автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Построение курса "числовые системы" на основе аксиом теории множеств и методика его преподавания при подготовке учителей математики

Автореферат диссертации по теме "Построение курса "числовые системы" на основе аксиом теории множеств и методика его преподавания при подготовке учителей математики"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Специализированный совет К 113.25.03

На правах рукописи

КОЗИОРОВ Юрий Николаевич

ПОСТРОЕНИЕ КУРСА «ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ» НА ОСНОВЕ АКСИОМ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И МЕТОДИКА ЕГО ПРЕПОДАВАНИЯ ПРИ ПОДГОТОВКЕ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

13.00.02 — методика преподавания математики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Шуйском государственном педагогическом институте имени Д; А. Фурманова. «

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Столяр А. А., кандидат физико-математических наук, додент Ннжников А. И.

Ведущая организация —

Московский педагогический университет.

Защита состоится « » . ^ЛЧ^. 1993 г.

в 14 часов на заседании специализированного совета К 113.25.03 по присуждению ученой степени кандидата педагогических наук в Московском государственном открытом педагогическом институте по адресу: 109004, Москва, ул. Верхняя Радищевская, 16/8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного открытого педагогического института.

Автореферат разослан « »

1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат педагогических наук, доцент

ДЕНИЩЕВА Л. О.

ОНРАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЯЭТЫ

Процессы, пгюисходягае в нашем обкестве, обнаружили необходимость реорганизации всей систем народного образования и, в частности, ¡»речного Изменения деятельности высшей школы. О гной кз актуальных проблем остается проблема подготовки специалистов, икекцих навыки самостоятельного творчества и кштичесюго мышления, 'отаеяггяцтошляся в потоке шйодашк, ушввдх использовать последние достижения науки в свое;! пгхкТ.ессиокалъной деятельности. Особенно ва:дно зто для тех, кто избрал для себя учитель скуй про(Тессию, так кап учитель, не-имеютй творческих качеств, не заложит их и в своих учениках. Такой учитель не стонет в должной мере способствовать повышению культуры и образованности общества, без чего невозмокна никакая перестройки ни в экономике ни в политической лизни.

Настоящая работа поевятена некоторым проблемен подготовки учителей математики. Важность этих проблем обусловлена той' ролью, штору» играет курс математики в обучении и воспитании школьников. Не говоря ухе о том, что сведения, получаемые при .изучении втого предмета, необходимы как в производственной деятельности, так и в повседневной яизни, изучение математики вн-рабатшает правильное логическое нетление, прививает творческие навыки, трудолюбие, способствует выработке четкой мировоззренческой позиции. Но свою уникальную воспитательную и образовате-льнув роль этот игольный предает шкет играть лишь в том случае, если учитель математики будет облапать достаточной культурой, позволяющей следить за развитием преподаваемой им науки,и умгть при необходимости популярно рассказывать ученикам о ее важнейших достижениях. Для этого он должен представлять себе структуру математики в целом, не только знать классические математические дисциплины, но иметь представление и о современных ветвях математики. Он должен быть знаком с проблеют обоснования математики, с философским! проблемами, связанными с'математикой. Он долгая иметь представление о-многочисленных пряжениях математики, о ее связях с другими наукаш, знать историю прешда-ваег.ой им науки.

, Если исходить из перечисленных требований, то становится ' ясным, что одним из непременных компонентов образования и воспитания учителя математики должен быть курс "часловые системы" ввиду следующих его особенностей: I) он знакомят с современшй

трактовкой одного из основных понятий наука - понятия числа, а это знакомство необходимо каждому культурному математику, тем более тому, кто ее преподает; 2) курс профессионально направлен г построение и изучение чисел является главной темой школьного курса математики; 3) курс хорошо илластрарует основной современный метод изложения математической теории - аксиоматический метод; 4) курс содешит доказательства, иллюстрирующие самые разнообразные способы логического рассуждения, основная часть задач по курсу - задачи "на доказательство", все это способствует совершенствованию навыков абстрактного мышления, необходимых учителю математики, поскольку пшвитие этих навыков школьникам -.важнейшая задача уроков математики; 5) курс имеет все возюж- . ности пробуждения интереса студентов к вопросам обоснования математики, что является необходимой предпосылкой, повышения их математической культуры, углубления математической интуиции и выработки четкого научного мировоззрения. ■

Большие образовательные и воспитательные возможности, заложенные в курсе числовых систем, до сйх пор полностью не реализованы, так как теоретически не обоснована структура курса, его традиционное содержание имеет существенные логические пробелы, не систематизировали методические приемы преподавания курса, нет достаточного количества разнообразных по содержанию и форме изложения учебников, обеспечивающих студентам возможность выбора. Эти обстоятельства обусловили актуальность темы и определили проблему исследования, заключающуюся в совершенствовании структуры и содержания курса "Числовые системы" как основы для создания учебников и составления системы упражнений по курсу, а такке в нахождении оптимальной системы методических приемов прохождения курса.

Объект*исследования. Процесс обучения студентов математических и физико-математических факультетов пединститутов современной теории числовых систем.

Предмет исследования. Структура и содержание курса "Цюло-вые системы" и методика его преподавания.

. 116ль исследования состоит в разработке структуры и методики курса числовых систем,' наилучшие образом учитывающих профессиональную направленность этого курса, реализующих его возможности в деле повышения познавательной .активности и математической культуры обучшшшхся» обеспечиваших доступность и

вное усвоение материала.

Анализ некоторых работ, посвяюенных основаниям математики, пскхолого-педагогичесюй и методической литератур», практики ■ преподавания привел к следутовей гипотезе, подлежащей исследованию: если изложение числовых систзк тесно связать с изложением теории множеств, которое предпочтительно провести на содержате-льно-анспокатичэской основе, к строить числа как объекты теория множеств, то осуществляется необходимое совершенствование логической структуры курса, так как на этом пути исключается все логические пробелы, имевшиеся при традиционном построении числовых систем, обеспечивается целенаправленны}! отбор учебного материала, его эайектквное/усвоение, а тают максимальная активизация учебной деятельности студентов.

Лля достижения прлл исследования и проверки указанной гипотезы потребовалось пегл'.ть следующие основные задачи:

1) провести анализ методологических и теоретических основ курса "числовые снстега", учебных пособий, монографий и статей по основаниям ¡/отенатикиг

2) выявить теоретические предпосылки, определяюсь содер>-жанке курса "числовые система";

3) усовершенствовать г.-етодическое обеспечение курса;

4) установить содержание курса, состг-вить альтернативную прегражу, определить число учебных часов на ее прохождение;

5) разработать изложение основных тем курса, систем задач и упражнений по нему.

В ходе работы попользовались следующие методы исследова-шд: изучение и теоретический анализ псклзлого-педагогических и методических т>абот, связанных с проблегой исследования; анализ научной и учебной литературы по вопросам обоснования математики и числовым системам; теоретическая разработка курса " "деловые системы", составление 7Гчебных пособий, системы упражнений и контрольных заданий по курсу; проведение педагогичес-/ кого внеперимента, обработка и атализ полученных результатов.

В ходе длительного педагогического эксперимента была проверена вся предлагаемая организация прохождения курса "Чйслэвда системы"; В процессе эксперимента использовались пособия и разработки автора. Теоретический анализ предлагаемых путей решения проблемы исследования, экспериментальная работа и применение современных методов статистической обработки полученных данных обеспечили достоверность результатов исследования. '

Уатчная новзака исследования заключатся в том, что впервые осуществлен систешо-структуршй анализ содержания курса "Условие системы" на факультетах, готовящих учителей математики; определены и обоснован» структура и содержание курса, осно-ьаннне на определении чисел как объектов аксиоматической теории -июне сто; в соответствии с предложенной структурой разработаны изложение курса и система упражнений по нему; даны методические рекомендации для преподавания курса на указанной основе.

Ира кт к у; ска а з к я чи мэ ст ь исследования определяется возшн- _ 'востью широкого Енедрения полученных результатов в практику подготовки'учителей математики в пединститутах; это позволит усилить ппочссскональную направленность курса "Числовые систе— _ мы", совершенствовать его преподавание, привлечь интерес обучающихся к основаниям математики, что шляется необходимой предпосылкой повышения общей и математической культуры будущих учителей математики. •

Положения, выносила на.заситу. Для совершенствования структуры курса "Числовые системы" необходим существенный отход от его традиционного построения, который заключается в следующем:

1, Курс должен начинаться изложением основных фактов аксиоматической теории множеств.

2. Аксиомы основных числовых систем должны рассматриваться как условия в определениях соответствующих. родов структур.

. 3. Лля каждого такого рода структур должна быть построена хотя бц одна структура атого, рода. Друтиш словами, доданы быть построзны мзде ли аксиоматик всех основных числовых систем, в том числе и система натуральных чисел (действующая программа традиционно исключает эту последнюю шдель).

4. Числа каждого вида должны определяться как элементы в точности одной из структур соответствующего рода.

5. Курс числовых систем должен строиться как единая содержательная аксиоматическая теория. '

Надлекаьие методические приемы обеспечивают доступность курса при указанных принципах построения и его нефоркальное усвоение .обучающимися.

Ащэтбамч работу. Результаты исследования докладывались на ■ ХХУ1,Х1?Т,Ю0С1У,XXXIX научно-методических конференциях преподавателей' Щуйсюго государственного пединститута им.Д.А.Фурманова

(1960- 1991 гг), на заседании научного семинара каОедры алгебры ■ Ивановского государственного университета (1990 г.), на мехлузо-вской научной конференции "Математические чтения"(город Иваново, 1991 г.). на кааедре алгебры Ктсгого государственного педагоги-' ческою института им. А.М.Юрьип'О (1991 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы, вклвчашрго 132 наименования, и трех приложений. В диссертации 2 чертежа и 4 таблицы. Обгай обт-ем работы - 202 страницы, в том числе 138 страниц основного текста.

КРАТ1Ш адаГСАИИЕ ШССВУТЩ'У,

Во введении обосновывается актуальность теин, ставится проблема исследования, Фортуктуется цель, гипотеза и задг и исследования, перечисляются мэтодп исследования, раскрывается научная новизна и практическая значимость исследования.

Первая глава "Психолото-педагогические и теоретические основы изучения чвеловнх систем на категатичесгах и ч и зию-математических Факультетах педвузов" состоит из четырех параграфов и посвяиена теоретическому обоснования положений, выносимых на закату. !'ы исходит.« из того, ?го в системе подготовки учителей математики теория чпслоенх систем является принципиально важной, так как подводит базу под все изученные ранее основные математические курсы и является основой профессиональной деятельности учителя в школе, где изучение и употребление чисел составляют главные темы уроков мзтештиця. Изучение современшй теории числовых систем требует от обучавшихся довольно высокого уровня.абстрактного кыиления, что вполне согласуется с положением учебной дисциплины "Числовые системы" на старших курсах математических и физико-математических Факультетов педвузов. Исследование некоторых теоретических вопросов, связанных с развитием понятия числа, логическими и дидактическими аспектами этого понятия, позволяет построить изучение числовых систем наиболее рациональным способом и в пределах разумной строгости так, чтобы оно югло способствовать дальнейшему повышению математической культуры студен- ■ тон, развить дальше их способность к абстрактному мышлению, пробудить интерес'« истории и методологии науки.

За последнее десятилетие опубликовано большое количество

'^¡официальных документов (в качестве примера-жхно привести "Осно-I внш направления перестройки высшего и сзеднего специального образования в стране"), в которых отмечается заметное снижение каР честна подготовки специалистов с высшим образованием. Одной из | глазных причин этого явится низкая культура логических рассун- • дений выпускников средних школ, поступаювдх в вузы, а так как в первую очередь именно математическое образование способствует выработке правильного (логического) мшленпя, то становится ясным, что нельзя достичь совершенства процесса развития логического мышления школьников, не совершенствуя логическую подготовку школьного учителя математики. Для достижения етой цели необходима использовать возможности всех изучаемых будущими педагогами . • математических дисциплин, при этом курс числових систем играет выдающуюся роль,, так как знакомит студентов с современники концепциями числовых систем, причем в связи с этими концепциям! используются и показываются в действии основные понятия всей современной математики, такие как множество, отображение, алгебраическая операция, алгебраическая система, факторизация и т.д. К тому же для усвоения яурса приходится изучать теоремы, доказательства которых иллюстрируют самые разнообразные способы математических рассуждений, и решать задачи как'раз такого .типа, которые наилучшим образом тренируют логическое мышление (задачи "на доказательство" и которпх, к сожалению, становится недапус-' тиш шло в школьной обучении. Особенностям!, курса, связанными с развитием логического мышления обучаемых, является и наличие рекурсивных определений с обоснованием их корректности и также выяснение геобходигости доказательства таких положений, которые до изучения курса казались очевидным (например, тот факт, что произведение отрицательных чисел положительно, или что 2*2=4). 4 Одна из важнейших точек зрения современной математики состоит в том, что все математические объекты ложно строить и изучать как объекты теории множеств. Эта точка зрения систематически проводится во многих работах нашего вуцаиегося математика А.Н.ЬРлшгорова, в многотомном трактате "Елемзнты математики", написанном группой видных математиков разных стран под общим псевдонимом Н.ГУрбаю!, и многих других работах как отечествен-'ных, гак и зарубежных математиков. •

. В изданных у нас а разное в ре мл учебных пособиях но числовым системам теория тожеств используется на интуитивном уровне.

Теоретито-кножествекннЯ язык применяется при изложении аксиома- ■ тических теорий основных числовых систем М .Е.Сч.Я.'П , а затем для построения их интерпретаций» наличием этих интерпретаций доказывается непротиворечивость соотБетствута'дас теорий. Бри этом • для теории натуральных чисел традиционно не строится ганаю« интерпретации или, что хухе, ее интерпретирует с помощью понятий, не имеющих математического смысла (например, в. одном из пособйй предлагается такая "интерпретация": "последовательность годовых оборотов Еемли вокруг Оолит, если обогот настоящего года принять за едииищ;"; такая интерпретация неправомерна еге и в виду конечности используемого множества). №жлу тем натуральные числа довольно просто можно интерпретировать как объекты теории множеств. Две такие интерпретации предложены создателем теории множеств Г.Кантором - это кардинальные и ординальные числа конечных множеств. В практике преподавания эти интерпретации используются обычно при условии, что теория множеств излагается на интуитивном уровне, так как при аксиоматическом изложении их аккуратное построение требует довольно много учебного времени. Употребительны ешз две интерпретация, которые без особых затрат учебного времени мэгут быть аккуратно изложены и при аксиоматическом построении теории множеств. та из них, которая неоднократно и успешно использовалась автором в лекционной практике, имеет вид

1=^}, ... •

Необходимость построения интерпретации теории натуральных чисел диктуется не столько возможностью установления непротиворечивости этой теории (в сущности, эта непротиворечивость сводится к непротиворечивости теории множеств, до сих пор не доказанной), сколько возможностью корректного определения натуральных чисел (а следовательно, и целых, рациональных, действительных и комплексных чисел). Во многих пособиях натуральные числа традиционно определяются как элементы лыбой (!) структуры вида ((N,',1), описываете известными аксиомами Пеано. Из такого определения немедленно следует, что все объекты, изучаемые математикой, являются натуральными числами, так как любой из них мы можем включить в какую-либо структуру Пеано. Пусть, например, (N1 = ¿1.2,3,... ] - множество элементов какой-нибудь такой структуры. Отталкиваясь от него, построим обычным образом целые, рациональные, действительные и комплексные числа и, в частности, оп-

ределим число L . Полагая IM*=!MuHi и i!=l, мы получаем, очевидно, новую структуру Пеню (iNV.l ). и согласно упомянутому традиционному определению число i оказывается натуральным. | Итак очевидно, что развитие любой математической теории, в одело объектов которой включены натуральные числа, возшжно лишь • при условии, что выбрана и зафиксирована какая-то одна структура iieano, элементы которой названы натуральными числами, в то время как элементы других структур» хотя бы и. изоморфных выбранной, если они не входят в эту последнюю, натуральными числами не считается. Б противном случае все объекты этой теории придется считать-натуральным! числам. Таким образом, чтобы иметь возмэк-ность определить натуральные, числа, необходию построить хотя бы , одну интерпретацию аксиоматики натуральных чисел. Отсутствие же точного определения натуральных (а танке и других) чисел влечет существенные логические пробелы в дальнейших построениях, которые и обнаруншаются-в имеющейся учебной литературе.

Рассмотрим в качестве тикера обычное построение поля комплексных чисел. Вначале рассматривается множество С =KX(R всех упорядоченных пар действительных чисел, в котором вводятся над-жащиы образом операции сложения и умножения так, что множество

вместе с атишя операция)1® образует' поле. В зтом поле упорядоченные пары вида (х,0) образуют подлеле, изоморфное полю действительных чисел; изоморфизм задается равенством: /(х,0)-х.. Теперь необходию произвести реконструкцию.полученного поля с тем, _ чтобы построить поле, изоморфное полученному, но содержащее в качестве подполя само голе действительных чисел. Замечательно, что такая реконструкция осуществляется и в тех учебниках, где натуральные, целые, рациональные и действительные числа опреде-" лякгся "с точностью до изогорфизма", хотя при таком определении поле, изоморфное полю действительных чисел, саю является полем ' действительных чисел и указанная реконструкция бессмысленна. Это относится, например, к книге И^В.Проскурякова "Числа и многочлены", откуда мы берем дальнейше рассуждения (используя наши обозначения). -

.Итак, пусть Й. - совокупность упорядоченных пер вида (х,0), где xéR. Полоним C = (C'nR' )и 5R . Отображение f , определенное 'на как указано выше, продолжим на С, полагая f (х,у)=(х,у), " если у/0, тогда -f взаимно однозначно'.(?) отображает С'на С и мы можем■ определить теперь сложение и умножение на С, полагая

для любых Ы.,{1е€' ¿(¿ИфИ^Ф' |<о01(р)=[(о^)- 1'олупагоа-яся алгебраическая структура есть поле комплекснпх чисел, содержащее в качестве годно ля поле действительных чисел.

Логический изъян этого раесуыюния, который отсечен волт-сителыпго знаком, состоит в том, чго отображение $ не обязано бить взаимно однозначным отображением С на С и будет тамовнм только в том случае, если ({,' 0, но этот факт не дока-

зывается. Легко убедиться, что это равенство не может быть доказано, если пет точного определения действительных и, в частности, натуральных чисел, а имеется лишь определение "с точностью до изоморфизма". Действительно, если использовать для определения натуральных чисел интерпретацию, о которой говорилось на стр.7, а такке- положить (х,у)= [{х!| Лх,у$^, то это равенство не имеет места, так как (Г, 1)= ЩЬ ! 3> ЭД^^^Ш^Ш33*® и в то же время имеем (I, Г) £ С'4 !$'• Несмотря на это во многих пособиях множество комплексных чисел определяется именно как (£ ) и!л! и, в частности, упорядоченная пара (1,1) интерпретируется как комплексное одело 1+ I .

Рассмотренные логические пробелы невозможно, по-видимому," устранить, оставаясь в рамках интуитивной теории множеств. При аксиоматическом изложении теории множеств указанные затруднения легко преодолеваются с помощью так называемой аксиомы регулярности, введенной в теорию множеств в 1925 г. фон Нейманом (эту аксиому назшают также аксиомой Фундирования).

Немаловажным доводом в пользу построения курса числовых систем, основанного на аксиоматической теории множеств, является педагогическое требование единства учебного курса. При использовании теории множеств на интуитивном уровне этот курс как бы распадается на 5 аксиоматических теорий (а точнее полуингуитив-ных, так как наряду с первичными терминами этих теорий, описываемых аксиомаш^используются первичные термины теории множеств, понимаемые интуитивно). Использование аксиом теории множеств превращает курс числовых систем в единую содержательную аксиоматическую теорию, в которой аксиомы конкретных числовых систем становятся условиям в определениях соответствующих структур. При этом'оказывается, что и основные понятия других изучеяцчх ранее студентами математических^ курсов можно трактовать как объекты одной аксиоматической теории. Это обстоятельство способст-

вулт осознанию единства математики в целом и пробундает интерес будущих учгтелей к вопросам обоснования науки, преподавание которой станет их профессией.

Во 3707X111 главе "Путл совершенствования методического обеспечения курса "Чтолэвые системы"", состоящей из -четырех ппвагра.Юв, рассматриваются основше вопросы методшз! ктоса "Числовые системы": птшедевтика курса, использование аксиоматического метода, реализация в процессе преподавания курса ди-. дактических принципов, вопросы организации практических занятии и самостоятельной работы студентов. В заключительном пара-грсле анализируется эффективность пгедлсгае'юй методика в соответствии с результатам? экспериментальной работы.

Исторический процесс развития некоторой глеи в научном познании окрушдаего нас мирз находит отражение в процессе усвоения этой идеи каждым отдельны!,' членом обшэства.Боэтому, например, при первоначальном ознакомлении с развитием идеи числа в процессе школьного обучения оказщается целесообразной- не та логическая схега > котокя принята'в соврег,виной

математике, а "историческая": ¡Ы ^ ¡й + ъ£5С!Я • Отсюда ясно, что учитель математики должен не только знать современную теорию числа, но и пути развитая науки, приведшие к этой теории: зто не только имеет значение для диалектической организации его удаления, но представляет и пряшй педагогический интерес, связанный с поискам! путей построения школьной математики, то есть с процессом, в котором должен участвовать каждый творчески работающий учитель.

Имеет место последовательное осуществление трех этапов развития математической теории: первый, основной и самый длительный, - развитие на интуитивном уровне, второй этап - аксиоматическое изложение данной теории (на содержательном уровне) и, наконец, третий - формализация теории. Последний этап, вообще говоря, не обязателен, поскольку содержательное изложение в большинстве случаев оказывается достаточным как для самой математики, так и для приложений. Формальное изложение осуществляется обычно для теорий, относящихся к основаниям математики, например хорош разработаны йордади задай теории множеств и апифтетики натуральных чисел. Для практики вузовского преподавания (как и школьного) имеет значение тот факт, что указанным этапам развития теории соответствует этапы ее изучения.'

■ Лишь хорошо овладев ociiobhujh понятиям* данной теории на интуитивном уровне, ?.мно приступить к изучению ее аксиоматического описания. J-Hütl xopouo изучив аксиоматическую теории, изложенную содержательно, моую пытаться понять ее цормальше изложение.

Усвоение понятия вдела на интуитивном уровне начинается ь дошкольном возрасте, охватьвает весь период школьного обучения и завершается па младших курсах вуза (комплексные числа). Таким образом, мн гокем исходить из того, что к моменту прохождения курса "Числовые системы" изучение чисел на интуитивном уровне утге завершено и составляет пропедевтику этого курса. Отсюда необходимо следует, что в процессе преподавания курс "Числовые системы" должен строиться как содержательная аксиоматическая теория. Рнакомстр.о с йэрмализеваннымд теориями есть одна из задач курса математической логики, в котором и рассматриваются некоторые примери формализация.

Аксиоматический метод в преподавании традиционно связывается с геометрическими теориями, однако, как справедливо замечает А.А.Столяр (в книге "Педагогика математики"), геометрия меньше всего подходит для обучения аксиоматическому методу, так как в ее основе легдат "громоздкая аксиоматика". Достаточно вспомнить, что полный список аксиом евклидовой геометрии, составленный Л.Гильбертом, соде рта т 20 аксиом, в то время как теория натуральных чисел Леаш содержит всего 5 аксиом (их южно свести к четырем, исключив единицу из числа первичных понятий).

В экспериг.ентальном преподавании курса числовых систем автором использовались всего 8 аксиом теории множеств: аксиома объемности (другое название "аксиома экстенсиональности"), ак-скома пусного множества, аксиома выделения, аксиома" степени, аксиома объединения, аксиома неупорядоченной пары, аксиома регулярности. (ее часто называют "аксиомой фундирования") и аксиома бесконечности. Юрмулнровки втих аксиом и необходимые следствия из них приводятся в приложении I к диссертации, где кратко излагается содержание экспериментального курса. Ьтях ' аксиом оказывается достаточно для построения всех числовых систем и для получения всех теорем теории множеств, необходимых для этого построения. .В педагогическом плане важно то обстоятельство,-что с интуитивной-точки зрения эти аксиомы оказываются для обучающихся вполне естественными и не вызывают

особых затпуднений при усвоении.

Рвение струотушо-содержательных проблем обучения создает основу для определения рациональных методов обучения, обеспечим:: "их достаточную гОДестивность учебного процесса. Эти методн должны не только обеспечивать усвоение обучаемыми определенных знаний, но п способствовать решении определенны»: вос-' питательных задач как в плане повышения интеллектуального уровня обучае./ых, так и в плаг-е развития их профессиональных качеств. КУрс числовых систем имеет значительные образовательные и воспитательные возможности, но для их реализация необходимы не только четкая научная организация курса, но и налучие согласованной с принятой структурой курса техник! преподавания. При этом обучение должно происходить так, чтобы обучаемые не получали кагдый раз готовые истины, которые им затем надле.отт заучивать, а как бы участвовали cat,и в открытии нового. Другими словами, необходимо тюнение проблемы активизации обучаемых в процессе обучения, пои чем решение этой проблем! долито в значительно it г.?ре определяться особенностям! преподаваемого курса.

Методы активизации служат реализации вакиейчего дидакти-чесшго принципа - принципа активности обучаемых в процессе обучения и являются поэтолу предметом большого количества исследований многих педагогов. В этих исследованиях рассматриваются различные системы дидактических принципов, но легко убедиться, что в любой такой системе принцип активности обучаемых играет особую ро.ть, так как пгиеш реализации в процессе преподавания шогпх остальных принципов являются, как правило, и приемами активизации обучаемых (зто касается дидактических принципов наглядности, индивидуального подхода, сознательного усвоения и т.д.). Необходимо перечислить те методические приели, которые оказались особенно полезными при лекционном изложении курса числовых систем в процессе экспериментального преподавания.

1. Организация учебного материала, при которой каждый шаг в построении кагого-либо объекта или доказательства какого-либо свойства представляется для студентов к мэ менту его проведения не только обоснованным, но даже и необходимым.

2. Иллюстрация логических ходов, приводяиях к новому понятию или методу.

3. Связывание изучаемого со школьным материалом.

4. Предоставление некоторых доказательств, а тпк>::е ;!,раг-ментов доказательств для самостоятельной работы (заметим, что утверждение, предо став ляеьое для самостоятельного доказательств а, долгдо быть вццеледа и четко сформулировано).

6. Употребление логических символов как средство достижения наглядности записи.

б. Использование графических иллюстраций при построении ■систем целых, рациональных, действительных и комплексных чисел.

V. Введение в лекционное изложение исторического матери- .

ала.

8. Быяпдлиие межотедметных связей курса.

J! связи с последним пунктом можно указать такие интересные приложения, как .гостроение обшей теории пределов действительных и комплексных пункций (не обязательно числового аргумента), применение комплексных чисел для доказательства формул тригонометрии, применение гиперюмплекеннх чисел 2-го ранга к геолетрил, использование кватернионов в геометрии и (.еханике и другие, с этим материалом связано множество интересных тем для курсовых работ.

Необходимым средством для сознательного усвоения любого математического курса и для осуществления воспитательных возможностей, связанных с этим кувсом, является реиенио задач. При изучении курса числовых систем почти не приходится решать какие-либо стандартные упражнения определенных типов, но оказываются необходимыми именно нестандартные задачи, требующие заинтересованности и значительно!« впрочем вполне посильного для старшекурсников напряжения мысли. В атом и заключается основная ценность практических занятий по данному курсу для подготовки педагога-математика. Использованные на практических занятиях задачи .составили приложение 2 к диссертации (почти все задачи оритиналыш). Что же касается организации практических занятий, то сна во многом определялась сравшотельно небольшим количеством учебного времени, которое оказалось возможным отвести на эти занятия в процессе экспериментальной работы, и нестандартностью заданий. При экспериментальном преподавании оптимальной оказалась такая организация практических занятий, когда список задач выдается каждый раз перед занятием для решения дома, а на' аудиторных занятиях-производится анализ

полученных тешений. Таким'образом, решение задач оказывается целиком отнесенным к самостоятельной работе студентов, связанно« с постоянным контролем. Преимущество такой организации вытекает г:з очевидного факта, что без упорной целенаправленной самостоятельной работа будущего спегаалиста невозгхжно как поучение пточннх знании, так и Формирование его. профессиональных кгчеств. ?то особенно касается будупих учителей, которым' . придется не голыя обучать, но и воспитывать школьников. Воспитание не происходит не на каких-то специальных воспитательных мероприятиях, а в первую очетедь на уроках, где учитель воспитывает ученика преете всего своим личным отношением к работе и своим! профессиональны«! качествами, в том числе умением мыслить сашстоягельно, нешаблонно.

При прохождении курса числовых систем оказш?зтся эффективными и гдютие другие Форш самостоятельной работы: работа с конспектом лекпий, в частности, восстановление доказательств, отнесенных на самостоятельную работу, изучение к конспектирование учебной литературы, подготовка сообщений и докладов, участие в их обсуждении, подготовка к контрольным мероприятиям, курсовые работы и т.д. Специфика учебной дисциплины "Числовые системы", отнесение ее на старшие 1гурсы педвуза позволяет сделать объем самостоятельной работы по это;! дисциплине весьма значительным, при этом особув роль приобретают контролирующие функции преподавателя.

Экспериментальная проверка предлагавши организации курса "Числовые системы" и его методического обеспечения проводилась на физико-математическом факультете Ноского государственного педагогического института им. Д. А .Фурманова. Его целью явдя- -лось построение учебного курса, содержащего современные научные представления о понятии числа и в то же время удовлетворяющего современным требованиям математической строгости (которые не выполняются при традиционном построении курса). Построение числовых систем, основанное на аксиоматической теории множеств, совершенствуя логическую структуру курса, вместе с тем повышает его абстрактность. Поэтому главной задачей эксперимента была проверка того, что предложенная структура в достаточной степени обеспечивается методическими приемами, позволяющими сделать курс не мзнее доступным и получить в процессе преподавания результаты по крайней мере не хуже, чем при тради-

ционном построении курса. Второй задачей, которая была решена в процессе эксперимента, было подтверждение пакета предположения о том, что предлагаемая структура и методика курса понимают заинтересованность студентов в изучении курсо, способствуют привлечению будущих педагогов-математиков к вопросам обоснования понятия числа и других основных понятий математики, в большей сгеперл, • чем im традиционном преподавании, 'активизируют самостоятельную работу студентов.

fía первом этапе эксперимента (1979-1982) происходило совершенствование программы и содержания экспериментального курса числовых систем, содержание курс* оформилось в виде рукописи учебного пособия. На втором этапе (1962-198 3) совершенствовалось методическое обеспечение курса, в частности, найдены приемы активизации обучаемых, в процессе преподавания курса и рациональная организация практических занятий. В этот же период .былэ, завершено составление задач для практических занятий. Основной целью третьего .-этапа эксперимента (I983-IS89) являлось решение задач эксперимента путем сравнения результатов обуче:шя контрольных и экспериментальных групп. Обработка результатов производилась с использованием статистических критериев и показала, что преподавание курса в соответствии с предложенной структурой не снижает' (с достоверностью 0,95) успеваемость по сравнению с традиционным обучением и, более того, увеличивает вероятность появления хорошей или отличной оценки как на экзамене, так и за решение задач на контрольных работах.

В заключении подведены итоги, кратко, изложены результаты Исследования. В диссертации:

I) проведен анализ теоретических и мзтодологических основ курса "числовые системы", в результате'чего выявлено несовершенство традиционной.структуры курса, затрудняющее осуществление в-процессе ого преподаванияосновного дидактического принципа - принципа научности преподавания;

• 2) проанализированы основные имеющиеся учебные пособия по теории числовых систем, монографии и статьи по основаниям математики, содержание различные концепции числа, разработаны теоретические предпосылки, определяющие структуру и содержание курса числовых систем;

. 3) выяснена важнейшая роль курса в профессиональной подготовке педагогов-математиков;

il) ра.чпаботана, теоретически обоснована и проверена в работе г'льтернатигшал программа курса, рассчитано число учебных часов на ее прохождение;

5) пазтмботано содержание курса в соответствии с предлагаю й программЛ;

6) разработана и проверена на практике система задач и упражнений по курсу, предложена оптимальная организация практических ганятп;!, прошедшая экспериментальную проверку;

?) теоретически обоснована и отработана на практике система лктодичеекгх пшетов, приводящая к эффективному усвоению материала, высокой степени активности студентов в процессе прохождения курса.

Содержание диссертации отражено в следующих публикациях;

I.Элементы математического анализа:I.Ï.божества и числа. -Иваново:Изд-во Ивановского гос.ун-та, 1981. -48 с.

2.Построение курса "Числовые системы" на основе эконом те-ор!ш множеств,- Иваново-1!!уя .'Ивановский гос. ун-т - Щуйский пед. дн-г, 1987. - 40 с. -Деп. в ВИНИТИ № 9Ю8-Н 87.

3.Роль аксиомы регулярности в построении курса "Деловые системы". - Иваково-ШуягИвашвский гос.ун-т - Шуйский пед.ин-т, 1988. -21 с. -Деп. в ВИНИТИ Л 5902-В 88.

4Доения и предложения//',Математика в иколе.-1969.4.-

С.Г6.

5.Действительные числаМетодические рекомендации по курсам "Элементарная математика" и "Числовые системы".-Щуя:Издчво 1ITÎ111, 1990. ф с.

Подписано к печати II.01.93 г; Формат бууаги 60x84 Т/Тб. Печ.л. Т.О. Усл.п.л. 0,93. Тираж 100 ок». Заказ 42/р.

Типографии Г'УКПК Минтопэнерго РФ, г.Иваново, ул .Ермака, 4 т