Содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости

Монахова, Наталья Алексеевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости

Автореферат

Автор научной работы: Монахова, Наталья Алексеевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Астрахань
Год защиты: 2005
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости"

На правах рукописи

МОНАХОВА Наталья Алексеевна

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ

МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРЕДПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ ПЛОСКОСТИ

13.00.02 — теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Волгоград — 2005

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Астраханский государственный университет».

Научный руководитель —

кандидат педагогических наук, профессор Ованесов Николай Гаврилович.

Официальные оппоненты: доктор педагогических наук,

доцент Данильчук Елена Валерьевна;

кандидат педагогических наук Абдрахманова Ирина Владимировна.

Ведущая организация — Ростовский государственный

педагогический университет.

Защита состоится 2J_ декабря 2005 г. в час. на заседании диссертационного совета К 212.027.01 в Волгоградском государственном педагогическом университете по адресу: 400001, г. Волгоград, ул. Академическая, д. 12 (учеб. корп. 2).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан 18 ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор педагогических наук, доцент

А.М. Коротков

ТьбТГ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Современная система образования характеризуется кардинальными изменениями, связанными с переходом к новой образовательной парадигме, основными приоритетами которой являются как интересы личности, так и качество образования. В концепции модернизации российского образования среди условий, способствующих повышению качества общего образования, особо выделяется необходимость дифференциации обучения, предполагающей широкие и гибкие возможности построения индивидуальных образовательных траекторий и позволяющей за счет изменений в содержании обучения более полно учитывать склонности и способности учащихся еще на этапе предпрофильной подготовки.

Реализация основных положений предпрофильного обучения предполагает дополнительное предметное обучение учащихся 9-х классов.

Важнейшие цели предпрофильного обучения математике в основной школе — расширение знаний учащихся по математике, формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, формирование готовности к выбору профиля обучения в старшей школе и последующему профессионально-образовательному, социальному и культурному самоопределению в целом.

Особую значимость в предпрофильном обучении математике приобретает геометрия, которая, с одной стороны, является средством организации предпрофильного обучения, а с другой — выступает как его новое содержание.

Однако, несмотря на огромный потенциал, который содержит геометрия, в системе современного школьного математического образования ей отводится далеко не первое место. Отмечается также неудовлетворенность состоянием преподавания геометрии в школе. Упрощение базового курса геометрии приводит к его идейному и методическому обеднению. Особенно остро встает этот вопрос при изучении геометрических преобразований.

В стандарте базового курса геометрии в основной школе геометрическим преобразованиям уделено мало места и внимания. Главным образом выделены следующие содержательные линии: «Примеры движений плоскости», «Понятие о гомотетии» и «Подобие фигур», которые рассматриваются в ознакомительном порядке и носят необязательный характер.

Проведенное диагностическое обследование 200 человек подтвердило невысокий (ниже среднего), формальный уровень знаний учащихся по геометрическим преобразованиям.

Преобразования, являясь одной из плодотворных идей как геометрии, так и современной науки, нашли свое отражение в фундаментальных исследованиях ведущих ученых-математиков. В работах В.Г. Болтянского, В.И. Мишина, А.И. Фетисова изучаются возможности построения курса геометрии средней школы на основе геометрических преобразований. Исследование Т.Т. Фискович посвящено изложению одного из возможных вариантов курса элементарной геометрии на плоскости на основе идеи групп преобразований. В работе А.Н. Колмогорова, А.Ф. Семенович, Ф.Ф. Нагибина, P.C. Черкасова геометрические преобразования рассматриваются как концептуальная основа школьного курса геометрии. Исследования П.С. Моденова, A.C. Пархоменко, Я.П. Понарина, Н.М. Яглома посвящены вопросам изучения отдельных преобразований и их применения к решению задач и доказательству теорем. В работах В.В. Прасолова, Г.И. Саранцева, А .Я. Цукарь большое внимание уделяется составлению задач на использование метода геометрических преобразований. Таким образом, в работах А.Н. Колмогорова, А.И. Фетисова, Т.Т. Фискович исследуются возможности использования теоретико-групповых идей при построении школьного курса геометрии.

В ряде диссертационных исследований освещаются вопросы применения геометрических преобразований к доказательству теорем и задач на построение (М.А. Петрова); методики обучения школьников симметрии и ее использованию в углубленном курсе алгебры и начал анализа (М.Ю. Табачкова); управления развитием математического мышления учащихся в процессе формирования метода геометрических преобразований (И.Ш. Рухадзе); методики изучения движений плоскости в основной школе с учетом особенностей образного мышления учащихся (О.В. Холодная); обучения решению задач на геометрические преобразования на примере осевой и центральной симметрии (И.Е. Малова); методики и условий обучения симметрии учащихся 6-х классов с целью развития их пространственного мышления (Е.Г. Оводова).

кина); организации содержания учебного материала по теме «Геометрические преобразования плоскости», рассматриваемой как средство систематизации и обобщения знаний учащихся по геометрии (В.Н. Сукманюк); обучения теме «Движения плоскости» с использованием понятия группы (Е.А. Семенко) и на основе обогащения образного опыта учащихся (О.В. Холодная).

Однако в указанных исследованиях не рассматривается проблема совершенствования содержательного компонента методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости посредством развития теоретико-групповых идей, что детерминирует необходимость поиска ее решения.

Таким образом, актуальность данного диссертационного исследования обусловлена противоречиями между:

• наличием развивающего потенциала геометрических преобразований и слабой ориентацией школьного базового курса геометрии на его реализацию;

• ролью преобразований в современной науке и отсутствием в базовом курсе основной школы курсов по выбору, ориентированных на формирование необходимой пропедевтической базы для дальнейшего изучения теоретико-групповых методов.

Исходя ич потребности в разрешении указанных противоречий, определена проблема исследования, заключающаяся в разработке научных основ отбора содержания предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости посредством развития теоретико-групповых идей.

Объект исследования — препрофильное обучение геометрии в основной школе.

Предмет исследования — содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости.

Цель исследования состоит в разработке содержательного компонента методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости посредством развития теоретико-групповых идей.

Гипотеза исследования состоит в том, что отбор, разработка и реализация содержательного компонента методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости станут более эффективными, если:

— содержание будет структурировано с учетом фундаментальных идей теоретико-группового подхода;

— будут выявлены и обоснованы принципы отбора содержания обучения геометрическим преобразованиям плоскости, обеспечивающие пропедевтическое представление элементов теории групп, на примере геометрических преобразований плоскости;

— в рамках предпрофильного обучения будет предложен комплекс курсов по выбору, расширяющих содержание раздела «Геометрические преобразования плоскости»;

— основанием разработки курсов по выбору, ориентированных на устранение недостатков традиционного изложения геометрических преобразований плоскости в базовом курсе геометрии основной школы, будут служить структурные элементы содержания, полученные с учетом фундаментальных идей теоретико-группового подхода.

Для достижения цели исследования и проверки его гипотезы были поставлены следующие задачи:

1. Обосновать необходимость включения в содержание предпрофильного обучения элементов абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований.

2. Проанализировать особенности изложения геометрических преобразований плоскости в действующих школьных учебниках и учебных пособиях по геометрии.

3. Разработать содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости с позиций теоретико-группового подхода.

4. Сконструировать содержание комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости».

5. Экспериментально проверить эффективность комплекса курсов по выбору, отражающего содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости.

Методологические и теоретические основы исследования составляют:

• фундаментальные исследования теории геометрических преобразований (В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, А.К. Колмогоров, П.С. Моденов, Я.П. Понарин, В: Шван, И.М. Яглом и др.);

• теоретико-групповые принципы геометрии и «Эрлангенская программа» Ф. Клейна;

• исследования в области теории и методики обучения геометрическим преобразованиям в основной школе (В.А. Гусев, А.К. Колмогоров, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, А.И. Фетисов и др.);

• работы в области предпрофильного обучения (A.A. Кузнецов, В.М. Симонов, Г.П. Стефанова и др.);

• работы по отбору содержания обучения (В.И. Данильчук, В.В. Краевский, Г.Л. Луканкин, В.М. Монахов, В.В. Сериков, Т.К. Смыковская и др.);

• дидактические принципы обучения (М.И. Башмаков, Я.И. Гру-денов, Г.В. Дорофеев, И.А. Рудакова, A.A. Столяр и др.).

Научная новизна результатов исследования состоит в том, что:

• с позиций теоретико-группового подхода разработан содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости (приоритетно использовалась идея усиления роли осевой симметрии как преобразования, порождающего группу движений плоскости; раскрывалась структура группы движений плоскости, выраженная в законах композиции разных движений; употреблялась идея применения операций над преобразованиями и их свойств для установления основных взаимосвязей между изучаемыми понятиями), дополненный самостоятельно доказанными теоремами, раскрывающими теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида, и нашедший отражение в комплексе курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости» и в базовом курсе за счет увеличения доли решаемых задач;

• обоснована необходимость включения в содержание предпрофильного обучения элементов абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований, которые выступают в форме комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости», выражающаяся в формальных и бессистемных знаниях учащихся по геометрическим преобразованиям, их неготовности к дальнейшему физико-математическому образованию, а также в возможности красивых и изящных решений задач не только по геометрии, но и алгебре, и физике;

• выделены основные принципы отбора и построения содержания комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости»: специальной направленности (соответствия учебного материала целям предпрофильного обучения); фундаментальности (целенаправленного формирования основ абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований); научной и практической значимости (ориентации на современные разработки в данной предметной области); преемственности и прогностичности (связи, согласованности и перспективности всех тем изучаемого ма-

териала); сочетания доступности и трудности изложения (учета наличных и потенциальных возможностей учащихся старшего подросткового возраста);

• установлено некорректное раскрытие в действующих школьных учебниках и учебных пособиях по геометрии сущности ключевого понятия «преобразование» путем его подмены понятиями «отображение» или «инъекция».

Теоретическая значимость результатов исследования заключается в том, что в работе дано обоснование необходимости применения теоретико-групповых идей в предпрофилъном обучении математике, которые позволяют устранить выявленные недостатки в изложении содержания раздела «Преобразования плоскости».

Разработаны содержательные основы предпрофильного комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости» на завершающем этапе основной школы, реализующие конструктивную идею теоретико-группового подхода, что вносит вклад в развитие теории и методики школьного математического образования и в исследование эффективности теоретико-групповых идей в современной практике предпрофильного обучения математике.

Раскрыт теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида, дополняющий и расширяющий имеющиеся представления о реализуемости основных идей теоретико-групповой концепции в предпрофильном комплексе курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости».

Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что:

• разработано содержание комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости», который включает в себя темы «Преобразования множества и прямой», «Операции над преобразованиями и их свойства», «Теорема М. Шаля», «Классификация движений», «Структура группы движений плоскости», «Эквиаффинные преобразования плоскости: косая симметрия и сдвиг», «Простейшие аффинные преобразования плоскости», «Теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида». «Основные идеи Эрлангенской программы Ф. Клейна»;

• представлены самостоятельно доказанные теоремы, раскрывающие теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида;

• построены блоки задач на применение геометрических преобразований плоскости, служащие важным резервом повышения эффективности усвоения знаний по геометрическим преобразованиям;

• составлены задания в тестовой форме для проверки эффективности обучения учащихся теме «Движения плоскости»;

• составлены методические рекомендации для учителей, реализующих предпрофильное обучение в форме комплекса курсов по выбору.

Достоверность полученных результатов исследования обусловлена обоснованностью и непротиворечивостью его исходных теоретических положений, использованием методов, адекватных поставленной цели и задачам исследования, корректной организацией опытно-экспериментальной работы по реализации на практике основных положений исследования, надежностью методов статистической обработки данных.

Методы исследования. Для решения поставленных в исследовании задач использовались следующие методы: анализ математической, психолого-педагогической, учебно-методической литературы и выполненных ранее диссертационных работ по проблеме исследования; анализ действующих школьных учебников и учебных пособий по геометрии; педагогическое наблюдение; изучение опыта работы учителей; педагогический эксперимент; тестирование учащихся.

Базой исследования являлись 9-е классы Муниципального общеобразовательного учреждения «Краснобаррикадная средняя общеобразовательная школа», г. Астрахань. В эксперименте приняли участие 286 школьников.

Исследование проводилось в период с 2000 г. по 2005 г. и включало следующие этапы.

Первый этап {поисково-теоретический, 2000—2001 гг.) — на основе анализа математической, психолого-педагогичгской и учебно-методической литературы изучено состояние проблемы исследования, разработана его общая концепция, проведен констатирующий эксперимент, сформулированы предмет, цель, гипотеза, методы и научный аппарат исследования.

Второй этап {экспериментальный, 2001 —2003гг.) — выявлены принципы отбора содержания комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости», разработан содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости, создан и апробирован экспериментальный комплекс курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости», организован и проведен формирующий эксперимент.

Третий этап (завершающий, 2003—2005 гт.) — на основе контрольного эксперимента проведен сравнительный анализ полученных данных, позволивший сформулировать выводы и рекомендации, направленные на дальнейшее улучшение процесса обучения геометрическим преобразованиям. Осуществлены итоговая математическая обработка, анализ и обобщение результатов исследования. Сформулированы его основные выводы. Выполнено оформление кандидатской диссертации.

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты исследования докладывались, обсуждались и получили одобрение на VIII Международной конференции «Образование. Экология. Экономика. Информатика» (Астрахань, 2003 г.); XI Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Москва, Дубна, 2004 г.); III, V и VI международных научно-практических конференциях «Проблемы образования в современной России и на постсоветском пространстве» (Пенза, 2004—2005 гг.); III Международной научной конференции «Россия и Восток. Обучающееся общество и социально-устойчивое развитие Каспийского региона» (Астрахань, 2005 г.); межрегиональной научно-практической конференции «Авторские подходы в преподавании математики и физики в школе» (Шуя, 2005 г.); I Международном семинаре «Симметрии, теоретический и методический аспекты» (Астрахань, 2005 г.); на ежегодных итоговых научных конференциях Астраханского государственного университета (Астрахань, 2001—2004 гг.), методических семинарах кафедры алгебры и геометрии и семинарах аспирантов кафедры математического анализа Астраханского государственного университета (Астрахань, 1999—2005гт.). Результаты исследования изложены в 12 научных публикациях общим объемом 3,8 п.л., авт. — 3,45 п.л.

Внедрение результатов исследования. Результаты исследования внедрены в практику работы Муниципального общеобразовательного учреждения «Краснобаррикадная средняя общеобразовательная школа», г. Астрахань, подготовительных курсов с учащимися факультета довузовской подготовки Астраханского государственного университета, а также используются на лекциях и практических занятиях по дисциплинам «Геометрия» и «Методика преподавания математики» на факультете математики и информационных технологий физико-математического института Астраханского государственного университета.

Положения, выносимые на защиту:

1. Необходимость включения в содержание предпрофильного обучения элементов абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований обусловлена недостатками содержания базового курса, востребованностью аппарата геометрических преобразований для решения задач с ественнонаучным содержанием, потребностью в формировании готовности к продолжению физико-математического образования.

Теоретико-групповой подход, позволяя четко определить предмет геометрии и ключевые понятия школьного курса геометрии, установить и развить связи и отношения между изучаемыми понятиями, способствует повышению уровня знаний школьников по геометрическим преобразованиям и их подготовки к восприятию и пониманию достижений современной науки.

2. Содержательный компонент методической системы обучения геометрическим преобразованиям плоскости основывается на принципах специальной направленности (соответствия учебного материала целям предпрофильного обучения), фундаментальности (целенаправленного формирования основ абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований), научной и практической значимости (ориентации на современные разработки в данной предметной области), преемственности и прогностичности (связи, согласованности и перспективности всех тем изучаемого материала), сочетания доступности и трудности изложения (учета наличных и потенциальных возможностей учащихся старшего подросткового возраста).

3. Конструктивные идеи теоретико-группового подхода усиливают содержательный компонент методической системы обучения геометрическим преобразованиям плоскости за счет включения преобразований множества и прямой, способствующих подготовке к исследованию преобразований плоскости; приоритетного использования осевой симметрии (понятия абсолютной геометрии) как фундаментального преобразования, порождающего группу движений плоскости; применения операций над преобразованиями и их свойств для установления основных взаимосвязей и отношений между изучаемыми понятиями; раскрытия структуры группы движений плоскости, выраженной в законах композиции различных движений; обобщения осевой симметрии до косой (эквиаффинное преобразование) и косой симметрии до растяжения и сжатия к прямой (аффинные преобразования), расширяющих представления о преобразованиях плоскости.

4. Элементом предпрофильного обучения выступают курсы по выбору, позволяющие учащимся осуществлять пробы выбора математического профиля обучения и отражающие следующие темы: «Преобразования множества и прямой», «Операции над преобразованиями и их свойства», «Теорема М. Шаля», «Классификация движений», «Структура группы движений плоскости», «Эквиаффинные преобразования плоскости: косая симметрия и сдвиг», «Простейшие аффинные преобразования плоскости», «Теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида», «Основные идеи Эрлангенской программы Ф. Клейна». Комплекс курсов по выбору включает такие курсы, как «В волшебном царстве симметрии», «Вслед за Евклидом» и «Мир необычной геометрии».

Важным резервом повышения эффективности усвоения знаний по геометрическим преобразованиям являются блоки задач, позволяющие реализовать задачный подход в соответствии с содержательным компонентом методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости.

Структура диссертации. Диссертация (193 с.) состоит из введения (10 е.), двух глав (гл. I — 51 е., гл. II — 74 е.), заключения (5 е.), списка использованной литературы (261 наименование) и 6 приложений. Текст диссертации содержит 11 таблиц, 34 рисунка и 1 диаграмму.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава «Теоретические основы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости» включает анализ проблемы обучения геометрическим преобразованиям плоскости в научной и учебно-методической литературе, а также теоретическое обоснование необходимости включения в содержание предпрофильного обучения элементов абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований.

В школьном математическом образовании активное обучение геометрическим преобразованиям плоскости начинается в 9-х классах и приходится соответственно на старший подростковый возраст. Анализ психолого-педагогических исследований свидетельствует о том, что формирование основных интеллектуальных умений у учащихся данного возраста идет по пути качественного развития абстрактного теоретического мышления при сохранении и совершенствовании наглядно-действенного и наглядно-образного мышления (П.П. Блон-

ский, Л.И. Божович, Л.С. Выготский, Б.С. Круглов В.А. Крутецкий, А.Н. Леонтьев, А.К. Маркова, Г.И. Щукина, Д.Б. Эльконин и др.). В связи с чтим представляется целесообразным активное привлечение и задействование актуальных и потенциальных ресурсов данных видов мышления подростков при решении ими различных задач. При обучении учащихся геометрическим преобразованиям плоскости такая возможность проявляется наиболее ярко, т. к., с одной стороны, геометрические преобразования отражают явления, наблюдаемые в окружающей действительности, а с другой — имеют достаточно высокую степень абстрактности.

Анализ математической и учебно-методической литературы позволил увидеть, что основные идеи теоретико-группового подхода являются фундаментальными как для математики и физики, так и для современной науки вообще. Впервые теоретико-групповой подход в геометрии был предложен в октябре 1872 г. немецким математиком Феликсом Клейном в докладе «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», получившем впоследствии название «Эрлангенская программа» Ф. Клейна.

Согласно Ф. Клейну, геометрия есть наука, изучающая свойства геометрических фигур, инвариантные относительно некоторой группы преобразований. В качестве характеристики каждой геометрии выступает ее группа преобразований, что позволяет единым общим принципом объединить различные геометрии: евклидову, аффинную, проективную, геометрии Лобачевского, Римана и ряд других. Группа движений и подобий плоскости соответствует школьному курсу геометрии, поэтому элементарную геометрию можно рассматривать как теорию инвариантов группы подобий плоскости.

Изучение геометрии под этим углом зрения подчиняется общим идейным принципам современной геометрии, основанным на теоретико-групповом подходе. Ценность данного подхода заключается еще и в том, что во многих разделах современной физики (физике твердого тела, квантовой физике, теории элементарных частиц) теория групп играет принципиально важную роль.

Ботее того, теория преобразований находит свое отражение в системе взглядов на физическую картину мира и мир в целом, т. е. имеет мировоззренческую значимость. Наиболее ярким подтверждением этого может служить открытие в 1905 г. теории относительности Альберта Эйнштейна (1879—1955 гг.). Впервые преобразования, лежащие в основе этой теории, были выведены, исходя из других соображений, голландским физиком Лоренцом (1853—1928 гг.) и по его

имени названы преобразованиями Лоренца. Инвариантность физических законов относительно преобразований группы Лоренца выражает принцип относительности А. Эйнштейна — один из самых универсальных законов природы.

Таким образом, идеи групп преобразований, имея большое значение в современном мировоззрении и фундаментальной науке, должны найти отражение и в школьном математическом образовании.

Проведенный нами анализ изложения темы «Преобразования плоскости» в различных школьных учебниках и учебных пособиях по геометрии (а именно: А.П. Киселева; А.Н. Колмогорова; A.B. По-горелова; Л.С. Атанасяна; А.Л. Вернера, В.И. Рыжика, Т.Г. Ходот; И.Ф. Шарыгина; И.М. Смирновой, В.А. Смирнова; В.Г. Болтянского, Г.Д. Глейзера) показал следующее:

• Во-первых, в большинстве из них преобразования представлены как изолированный материал, не имеющий связи ни с предшествующим, ни с последующим содержанием учебника. Изъятие этого материала никак не отразится на изложении всего курса геометрии, поскольку преобразования не находят своего систематического применения в других разделах учебника, что принципиально снижает их значимость.

• Во-вторых, стремление упростить изложение данного вопроса приводит к некоторым существенным неточностям в определении ключевых понятий, вследствие чего не обеспечивается их истинное понимание. Так, например, при определении понятия «преобразование плоскости» в учебнике И.Ф. Шарыгина на самом деле дается определение инъекции. В учебнике И.М. Смирновой, В.А. Смирнова определяется не преобразование плоскости, а отображение плоскости в себя, что не одно и то же. Употребление термина «преобразование» в смысле «отображение» характерно также для учебников A.B. Погорелова и А.Л. Вернера, В.И. Рыжика, Т.Г. Ходот.

• В-третьих, в большинстве школьных учебников по геометрии прослеживается отказ от теоретико-множественного подхода.

Указанные особенности не распространяются на учебное пособие под редакцией А.Н. Колмогорова и учебник В.Г. Болтянского, Г.Д. Глейзера, в которых идея геометрических преобразований занимает центральное место и является концептуальной основой всего школьного курса планиметрии, находя в нем различные применения как в теоретическом, так и практическом плане. При этом более строгое формально-логическое построение школьного курса геометрии характерно для учебного пособия под редакцией А.Н. Колмогорова.

Мы исходим из того, что отказ от теоретико-множественного подхода ограничивает возможности понимания учащимися фундаментальных понятий школьного курса геометрии — фигуры и равенства фигур.

Фигуры являются основным объектом изучения не только школьной геометрии, но и геометрии вообще. Однако в большинстве школьных учебников по геометрии общего определения фигуры не приводится. а само понятие разъясняется на конкретных примерах. Это происходит потому, что изначально отвергается теоретико-множественный взгляд на геометрические фигуры. Вследствие этого авторы вынуждены определять фигуру аксиоматически, показывая, что часть фигуры, а также объединение и пересечение фигур вновь представляют собой фигуру.

Изначальный отказ от теоретико-множественного подхода при изложении основ школьного курса геометрии не дает права использовать его в дальнейшем. Однако именно это и наблюдается во многих школьных учебниках по геометрии. Так, окружность определяется как геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Это определение оправдано только с теоретико-групповых позиций.

Теоретико-множественный подход к построению основ школьного курса геометрии позволяет четко определить фундаментальное понятие последнего — геометрическую фигуру как любое множество точек. Это, в свою очередь, дает возможность использовать преобразования при раскрытии содержания другого основополагающего понятия школьного курса геометрии — равенства геометрических фигур.

Согласно теоретико-групповым принципам геометрии, все факты школьной геометрии инвариантны относительно группы движений и группы подобий плоскости. Для группы движений понятие О-эквивалентности совпадает с понятием равенства фигур, а геометрия, соответствующая группе движений плоскости, изучает именно те общие свойства фигур, которые остаются инвариантными для в-эквивалентных, в данном случае равных фигур. Таким образом, понятие равенства фигур оказывается органически связанным с понятием движения: фигуры называются равными, если существует движение, переводящее одну из них в другую.

Изучение геометрии с точки зрения теории групп преобразований позволило нам выявить связь между различными геометриями, в частности между геометрией Евклида и геометрией Лобачевского. В

работе рассматривается теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида и выявляется принцип, по которому в геометрию Лобачевского, в отличие от геометрии Евклида, нельзя ввести понятие вектора и, следовательно, параллельного переноса.

Нами дано описание группы движений, сохраняющих данную прямую. Эта группа порождается некоторым набором центральных и осевых симметрий и содержит преобразования, называемые смещениями. Свойстве смещений существенно отличаются в геометриях Евклида и Лобачевского.

Группа движений прямой позволяет ввести важное понятие — линии равных расстояний (эквидистанты). В работе доказаны следующие теоремы.

Теорема 3. Эквидистанта — прямая линия тогда и только тогда, когда совокупность всех смещений является группой преобразований.

Теорема 4. Аксиома параллельности Евклида эквивалентна утверждению о том, что совокупность всех смещений является группой преобразований.

Согласно теореме 4, если смещения относительно различных прямых образуют группу преобразований, т. е. результат композиции двух смещений тоже является смещением относительно некоторой прямой, то эквидистанта является прямой линией, и в этом случае мы попадаем в геометрию Евклида. При этом рассматриваемые смещения являются параллельными переносами, существующими в евклидовой геометрии. Это позволяет ввести понятие вектора. Теорема 4 иллюстрирует хорошо известные правила сложения векторов, справедливые в геометрии Евклида. Из этой теоремы следует, что в геометрию Лобачевского нельзя ввести понятие вектора, т. к. в этом случае композиция двух смещений не обязана быть смещением.

Таким образом, показано, что понятие вектора, а следовательно, и параллельного переноса является, с идейной точки зрения, одним из самых сложных понятий в геометрии.

Анализ содержания базового курса геометрии и школьных учебников и учебных пособий по геометрии позволил сделать вывод, что необходимо включить в содержание предпрофильного обучения элементов абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований. Это обусловлено недостатками содержания базового курса, в частности: некорректным раскрытием сущности ключевого понятия «преобразование» в действующих школьных учебниках и учебных пособиях по геометрии путем его подмены понятиями «отображение» или «инъекция», восстребованностью аппарата

геометрических преобразований для решения задач с ественнонауч-ным содержанием, формированием готовности к продолжению физико-математического образования. Поэтому мы считаем, что на этапе предпрофильного обучения математике необходим комплекс курсов по выбору, основой организации содержания которого могут служить идеи теоретико-группового подхода, позволяющие четко определить предмет геометрии и ключевые понятия школьного курса геометрии и установить и развить связи и отношения между изучаемыми понятиями, что способствует подготовке школьников к восприятию и пониманию достижений современной науки.

Во второй главе диссертации «Методические аспекты предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости» разработан содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости с позиций теоретико-группового подхода, сконструировано содержание экспериментального комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскобтй» и описана опытно-экспериментальная работа по проверке его эффективности.

Были выделены основные принципы отбора содержания и построения учебного материала по комплексу курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости». Это принципы специальной направленности (соответствия учебного материала целям предпрофильного образования), фундаментальности (целенаправленного формирования основ абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований), научной и практической значимости (ориентации на современные разработки в данной предметной области), преемственности и прогности^ности (связи, согласованности и перспективности всех тем изучаемого раздела), сочетания доступности и трудности изложения (учета наличных и потенциальных возможностей учеников старшего подросткового возраста).

В состав комплекса курсов по выбору, позволяющего осуществить пробы в области математики, включены такие темы, как «Преобразования множества и прямой», «Операции над преобразованиями и их свойства», «Теорема М. Шаля», «Классификация движений», «Структура группы движений плоскости», «Эквиаффинные преобразования плоскости: косая симметрия и сдвиг», «Простейшие аффинные преобразования плоскости», «Теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида», «Основные идеи Эрлангенской программы Ф. Клейна». Комплекс курсов по выбору включает такие кур-

сы, как «В волшебном царстве симметрии» (7 часов), «Вслед за Евклидом» (10 часов) и «Мир необычной геометрии» (15 часов).

Анализ существующей практики показал, что эффективным является метод обучения через задачи. Поэтому в содержании комплекса курсов по выбору были разработаны блоки задач таким образом, что задачи каждого блока удовлетворяли требованиям возрастающей сложности и наличия некоторой идеи, позволяющей объединить их в отдельный блок.

Подготовка школьников к решению задач на применение геометрических преобразований достигается включением в учебный процесс, наряду с задачами на прямое действие, задач на действие, им обратное. Именно последние играют важную роль не только в формировании умения применять метод геометрических преобразований для решения более сложных задач, но и в развитии мышления в целом.

Исходя из этого, нами разработан содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения «Геометрическим-преобразованиям плоскости», основные идеи которого состоят в следующем:

1. Изучение преобразований прямой, в частности центральной симметрии и параллельного переноса, позволяет на наглядном и доступном для школьников уровне усвоить фундаментальные понятия теории геометрических преобразований: собственно преобразование, композиция преобразований, преобразование, обратное данному, тождественное преобразование, группа пресбразований. Изучение преобразований прямой, помимо математической нагрузки, несет в себе и методический смысл, т. к. готовит школьников к дальнейшему изучению движений плоскости не только в пропедевтическом, но и в мотивационном планах.

2. Знакомство с движениями плоскости начинается с изучения осевой симметрии, поскольку она представляет собой наиболее простое и в то же время фундаментальное преобразование. В отличие от других движений плоскости, осевая симметрия обладает наибольшей наглядностью и, как следствие, доступностью понимания. Кроме того, осевые симметрии являются теми «кирпичиками», из которых построены все другие движения плоскости: любое движение плоскости можно представить композицией не более трех осевых симметрий. Таким образом, осевая симметрия порождает группу движений плоскости. Инварианты этой группы являются предметом изучения школьного курса геометрии.

Немаловажно и то, что осевая симметрия является понятием абсолютной геометрии, т. е. она определяется одинаково как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского. Это, в свою очередь, существенно расширяет возможности применения осевой симметрии уже на раннем этапе изучения геометрии.

3. Важная роль отводится теореме М. Шаля и ее доказательству. Доказательство теоремы осуществляется посредством решения блока задач, в котором результат решения предыдущей задачи используется для решения последующей.

Задача 1. Доказать, что если при некотором движении / две различные точки А и В неподвижны, т. е. А - /(А) - А и В'/(В) = В, то любая точка прямой (АВ) неподвижна.

Задача 2. Доказать, что если при некотором движении / три точки, не принадлежащие одной прямой, неподвижны, т. е. А '=/(А) = А, В 7(2?) = В и С'/(С) = С, то и любая точка плоскости неподвижна, т. е. /является тождественным преобразованием.

Задача 3. Доказать, что если f^/^g — движения такие, что ДЛ) = = #(В) и /{С) - g(Q, где точки А, В и С не лежат на одной прямой, то f=g.

Задача 4. Доказать, что всякое движение плоскости можно представить в виде композиции не более чем трех осевых симметрий.

Задача 5. Доказать, что любое движение плоскости есть либо тождественное преобразование, параллельный перенос, поворот, осевая симметрия, скользящая симметрия.

4. При изучении подобия особое внимание уделяется теореме о представлении подобия композицией гомотетии и движения и ее доказательству. Данная теорема позволяет выявить устойчивую связь с изученными ранее движениями и, тем самым, обеспечить целостность, упорядоченность и взаимодействие тем внутри изучаемого комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости».

5. Рассмотрение эквиаффинных преобразований плоскости (косой симметрии и сдвига) позволяет расширить круг преобразований, характерных для школьного курса геометрии. Кроме того, представление косой симметрии как обобщения осевой, во-первых, устанавливает связь эквиаффинных преобразований с движениями плоскости и, во-вторых, подготавливает школьников к изучению аффинных преобразований. Так, если для косой симметрии потребовать, чтобы отрезок, соединяющий две соответственные точки, делился не пополам, а в произвольном отношении к, то мы получим новое преобразование: растяжение или сжатие к прямой.

Такой подход дает возможность формировать способность к индуктивному мышлению и широкому и абстрактному обобщению отношений и действий не только в геометрии, но и в математике вообще.

6. Предметом специального изучения на всех этапах усвоения курса «Геометрические преобразования плоскости» являются операции над преобразованиями (композиция преобразований и преобразование, обратное данному) и их свойства, изучение которых способствует развитию способности к анализу, синтезу, абстрагированию и обобщению.

7. Школьники при изучении данного курса должны получить представление об основных идеях «Эрлангенской программы» Ф. Клейна, что позволит им ясно осознать его необходимость и повысит значимость усваиваемого материала.

Опытно-экспериментальная работа по внедрению разработанного нами комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости» в учебный процесс проводилась на базе 9-х классов Муниципального общеобразовательного учреждения «Краснобарри-кадная средняя общеобразовательная школа», г. Астрахань. Эксперимент состоял из трех этапов: констатирующего, формирующего и контрольного.

В результате констатирующего эксперимента, в котором приняли участие 200 человек, были получены данные, свидетельствующие о невысоком (ниже среднего) уровне знаний учащихся по геометрическим преобразованиям.

В формирующем эксперименте ставилась задача сформировать у учащихся умения применять движения плоскости при решении геометрических задач. Для проведения этого эксперимента 86 человек 9-х классов, выбравших комплекс курсов, на основе баллов, полученных ими при выполнении первой контрольной работы, были поделены на 2 однородные группы (экспериментальную и контрольную).

Контрольный эксперимент заключался в проверке того, обеспечивает ли реализация содержательного компонента указанной методической системы сформированность умений применять геометрические преобразования при решении задач. Среди учащихся контрольной и экспериментальной групп была проведена вторая контрольная работа. При математической обработке экспериментальных данных использовались непараметрические методы: знаково-ранговый критерий Уилкоксона для однородных пар и критерий Манна-Уитни.

Полученные данные по результатам второй контрольной работы приведены на рисунке.

Как видно из диаграммы, количество испытуемых, решивших задачи 1,3,4 и 5, в экспериментальной группе значительно больше, чем в контрольной, что уже свидетельствует об эффективности разработанного нами содержательного компонента методической системы обучения геометрическим преобразованиям плоскости.

Результаты решения задач в экспериментальной и контрольной группах

□ — экспериментальная группа

■ — контрольная группа

В задачах 1 и 3 учащимся необходимо было выполнить задание на обратное действие: по двум данным фигурам найти элементы, определяющие движение (композицию движений), при котором одна из фигур является образом другой. Низкий процент правильных решений в контрольной группе, по сравнению с экспериментальной, свидетельствует о недостаточной сформированное™ у учащихся этой группы умения решать задачи на обратные действия.

Задачи 4 и 5 были предназначены для проверки умения применять движения плоскости непосредственно при решении более сложных задач. Результаты решения являются свидетельством того, что учащиеся контрольной группы, по сравнению с экспериментальной, формально усвоили материал и слабо владеют методом геометрических преобразований при решении задач. Решение задачи 5 в двух группах отличается также и качественно. В контрольном классе только 1/4 часть учащихся от количества учащихся экспериментального класса решили данную задачу с использованием движений.

В задаче 2 учащимся предлагалось построить образ фигуры при заданном движении плоскости (прямая задача). Достаточно высокий процент правильных решений как в контрольной, так и в экспериментальной группах (92,3 %) свидетельствует о сформированности у учащихся обеих групп соответствующего умения. Поскольку задачам на прямое действие, т. е. построение образа фигуры при заданном преобразовании, уделяется достаточно много внимания, то результат решения задачи 2 был вполне ожидаем.

Использование знаково-рангового критерия Уилкоксона для однородных пар при статистической обработке результатов второй контрольной работы показало, что при а=0,01 (критерий двусторонний) расчетное значение Т, равное 5, меньше критического значения, равного 9, что свидетельствует о достоверности различий результатов в экспериментальной и контрольной группах.

На основе этого можно сделать следующий статистически обоснованный вывод: школьники экспериментальной группы показали более высокий уровень математической подготовки, чем школьники контрольной группы. Следовательно, обучение учащихся экспериментальной группы по разработанной нами методической системе, реализующей теоретико-групповые идеи, оказало положительное влияние на качество их геометрической подготовки.

Результаты проведенного педагогического эксперимента подтверждают гипотезу исследования и позволяют констатировать обеспечение высокого уровня усвоения теоретического материала по курсу «Геометрические преобразования плоскости» и умения применять метод геометрических преобразований к решению задач и доказательству теорем.

В рамках поставленных задач, несмотря на отдельные шероховатости, диссертационное исследование можно считать завершенным.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

1. В содержание предпрофильного обучения включены элементы абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований, что обусловлено недостатками содержания базового курса, восстребованностью аппарата геометрических преобразований для решения задач с естественнонаучным содержанием, потребностью в формировании готовности к продолжению физико-математического образования.

2. Проанализированы основные особенности и специфика изложения темы «Преобразования плоскости» в различных действующих школьных учебниках и учебных пособиях по геометрии, что позволило обнаружить и устранить неточности в определении ключевого понятия «преобразование» и выявить степень применимости преобразований при определении фундаментальных понятий геометрии и изложении других разделов школьного курса геометрии.

3. Разработан содержательный компонент методической системы обучения геометрическим преобразованиям плоскости, усиленный теоретико-групповыми идеями за счет, во-первых, включения преобразований множества и прямой, способствующих подготовке к исследованию преобразований плоскости; во-вторых, приоритетного использования осевой симметрии (понятия абсолютной геометрии) как фундаментального преобразования, порождающего группу движений плоскости; в-третьих, применения операций над преобразованиями и их свойств для установления основных взаимосвязей и отношений между изучаемыми понятиями; в-четвертых, раскрытия Структуры группы движений плоскости, выраженной в законах композиции различных движений, и, в-пятых, обобщения осевой симметрии до косой (эквиаффинное преобразование) и косой симметрии до растяжения и сжатия к прямой (аффинные преобразования), расширяющих представления о преобразованиях плоскости.

4. Выделены основные принципы отбора и построения содержания курса «Геометрические преобразования плоскости»: специальной направленности (соответствия учебного материала целям предпрофильного обучения), фундаментальности (целенаправленного формирования основ абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований), научной и практической значимости (ориентации на современные разработки в данной предметной области), преемственности и прогностичности (связи, согласованности и перспективности всех тем изучаемого материала), оптимально-

го сочетания доступности и посильной трудности изложения (учета наличных и потенциальных возможностей учащихся старшего подросткового возраста).

5. Содержание предпрофильного курса «Геометрические преобразования плоскости» дополнено самостоятельно сформулированными и доказанными теоремами, раскрывающими теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида. Разработаны задания в тестовой форме для проверки эффективности обучения теме «Движения плоскости» и построены блоки задач на применение геометрических преобразований плоскости, позволяющие реализовать задач-ный подход в соответствии с содержанием предпрофильного курса «Геометрические преобразования плоскости». Блоки задач направлены на активизацию умственной деятельности учащихся и поэтому могут служить важным резервом повышения эффективности усвоения знаний по геометрическим преобразованиям.

6. Экспериментально доказана эффективность разработанного нами комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости», отражающего содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения, построенного в соответствии с основными идеями теоретико-группового подхода.

Основное содержание и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях (общий объем — 3,8 п л., авт. — 3,45 п.л.):

1. Монахова, H.A. Движения плоскости: метод. реком./Н.А. Монахова.—Астрахань: Изд. дом «Астраханский университет», 2005. — 17 с. (1,1 п.л.).

2. Монахова, H.A. Изучение преобразований прямой в профильном курсе математики / H.A. Монахова // Авторские подходы в пре- , подавании математики и физики в школе: материалы межрегион, науч.-практ. конф. — Шуя, 2005. — С. 107—112 (0,4 пл.).

3. Монахова, H.A. Анализ изложения темы «Преобразования плос- t кости» в различных школьных учебниках по геометрии / H.A. Монахова // Россия и Восток. Обучающееся общество и социально-устойчивое развитие Каспийского региона: материалы III Междунар. науч.

конф. 21—22 апр. 2005 г.: в 5 т. — Астрахань, 2005. — Т. 1: Научно-образовательное пространство Каспийского региона. — С. 192—196 (0,3 п.л.).

4. Монахова, H.A. О фундаментальных понятиях школьного курса геометрии / H.A. Монахова // Проблемы образования в современ-

ной России и на постсоветском пространстве: сб. ст. III Междунар. науч.-практ. конф. Янв. 2004 г. — Пенза, 2004. — С. 52—54 (0,2 пл.).

5. Монахова, H.A. Теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида / В.И. Ваничкин, H.A. Монахова II Образование. Экология. Экономика. Информатика: сб. науч. тр. VIII Междунар. конф. из сер. «Нелинейный мир». 15—20 сент. 2004 г. — Астрахань, 2004. — С. 151—154 (0,4 пл., авт. — 0,2 пл.).

6. Монахова, НА. Систематизация задач по теме «Движения плоскости» в углубленном курсе геометрии / H.A. Монахова // Симметрии: теоретический и методический аспекты: сб. науч. тр. I Междунар. семинара. 15—17 сент. 2005 г. / под ред. А.Г. Князева, Н.В. Ам-мосовой, Б.Б. Коваленко. — Астрахань, 2005.—С. 105—110 (0,4 пл.).

7. Монахова, H.A. Структура группы движений плоскости / H.A. Монахова // Физика. Математика: тез. докл. итоговой науч. конф. АГПУ. 26 апр. 2002 г. — Астрахань, 2002. — С. 51 (0,1 пл.).

8. Монахова, H.A. Значение геометрических преобразований в современном школьном образовании / H.A. Монахова // Проблемы образования в современной России и на постсоветском пространстве: сб. ст. V Междунар. науч.-практ. конф. Янв. 2005 г. — Пенза, 2005. — С. 170—172 (0,2 пл.).

9. Монахова, H.A. Изучение осевой и косой симметрий плоскости в углубленном курсе геометрии / В.И. Ваничкин, H.A. Монахова // Симметрии: теоретический и методический аспекты: сб. науч. тр. I Междунар. семинара. 15—17 сент. 2005 г. / под ред. А.Г. Князева, Н.В. Аммосовой, Б.Б. Коваленко. — Астрахань, 2005. — С. 89—93 (0,3 пл., авт. — 0,15 пл.).

10. Монахова, H.A. Проблема изучения преобразований в школьном курсе геометрии / H.A. Монахова // Образование. Экология. Экономика. Информатика: тез. докл. VIII Междунар. конф. 15—20 сент. 2003 г. — Астрахань, 2003. — С. 214 (0,1 пл.).

11. Монахова, H.A. Значение геометрических преобразований в формировании научного мировоззрения учащихся / H.A. Монахова // Математика. Компьютер. Образование: тез. XI Междунар. конф. Дубна, 26—31 янв. 2004 г. — М., 2004. — С. 354 (0,1 пл.).

12. Монахова, H.A. Эффективность педагогического эксперимента по изучению геометрических преобразований в профильном курсе математики / H.A. Монахова // Проблемы образования в современной России и на постсоветском пространстве: сб. ст. VI Междунар. науч.-практ. конф. Июнь 2005 г. — Пенза, 2005. — С. 152— 154 (0,2 пл.).

МОНАХОВА Наталья Алексеевна

СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ КОМПОНЕНТ МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРЕДПРОФИЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ ПЛОСКОСТИ

Автореферат

Подписано к печати 16.11.2005 г. Формат 60x84/16. Печать офс Бум. офс. Гарнитура Times Усл. печ. л 1,4. Уч.-изд. л. 1,5 Тираж 100 экз. Заказ

ВГПУ. Издательство «Перемена» Типография издательства «Перемена» 400131, Волгоград, пр. им. В.И.Ленина, 27

¿328 6

РНБ Русский фонд

2006-4 23519

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Монахова, Наталья Алексеевна, 2005 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Теоретические основы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости.

1.1. Особенности интеллектуального развития в старшем подростковом возрасте.

1.2. Значение геометрических преобразований в школьном математическом образовании.

1.3. Обзор изложения темы «Преобразования плоскости» в различных школьных учебниках и учебных пособиях по геометрии.

1.4. Преимущества теоретико-группового подхода к изложению фундаментальных понятий школьного курса геометрии.

1.5. Вектор. Аксиома параллельности Евклида в свете теоретико-групповой концепции.

ГЛАВА II. Методические аспекты предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости. 2.1. Методическая система обучения геометрическим преобразованиям плоскости.

2.2. Содержание комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости».

2.3. Экспериментальная проверка эффективности предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости"

Актуальность темы исследования. Современная система образования характеризуется кардинальными изменениями, связанными с переходом к новой образовательной парадигме, основными приоритетами которой являются как интересы личности, так и качество образования. В концепции модернизации российского образования среди условий, необходимых для повышения качества общего образования, особо выделяется необходимость дифференциации обучения, предполагающая широкие и гибкие возможности построения индивидуальных образовательных траекторий и позволяющая за счет изменений в содержании обучения более полно учитывать склонности и способности учащихся еще на этапе предпрофильной подготовки.

Реализация основных положений предпрофильного обучения предполагает дополнительное предметное обучение учащихся 9 классов.

Важнейшими целями предпрофильного обучения математике в основной школе является расширение знаний учащихся по математике, формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, формирование готовности к выбору профиля обучения в старшей школе и последующему профессионально-образовательному, социальному и культурному самоопределению в целом.

Особую значимость в предпрофильном обучении математике приобретает геометрия, которая, с одной стороны, является средством организации предпрофильного обучения, а с другой - выступает как его новое содержание.

В стандарте базового курса геометрии в основной школе геометрическим преобразованиям уделяется слишком мало внимания. Главным образом выделены такие содержательные линии, как «Примеры движений плоскости», «Понятие о гомотетии» и «Подобие фигур», которые рассматриваются в ознакомительном порядке и носят необязательный характер.

Кроме того, проведенное диагностическое обследование 200 человек подтвердило не высокий (ниже среднего) формальный уровень знаний учащихся по геометрическим преобразованиям.

Преобразования, являясь одной из плодотворных идей как геометрии, так и современной науки, нашли свое отражение в фундаментальных исследованиях ведущих ученых-математиков. В работах В.Г. Болтянского, В.И. Мишина, А.И. Фетисова изучаются возможности построения курса геометрии средней школы на основе геометрических преобразований. Исследование Т.Т. Фиско-вич посвящено изложению одного из возможных вариантов курса элементарной геометрии на плоскости на основе идеи групп преобразований. В работе А.Н. Колмогорова, А.Ф. Семенович, Ф.Ф. Нагибина, Р.С. Черкасова геометрические преобразования рассматриваются как концептуальная основа школьного курса геометрии. Исследования П.С. Моденова, А.С. Пархоменко, Я.П. Пона-рина, Н.М. Яглома посвящены вопросам изучения отдельных преобразований и их применения к решению задач и доказательству теорем. В работах В.В. Прасолова, Г.И. Саранцева, А.Я. Цукарь большое внимание уделяется составлению задач на использование метода геометрических преобразований. Таким образом, возможности использования теоретико-групповых идей при построении школьного курса геометрии исследуются в работах А.Н. Колмогорова, А.И. Фетисова, Т.Т. Фискович.

В ряде диссертационных исследований освещаются вопросы применения геометрических преобразований к доказательству теорем и задач на построение (М.А. Петрова), методики обучения школьников симметрии и ее использованию в углубленном курсе алгебры и начал анализа (М.Ю. Табачкова), управления развитием математического мышления учащихся в процессе формирования метода геометрических преобразований (И.Ш. Рухадзе), методики изучения движений плоскости в основной школе с учетом особенностей образного мышления учащихся (О.В. Холодная), обучения решению задач на геометрические преобразования на примере осевой и центральной симметрии (И.Е. Малова), методики и условий обучения симметрии учащихся 6 классов с целью развития их пространственного мышления (Е.Г. Оводова).

При построении предпрофильного обучения школьников в первую очередь возникает вопрос о его содержании. В процессе и содержании предпрофильного обучения геометрии находят решение проблемы изучения геометрических преобразований в условиях уровневой дифференциации с элементами профилирования (О.А. Клубничкина), организации содержания учебного материала по теме «Геометрические преобразования плоскости», рассматриваемой как средство систематизации и обобщения знаний учащихся по геометрии (В.Н. Сукманюк), обучения теме «Движения плоскости» с использованием понятия группы (Е.А. Семенко) и на основе обогащения образного опыта учащихся (О.В. Холодная).

Таким образом, актуальность данного диссертационного исследования обусловлена противоречиями между:

Исходя из потребности в разрешении указанных противоречий, определена проблема исследования, заключающаяся в разработке научных основ отбора содержания предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости посредством развития теоретико-групповых идей.

Объект исследования - препрофильное обучение геометрии в основной школе.

Предмет исследования - содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости.

Гипотеза исследования состоит в том, что отбор, разработка и реализация содержательного компонента методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости будут более эффективными, если:

- содержание будет структурировано с учетом фундаментальных идей теоретико-группового подхода;

- будут выявлены и обоснованы принципы отбора содержания обучения геометрическим преобразованиям плоскости, обеспечивающие пропедевтическое представление элементов теории групп на примере геометрических преобразований плоскости;

- в рамках предпрофильного обучения будет предложен комплекс курсов по выбору, расширяющих содержание раздела «Геометрические преобразования плоскости»;

- основанием разработки курсов по выбору, ориентированных на устранение недостатков традиционного изложения геометрических преобразований плоскости в базовом курсе геометрии основной школы, будут служить структурные элементы содержания, полученные с учетом фундаментальных идей теоретико-группового подхода.

Для достижения цели исследования и проверки его гипотезы были поставлены следующие задачи:

4. Сконструировать содержание комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости».

Методологические и теоретические основы исследования составляют:

• фундаментальные исследования теории геометрических преобразований (В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, А.К. Колмогоров, П.С. Моденов, Я.П. По-нарин, В. Шван, И.М. Яглом и др.);

• теоретико-групповые принципы геометрии и «Эрлангенская программа» Ф. Клейна;

• работы в области предпрофильного обучения (А.А. Кузнецов, В.М. Симонов, Г.П. Стефанова и др.);

• работы по отбору содержания обучения (В.И. Данильчук, В.В. Краев-ский, Г.Л. Луканкин, В.М. Монахов, В.В. Сериков, Т.К. Смыковская и др.);

• дидактические принципы обучения (М.И. Башмаков, Я.И. Груденов, Г.В. Дорофеев, И.А. Рудакова, А.А. Столяр и др.).

Научная новизна результатов исследования состоит в том, что:

• с позиций теоретико-группового подхода разработан содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости (приоритетно использовалась идея усиления роли осевой симметрии как преобразования, порождающего группу движений плоскости; раскрывалась структура группы движений плоскости, выраженная в законах композиции разных движений; употреблялась идея применения операций над преобразованиями и их свойств для установления основных взаимосвязей между изучаемыми понятиями), дополненный самостоятельно доказанными теоремами, раскрывающими теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида, и нашедший отражение в комплексе курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости» и в базовом курсе геометрии за счет увеличения доли решаемых задач;

• выделены основные принципы отбора и построения содержания комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости»: специальной направленности (соответствия учебного материала целям предпрофильного обучения), фундаментальности (целенаправленного формирования основ абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований), научной и практической значимости (ориентации на современные разработки в данной предметной области), преемственности и прогностичности (связи, согласованности и перспективности всех тем изучаемого материала), сочетания доступности и трудности изложения (учета наличных и потенциальных возможностей учащихся старшего подросткового возраста);

Теоретическая значимость результатов исследования заключается в том, что в работе дано обоснование необходимости применения теоретико-групповых идей в предпрофильном обучении математике, которые позволяют устранить выявленные недостатки в изложении содержания раздела «Преобразования плоскости».

Практическая ценность результатов исследования состоит в том, что:

• разработано содержание комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости», который включает в себя темы: «Преобразования множества и прямой», «Операции над преобразованиями и их свойства»,

Теорема М. Шаля», «Классификация движений», «Структура группы движений плоскости», «Эквиаффинные преобразования плоскости: косая симметрия и сдвиг», «Простейшие аффинные преобразования плоскости», «Теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида», «Основные идеи Эрлан-генской программы Ф. Клейна»;

Базой исследования являлись 9 классы Муниципального общеобразовательного учреждения «Краснобаррикадная средняя общеобразовательная школа». В эксперименте приняли участие 286 школьников.

Исследование проводилось в период с 2000 по 2005 год и включало следующие этапы.

Первый этап (поисково-теоретический, 2000-2001 гг.) - на основе анализа математической, психолого-педагогической и учебно-методической литературы изучено состояние проблемы исследования, разработана его общая концепция, проведен констатирующий эксперимент, сформулированы предмет, цель, гипотеза, методы и научный аппарат исследования.

Второй этап (экспериментальный, 2001-2003 гг.) - выявлены принципы отбора содержания комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости», разработан содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости, создан и апробирован экспериментальный комплекс курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости», организован и проведен формирующий эксперимент.

Третий этап {завершающий, 2003-2005 гг.) - на основе контрольного эксперимента проведен сравнительный анализ полученных данных, позволивший сформулировать выводы и рекомендации, направленные на дальнейшее улучшение процесса обучения геометрическим преобразованиям. Осуществлены итоговая математическая обработка, анализ и обобщение результатов исследования. Сформулированы его основные выводы. Выполнено оформление кандидатской диссертации.

Апробация результатов исследования. Основные положения и результаты исследования докладывались, обсуждались и получили одобрение на VIII Международной конференции «Образование. Экология. Экономика. Информатика» (Астрахань, 2003 г.), XI Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Москва, Дубна, 2004 г.), Ill, V и VI Международных научно-практических конференциях «Проблемы образования в современной России и на постсоветском пространстве» (Пенза, 2004-2005 гг.), III Международной научной конференции «Россия и Восток. Обучающееся общество и социально-устойчивое развитие Каспийского региона» (Астрахань, 2005 г.), Межрегиональной научно-практической конференции «Авторские подходы в преподавании математики и физики в школе» (Шуя, 2005 г.), I Международном семинаре «Симметрии: теоретический и методический аспекты» (Астрахань, 2005 г.), на ежегодных итоговых научных конференциях Астраханского государственного университета (Астрахань, 2001-2004 гг.), методических семинарах кафедры алгебры и геометрии и семинарах аспирантов кафедры математического анализа Астраханского государственного университета (Астрахань, 1999-2005 гг.). Результаты исследования изложены в 12 научных публикациях общим объемом 3,8 п.л., авт. - 3,45 п.л.

Внедрение результатов исследования. Результаты исследования внедрены в практику работы Муниципального общеобразовательного учреждения «Краснобаррикадная средняя общеобразовательная школа», подготовительных курсов с учащимися факультета довузовской подготовки Астраханского государственного университета, а также используются на лекциях и практических занятиях по дисциплинам «Геометрия» и «Методика преподавания математики» на факультете математики и информационных технологий физико-математического института Астраханского государственного университета.

Положения, выносимые на защиту:

1. Необходимость включения в содержание предпрофильного обучения элементов абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований обусловлена недостатками содержания базового курса, вос-стребованностью аппарата геометрических преобразований для решения задач с естественнонаучным содержанием, формированием готовности к продолжению физико-математического образования.

Теоретико-групповой подход, позволяя четко определить предмет геометрии и ключевые понятия школьного курса геометрии и установить и развить связи и отношения между изучаемыми понятиями, способствует повышению уровня знаний школьников по геометрическим преобразованиям и их подготовке к восприятию и пониманию достижений современной науки.

4. Элементом предпрофильного обучения выступают курсы по выбору, позволяющие учащимся осуществлять пробы выбора математического профиля обучения и отражающие следующие темы: «Преобразования множества и прямой», «Операции над преобразованиями и их свойства», «Теорема М. Шаля», «Классификация движений», «Структура группы движений плоскости», «Экви-аффинные преобразования плоскости: косая симметрия и сдвиг», «Простейшие аффинные преобразования плоскости», «Теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида», «Основные идеи Эрлангенской программы Ф. Клейна». Комплекс курсов по выбору включает такие курсы, как «В волшебном царстве симметрии», «Вслед за Евклидом» и «Мир необычной геометрии».

Структура диссертации. Диссертация (193 с.) состоит из введения (10 е.), двух глав (гл. 1-51 е., гл. II - 74 е.), заключения (5 е.), списка использованной литературы (261 наименование) и 6 приложений. Текст диссертации содержит 11 таблиц, 34 рисунка и 1 диаграмму.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Основные результаты исследования, подтверждающие его гипотезу и положения выносимые на защиту, состоят в следующем.

Проанализированы основные психологические особенности интеллектуального развития учащихся старшего подросткового возраста и показаны возможности влияния на него процесса обучения геометрическим преобразованиям плоскости в школьном курсе геометрии. Рассмотрены специфические особенности математического мышления, а также различные типы математических способностей старших подростков.

В содержание предпрофильного обучения включены элементы абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований, что обусловлено недостатками содержания базового курса, востребованностью аппарата геометрических преобразований для решения задач с естественнонаучным содержанием, формированием готовности к продолжению физико-математического образования и восприятию и пониманию достижений современной науки, в которой теоретико-групповой подход играет принципиально важную роль.

Проанализированы основные особенности и специфика изложения темы «Преобразования плоскости» в различных действующих школьных учебниках и учебных пособиях по геометрии, что позволило обнаружить и устранить неточности в определении ключевого понятия «преобразование» и выявить степень применимости преобразований при определении фундаментальных понятий геометрии и изложении других разделов школьного курса геометрии.

Проведенный анализ особенностей и специфики изложения темы «Преобразования плоскости» в современных школьных учебниках и учебных пособиях по геометрии показал следующее:

1. В большинстве из них геометрические преобразования представлены как изолированный материал, не имеющий связи ни с предшествующим, ни с последующим содержанием учебника. Изъятие этого материала никак не отразится на изложении всего курса геометрии, поскольку преобразования не находят систематического применения в других разделах учебника, что принципиально снижает их значимость.

2. Стремление упростить изложение данного вопроса приводит к некоторым существенным неточностям в определении ключевых понятий, вследствие чего не обеспечивается их истинное понимание.

3. В большинстве школьных учебников по геометрии прослеживается отказ от теоретико-множественного подхода.

Теоретико-групповой подход к построению основ школьного курса геометрии позволяет четко определить фундаментальные понятия последнего -геометрическую фигуру и равенство геометрических фигур и активно использовать геометрические преобразования при рассмотрении различных вопросов как теоретического, так и практического содержания.

Изучение геометрии с теоретико-групповых позиций позволило нам выявить связь между различными геометриями, в частности, геометрией Евклида и геометрией Лобачевского. В работе раскрывается теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида и выявляется принцип, по которому в геометрию Лобачевского, в отличие от геометрии Евклида, нельзя ввести понятие вектора и, следовательно, параллельного переноса.

Сформулированы и охарактеризованы цели изучения геометрических преобразований плоскости: пропедевтическая (обеспечение психологической готовности к восприятию и пониманию достижений современной науки), моти-вационная (формирование устойчивого интереса к геометрическим преобразованиям), мировоззренческая (формирование представлений о главных аспектах современной физической картины мира), развивающая (активизация познавательных психических процессов и способности к самоактуализации и саморазвитию), общекультурная.

Выделены основные принципы отбора содержания учебного материала по курсу «Геометрические преобразования плоскости». Это принципы специальной направленности (соответствия учебного материала целям предпрофильного обучения), фундаментальности (целенаправленного формирования основ абстрактной теории групп на примере простейших геометрических преобразований), научной и практической значимости (ориентации на современные разработки в данной предметной области), преемственности и прогностичности (связи, согласованности и перспективности всех тем изучаемого материала), сочетания доступности и трудности изложения (учета наличных и потенциальных возможностей учащихся старшего подросткового возраста).

В соответствии с предложенными принципами разработан содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости, основные идеи которого состоят в следующем:

1. Изучение преобразований прямой, в частности, центральной симметрии и параллельного переноса позволяет на наглядном и доступном для школьников уровне усвоить фундаментальные понятия теории геометрических преобразований: собственно преобразование, композицию преобразований, преобразование, обратное данному, тождественное преобразование, группу преобразований. Изучение преобразований прямой, помимо математической нагрузки, несет в себе и методический смысл, так как готовит школьников к дальнейшему изучению движений плоскости не только в пропедевтическом, но и в мотива-ционном плане.

4. При изучении подобия особое внимание уделяется теореме о представлении подобия композицией гомотетии и движения и ее доказательству. Данная теорема позволяет выявить устойчивую связь с изученными ранее движениями и, тем самым, обеспечить целостность, упорядоченность и взаимодействие тем внутри комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости».

5. Рассмотрение эквиаффинных преобразований плоскости (косой симметрии и сдвига) позволяет расширить круг преобразований, характерных для школьного курса геометрии. Кроме того, представление косой симметрии как обобщения осевой, во-первых, устанавливает связь эквиаффинных преобразований с движениями плоскости и, во-вторых, подготавливает школьников к изучению аффинных преобразований. Так, если для косой симметрии потребовать, чтобы отрезок, соединяющий две соответственные точки делился не пополам, а в произвольном отношении к, то мы получим новое преобразование: растяжение или сжатие к прямой.

Сконструировано содержание комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости», включающего темы «Преобразования множества и прямой», «Операции над преобразованиями и их свойства», «Теорема М. Шаля», «Классификация движений», «Структура группы движений плоскости», «Эквиаффинные преобразования плоскости: косая симметрия и сдвиг», «Простейшие аффинные преобразования плоскости», «Теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида», «Основные идеи Эрлангенской программы Ф. Клейна» и состоящего из курсов «В волшебном царстве симметрии», «Вслед за Евклидом» и «Мир необычной геометрии».

Содержание предпрофильного курса «Геометрические преобразования плоскости» дополнено самостоятельно сформулированными и доказанными теоремами, раскрывающими теоретико-групповой смысл аксиомы параллельности Евклида. Разработаны задания в тестовой форме для проверки эффективности обучения теме «Движения плоскости» и построены блоки задач на применение геометрических преобразований плоскости, позволяющие реализовать задачный подход в соответствии с содержанием курса «Геометрические преобразования плоскости».

Блоки задач разработаны таким образом, что задачи каждого блока удовлетворяют требованиям возрастающей трудности и наличия некоторой идеи, позволяющей объединить эти задачи в отдельный блок, а именно: в решении следующей задачи используется результат решения предыдущей; предыдущие задачи блока входят в состав последующей, усложняя ее; следующая задача обобщает предыдущую; блок может содержать аналогичные (применяется идея решения предыдущей задачи), прямые и/или обратные задачи. Блоки задач направлены на активизацию умственной деятельности учащихся и поэтому могут служить важным резервом повышения эффективности усвоения знаний по геометрическим преобразованиям.

Экспериментально доказана эффективность разработанного нами комплекса курсов по выбору «Геометрические преобразования плоскости», отражающего содержательный компонент методической системы предпрофильного обучения, построенного в соответствии с основными идеями теоретико-группового подхода.

Таким образом, несмотря на отдельные шероховатости, задачи настоящего исследования можно считать выполненными, а цель достигнутой.

Дальнейшее направление исследовательской работы мы видим в разработке и реализации целевого и процессуального компонентов методической системы предпрофильного и профильного обучения геометрическим преобразованиям плоскости и пространства.

143

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Монахова, Наталья Алексеевна, Астрахань

1. Абрамов A.M. Логические основы курса геометрии восьмилетней школы. - М.: НИИ школ МП РСФСР, 1973. - 101 с.

2. Абрамов A.M. Логические основы курса планиметрии // Математика в школе. 1974. - № 5. - С. 51-62.

3. Аванесов B.C. Композиция тестовых заданий. М.: Центр тестирования, 2002. - 240 с.

4. Автономова Т.В., Аргунов Б.И. Основные понятия и методы школьного курса геометрии. М.: Просвещение, 1988. - 128 с.

5. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. - № 3. -С. 56-62.

6. Александров А.Д. О понятии множества в курсе геометрии // Математика в школе. 1984. - № 1. - С. 47-52.

7. Александров А.Д. Теория относительности и геометрия // Математика в школе. 1991.-№ 3.-С. 4-8.

8. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1991. - 415 с.

9. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: Учебник для ф учащихся 7 класса средних школ. СПб.: Специальная литература, 1998.238 с.

10. Александров П.С. Введение в теорию групп. М.: Наука, 1980.143 с.

11. Аммосова Н.В. Группы движений и их приложения: Методические рекомендации учителям средних школ по проведению факультативных занятий по математике. Астрахань: Изд-во Астраханского гос. пед. ин-та, 1985. - 21 с.

12. Аммосова Н.В. Некоторые приложения движений на плоскости и их ф композиций (в курсе геометрии) // Математика в школе. 1987. - № 3. - С. 2528.

13. Аргунов Б.И. Преобразования плоскости. М.: Просвещение, 1976.79 с.

14. Аргунов Б.И., Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости. -М.: Учпедгиз, 1955. 270 с.

15. Аргунов Б.И., Демидова И.Н., Литвиненко В.Н. Задачник-практикум по геометрии: В 3 ч. -М.: Просвещение, 1979. -Ч. 1. 127 с.

16. Баврин Г.И. Использование моделей и моделирования в обучении // Научные труды математического факультета МПГУ / Под ред. В.Л. Матросова, А.В. Лубкова. М, 2000. - С. 332-337.

17. Барболин М.П. Задачи как средство повышения качества теоретических знаний учащихся // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы: Сборник статей / Под ред. И.Л. Климовича. Л., 1981. -С. 60-69.

18. Башмаков М. Что такое школьная математика? // Математика: Приложение к газете «Первое сентября». 2003. - № 48. - С. 1^4.

19. Белоногова Е.М., Кирзимов В.А. Преобразование плоскости. Сборник задач: Пособие по курсу средней школы для 7-11 классов. М.: Московский Лицей, 2000. - 96 с.

20. Белошистая А.В. Почему школьникам так трудно дается геометрия? // Математика в школе. 1999. - № 6. - С. 14-19.

21. Березин В.Н., Березина Л.Ю., Никольская И.Л. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. М.: Просвещение, 1985.- 175 с.

22. Биркгофф Г. Математика и психология / Пер. с англ. Г.Н. Поварова.- М.: Сов. радио, 1977. 96 с.

23. Блонский П.П. Память и мышление. СПб.: Питер, 2001. - 288 с.

24. Болтянский В.Г. Перемещения плоскости // Квант. 1980. - № 3. - С.2.9.

25. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия. М.: Просвещение, 1985.- 320 с.

26. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учебных учреждений. М.: Ин-т учебника «Пай-дейя», 1998.-382 с.

27. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Векторное обоснование геометрии // Новое в школьной математике: Сборник статей. М., 1972. - С. 64-93.

28. Болтянский В.Г., Яглом И.М. Преобразования. Векторы. М.: Просвещение, 1964.-303 с.

29. Бондаренко Т., Луканкин Г. О влиянии идей Феликса Клейна на перестройку математического образования // Математика: Приложение к газете «Первое сентября». 1998. - № 44. - С. 1-3.

30. Бородина Н.А. Обобщающий урок по теме «Движение» // Математика в школе. 2002. - № 3. - С. 28-30.

31. Буткин Г.А. Формирование умений, лежащих в основе геометрического доказательства // Формирование приемов математического мышления: Сборник статей / Под ред. Н.Ф. Талызиной. М., 1995. - С. 120-156.

32. Быкова Л.Г. Требования к содержанию факультативных занятий по математике со старшеклассниками // Научные труды математического факультета МПГУ / Под ред. В.Л. Матросова, А.В. Лубкова. М., 2000. - С. 399-403.

33. Варданян С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием.- М.: Просвещение, 1989. 144 с.

34. Васильева М.В. Методические рекомендации и указания по геометрии (для спецкурса и спецсеминара): В 4 ч. М.: Изд-во МГПИ, 1979. - Ч. 1. Геометрия на плоскости. - 138 с.

35. Вахания 3. Начала математики или система манипуляций? // Математика в школе. 1999. - № 2. - С. 50-52.

36. Введение в научное исследование по педагогике / Под ред. В.И. Журавлева. М.: Просвещение, 1988. - 237 с.

37. Ведерникова Т.Н., Иванов О.А. Интеллектуальное развитие школьников на уроках математики // Математика в школе. 2002. - № 3. - С. 41-45.

38. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления / Пер. с англ. Д.А. Райкова. М.: Иностранная литература, 1947. - 408 с.

39. Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984.511 с.

40. Вейль Г. Математическое мышление / Пер. с англ. и нем. М.: Наука, 1989.-400 с.

41. Вейль Г. Симметрия / Пер. с англ. Б.В. Бирюкова и Ю.А. Данилова. -М.: Наука, 1968.- 191 с.

42. Вейль Г. Теория группы и квантовая механика / Пер. с англ. М.: Наука, 1986.-495 с.

43. Вересова Е.Е., Денисова Н.С. Сборник задач по геометрическим преобразованиям. М.: Изд-во МПГИ им. В.И. Ленина, 1978. - 64 с.

44. Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия: В 2 ч. СПб.: Специальная литература, 1997.

45. Вернер А.Л., Рыжик В.И., Ходот Т.Г. Геометрия: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 1999. - 192 с.

46. Вернер А.Л., Рыжик В.И., Ходот Т.Г. Геометрия: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2001. - 192 с.

47. Вернер А.Л., Рыжик В.И., Ходот Т.Г. Геометрия: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2001. - 207 с.

48. Вернер А.Л., Франгулов С.А., Юзвинский С.А. Аксиоматическое построение геометрии (по Колмогорову). Л.: Изд-во ЛГПИ, 1978. - 48 с.

49. Виленкин Н.Я. О понятии величины // Математика в школе. 1973.

50. Виленкин Н.Я., Дуничев К.И., Калужнин Л.А., Столяр А.А. Современные основы Школьного курса математики. М.: Просвещение, 1980. -240 с.

51. Виленкин Н.Я., Яглом И.М. Теория групп и школьная математика // Новое в школьной математике: Сборник статей. М., 1972. - С. 114-147.

52. Волович М.Б. Наука обучать. Технология преподавания математики. М.: LINKA - PRESS, 1995. - 280 с.

53. Володарская И.А. Формирование обобщенных приемов геометрического мышления // Формирование приемов математического мышления: Сборник статей / Под ред. Н.Ф. Талызиной. М., 1995. - С. 156-202.

54. Володарская И.А., Никитюк Т.К. Формирование общего приема решения задач на построение // Формирование приемов математического мышления: Сборник статей / Под ред. Н.Ф. Талызиной. М., 1995. - С. 202-229.

55. Володин В.К., Фролова С.В. Несколько задач на движение плоскости // Математика в школе. 2000. - № 4. - С. 8-10.

56. Воронько Т.А. Геометрические задачи, направленные на развитие исследовательских способностей учащихся // Научные труды математического факультета МПГУ / Под ред. B.JL Матросова, А.В. Лубкова. М., 2000. - С. 385-392.

57. Восканян К.В. Разные способы решения геометрических задач как средство развития мышления школьников // Вопросы психологии. 1995. - № 5.-С. 26-32.

58. Гаджиева Л. Муниципальная модель профильного обучения // Народное образование. 2005. - № 6. - С. 209-213.

59. Газарян Р. Задача как обучающая модель // Математика: Приложение к газете «Первое сентября». 2003. - № 11. - С. 1.

60. Гаргай В., Метелкин Д. Профильное обучение: варианты решения // Народное образование. 2004. - № 9. - С. 109-115.

61. Гезацян М.В., Карпова С.Е., Лабзин Д.В., Шастина Е.П. Роль и место математики в формировании базовой культуры личности школьника // Наука и школа. 2000. - № 6. - С. 8-11.

62. Гейдман Б. Осевая симметрия // Квант. 1976. - № 9. - С. 56-58.

63. Геометрические построения в курсе средней школы: Учебное пособие / Авт.-сост. А.О. Корнеева. Саратов: Лицей, 2003. - 80 с.

64. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений / Авт.-сост. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение, 2002. - 384 с.

65. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Авт.-сост. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. М.: Вита-Пресс, 2002.- 174 с.

66. Глаголев Н.А. Элементарная геометрия. Планиметрия. М.: Учпедгиз, 1949.-268 с.

67. Глейзер Г.Д. Каким быть школьному курсу геометрии // Математика в школе. 1991. - № 4. - С. 68-71.

68. Глейзер Г.Д. Феликс Клейн о реформировании математического образования: история и современность // Математика: Приложение к газете «Первое сентября». 1998. - № 5. - С. 1-2, 16.

69. Глухов М.М. Отношения эквивалентности и разбиения множеств // Квант. 1972. - № 2. - С. 2-9.

70. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 2003. - 405 с.

71. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире и математическом образовании // Математика в школе. 1991. - № 1. - С. 2-4.

72. Гнеденко Б.В. Развитие мышления и речи при изучении математики // Математика в школе. 1991. - № 4. - С. 3-9.

73. Гнеденко Б.В. Статистическое мышление и школьное математическое образование // Математика в школе. 1999. - № 6. - С. 2-6.

74. Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симмет-рий. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 528 с.

75. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. М.: Просвещение, 1996. - 240 с.

76. Готман Э.Г., Скопец З.А. Задача одна решения разные: Геометрические задачи. - М.: Просвещение, 2000. - 224 с.

77. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977. - 136 с.

78. Гребенев И.В. Дидактика предмета и методика обучения // Педагогика.-2003.-№ 1.-С. 14-20.

79. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. М.: Просвещение, 1981.-95 с.

80. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математики. М.: Педагогика, 1987. - 158 с.

81. Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе // Математика в школе. 1990. - № 4. - С. 27-31.

82. Гусев В.А. Какая будет геометрия в школе 21 века? // Научные труды математического факультета МГГГУ / Под ред. B.J1. Матросова, А.В. Лубкова. -М., 2000.-С. 342-355.

83. Гусев В.А., Усманов О.Х. Преемственность в изучении преобразований плоскости и пространства // Преподавание геометрии в 9-10 классах: Сборник статей / Сост. З.А. Скопец, Р.А. Хабиб. М., 1980. - С. 65-96.

84. Донедцю А. Евклидова планиметрия. / Пер. с франц. A.M. Абрамова. -М.: Наука, 1978.-272 с.

85. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе. 1990. - № 6. - С. 2-5.

86. Дужин С.В., Чеботаревский Б.Д. От орнаментов до дифференциальных уравнений: популярное введение в теорию групп преобразований. -Минск: Вышэйшая школа, 1988. -253 с.

87. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1978. - 576 с.

88. Жаров В.А. Основные принципы построения задачника по геометрии. -Ярославль: Изд-во Ярославского пед. ин-та, 1960. 188 с.

89. Жаров В.А., Марголите П.С., Скопец З.А. Вопросы и задачи по геометрии. М.: Просвещение, 1965. - 111 с.

90. Жафяров А.Ж. Геометрия: Учебное пособие: В 2 ч. Новосибирск: Сибирское университетское изд-во, 2002-2003.

91. Жафяров А.Ж., Абрамов А.В., Дмитриева А.В., Полюдова А.В., Ха-санов А.И., Якуткин А.Н. Движение и подобие плоскости: Учебно-дидактический комплекс. Новосибирск: Изд-во НГПУ, 2001. - 257 с.

92. Желудев И.С. Симметрия и ее приложения. М.: Энергоатомиздат, 1983.-303 с.

93. Жохов В.И., Карташева Г.Д., Крайнева Л.Б. Уроки геометрии в 7-9 классах: Методические рекомендации для учителя к учебнику Атанасяна Л.С. и др. М.: Вербум-М, 2003. - 248 с.

94. Заславский А.А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2003.-86 с.

95. Иванов О.А. Углубленное математическое образование в школе сегодня // Математика в школе. 2001. - № 2. - С. 40-44.

96. Игошин В.И. Логика и интуиция в математическом образовании // Педагогика. 2002. - № 9. - С. 40-46.

97. Ильин Е.П. Мотивация и мотивы. СПб.: Питер, 2004. - 509 с.

98. Капленко Э., Маркова С. Геометрические преобразования плоскости // Математика: Приложение к газете «Первое сентября». 2001. - № 16. - С. 23-27; № 18. - С. 15-21; № 20. - С. 24-29.

99. Карелина Т.М. О проблемных ситуациях на уроках геометрии // Математика в школе. 1999. - № 6. - С. 19-20.

100. Карп А.П. Даю уроки математики. М.: Просвещение, 1992.191 с.

101. Килина Н.Г. О сущности учебной задачи по методике преподавания математики // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы: Сборник статей / Под ред. И.Л. Климовича. Л., 1981. - С. 25-34.

102. Киселев А.П. Геометрия. Планиметрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных школ. СПб.: Специальная литература, 1999. - 278 с.

103. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2 т. / Под ред. В.Г. Болтянского. М.: Наука, 1987. - Т. 2. Геометрия. - 416 с.

104. Клубничкина О.А. Изучение геометрических преобразований в общеобразовательной школе (в условиях дифференцированного обучения): Дис. канд. пед. наук. М., 2001. - 234 с.

105. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию / Пер. с англ. А.Б. Катка и С.Б. Каток. М.: Наука, 1966. - 648 с.

106. Колмогоров А.К. Диалектико-материалистическое мировоззрение в школьных курсах математики и физики // Квант. 1980. - № 4. - С. 15-19.

107. Колмогоров А.Н. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии // Математика в школе. 1965. - № 2. - С. 24-29.

108. Колмогоров А.Н. Группы преобразований // Квант. 1976. - № 10. -С. 2-5.

109. Колмогоров А.Н. Об учебном пособии «Геометрия 6-10» А.В. Пого-релова // Математика в школе. 1983. - № 2. - С. 45-52.

110. Колмогоров А.Н., Семенович А.Ф., Черкасов Р.С. Геометрия: Учебное пособие для 6-8 классов средней школы. М.: Просвещение, 1981. - 383 с.

111. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. М.: Просвещение, 1977.- 110 с.

112. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. Основные понятия современного школьного курса математики. М.: Просвещение, 1974. - 382 с.

113. Комацу М. Многообразие геометрии / Пер. с япон. М.: Знание, 1981.-208 с.

114. Комиссарук A.M. Аффинная геометрия. Минск: Вышэйшая школа, 1977.-334 с.

115. Концепция развития школьного математического образования // Математика в школе. 1990. -№ 1. - С. 2-12.

116. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. - 431 с.

117. Крутецкий В.А. Психология мышления. М.: Просвещение, 1980.352 с.

118. Крыговская 3. Геометрия. Основные свойства плоскости / Пер. с пол. А.П. Лавута. М.: Просвещение, 1970. - 212 с.

119. Кузнецова Л.И. К вопросу о преобразованиях и некоторых их группах в школьном курсе геометрии // Методика преподавания математики в средней школе: Сборник научных трудов. Свердловск, 1975. - С. 107-132.

120. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия. СПб.: Изд-во «Лань», 2003.-416 с.

121. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: МЦНМО, 2001.568 с.

122. Кушнир И.А. Применение гомотетии при решении некоторых задач планиметрии // Математика в школе. 1978. - № 5. - С. 82-84.

123. Лернер П.С. Инновационные технологии повышения интерактивности профильного обучения // Школьные технологии. 2004. - № 6. - С. 155— 169.

124. Ломсадзе Ю.М. Теоретико-групповое введение в теорию элементарных частиц. М.: Высшая школа, 1962. - 183 с.

125. Лоповок Л.М. Факультативные задания по геометрии для 7-11 классов. Киев: Рад. Школа, 1990. - 127 с.

126. Ляпин Е.С., Айзенштадт А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. М.: Наука, 1967. - 246 с.

127. Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные частицы. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1983. - 336 с.

128. Лященко Е.И. Проблема задач в школьном курсе математики // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы: Сборник статей / Под ред. И.Л. Климовича. Л., 1981.-С. 3-13.

129. Малова И.Е. Доказательство равенства фигур с использованием осевой симметрии // Математика в школе. 1983. - № 3. - С. 32-34.

130. Малова И.Е. Обучение решению задач на геометрические преобразования в восьмилетней школе (на примере осевой и центральной симметрии): Дис. канд. пед. наук. -М., 1983. 189 с.

131. Манвелов С.Г. Разработка и проведение урока математики. Армавир: Изд-во АГПИ, 1996.

132. Маркова А.К. Психология обучения подростка. -М.: Знание, 1975.

133. Мартиросян П.В. Элементы неевклидовой геометрии в средней школе (на материале геометрии Лобачевского): Дис. канд. пед. наук. Баку, 1973.

134. Медведева О.С. О математическом и комбинаторном стилях мышления // Научные труды математического факультета МПГУ / Под ред. В.Л. Мат-росова, А.В. Лубкова. М., 2000. - С. 377-382.

135. Медяник А.И. Учителю о школьном курсе геометрии. М.: Просвещение, 1984.-95 с.

136. Мельникова Н.Б., Лудина Г.Б., Лепихова Н.М. Геометрия: Дидактические материалы для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Мнемозина, 1999. - 272 с.

137. Метельский Н.В. Дидактика математики: Лекции по общим вопросам. Минск: Изд-во БГУ, 1975. - 255 с.

138. Метельский Н.В. Очерки истории методики математики. К вопросу о реформе преподавания математики в средней школе. Минск: Вышэйшая школа, 1968.-340 с.

139. Метельский Н.В. Психолого-педагогические основы дидактики математики. Минск: Вышэйшая школа, 1977. - 158 с.

140. Метельский Н.В. Пути совершенствования обучения математике: проблемы современной методики математики. Минск: Университетское, 1989.- 158 с.

141. Методика преподавания математики в средней школе / Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

142. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика / Сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

143. Методика факультативных занятий в 7-8 классах: Избранные вопросы математики / Сост. И.Л. Никольская, В.В. Фирсов. М.: Просвещение, 1981.- 160 с.

144. Мехтиев М.Г. Некоторые суждения о проблеме обучения геометрии в школе // Математика в школе. 1994. - № 2. - С. 40-42.

145. Мишин В.И. Геометрические преобразования в курсе планиметрии средней школы: Дис. канд. пед. наук. М., 1953. - 218 с.

146. Мищенко Т.М., Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7 класс: Методическое пособие к учебнику И.Ф. Шарыгина «Геометрия 7-9». М.: Дрофа, 2001. -128 с.

147. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Геометрические преобразования. -М.:Изд-во МГУ, 1961.-231 с.

148. Моиз Э.Э., Дауне Ф.Л. Геометрия / Пер. с англ. И.А. Вайнштейна. -М.: Просвещение, 1972. 622 с.

149. Мухина B.C. Психология детства и отрочества. М.: Ин-т практической психологии, 1998. - 488 с.

150. Нагибин Ф.Ф. Скользящая симметрия // Математика в школе. 1974.- № 4. С. 66-72.

151. Нешков К.И., Семушин А.Д. Функции задач в обучении // Математика в школе. 1971. - № 3. - С. 4-8.

152. Никольский С. О роли математики // Математика: Приложение к газете «Первое сентября». 2003. - № 30. - С. 30-31.

153. Образовательный стандарт по математике // Математика: Приложение к газете «Первое сентября». 2003. - № 30. - С. 2-11.

154. Оводова Е.Г. Симметрия как средство развития пространственного мышления учащихся 6 класса: Дис. канд. пед. наук. СПб., 1998. - 184 с.

155. Окунев А.А. Углубленное изучение геометрии в 9 классе. М.: Просвещение, 1997. - 144 с.

156. Особенности обучения и психологического развития школьников 13-17 лет / Под ред. И.В. Дубровиной, Б.С. Круглова. М.: Педагогика, 1988. -192 с.

157. Парамонова И.М. Симметрия в математике. М.: МЦНМО, 2002.24 с.

158. Пиаже Ж., Бет Э., Дьедонне Ж., Лихнерович А., Шоке Г., Гаттеньо К. Преподавание математики / Пер. с франц. А.И. Фетисова. М.: Учпедгиз, 1960. -163 с.

159. Платонов К.К. Проблемы способностей. М.: Наука, 1972. 312 с.

160. Погорелов А.В. Геометрия: Учебное пособие для 7-11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1989. - 303 с.

161. Подходова Н.С. К проблеме личностно ориентированного обучения геометрии // Математика в школе. 2000. - № 10. - С. 54-58.

162. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Под ред. С.А. Яновской. М.: Наука, 1957. - 464 с.

163. Понарин Я П. Преобразования подобия плоскости // Математика в школе. 1979. - № 3. - С. 62-67.

164. Понарин Я.П. Геометрия: Учебное пособие. Ростов-на-Дону: Изд-во «Феникс», 1997. - 512 с.

165. Построения и преобразования в курсе геометрии средней школы: Методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пед. ин-ов / Сост. С.Н. Лубышева. Сыктывкар, 1992. - 64 с.

166. Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике. -М.: Просвещение, 1963. 200 с.

167. Потоцкий М.В. О психологических основах методики обучения математики // Математика в школе. 1961. - № 6. - С. 49-55.

168. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2000. - 584 с.

169. Преподавание геометрии в 6-8 классах: Сборник статей / Сост. В.А. Гусев. М.: Просвещение, 1979. - 281 с.

170. Программа для школ (классов) с углубленным теоретическим и практическим изучением математики // Математика в школе. 1990. - № 3. - С. 32-39.

171. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. М.: Дрофа, 2000. -320 с.

172. Профессиональная ориентация школьников в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения // Управление школой (Приложение к газете «Первое сентября»). 2004. - № 34. - С. 15-17.

173. Розенфельд Б.А. История развития содержания современного школьного курса геометрии // Преподавание геометрии в 9-10 классах: Сборник статей/Сост. 3.А. Скопец, Р.А. Хабиб.-М., 1980.-С. 111-131.

174. Рудакова И.А. Дидактика. Ростов-на-Дону: Феникс, 2005. - 256 с.

175. Рузин Н.К. Задача как цель и средство обучения математике // Математика в школе. 1980. -№ 4. - С. 13-15.

176. Рунион Р. Справочник по непараметрической статистике / Пер. с англ. Е.З. Демиденко. М.: Финансы и статистика, 1982. - 198 с.

177. Рыжик В.И., Окунев А.А. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса. М.: Просвещение, 1998. - 159 с.

178. Садовский JL, Аршинов М. Группы // Квант. 1976. - № 10. - С. 612.

179. Самовол П.И. К проблеме дифференциации обучения // Математика в школе. 1991.-№ 4.-С. 17-19.

180. Саранцев Г. Цели обучения математике в средней школе в современных условиях // Математика в школе. 1999. - № 6. - С. 36-41.

181. Саранцев Г.И. Гуманизация образования и актуальные проблемы методики преподавания математики // Математика в школе. 1995. - № 5. - С. 36-39.

182. Саранцев Г.И. Из опыта изучения гомотетии // Математика в школе.- 1975.-№ 1.-С. 35-38.

183. Саранцев Г.И. Изучение осевой и центральной симметрий на внеклассных занятиях // Математика в школе. 1971. - № 1. - С. 75-79.

184. Саранцев Г.И. Изучение параллельного переноса и поворота // Математика в школе. 1971. -№ 4. - С. 75-79.

185. Саранцев Г.И. Методика изучения отображений в курсе геометрии восьмилетней школы. М.: Просвещение, 1979. - 80 с.

186. Саранцев Г.И. Некоторые свойства центра поворота // Математика в школе. 1975.-№5.-С. 31-34.

187. Саранцев Г.И. Обучение доказательству // Математика в школе. -1996.-№6.-С. 16-19.

188. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов и университетов. Саранск: Красный Октябрь, 1999. - 208 с.

189. Саранцев Г.И. Сборник задач на геометрические преобразования. -М.: Просвещение, 1981. 112 с.

190. Саранцев Г.И. Теория, методика и технология обучения // Педагогика.-1999.-№ 1.-С. 19-24.

191. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995.-240 с.

192. Саранцев Г.И., Калинкина Т.М. Методы научного познания как средство упорядочения геометрических задач // Математика в школе. 1994. - № 6.- С. 2-4.

193. Саранцев Г.И., Лунина Л.С. Обучение методу аналогий // Математика в школе. 1989. - № 4. - С. 42.

194. Семенко Е.А. Обучение теме «Движения плоскости» с использованием понятия группы в классах с углубленным изучением математики: Дис. канд. пед. наук. СПб., 1994. - 165 с.

195. Семенов А. Модернизация российского школьного образования и проект стандартов 2003 года // Математика: Приложение к газете «Первое сентября». 2003. - № 30. - С. 26-29.

196. Семенович А.Ф. Об определении понятия «отображение» // Математика в школе. 2000. - № 5. - С. 35.

197. Серебренников Л. Содержание предпрофильной подготовки школьников // Народное образование. 2005. - № 7. - С. 127-132.

198. Система. Симметрия. Гармония. М.: Мысль, 1988. - 315 с.

199. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике: Методическое пособие. Киев: Рад. Школа, 1983. - 192 с.

200. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2001. - 271 с.

201. Сойер У.У. Прелюдия к математике / Пер. с англ. М.Л. Смолянского и С.Л. Романовой. М.: Просвещение, 1965. - 355 с.

202. Солсо Р. Когнитивная психология. СПб.: Питер, 2002. - 592 с.

203. Сохор A.M. Логическая структура учебного материала: Вопросы дидактического анализа. М.: Педагогика, 1974. - 192 с.

204. Спрингер С., Дейч Г. Левый мозг, правый мозг: Асимметрия мозга / Пер. с англ. А.Н. Чепковой / Под ред. И.В. Викторова. М.: Мир, 1983. - 256 с.

205. Стандарт основного общего образования по математике // Математика в школе. 2004. - № 4. - С. 4-16.

206. Столяр А.А. Логика и интуиция в преподавании геометрии. Минск: Изд-во Министерства высш., сред. спец. и проф. образования БССР, 1963. - 126

207. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: Вышэйшая школа, 1986.-413 с.

208. Столяр А.А. Роль математики в гуманизации образования // Математика в школе. -1990. № 6. - С. 5-7.

209. Стратилатов П.В. Дополнительные главы по курсу математики. М.: Просвещение, 1974. - 144 с.

210. Сукманюк В.Н. Методика обучения обобщению и систематизации математических знаний школьников (на примере темы «Геометрические преобразования плоскости»): Дис. канд. пед. наук. Краснодар, 2001. - 160 с.

211. Табачкова М.Ю. Симметрии и их применения в углубленном курсе алгебры и начал анализа: Дис. канд. пед. наук. Саранск, 2002. - 176 с.

212. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе. 1993. - № 4. - С. 3-9.

213. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии. М.: Мысль, 1974.-229 с.

214. Фалькенштейн Э.М. Признаки перемещений // Математика в школе. 1973.-№6.-С. 58-62.

215. Фетисов А.И. Геометрические преобразования в курсе элементарной геометрии в средней школе // Математика в школе. 1962. - № 4. - С. 32-43.

216. Фетисов А.И. Геометрия в задачах. -М.: Просвещение, 1977. 192 с.

217. Фетисов А.И. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. М.: Просвещение, 1967. - 271 с.

218. Фетисов А.И. Очерки по евклидовой и неевклидовой геометрии. -М.: Просвещение, 1965. 235 с.

219. Финогеева И.С. Обучающие задачи как средство непроизвольного запоминания // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы: Сборник статей / Под ред. И.Л. Климовича. Л., 1981. - С. 4754.

220. Фирсов В.В., Боковнев О.А., Шварцбурд С.И. Состояние и перспективы факультативных занятий по математике. М.: Просвещение, 1977. - 48 с.

221. Фискович Т.Т. Опыт изложения курса элементарной геометрии на плоскости на основе идеи групп преобразований: Автореф. дис. канд. пед. наук.-М., 1966.-16 с.

222. Фискович Т.Т. Опыт изложения курса элементарной геометрии на плоскости на основе идеи групп преобразований: Дис. канд. пед. наук. Ростов-на-Дону, 1966. - 426 с.

223. Фискович Т.Т. Приемы и средства формирования мышления школьников в процессе изучения геометрии // Оптимизация процесса обучения математике в средней школе: Сборник научных трудов / Под ред. Ю.К. Бабанского. -М., 1979.-С. 57-64.

224. Фискович Т.Т. Некоторые пути перехода от геометрии движений к геометрии подобий // Математика и некоторые ее приложения в теоретическом и прикладном естествознании: Сборник. Ростовский-на-Дону ГПИ, 1967. - С. 211-219.

225. Фискович Т.Т. Система упражнений при изучении геометрии на основе идей групп преобразований // Математика и некоторые ее приложения в теоретическом и прикладном естествознании: Сборник. Ростовский-на-Дону ГПИ, 1967.-С. 225-250.

226. Фишман В.М. Решение задач с помощью геометрических преобразований // Квант. 1975. - № 7. - С. 30-36.

227. Франгулов С.А., Совертков П.И., Фадеева А.А., Ходот Т.Г. Сборник задач по геометрии. М.: Просвещение, 2002. - 238 с.

228. Фридман J1.M. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

229. Фридман JI.M., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М.: Просвещение, 1989. - 192 с.

230. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача / Под ред. Н.Я. Виленкина: В 2 ч. М.: Просвещение, 1983.

231. Хахамов J1.P. Преобразования плоскости. М.: Просвещение, 1979.95 с.

232. Холодная О.В. Методика изучения движений плоскости в основной школе с опорой на образное мышление учащихся: Автореф. дис. канд. пед. наук. М., 2002.-18 с.

233. Холодная О.В. Методика изучения движений плоскости в основной школе с опорой на образное мышление учащихся: Дис. канд. пед. наук. М., 2002.- 177 с.

234. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 9 класса. М.: Просвещение, 2000. - 65 с.

235. Цукарь А.Я. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием образного мышления: Автореф. дис. доктора пед. наук. Новосибирск, 1999. - 33 с.

236. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии: Планиметрия. -М.: Учпедгиз, 1959. 392 с.

237. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. М.: Дрофа, 1998. - 352 с.

238. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 9-11 классы. От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. М.: Дрофа, 1997. - 400 с.

239. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (Планиметрия). М.: Наука, 1986.-224 с.

240. Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами. М.: ООО «Изд-во Астрель» - ООО «Изд-во ACT», 2001. - 400 с.

241. Шарыгин И.Ф. Цели, задачи и стандарты математического образования // Математика: Приложение к газете «Первое сентября». 2003. - № 30. -С. 12-14.

242. Шарыгин Н.Ф. Нужна ли в школе 21 века геометрия? // Математика в школе. 2004. - № 4. - С. 72-79.

243. Шван В. Элементарная геометрия. Геометрия на плоскости / Пер. с нем. Б.Л. Лившица, Ю.Л. Рабиновича: В 2 т. М.: Учпедгиз, 1937. - Т. 1. -400 с.

244. Шоке Г. Геометрия / Пер. с франц. Н.Н. Родман. М.: Мир, 1970.239 с.

245. Шоластер Н.Н. Задачи на геометрические преобразования // Математика в школе. 1976. - № 3. - С. 53-60.

246. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971.254 с.

247. Шрейдер Ю.А. Что такое расстояние? М.: Физматгиз, 1963. - 70 с.

248. Эксперимент: совершенствование структуры и содержания общего образования. Профильное обучение / Под ред. А.Ф. Киселева. М.: Владос, 2001.-512 с. - (М-во образования РФ).

249. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. М.: Просвещение, 1970.-319 с.

250. Эрдниев П.М. Преподавание математике в школе: (из опыта обучения методом укрупненных упражнений). М.: Просвещение, 1978. - 303 с.

251. Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. -М.: Просвещение, 1986. -254 с.

252. Эсаулов А.Ф. Психология решения задач. М.: Высшая школа, 1972. -216с.

253. Яглом И.М. Аксиоматические обоснования евклидовой геометрии // Новое в школьной математике: Сборник статей. М., 1972. - С. 40-64.

254. Яглом И.М. Геометрические преобразования. М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1955. - 283 с.

255. Ялом И.М. Геометрические преобразования и их роль в преподавании геометрии // Математика в школе. 1960. - № 6. - С. 20-31.

256. Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование. М.: Сов. радио, 1980. - 145 с.

257. Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии: В 3 ч.-М.: Учпедгиз, 1962.-Ч. 1.-247 с.

258. Якиманская И.С. Психологические основы математического образования. М.: Издательский центр «Академия», 2004. - 320 с.0 260. Якиманская И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика, 1979. 144 с.

259. Янченко A.M. Применение композиций симметрий при решении задач // Математика в школе. 1975. - № 5. - С. 61-64.