автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Реализация идеи пропорциональности величин в курсе математики 5-6 классов

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Саволикова, Светлана Владимировна, 2002 год

Введение.

Глава 1. Требования к изучению темы "Пропорции" в 5-6 классах

§1. Анализ школьных программ и учебных пособий по тематике исследования и уточнение теоретического содержания темы "Пропорции" —.

§2. Принципы построения системы заданий по теме "Пропорции" в 5-6 классах

Выводы из главы 1.

Глава 2. Организация изучения темы "Пропорции".—

§ 1. Задания, применяемые при раннем изучении идеи пропорциональности .-.-.

§2. Задания, используемые при изучении и закреплении основных понятий темы "Пропорции".

§3. Экспериментальная часть исследования.-.

3.1. Диагностика.

1. Определение сравнительного уровня трудности темы "Пропорции".-.-.—

2. Проверка уровня знаний по вопросу о влиянии компонентов действия на его результат

3. Проверка усвоения знаний по теме "Пропорции"

3.2. Проверка эффективности разработанной системы преподавания.-.—.-.

Выводы из главы 2 —.—.-.-.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Реализация идеи пропорциональности величин в курсе математики 5-6 классов"

Существенным недостатком математической подготовки выпускников средней школы является слабое знание пропорций. Об этом свидетельствуют имеющиеся исследования результатов обучения, в которых говорится о том, что учащиеся плохо оперируют с пропорциями: не умеют их составлять, находить неизвестный член, решение задач с их помощью вызывает трудности, при работе с ними допускается много ошибок (А.И. Бурый, А.О. Войтов, П.В. Стратилатов, С.М. Чуканцов и др. [19, 25, 118, 124]). Проведенное дополнительное исследование подтвердило эти факты. Было установлено, что владение учебным материалом по теме "Пропорции" неодинаково на разных возрастных этапах: выявлено снижение уровня знаний по теме "Пропорции" от 6 к 9 классу.

Плохое знание пропорций тормозит усвоение многих тем математики: "Проценты", "Арифметическое действия с обыкновенными дробями", "Теорема Фалеса", "Коллинеарность векторов", "Подобие фигур", "Теорема синусов" и др. Проведенный нами опрос учителей и учащихся 9 классов показал, что трудными для изучения являются именно те темы, которые базируются на идее пропорциональности. Это делает весьма актуальным изучение путей совершенствования преподавания темы "Пропорции".

Пропорциональные величины люди изучали давно. Еще в древности было открыто золотое сечение. Пифагор символом своей школы, символом здоровья и жизни считал пентаграмму (звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника), содержащую разные пропорции. Евклид в своих "Началах" изложил полное учение о пропорциях. Эта тема актуальна и сегодня. В условиях быстрого изменения экономической ситуации современный человек должен ориентироваться в ценовых и других соотношениях, а для этого нужно хорошо усвоить понятие пропорции.

Для полноценного функционирования человека в современном обществе, динамичной адаптации его к обществу необходим высокий уровень общего развития. Поэтому одной из основных целей обучения математике является развитие мышления школьников. В своем исследовании мы рассматриваем возможности развития математического мышления учащихся, выбрав в качестве средства развития мышления задачи, решаемые с помощью пропорций. Умение оперировать с пропорциональными величинами -важный показатель общей математической культуры человека. Профессор В. Г. Болтянский указывал, что математическую культуру человека легко определить по тому, умеет ли он решать уравнения: а + Ь- х = с- с1и

X» у z«e»/ с • d

Среди тем, входящих в обязательный минимум содержания основного общего образования курса геометрии 7-9 классов [92], есть такие, изучение которых без знаний пропорций и пропорциональных величин невозможно. Например, изучение теоремы Фалеса, коллинеарности векторов, подобия фигур, теоремы синусов и многих других тем базируется на идее пропорциональности. Для их усвоения необходимо уметь правильно составлять пропорции.

Понятие функции является важнейшим и ведущим понятием в школьном курсе математики. Одной из причин неудовлетворительного усвоения школьниками идеи функциональной зависимости является отсутствие системы подготовительных упражнений, которые знакомили бы учащихся с многочисленными и разнообразными вариантами функциональной зависимости на конкретных жизненных примерах и в дальнейшем подводили бы их к соответствующим понятиям (А.О. Войтов, С.В. Воронина, В .А. Гуськов, С.М. Чуканцов и др. [25, 32, 49, 124]). Полноценное усвоение темы "Пропорции" способствует решению и этой задачи.

Плохое знание пропорций сказывается и на вычислительной подготовке учащихся. Составление пропорций, нахождение неизвестного члена пропорции формирует вычислительные навыки.

Владение понятием пропорциональности величин важно и для успешного усвоения других учебных дисциплин, таких как физика, химия, география и т. д. На нем основаны такие важные зависимости, как зависимость силы воздействия тела от его массы, давления тела от площади его поверхности, силы тока от напряжения; концентрации смеси (сплава, раствора) от массы вещества в нем, массы чистого вещества при получении его из разного количества сырья; расстояние на карте от расстояния на местности и др.

Каждодневные бытовые ситуации также содержат операции с пропорциональными величинами: соответствие массы купленного товара и его стоимости; приготовление раствора, содержащего определенное количество соли, сахара, уксуса и других веществ; курс рубля к доллару, евро и др.

Проблемы преподавания пропорций и пропорциональных величин рассмотрены в работах Е.С. Березанской, В.М. Брадиса, В.Г. Чичигина, А.П. Киселева, А.И. Бурого, Н.И. Сырнева, А.О. Войтова, С.М. Чуканцова. Диссертационное исследование М.А. Байтовой [9] посвящено созданию и экспериментальной проверке системы работы, обеспечивающей усвоение учащимися начальной школы в доступной им форме понятия пропорционального изменения величин. В этой работе вводится понятие пропорциональности в начальной школе, предлагается решать задачи с помощью пропорций, но весь теоретический материал по теме "Пропорции" рекомендуется изучать в следующих классах. Однако, несмотря на то, что диссертация М. А. Байтовой защищена около сорока лет назад, ее идеи по разным причинам не проникли в курс математики начальной школы. Например, в современных учебниках Н. Б. Истоминой и JI. Г. Петерсон [61,

94], содержится вместе менее десяти задач, которые можно было бы решать с помощью пропорций. Но и эти задачи решаются там иначе - приведением к единице.

Что касается средней школы, то в последнее время никаких теоретических работ о преподавании пропорциональных величин мы не нашли.

Авторы современных учебников [10,23, 29, 53, 63, 77, 87, 89, 91, 100, 127,133] по математике предлагают изучать "Пропорции" по традиционной методике. Место этой темы в курсе математики 5-6 классов зависит от того, в какой последовательности изучается материал в том или ином издании. Пропедевтика понятия "пропорциональность" в ныне действующих учебниках не представлена. При отработке идеи пропорциональности практически не применяются геометрические задачи, задачи о смесях, задачи с экономическим содержанием. После изучения темы "Пропорции" повторение этого материала не рассматривается, встречаются лишь отдельные задачи, которые можно решить с помощью пропорций.

Таким образом, изучение пропорциональности величин в 5 классе является важнейшим условием и для общего умственного развития ученика, и для продолжения математического образования, и для изучения других предметов, и для подготовки учащегося к повседневной жизни в современных условиях. И поскольку изучение пропорциональности не находится на должном уровне, тема нашего исследования весьма актуальна.

Тема "Пропорции" входит в обязательный минимум содержания основного общего образования курса математики 5-6 классов [92, с. 13]. В зависимости от того, по какому учебнику происходит изучение этой темы, на нее отводится от 13 до 20 часов [121]. Однако, не это малое число уроков является причиной слабого знания темы. В 40-е годы на ее изучение затрачивалось в два раза больше времени [101, с. 25]. Но и в те годы знание этой темы не было удовлетворительным (А.О. Войтов, С.М. Чуканцов [25, 124]).

Анализ учебных пособий по тематике исследования показал, что содержание темы "Пропорции" остается почти неизменным уже не одно столетие. Методика преподавания этой темы менялась с течением времени. Но результаты усвоения этой темы неудовлетворительны.

Проблема исследования состоит в выявлении путей успешного изучения идеи пропорциональности величин в курсе математики 5-6 классов и способов их реализации.

Поиск путей совершенствования изучения этой темы привел нас к двум путям решения этой проблемы.

I. Осуществление опережающей подготовки учащихся к восприятию темы "Пропорции", чтобы идея пропорциональности фактически присутствовала на протяжении всего курса математики 5-6 классов, а в 6 классе (как это предусмотрено обязательным минимумом содержания основного общего образования [92, с. 13]) происходило явное теоретическое осмысление соответствующей терминологии.

До сих пор нам известно только три таких разработки по темам: "Таблица умножения" в начальной школе (С.Н. Лысенкова) [80], "Проценты" в пятом классе, "Построение графиков по точкам" в шестом классе (Г.Г. Левитас) [76].

Метод опережающего обучения состоит в том, чтобы осуществить пропедевтическое преподавание темы задолго до ее изучения, а в процессе преподавания темы теоретически осмыслить уже известный материал. Речь идет не о перенесении из шестого класса в пятый изучение данной темы, а о том чтобы ввести ее в материал, в обиход, в практику решения задач задолго до того, как он станет темой изучения. До изучения темы нужно давать учащимся специальные задания, позволяющие постепенно привыкнуть к новому понятию, познакомится с ним. Когда же наступит время изучения данной темы, останется только теоретически осмыслить материал, практически уже усвоенный: дать точные определения, усвоить формулировки определений, алгоритмов и теорем, доказать то, что считалось интуитивно ясным. Применение освоенного материала необходимо продолжать и после непосредственного изучения, включать его в новый материал. Это не должно быть репродуктивным повторением. Повторяемая тема должна возникать в связи с изучением нового материала. Как отмечал С.Г. Шаповаленко, обучение протекает успешно, если изучаемое явление превращается из объекта изучения в средство изучения других явлений [125].

Изучение пропорциональности мы предлагаем осуществлять в три этапа:

1) Пропедевтика темы "Пропорции" до изучения этой темы;

2) Изучение темы "Пропорции";

3) Повторение темы "Пропорции" после ее изучения.

II. Усовершенствование самой методики изучения темы "Пропорции" в 6 классе на основе современных достижений педагогической психологии.

Как уже говорилось, преподавание во всех учебниках, включая ныне действующие, ведется традиционным способом, не учитывающим требований современных психологов. Мы считаем, что следование этим требованиям - одна из возможностей ликвидации имеющегося пробела.

В качестве психологической концепции обучения нами принята теория поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина [36], развитая применительно к изучению математики Н.Ф. Талызиной [120], В.Г. Болтянским [17, 18], М.Б. Воловичем [27], Г.Г. Левитасом [77].

Для успешного изучения пропорций учащиеся должны хорошо понимать, как влияет изменение компонентов действия на его результат. Учащиеся знакомились с этими соотношениями в начальной школе, однако, как показала специально проведенная диагностика, знают этот материал слабо.

Между тем, именно эти соотношения лежат в основе любой пропорции: отношение с : d равно отношению а : b тогда и только тогда, когда и предыдущий и последующий члены отношения а : b (делимое и делитель) умножаются на одно и то же число (отличное от нуля), т. е. a*k=c, b*k=d,

Поэтому естественной темой для предварительного изучения пропорций является повторение вопроса о влиянии изменения компонентов действия на его результат.

Целью исследования является разработка системы преподавания пропорциональности величин на протяжении всего курса математики 5-6 классов.

Объект исследования - процесс обучения математике учащихся 5-6 классов общеобразовательной школы.

Предмет исследования - влияние раннего изучения пропорциональности величин на качество усвоения этой темы и всего базового курса математики 5-6 классов.

Гипотеза исследования состоит в том, что более ранее ознакомление с идеей пропорциональности величин в 5 классе и изучение самой темы на базе современных достижений педагогической психологии приведут к улучшению усвоения данной темы, поможет полноценно освоить базовое содержание курса.

Задачи исследования :

1) определить необходимый минимум теоретических сведений, подлежащих изучению в теме "Пропорции", а значит, и его пропедевтике;

2) разработать систему преподавания, обеспечивающую опережающее изучение темы "Пропорции" на протяжении курса математики в 5-6 классах;

3) усовершенствовать методику изучения темы "Пропорции" в 6 классе путем включения в нее системы заданий, соответствующей требованиям современной педагогической психологии;

4) разработать рекомендации, обеспечивающие повторение темы "Пропорции" после ее изучения;

5) экспериментально проверить эффективность созданных разработок на практике.

Методы исследования : а) теоретический анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, школьных программ по тематике исследования;

6) анализ уроков, индивидуальные беседы с учителями и учащимися, проведение контрольных срезов с целью выяснения уровня и качества усвоения идеи пропорциональности учащимися в школе; в) проведение педагогического эксперимента по проверке основных положений исследования; г) количественная, качественная и статистическая обработка результатов педагогического эксперимента.

Научная новизна исследования состоит в разработке:

1) системы опережающего обучения темы "Пропорции" на протяжении 5-6 классов, обеспечивающая успешное усвоение идеи пропорциональности величин и базового содержания курса математики 5-6 классов;

2) системы заданий по теме "Пропорции", соответствующая требованиям теории поэтапного формирования умственных действий.

Теоретическая значимость исследования состоит в следующем: 1) Еще на одном примере доказано, что существенного улучшения в изучении трудного и важного вопроса программы можно добиться путем организации его опережающего, пропедевтического изучения, организованного в процессе изучения предыдущего материала. Выявление каждого нового вопроса программы нуждающегося в опережающем обучении, и организация такого обучения - важная теоретическая проблема.

2) Важный вопрос программы оснащен заданиями, основанными на применении теории поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина.

3) Теоретически значимым является и сам подход к выявлению вопроса программы, требующего опережающего изучения. В отличие от многих современных решений, выбор данной темы основан на массовой экспертной оценке.

Практическая значимость работы заключается в том, что разработана система преподавания идеи пропорциональности величин на протяжении всего курса математики 5-6 классов:

1) предложены конкретные разработки, которые могут быть использованы учителем при обучении учащихся математике в 5-6 классах ;

2) предложены задания для 7-9 классов, при выполнении которых могут быть использованы пропорции.

Наши предложения легко встраиваются в традиционную систему преподавания математики по любому из ныне действующих учебников.

Обоснованность и достоверность полученных результатов и выводов обеспечиваются опорой на современные психолого-педагогические и методические исследования; анализом различных подходов к проблеме методического обеспечения; использованием разнообразных методов исследования, адекватных поставленным задачам; подтверждением в опытно-экспериментальной работе.

Апробация и внедрение результатов исследования проводились в центре образования " Ярославский " №1099 г. Москвы в 1997 - 2002 гг. В сборе данных принимали участие учителя общеобразовательных средних школ №1139 и №910 города Москвы. Основные положения диссертационного исследования были представлены на заседании кафедры методики начального обучения МГЛУ. Результаты исследования внедрены в форме выступления на научно методическом семинаре МПУ "Передовые идеи в обучении математики в нашей стране и за рубежом", в сообщении "Реализация идеи пропорциональности величин в курсе математики 5-6 классов".

На защиту выносятся:

1) идея опережающего изучения темы "Пропорции" в 5 классе для существенного улучшения усвоения этой темы в 6 классе;

2) обновленная система заданий по теме "Пропорции", модифицированная на основании требований современной педагогической психологии.

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, семи параграфов, композиционно объединенных в две главы, заключения и списка использованной литературы (135 наименований).

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы из главы 2.

Результатом данной главы является:

1) Разработана система опережающего обучения пропорциям и пропорциональным величинам, обеспечивающая успешное усвоение этих понятий и базового содержания курса математики 5-6 классов. Представлена система заданий, выполняемая на этапе пропедевтики, которая направлена на подготовку учащихся к восприятию терминов "пропорция" и "отношение", записи пропорции, знакомству с основным свойством, работе с пропорциональными величинами.

2) Обновленная система заданий по теме "Пропорции" модифицирована на основании требований современной педагогической психологии. Задания, решаемые при изучении темы "Пропорции" - это типовые задачи, направленные на отработку определений, теорем, алгоритмов, содержащихся в ней.

3) Представлены рекомендации, которые обеспечивают повторение темы "Пропорции" в 7-9 классах. При повторении в курсе алгебры пропорции используются как средство решения задач.

4) Опробование системы поэтапного изучения темы " Пропорции". Апробация проводилась в течении пяти лет (1997/1998, 1998/1999, 1999/2000, 2000/2001, 2001/2002 уч. г.) в Центре образования №1099 г. Москвы. В 1997-2002 годах велось преподавание в экспериментальных классах по разработанному курсу. Апробация проводилась в трех пятых классах, в ней участвовало 78 учащихся. В ходе эксперимента было выяснено, что обучение школьному курсу математики с применением разработок, изложенных выше, в полной мере отвечает требованиям образовательных стандартов по математике за 5-6 классы [88] и способствует ее лучшему усвоению. Учащиеся, принимавшие участие в эксперименте владеют темой "Пропорции" лучше.

Основные положения диссертационного исследования были представлены на заседании кафедры методики начального обучения МГПУ. Результаты исследования внедрены в форме выступления на научно-методическом семинаре МПУ "Передовые идеи в обучении математики в нашей стране и за рубежом", в сообщении "Реализация идеи пропорциональности величин в курсе математики 5-6 классов".

Заключение.

Основными результатами исследования являются:

1) На основе анализа психолого-педагогической и методической литературы, включившего в себя изучение учебных пособий и школьных программ по математике XVIII - XX веков (81 издание), уточнен необходимый минимум теоретических сведений, подлежащих изучению в теме "Пропорции", а значит, и его пропедевтике. Это определение пропорции; основное свойство пропорции; алгоритм нахождения неизвестного члена пропорции; определение пропорциональных величин. Пропедевтика понятия "пропорциональность" в анализируемых изданиях не представлена.

2) Разработана система опережающего изучения темы "Пропорции" на протяжении всего курса математики в 5-6 классах. Обоснована необходимость разработки такой системы. Определены этапы формирования понятия пропорциональности в 5, 6 классах, обеспечивающие успешное усвоение данной темы и полноценное усвоение всего базового содержания курса математики в этих классах; методика их осуществления, основанная на современных достижениях педагогической психологии.

3) Усовершенствована методика изучения темы "Пропорции" в 6 классе на основе современных достижений педагогической психологии. Разработана система заданий по данной теме, соответствующая теории поэтапного формирования умственных действий: по каждому определению представлены задания на распознавание и выведение следствий, по каждой теореме или алгоритму - задания на установление применимости их к представленным объектам и использование этих утверждений в предложенных ситуациях.

4) Разработаны рекомендации, обеспечивающие повторение темы "Пропорции" после ее изучения. Показаны пути дальнейшего применения результатов раннего изучения пропорций в преподавании математики в старших классах.

5) Экспериментально проверена эффективность созданных разработок на практике.

Таким образом, полностью разработана система опережающего изучения пропорций и пропорциональных величин, обеспечивающая эффективность изучения этой темы и всего курса математики 5-6 классов в целом, способствующая повышению качества знаний, умений и навыков учащихся. Экспериментальная проверка доказала эффективность разработанной системы изучения. Тем самым подтверждена гипотеза исследования и достигнута поставленная в нем цель. Проблема диссертационного исследования решена.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Саволикова, Светлана Владимировна, Орел

1. Аверинцев С. С., Араб-Оглы Э. А., Ильичев JI. Ф. и др. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1989г.

2. Адамантов Д. К. Пропедевтический курс для преподавания науки вообще и арифметики в частности, составленный преподавателем математики III Гимназий. Казань, 1885г.

3. Алтунджи П.К. Курс арифметики для средних учебных заведений. Ростов, 1887г.

4. Аничков Д.С. Начальные основания алгебры или арифметики. М., 1781г.

5. Аничков Д.С. Теоретическая и практическая арифметика. М., 1764г.

6. Апашнянский М. Элементарный курс теоретической математики, составленный по программе для средних учебных заведений. Санкт-Петербург: тип. С-П-Б губ. правл., 1887г.

7. Арефьев А., Соколов А. Повторительный курс арифметики. М., 1886г.

8. Арутюнян Е. Б., Волович М. Б., Глазков Ю. А., Левитас Г. Г. Система устных заданий для V класса (Математические диктанты)/ Математика в школе, 1983, №4.

9. Бантова М. Работа над пропорциональной зависимостью величин в начальной школе и ее перспективное значение. Диссертация на соискание степени кандидата педагогических наук. М., 1962 г.

10. Ю.Баранова И.В., Борчугова З.Г. Математика. Учебник для 5-го класса средней школы. М.: Просвещение, 1981г.11 .Бегг. Учебник арифметики. Вильна, 1896г.

11. Безу Э. Курс математики. Часть 1. М., 1798г.

12. Безу Э. Курс математики. М.: Университетская типография, 1801-1804г.

13. М.Беллюстин В.К. Арифметический задачник. Тула: губ. отдел нар. обр.,1919г.

14. Беллюстин В.К. Методика арифметики. М., 1917г.

15. Березанская Е.С. Методика арифметики. М.: Учпедгиз, 1955г.

16. Болтянский В. Г. Использование логической символики при работе с определениями. Математика в школе, 1973, №5.

17. Болтянский В. Г. Как устроена теорема. Математика в школе, 1973, №1.

18. Бурый А. И. Основные ошибки по арифметике V VII классов и их причины. - Математика в школе, 1952, №4.

19. Буссе Ф.И. Руководство к арифметике для употребления в уездных училищах. М.: Салаев, 1865г.

20. Васильев В.И. Арифметика: Отношения, пропорции и способы решения задач на правило тройное, процентов, учета векселей, и т. д. .- М.: А.Д. Ступин, 1911г.

21. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. Учебник для 5-го класса. М.: Свет, 1995г.

22. Виленкин Н.Я., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика. Учебник для 6-го класса. М.: Просвещение, 1991г.

23. Владимиров Б. Арифметика для начальных училищ. Рига: изд. Эйленберга, 1890г.

24. Войтов А. О. О математической подготовке учащихся, окончивших VII классов неполной средней и средней школы. Математика в школе, 1938, № 3.

25. Воленс В.П. Арифметика. Курс систематический. 11-е изд., часть 1-2. -Санкт-Петербург, 1878-1879г.

26. Волович М. Б. Математика без перегрузок. М.: Педагогика, 1991г.

27. Волович М.Б. Математика. Учебник для 5-го класса. М.: LINKA - PRESS, 1991г.

28. Волович М.Б. Математика. Учебник для 6-го класса. М.: LINKA - PRESS, 1995г.

29. Волович М. Б. Наука обучать. М.: Linka - Press, 1995г.31 .Володина JI.H. Увеличение и уменьшение в несколько раз и кратное сравнение их. М., 1939г.

30. Воронина С. В. Внедрение понятия о функциональной зависимости в связи с понятием пропорциональных величин. Сборник "В помощь учителю математики. Калуга, 1949г.

31. Вороной А. Н. Пять способов доказательства одного неравенства. -Математика в школе, 2000, № 4.

32. Воронов Д.Н. Опыт систематизации типовых арифметических задач. М.: Учпедгиз, 1939г.

33. Высоцкая С. И. Основания для включения способов деятельности в содержание предметов. в кн. "Теоретические основы содержания общего среднего образования" под ред. В. В. Краевского, И. С. Лернера. - М.: Просвещение, 1983г.

34. Гальперин П. Я. Введение в психологию. М.: издательство МГУ, 1976г.

35. Гальперин П. Я., Кабыльницкая С. В. Экспериментальное формирование внимания. М., издательство МГУ, 1974г.

36. Гартц В. Ф. Арифметика. Руководство для средних учебных заведений и самостоятельного изучения. Санкт-Петербург, 1903 г.

37. Геде Ф.В. Теоретический и практический курс арифметики. Санкт-Петербург, 1900г.

38. Гейман П.А. Систематический курс арифметики для средних и низших учебных заведений 1-е изд. - Киев, 1911г.

39. Гончаров B.JI. Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика в средних классах. М.: изд. пед. наук, 1947г.

40. Гончарова И. В. Интенсификация учебной деятельности по математики в 5 классе. Диссертация на соискание степени кандидата педагогических наук. -М., 1998г.

41. Грабарь М. И. Краснянская К. А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. М.: Педагогика, 1977г.

42. Гринберг М. Руководство арифметики. Санкт-Петербург, 1902г.

43. Груденов Я. И. О принципах построения системы упражнений. Народное образование, 1963, №11.

44. Груденов Я. И. Психолого-дидактические основы методики обучения математики. М.: Педагогика, 1987г.

45. Грундульс П.И. Краткий систематический курс. Рига, 1912г.

46. Гурьев П. И. Практическая арифметика. Санкт-Петербург, 1861г.

47. Гуськов В. А. Функциональная пропедевтика и трактовка понятий функций в восьмилетней школе. Диссертация на соискание степени кандидата педагогических наук. -М., 1985г.

48. Дориченко С. А., Ященко И. В. LVIII Математическая олимпиада. Сборник подготовительных задач для 5-8 классов. 2-е изд., М.: "Теис", 1994г.

49. Дорофеев Г. В. Математика. Учебник для 5-го класса. М.: Балас: С - инфо, 1997г.

50. Дорофеев Г. В. Математика. Учебник для 6-го класса. М.: Балас: С - инфо, 1998г.

51. Дорофеев Г. В. Математика 7. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. М.: Дрофа, 1997г.

52. Дорофеев Г. В. Седова Е. А. Процентные вычисления. Спб.: Специальная литература, 1997г.

53. Дубинчук О.С. Методика преподавания математики в IV и V классах. Киев, 1974г.

54. Егоров Ф.И. Арифметика и сборник задач для начальных училищ. М., 1887г.

55. Егоров Ф.И. Методика арифметики. М., 1917г.

56. Егоров Ф. И. Сборник задач и упражнений по арифметике. М.: Учпедгиз, 1953г.

57. Ермаков В. П. О преподавании арифметики и алгебры. Киев, 1900г.

58. Ипатов В.М. Арифметика. Курс средних учебных заведений. М., 1899г.

59. Истомина Н. Б. Математика. Учебник по математике для 4 класса. -Смоленск, "Ассоциация XXI век", 2000г.

60. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для 5-го класса. М.: LINKA - PRESS, 1998г.

61. Истомина Н.Б. Математика. Учебник для 6-го класса. Смоленск: Ассоциация XXI век, 1999г.

62. Казько Е. С. Работа над текстом задачи с пропорциональными величинами. -Начальная школа, 1998, № 5.

63. Каценелленбоген С.А. Полный курс арифметики с приложениями 1300 практических задач в двух частях. Вильна, 1873г.

64. Киселев А.П. Арифметика. Учебник для 5-6 класса семилетней средней школы. М., 1950г.

65. Киселев А.П. Краткая арифметика.- М., 1895г.

66. Киселев А. П. Руководство к арифметике. М., 1881г.

67. Коваржик Ф. Арифметика для средних учебных заведений. Одесса, 1916г.

68. Колягин Ю.М., Короткова J1.M., Савинцева Н.В. Ученик математики для 6 класса средней школы. М.: Росс, институт непрерывного образования, 1998г.71 .Круглова Е. А. Откуда брать задачи ? . Математика в школе. - 1999, № 5.

69. Ладовский П.И. Арифметика, курс 1-2-3. Харьков, 1863-1865г.

70. Лакатос И. Доказательство и опровержение. М., 1976г.

71. Латышев В.А. Объяснительный курс арифметики. Для старших классов средних учебных заведений. Санкт-Петербург, 1882г.

72. Лахова Н. В. Решение текстовых задач в средней школе. Математика в школе, 1999, № 3.

73. Левитас Г. Г. Лекции по методике преподавания математики. Общая методика. М.: МГУ, 1996г.

74. Левитас Г.Г., Тарасов Л.В. Число в окружающем мире. Учебник по математике для 5-го класса. М.: Авангард, 1998г.

75. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. -М: ABF, 1995г.

76. Лубенец Т. Методика арифметики. Санкт-Петербург, 1901г.

77. Лысенкова С. Н. Когда легко учиться: Из опыта работы учителей начальной школы №587 г. Москвы.- М.: Педагогика, 1985г.

78. Магницкий Л.Ф. Арифметика. 1703г.

79. Маергойз Д.М. Методика процентных вычислений. Киев, 1938г.

80. Малинин А.Ф. и Буренин К.П. Арифметика. Курс средних учебных заведений. М., 1904г.

81. Малинин А.Ф. и Буренин К.П. Руководство арифметики. Для гимназий. М., 1867г.

82. Маркушевич А.И. Математика. Учебник для 4-го класса средней школы. -М.: Просвещение, 1969г.

83. Монахов В. М. Технологические основы проектирования и конструирования учебного процесса. М.: Просвещение, 1992г.

84. Мордкович А.Г. Алгебра 6-8. Экспериментальный учебник. М.: Авангард, 1995 г.

85. Московские образовательные стандарты. М.: НПО "Образование для всех", МИПКРО, 1996г.

86. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Математика. Учебник для 5-го класса. М.: Просвещение, 1999г.

87. Нурк Э.Р. Математика. Учебник для 5-го класса. М.: Дрофа, 1997г.

88. Нурк Э.Р. Математика. Учебник для 6-го класса. М.: Дрофа, 1997г.

89. Обязательный минимум содержания основного общего образования.-Математика в школе , 1998, №5.

90. Перевощикова Г. Н. Обучение решению текстовых задач. Математика в школе, 1998, №2.

91. Петерсон JI. Г. Математика. Учебник для 1, 2, 3 класса начальной школы. -М: Балас: С инфо, 1996г.

92. Поляк Г. И. Изучение пропорциональных величин. Математика в школе, 1996, № 3.

93. Поляков П. Н. Практическая арифметика. М., 1869г.

94. Поляков П.Н. Руководство к арифметике для средних учебных заведений. -6-е изд. М.: печатня С.П. Яковлева, 1876г.

95. Поурочное планирование и контрольные работы. Итоговая контрольная работа по математики за 6 класс. Математика в школе, 1997, № 3.

96. Преображенский П.В. Руководство к арифметике: для старших и средних классов. М., 1884г.

97. Принцев Н.А. Арифметика. Учебник для 5-6 класса вечерней школы. М.: Просвещение, 1970г.

98. Программы средней школы. Математика. М.: Просвещение, 1938г.

99. Программы средней общеобразовательной школы. Математика. М.: Просвещение, 1997г.

100. Прохоров А. М. и др. Советский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988г.

101. Пчелко А.С., Поляк Г.Б. Арифметика. Учебник для 4 класса средней школы.- М.: Просвещение, 1969г.

102. Пясецкий Л.Я. Методические указания к учебнику арифметики. Санкт-Петербург, 1911г.

103. Пясецкий Л.Я. Учебник арифметики для средних учебных заведений. 9-е изд., часть 1-2. - Пг.: Я. Башмаков, 1916г.

104. Радченко В. Смеси, сплавы и растворы в задачах./Квант.- 1993.-№4.

105. Рашевский К.Н. Краткий курс арифметики. М.: Московское издательство, 1915г.

106. Рубисов К. Теория пропорциональных величин для учеников гимназии. -Чернигов, 1864г.

107. Ю.Саранцев Г. И. Общая методика преподавания математики. Саранск, Красной октябрь, 1999г.111 .Симон М. Дидактика и методика в средней школе. М., 1917г.

108. Симонов А. С. Экономика на уроках математики. м. : Школа-Пресс, 1999г.

109. ПЗ.Сканави М. И., Егерев В. К., Кордемскиий Б. А. Сборник задач по математике. М: Высшая школа, 1988г.

110. Совайлеко В.К. Система обучения математики в 5-6 классах. М: Просвещение, 1991г.

111. Соколов П.К. Методика арифметики. Санкт-Петербург, 1898г.

112. Соломатин О. Д. Старинный способ решения задач на сплавы и смеси. -Математика в школе. 1997, № 1.

113. П7.Стойлова Л. П. Математика. Учебное пособие для студентов средних педагогических учебных заведений. М.: Академия, 1998г.

114. Стратилатов П. В. Как повысить качество обучению решению задач по арифметике в V и VI классах. Математика в школе, 1952, № 3.

115. Сырнев Н. И. Прямая и обратная пропорциональность. Математика в школе. - 1952, №3.

116. Сырнев Н. И. Таблицы: прямо и обратно пропорциональным величины. -Математика в школе, 1952, № 4.

117. Тематическое планирование по математике для общеобразовательных школ. М.: Дрофа, 1999 г.

118. Чиханов Б. Учебник арифметики. М., 1894г.

119. Чуканцов С. М. О некоторых недостатках в школьных учебниках по арифметике. Математика в школе. - 1952, № 2.

120. Шаповаленко С. Г. Методика обучения химии в восьмилетней и средней школе. М., 1963г.

121. Шапошников Н.А. Краткое руководство арифметики, соединенное с методикой и систематическим сборником типических задач. М., 1891 г.

122. Шеврин Л.Н. Математика. Учебник для 6-го класса средней школы. М.: Просвещение, 1995г.

123. Шевченко И.Н. Арифметика. Учебник для 5-6 классов. М.: Просвещение, 1970г.

124. Шорина С. П. Обоснование старинного способа решения задач на смеси. -Математика в школе. 1998, № 6.

125. Шохор-Троцкий С.И. Арифметика. Санкт- Петербург: "Труд", 1903г.131 .Шохор-Троцкий С.И. Учебник методики арифметики для учебных заведений, в которых преподается этот предмет. В 3-х частях. Санкт-Петербург, 1896г.

126. Шохор-Троцкий С.И. Учебник арифметики с приложением дополнительных статей. Для средних учебных заведений. М., 1878г.

127. Шпетов А.С., Савинцева Н.В. Математики. Учебник для 6-го класса. М.: "Валент", 1995г.

128. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. М.: Просвещение, 1970г.

129. Эрн Ф. Очерки по методике арифметики. Рига, 1912г.