ориентированы на повышение профессиональной направленности обучения будущих учителей математики, а также список задач, сопровождающий изучение теоретической части данного спецкурса.

3) Содержание специального курса "Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа" реализует принципы профессионально-педагогической направленности обучения студентов: принцип фундаментальности и принцип бинарности. Принцип фундаментальности реализуется в рассматриваемом спецкурсе в виде дальнейшего расширения понятия числа, позволяя, тем самым, углубить знания студентов - будущих учителей математики - о таком важном понятии математики вообще, и школьной математики в частности, как о понятии числа. Принцип бинарности реализуется в предлагаемом спецкурсе следующим образом:

- изучая нестандартные модели арифметики натуральных чисел, мы изучаем роль аксиомы индукции в построении теории делимости, теории простых чисел, в справедливости арифметических операций; при этом мы используем модели, построенные с помощью пар чисел (что доступно пониманию и школьника, например, координаты вектора на плоскости - пары чисел);

- изучая р-адические числа, мы изучаем роль аксиомы Архимеда в теории неравенств, при построении геометрии; так, например, в геометрии, описываемой с помощью р-адических чисел, все треугольники равнобедренные, любая внутренняя точка круга является его центром;

- изучение гипердействительных чисел позволяет познакомить будущих учителей математики с другим возможным методическим подходом при изучении основ математического анализа в школе; в одном из разделов диссертационного исследования мы привели несколько примеров, показывающих насколько становятся более доступными для понимания основные положения и теоремы математического анализа, если при их изучении использовать приемы нестандартного анализа.

4) При изложении теоретической части специального курса "Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа" реализуются межпредметные и внутрипредметные связи различных курсов, читаемых на математических факультетах педагогических вузов, что способствует совершенствованию математической культуры учащихся. Изучение данного спецкурса актуализирует знания студентов, полученные ими при изучении таких дисциплин, как математических анализ, теория чисел, числовые системы.

5) Специальный курс "Нестандартные (неархимедовы) модели арифметики и анализа" расширяет кругозор будущих учителей математики, знакомя их с различными числовыми системами (отличными от системы действительных чисел), которые могут быть использованы для описания процессов, происходящих в окружающей нас действительности; имеет глубокую ориентацию на школу: в нем рассматриваются такие важные вопросы школьной математики, как свойства арифметических операций, роль "хорошего" порядка в математике, роль нормы в построении школьной математики (например, в геометрии), роль контрпримеров при изучении математики.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Неискашова, Елена Валентиновна, Москва

1. Адян С. И. Математическая логика// Математическая энциклопедия. -М., 1985. -Т.З-с.567-574

2. Альбеверио С. и др. Нестандартные методы в стохастическом анализе и физике. М.: Мир, 1990. - 616с.

3. Андреев В. В. Профессиональная направленность обучения студентов педагогических вузов в курсе теории аналитических функций: Дис. канд. пед. наук. М., 1993. - 253с.

4. Арабова М. Р. Методические основы профессиоанльно-педагогической подготовки учителя физики и математики в педагогическом институте (на примере взаимосвязанного изучения математического анализа и механики): Дис. . канд. пед. наук. Душанбе, 1989. - 166с.

5. Архангельский С. И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы. М.: Высшая школа, 1980. - 368с.

6. Архимед. Сочинения. М.: Физматгиз, 1962. - 639с.

7. Архитектура математики. Сборник статей. М.: Знание, 1972. - 32с.

8. Бар-Хил ел И., Френкель А. А. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. - 555с.

9. Батьканова Н. И. Профессионально-педагогическая направленность обучения элементарной геометрии студентов педвузов: Дис. . канд. пед. наук. Саранск, 1994. -168с.

10. Ю.Бейкер А. Введение в теорию чисел. Минск: Вышэйшая школа, 1995. - 127с.

11. П.Берс Л. Математический анализ. Т.1. М.: Высшая школа, 1975. -519с.

12. Бешенков С. А. Моделирование структур учебных текстов по математике: Дис. канд. пед. наук. М., 1986. - 150с.

13. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1964. -566с.

14. Бородина М. В. Профессионально-педагогическая направленность организации изучения функциональной линии в курсе математического анализа педагогического института: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1993. - 16с.

15. Бурбаки Очерки по истории развития математики. М.: ИЛ, 1963. -292с.

16. Валле-Пуссен Ш. Ж. Курс анализа бесконечно малых. М.-Л.: ГТТИ, 1933. -396с.

17. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1976. - 648с.

18. Варпаховский Ф. Л., Колмогоров А. Н. О решении десятой проблемы Гильберта// Квант. 1970. - № 7. - с.38-44

19. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Мир, 1989. - 400с.

20. Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. М.-Л.: ОНТИ, 1935. - 467с.

21. Виленкин Н. Я. Проблемы подготовки учителя математики в пединститутах. М.: Просвещение, 1974. -313с.

22. Виленкин Н. Я., Мордкович А. Г. Подготовку учителей математики на уровень современных требований// Математика в школе. 1986. -№ 6. - с.6-10

23. Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. Р-адический анализ и математическая физика. М.: Наука, 1994. - 352с.

24. Выгодский М. Я. Основы анализа бесконечно малых. М.-Л.: ГТТИ, 1933.-392с.

25. Гаврилова М. А. Компьютерная ориентация методической подготовки будущих учителей математики: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1994. - 16с.

26. Гаранин В. А. Формирование познавательной самостоятельности студентов педвуза в процессе обучения геометрии: Дис. . канд. пед. наук. Самара, 1995. - 174с.

27. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. М.: Мир, 1993.-416 с.

28. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. -492с.

29. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука, 1979. -558с.

30. Гнеденко Б. В. Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение, 1985. - 192с.

31. ЗЬГнеденко Б. В. О призвании учителя// Математика в школе. 1981. -№ 5. -с.5-11

32. Гнеденко Б. В. Развитие мышления и речи при изучении математики// Математика в школе. 1991. - № 4. - с. 3-9

33. Гнеденко Б. В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. М.: Просвещение, 1982. - 145с.

34. Гоноболин Ф. Н. Книга об учителе. М.: Просвещение, 1965. -260с.

35. Гончаров В. Л. Начальная алгебра. М.: АПН РСФСР, 1960. - 451с.

36. Граве Д. А. Трактат по алгебраическому анализу. Т.2. Киев: АН УССР, 1939.-411с.

37. Григоренко Л. В. Формирование готовности студентов педвуза к профессиональной деятельности в процессе самостоятельной работы: Дис. канд. пед. наук. Кривой Рог, 1991. - 162с.

38. Гусев В. А. Методические основы дифференцированного обучения математике в школе: Автореф. дис. . д-ра пед. наук. М., 1990. -39с.

39. Давыдов В. В., Зинченко В. П. Принцип развития в психологии// Вопросы философии. 1980. - № 12.

40. Давыдов В. В., Рубцов В. В. Тенденции информатизации советского образования// Советская педагогика. 1990. - № 1. - с.50-55

41. Даубен Д. У. Георг Кантор и рождение трансфинитных множеств// В мире науки. 1983. - № 3. - с.76-78

42. Девис М. Прикладной нестандартный анализ. М.: Мир, 1980. -237с.

43. Диков А. В. Компьютерная ориентация профессиональной подготовки будущих учителей математики: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1994. - 21с.

44. Дорофеев Г. В. Строгость определений математических понятий школьного курса с методической точки зрения// Математика в школе. 1984. -№ 3. - с.56-59

45. Дынкин Е. Б., Успенский В. А. Математические беседы. М.: Го-стех-издат, 1952. - 288с.

46. Евелина Jl. Н. Профессионально-педагогическая направленность курса элементарной геометрии в педагогическом вузе: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1993. - 15с.

47. Егармина Н. Н. Дифференциальное и интегральное исчисление на основе нестандартного анализа. Липецк: ЛГПИ, 1991. - 160с.

48. Егармина Н. Н. Идеи нестандартного анализа в математической подготовке будущих учителей: Дис. . канд. пед. наук. Липецк, 1993.-156с.

49. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. -М.: Наука, 1970. -72с.

50. Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. M.-JL: ГИТТЛ, 1940. - 415с.

51. Карно Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых. М.-Л.: ГТТИ, 1953. - 216с.

52. Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982. -440с.

53. Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек. М.-Л.: ГТТИ, 1935.- 208с.

54. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. -434с.

55. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. -М.: Наука, 1987. 480с.

56. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.2. -М.: Наука, 1987.-416с.

57. Коблиц Н. Р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функция.- М.: Мир, 1982. -192с.

58. Колмогоров А. Н. Математика в ее историческом развитии. -М.: Наука, 1991.-224с.

59. Колмогоров А. Н. Математика-наука и профессия. М.: Наука, 1988. - 288с.

60. Колмогоров А. Н. Некоторые вопросы взаимосвязи курса математики с другими предметами// Межпредметные связи в учебно-воспитательном процессе средней общеобразовательной школы. -М., 1977. 248с.

61. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике: Ч. 1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. М.: Просвещение, 1977. - 110с.

62. Кудрявцев JI. Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1985. - 176с.

63. Кузьмина Н. В., Генецинский В. И. Актуальные проблемы профессионально-педагогической подготовки учителя// Советская педагогика. 1982. - № 3. - с.63-66

64. Курант Р., Робинсон Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967. -558с.

65. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартные методы анализа. -Новосибирск: Наука, 1990. 313с.

66. Левчук 3. С. Формирование готовности к профессиональному творчеству у студентов педвуза: Дис. . канд. пед. наук. Минск, 1992. -178с.

67. Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочине-ний/Сост. и пер. А. П. Юшкевич// УМН. 1948. - Т.2, вып. 1 (23). -с. 165-204

68. Линдон Р. Заметки по логике. М.: Мир, 1968. - 128с.

69. Литвинов Н. Н. Преподавание учения о числе в педагогическом институте: Дис. канд. пед. наук. Л., 1958. - 268с.

70. Литлвуд Дж. Математическая смесь. М.: Наука, 1990. -140с.

71. Лопиталь Г. Ф. Анализ бесконечно малых. М.-Л.: ГТТИ, 1935. -380с.

72. Лосев А. Ф. Хаос и структура. М.: Мысль, 1997. - 831с.

73. Л узин Н. Н. Собрание сочинений. М.: АН СССР, 1959. - Т.З. -507с.

74. Луканкин Г. Л. Научно-методические основы профессиональной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дис. . д-ра пед. наук в форме науч. докл. Л., 1989. -60с.

75. Лурье С. Я. Теория бесконечно малых у древних атомистов. М.-Л.: АН СССР, 1935. - 256с.

76. Математика в современном мире. Сборник статей. М.: Мир, 1967. - 205с.

77. Математики о математике/ Сост. В. И. Левин. М.: Знание, 1972. -47с.

78. Математическое образование сегодня/ Сост. Б. В. Гнеденко, В. А. Титов. М.: Знание. 1974. - 63с.

79. Методика преподавания математики в школе: Частная методика/ Сост. Мишин В. И. М.: Просвещение, 1987. - 416с.

80. Мищенко А. И. Формирование профессиональной готовности учителя к реализации целостного педагогического процесса: Дис. . д-ра пед. наук. М., 1992. - 387с.

81. Молодший В. Н. Основы учения о числе в 18 веке и начале 19 века. -М.: Учпедгиз, 1963. 262с.

82. Молодший В. Н. Основы учения о числе в 18 веке. М.: Учпедгиз, 1953.- 180с.

83. Молодший В. Н. Очерки по вопросам обоснования математики. -М.: Учпедгиз, 1958. 230с.

84. Монахов В. М. Совершенствование преподавания математики в свете требований реформы школы// Математика в школе. 1984. -№ 6. - с.5-9

85. Мордкович А. Г. О профессионально-педагогической направленности математической подготовки будущих учителей// Математика в школе. 1984. - № 6. - с.42-45

86. Мордкович А. Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дис. д-ра пед. наук. М., 1986. -355с.

87. Неискашова Е. В. К вопросу о содержании спецкурсов в связи с углублением понятия числа/ Научные труды МПГУ. Серия: естественные науки. М.: Прометей, 1998. - 389с.

88. Нейман Дж. Математик// Природа. 1983. - № 2. - с.88-95

89. Нечаев В. И. Число// Математическая энциклопедия. М., 1985. -Т.5. - с.874-878

90. Нечаев В. И. Числовые системы. М.: Просвещение, 1975. - 199с.

91. Нечаев Н. Н. Психолого-педагогические аспекты подготовки специалистов в ВУЗе. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. - 113с.

92. Никандров Н. Д. Об активизации учебной деятельности// Вестник высшей школы. 1983. - № 8. - с.26-32

93. Новик М. А. Формирование методической культуры учителя математики в пединституте: Дис. д-ра пед. наук. М., 1990. - 317с.

94. Новоселов С. И. Специальный курс элементарной алгебры. М.: Советская наука, 1954. - 560с.

95. Ныотон И. Математические работы. M.-JI.: ОНТИ, 1937. -328с.

96. ЮО.Пидкасистый П. И., Гарунов М. Г. Самостоятельная работа студентов. М.: Знание, 1978. - 35с.

97. Ю1.Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. -М.: Наука, 1975.-464с.

98. Ю2.Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976. - 448с.

99. ЮЗ.Понтрягин J1. С. Обобщения чисел. М.: Наука, 1986. - 120с.

100. Ю4.Портнов М. JI. Педагогическое мастерство учителя и пути его формирования// Советская педагогика. 1977. - № 3.

101. Потоцкий М. В. Преподавание высшей математики в педагогическом институте. М.: Просвещение, 1975. - 208с.

102. Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969. - 239с.

103. Проблемы подготовки учителя математики в пединституте/ Межвузовский сборник научных трудов. М.: МГЗПИ, 1987. - 174с.

104. Проблемы современной математики (математика и естественные науки)/ Сост. Б. В. Гнеденко. М.: Знание, 1971. - 48с.

105. Ю9.Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. - 735с.

106. ПО.Ревякин А. И. Проблемы изучения и преподавания литературы. -М.: Просвещение, 1972. 367с.

107. Реньи А. Трилогия о математике. М.: Мир, 1980. - 376с.

108. Рыжова Н. П. Взаимосвязь специальной и методической подготовки при изучении алгебры и теории чисел в педагогическом институте: Дис. канд. пед. наук. Самара, 1994. - 170с.

109. З.Саввина О. А. Теоретические основы взаимосвязи школьного курса математики и педвузовского курса математического анализа: Автореф. дис. канд. пед. наук. М., 1996. - 18с.

110. И4.Саранцев Г. И. О профессиональной подготовке учителя математики// Математика в школе. 1990. - № 4. - с. 11-13

111. И5.Севостьянова С. А. Совершенствование логической подготовки студентов математических факультетов педвузов: Дис. . канд. пед. наук. Спб, 1996. - 140с.

112. Иб.Сластенин В. А. Формирование личности учителя советской школы в процессе его профессиональной подготовки: Автореф. дис. . д-ра пед. наук. М., 1977. -29с.

113. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? М.: Мир, 1982. - 239с.

114. Сойер У. У. Прелюдия к математике. М.: Мир, 1972. - 192с.

115. Сотникова О. А. Методологический подход к изучению теоретического материала курса алгебры и теории чисел в педвузе: Дис. . канд. пед. наук. Спб, 1996. - 144с.

116. Столяр А. А. Педагогика математики. Курс лекций для математических специальностей педагогических институтов. Минск: Высшая школа, 1974. - 382с.

117. Столяр А. А. Роль математики в гуманизации образования// Математика в школе. 1990. -№ 6. - с.5-7

118. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1990. -256с.

119. Талызина Н. В. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. - 344с.

120. Тихонов А. Н. Математическая модель// Математическая энциклопедия. М., 1985. - Т.З. - с.574-575

121. Успенский В. А. Нестандартный, или неархимедов, анализ. М.: Знание, 1983. - 62с.

122. Успенский В. А. Теорема Геделя о неполноте. М.: Наука, 1982. -111с.

123. Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ? М.: Наука, 1987.- 128с.

124. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. 4.1. М.: Просвещение, 1982. -208с.

125. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. 4.2. М.: Просвещение, 1983. -192с.

126. Хинчин А. Я. Педагогические статьи. М.: АПН РСФСР, 1963. -238с.

127. Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.: ОН-ТИ, 1938.-456с.

128. Черкасов Р. С. О методической подготовке учителя математики в педвузе// Математика в школе. 1976. - № 5. - с.80-82

129. Шабунин М. И. Научно-методические основы углубленной математической подготовки учащихся средних школ и студентов вузов: Дис. д-ра пед. наук в форме науч. докл. М., 1994. - 28с.

130. Щербаков А. И. Некоторые вопросы совершенствования подготовки учителя// Советская педагогика. 1971. - № 9. - с.82-89

131. Эйлер JI. Введение в анализ бесконечных. Т.1. М.: Физматгиз, 1961.-315с.

132. Юрзанова Т. К. Повышение эффективности профессиональной подготовки будущих учителей математики на основе использования курсов по выбору: Дис. канд. пед. наук. М., 1996. - 219с.

133. Юшкевич А. П. Лейбниц и основания исчисления бесконечно ма-лых//УМН. 1948. -Т.З, вып. 1 (23). - с. 150-165

134. Юшкевич А. П. Хрестоматия по истории математики. М.: Просвещение, 1977. - 224с.

135. Яновская С. А. Мишель Ролль как критик анализа бесконечно малых// Труды института Истории естествознания АН СССР. 1947. -Т. 1. - с. 327-346

136. Helena Rasiowa Introduction to modern mathematics. Warszawa, 1973.

137. Keisler H. J. Elementary Calculus. Boston, Prindle: Weber & Schmidt, 1976.

138. Keisler H. J. Foundations of Infinitesimal Calculus. Boston, Prindle: Weber & Schmidt, 1976.

139. Robinson A. Non-Standard Analysis. Amsterdam: North-Holland, 1966.

140. Sillivan K. The teaching of elementary calculus using the nonstandard analysis approach// Amer. Math. Monthly. 1976. - V. 83, № 5 . -p.370-375