автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Соотношение интуиции и логики в процессе обучения математике в средней школе

Содержание диссертации автор научной статьи: доктора педагогических наук, Маликов, Турсынбек Сабирович, 2005 год

Содержание.

Введение.

Глава I. Теоретические предпосылки исследования соотношения логики и интуиции в обучении математике.

1.1. Дидактическое значение интуиции и логических требований в обучении математике.

1.2. Анализ исследований соотношения логики и интуиции в математике.

1.2.1. Решение проблемы непротиворечивости математики различными ее научными школами.

1.2.2. Пуанкаре о значении интуиции в математике и ее познании.

Глава 2. Теоретические основы исследования соотношения логики и интуиции в обучении математике.

2.1. Соотношение логики и интуиции в теории познания.

2.2. Соотношение логики и интуиции в дидактике.

2.3. Соотношение логики и интуиции в процессе преподавания математики.

2.4. О выборе между технологиями и интуицией в процессе преподавания математики.

Глава 3. Методические рекомендации по определению интуитивного и логического компонентов в процессе обучения математике.

3.1. Интуитивный и логический компоненты в процессе формирования представлений о математических понятиях.

3.2. Интуиция и логика в процессе формирования умений доказывать математические предложения.

3.3. О строгости изложения учебного материала в школьном курсе математики.

3.3.1. О мотивации доказательств «очевидных» фактов школьного курса геометрии.

3.3.2. О мотивации интуитивно ясных утверждений школьного курса алгебры и начала анализа.

3.4. Значение интуиции в понимании сущности математики.

3.5. Интуиция учащихся как иммунитет, защищающий от меР тодических ошибок авторов учебников и учителей.

3.6. Некоторые обобщения опыта создания школьных учебников по математике.

3.7. Материалы по истории математики как средство проблемного обучения.

3.8. Некоторые моменты эвристического обучения в вузе.

3.9. Экспериментальная проверка гипотезы исследования.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Соотношение интуиции и логики в процессе обучения математике в средней школе"

Новые приоритеты в определении человеческих ценностей, гуманистические цели воспитания, оценка учащегося как субъекта учебно-воспитательного процесса, ориентация воспитания и обучения на личность учащегося и другие концептуальные изменения в теории воспитания, естественно, не могут не повлиять, как на содержание учебных предметов, так и на методику их преподавания. Эти преобразования оказывают воздействие в особенности на постановку преподавания математики в школе вследствие того, что этот предмет имеет большое значение как логическая основа для изучения других дисциплин и содержит мощный потенциал для реализации принципа гуманитарно ориентированного обучения.

С другой стороны, усиливающаяся интенсивность научных исследований предъявляет все возрастающие требования к уровню математической подготовки современного специалиста и требует отражения в процессе обучения современных достижений математики, что приводит к увеличению объема учебной информации и усилению абстрактных и обобщающих идей в курсе школьной математики. Но возможности учащихся в усвоении новых знаний и в овладении новыми умениями и навыками имеют, как известно, определенные пределы, обусловленные психологическими, возрастными и другими факторами. Это противоречие между возможностями учащихся и теми требованиями, которые предъявляются к ним, может быть разрешено посредством усиления дидактических исследований, которые направлены на повышение эффективности обучения.

Эффективность же обучения математике вследствие ее дедуктивной природы во многом зависит от правильного выбора уровня логической строгости изложения учебного материала, от определения оптимального соотношения интуитивных и логических рассуждений в познавательной деятельности учащихся. Вообще проблема выбора между интуицией и логикой в процессе обучения математике относится к одной из специфических в ее преподавании: ведь именно обращением к интуиции, индукции, аналогии и к другим правдоподобным рассуждениям она как учебный предмет отличается по существу от математики как дедуктивной науки. Обучение математике по большому счету характеризируется противоречием между дедуктивной природой математики как науки и необходимостью обращения к интуиции в процессе ее изучения.

Поэтому определение соотношения этих методов рассуждений относится, с одной стороны, к классическим проблемам обучения математике, с другой, к современным. Действительно, любое преобразование в обучении математике ставит по-новому вопросы соотношения учебного предмета и науки. Реформирование школьного курса математики и ее преподавания, создание новых учебников, внедрение в процесс обучения новых технологий и других инноваций невозможно без поиска дидактически оптимальной логики изложения учебного материала.

Вопросы функционирования индукции и дедукции, интуиции и логики, правдоподобных рассуждений в познании и в процессе обучения математике рассматривались в работах таких ученых, как Ж. Адамар, А.Д. Александров, Дж. Брунер, Д.В. Вилькеев, Г.Д. Глейзер, Л.Д. Кудрявцев, Г.В. Дорофеев, Ж. Дъедонне, М. Клайн, А.Н.Колмогоров, И.Лакатос, Н.А. Менчинская, И.Л. Никольская, А.Пуанкаре, Дж.Пойа В.Я. Перминов, У.У.Сойер, А.А. Столяр, Р. Том, Г.Фройденталь, А.Я.Хинчин и др. Эти исследования являются методологической и концептуальной основой данной работы. В одних из них приоритетной целью было выяснение эвристического значения интуитивных, индуктивных и правдоподобных методов рассуждений, а в других - дидактического значения дедуктивных методов рассуждения. Проблема соотношения решалась в одних работах в обобщенном, абстрактном от конкретного содержания учебного материала, аспекте, в других, исходя из субъективного опыта без обращения к дидактике как науке и т.д. Проблема же определения соотношения названных методов в связи с новыми методическими идеями по преобразованию содержания и методики школьного математического образования, происходящему в последние десятилетия, и системное, обобщенное изучение этого соотношения на основе законов гносеологии, дидактики и практики не было предметом их исследований.

Цели, постановка проблемы и логика данной работы показали целесообразность исследования на уровне теории познания, ибо решение вопросов соотношения этих, в определенном смысле противоположных, методов в обучении математике требует системного и целостного изучения их функционирования в наиболее обобщенном виде.

Такой уровень исследования, с одной стороны, полнее реализует эвристические возможности философии а, с другой, целостное рассмотрение объекта исследования, как некоторой системы, позволяет избежать ошибок, связанных с гиперболизацией отдельных тенденций дидактики математики. Преувеличение значения некоторых методов обучения, положений и, вообще, отдельных явлений предмета исследования наблюдается во многих работах по методике обучения математике. Например, в начале модернизации математического образования в семидесятых годах в качестве одного из основополагающих принципов было принято положение о том, что целесообразно и дидактически осуществимо значительное усиление логических требований к изложению учебного материала по математике. Но через некоторое время, после того, как практика фактически отвергла значительную часть нововведений, нашлись не менее убедительные теоретические доводы в сторону их свертывания. Надо полагать, что такая гиперболизация пропагандируемых идей произошла вследствие одностороннего, абстрактного исследования дидактических закономерностей, вследствие недостаточного оценивания процесса обучения как целостной системы, недостаточного учета противоположных тенденций учебного процесса. Действительно, еще в начале этих преобразований были ученые, которые высказывали сомнения по поводу целесообразности некоторых радикальных перемен. Примечательно, что наиболее активными оппонентами стали философы. Этот факт можно расценить, как еще одно из проявлений эвристических возможностей философии и как напоминание о том, что общее, целостное рассмотрение объекта исследования одно из необходимых условий при проведении научных изысканий, имеющих конечной целью претворение своих рекомендаций в практику обучения.

Таким образом, исследование соотношения интуиции и логики в обучении математике, как методов диалектически противоположного характера, нуждается в более обобщенном исследовании на уровне гносеологии.

Наряду с приведенными противоречиями, которые возникли из теоретического анализа, непосредственным толчком к формулировке проблем, представленных в данной работе, послужили также противоречия, которые возникли в процессе констатирующего эксперимента. Некоторые моменты окончательного формирования представлений о математических понятиях оказались противоречащими ожиданиям, предполагаемым логикой изложения учебного материла в школьных учебниках по математике.

Актуальность темы настоящего исследования определяется необходимостью решения рассмотренных противоречий.

Проблема, поднятая в данной работе, состоит в том, что в практике школьного обучения и в теории написания учебников возникли вопросы теоретического и практического характера, касающиеся соотношения логического и интуитивного компонентов учебного процесса.

Под словами «дидактически целесообразное соотношение рассматриваемых методов» мы понимаем ориентацию на усиление логической строгости в изложении материала, но так, чтобы при этом не происходило бы игнорирование принципа доступности изучения математики учащимися, а также определение такого их соотношения, которое способствовало бы повышению эффективности обучения).

Цель работы состоит в разработке теоретической модели и практических рекомендаций по определению соотношения интуиции и логики в обучении математике, которые способствовали бы повышению эффективности обучения.

Объектом исследования является процесс обучения математике в средней школе и некоторые моменты процесса обучения математике в вузе.

Предметом исследования являются условия, определяющие дидактически целесообразное соотношение интуиции и логики в процессе обучения математике.

Гипотеза исследования: мы предположили, что дидактическое проявление интуиции, связанное в особенности с обновлением содержания школьного курса математики и методики ее преподавания, выявлено недостаточно полно, что влияние интуитивного фактора не учитывается должным образом при определении дидактически целесообразного соотношения интуиции и логики в процессе обучения математике и что в решении этих вопросов содержится определенный потенциал для повышения эффективности обучения.

Задачи исследования:

1. Использовать эвристический потенциал философии на уровне гносеологии для выявления вопросов соотношения интуиции и логики в процессе обучения математике.

2. Выявить теоретически и экспериментально дидактическое значение интуитивных и логических компонентов процесса обучения математике и на основе этого анализа определить основные моменты учебного процесса, в которых выбор между интуицией и логикой наиболее проблематичен.

3. Провести теоретический анализ соотношения логики и интуиции в процессе развития математики, в структуре самой математики-науки, в его обосновании с целью дидактического моделирования выявленных закономерностей в познавательной деятельности учащихся.

4. Разработать и обосновать авторскую теоретическую модель соотношения интуитивного и логического компонентов в процессе обучения математике.

5. Выработать методические рекомендации и авторскую технологию для претворения теоретических идей в практику обучения с целью повышения эффективности обучения математике.

6. Экспериментально проверить эффективность предлагаемой методики определения соотношения логики и интуиции в обучении математике

Научная новизна: 1. Выявлен принцип доминирующего влияния интуиции учащихся на весь процесс обучения математике, заключающийся в следующем:

Доминирующее влияние оказывает интуиция учащихся ассерторического типа (эмпирическая, пространственная и концептуальная виды), которая выявлена автором, как один из первичных, исходных моментов в определении соотношения интуиции и логики в процессе обучения математике. - Математическое мышление учащихся нуждается в формировании таких представлений о понятиях, которые были бы приемлемы в первую очередь для интуиции (ассерторического типа), более широко для субъективного опыта учащихся. И если в изложении учебного материала в учебниках, в работе учителя эти запросы интуиции не учтены, то такие представления возникают самопроизвольно, объективно, независимо от методики введения этих понятий. Установлено, что интуиция более полно, разумно и целостно отбирает те свойства, которые более адекватно представляют этот объект. Логика при формулировке определений понятий абстрагируется от многих свойств изучаемого объекта, акцентирует перцептивно внимание на одной из характеристических свойствах. А при математической деятельности, в которой значительное место занимают интуитивные рассуждения, отражаются различные свойства этого объекта, и как бы в свободной конкуренции фиксируются те из них, которые оказались наиболее удобными и востребованными в интуитивном мышлении, принимаемыми концептуальными установками учащихся.

- Также в условиях свободной конкуренции влияние интуиции становится доминирующим при формировании понятия о дедуктивной системе математики, формировании понятий, математических предложений и умозаключений, т.е. речь идет о приемлемости логики изложения курса математики, формулировок теорем, правил, алгоритмов и других предложений школьного курса математики субъективному опыту учащихся, связанному с потребностями ассерторического типа интуитивного мышления.

- Интуиция в процессе учения играет роль систематизирующего, связующего средства в системе знаний, проявляется, как защитное средство психики учащихся при восприятии, трудной для усвоения, учебной информации.

- Влияние интуитивного фактора обосновано, как конкретное проявление механизма воздействия концепций и субъективного опыта учащихся в процессе учения, которое в последующем отражается в процессе преподавания.

2. Обосновано, что механизм соотношения интуитивного и логического компонентов в исследовательской деятельности ученых регулируется условиями становления противоречий в источник движущих сил познания, спецификой соотношения интуиции и логики в структуре самой математики, а также присутствием в ней интуитивного компонента.

3. Экспериментально обосновано, что роль интуиции в понимании математических доказательств заключается не столько в усвоении логических выводов отдельных силлогизмов, сколько в целостном восприятии всей дедуктивной их последовательности. и

4. Необходимость доказательства «очевидных» утверждений школьного курса геометрии и интуитивно ясных предложений алгебры и начала анализа невозможно логически обосновать при содержательном понимании аксиом школьной математики. Уровень логической строгости изложения учебного материала школьного курса математики имеет пределы, ограниченные семантическими аспектами школьного курса математики. Также разработаны критерий для определения уровня обобщения учебного материала.

5. Обосновано, что в определении соотношения интуиции и логики в учебном процессе исходным фактором, зависящим от обучающих людей, является уровень сложности задач.

6. Разработана теоретическая модель, описывающая соотношение интуиции и логики в процессе обучения.

7. В преподавательской работе учителя выявлены интуитивные моменты, особенно на начальном этапе учебного процесса, когда определяются основные элементы процесса обучения как целостной системы. Выявлены этапы, которые могут быть организованы на основе научных рекомендаций и технологий, и моменты, детерминированные социально-экономическими условиями и генетическими факторами.

8. Обосновано, что повышение эффективности обучения достигается посредством специально подобранной системы задач и упражнений по развитию интуиции учащихся, в которых, во- первых, доминируют задачи на разрешение явно возникающих противоречий, во - вторых, представлены все виды исследовательской деятельности ученых.

9. Обосновано, что учебный материал по истории математики, в первую очередь, должен использоваться, как средство активизации познавательной деятельности учащихся.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что поставленная в ней проблема решалась в обобщенном аспекте на уровне гносеологии посредством целостного исследования всей системы учебно-воспитательного процесса, на основе теоретических выводов выполнен синтез аналитических исследований конкретного-и практического характера, выяснены более глубокие причины их эффективности.

Практическая значимость исследования состоит в том, выработанные рекомендации могут применяться учителями, как средство повышения эффективности обучения и развития творческого мышления учащихся. Работа также может быть использована авторами учебников, составителями программ и стандартов, преподавателями вузов и институтов повышения квалификации.

Методологические основы исследования:

- Работы А.Пуанкаре об интуиции и логики в математике и философии.

- Труды по философии математики и естествознания, по теории познания (Б.М. Кедров, Т. Кун, И. Лакатос, К. Поппер, В .Я. Перминов, М.И. Панов и др.).

Работы математиков и педагогов-математиков (А.Д. Александров, Г.В. Дорофеев, М.Клайн, С. Клини, А.Н.Колмогоров, В.И. Крупич, В.И. Мишин, А.Г. Мордкович, А.В. Погорелов, Дж. Пойа, Г. Фройденталь, Р.С. Черкасов и др.).

-По теории проблемного обучения (Д. Дьюи, Дж. Бруннер, М.И. Махмутов, A.M. Матюшкин, И.Я. Лернер и др.)

- Работы представителей школы теория деятельности и деятельностного подхода (Дж. Брунер, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, А. Маслоу, К. Роджерс, С.А. Рубинштейн и др.).

- По основам целостного системного подхода к научному исследованию и к анализу педагогического процесса (В.В. Краевский, В.И. Крупич, B.C. Леднев, И.Я. Лернер, А.И. Уемов и др.)

- Концепция личностно ориентированного и гуманитарно ориентированного обучения (Е.В. Бондаревская, Г.В. Дорофеев, Т.Н. Миракова,, И.С.Якиманская, и др. ).

- Теория активизации познавательной деятельности и развитие интереса (В.Б. Бондаревский , Т.И. Шамова, Г.И. Щукина и др.)

- Труды создателей новых образовательных технологий (В.П. Беспалько, JI.B. Занкова, В.М. Монахов, Г.К. Селевко, В.В. Шаталов, П.М. Эрдниев, И.С. Якиманская и др.)

На защиту выносятся:

1. Новые факты в дидактическом проявлении интуиции в процессе обучения математике, зависимые от возможности приемлемости логики изложения учебного материала, формулировок определений, теорем, правил, алгоритмов и других предложений школьного курса математики потребностям интуитивного мышления ассерторического типа. Приоритетное влияние интуиции на процесс окончательного формирования понятий и суждений.

2. Дидактический механизм взаимодействия и соотношения логики и интуиции, способствующий повышению эффективности обучения.

3. Условия, при которых возможна мотивировка и осознание необходимости доказательств «очевидных» утверждений школьного курса геометрии и интуитивно ясных предложений школьной алгебры и начал анализа. Интуитивные факторы понимания сущности учебного материала.

4. Теоретическая модель соотношения интуиции и логики в учебном процессе, выполненная на основе философского анализа их единства и взаимосвязи, анализа их соотношения в математике-науке с последующим проецированием этого соотношения на процесс обучения посредством дидактической адаптации.

5. Практические рекомендации по применению рассматриваемых методов в учебном процессе, рекомендации для учителей по выбору между педагогическими технологиями и интуитивными методами.

Методы исследования:

-изучение и анализ философской, психолого-педагогической, научно-методической и математической литературы и директивных документов народного образования, а также материалов Интернета по теме исследования;

- использование результатов массовой экспериментальной работы в советской школе по внедрению новых учебников и конкурсов учебников;

- наблюдение за ходом учебного процесса, педагогические измерения (анкетирование, тестирование, интервьюирование, изучение результатов деятельности учащихся студентов и учителей);

- изучение и обобщение передового опыта учителей и учителей-новаторов и собственного опыта 12-летней работы непосредственно в сельских и городских школах и 24-летней работы в педвузе; качественный и количественный анализ результатов эксперимента, использование методов математической статистики;

-использование общенаучных методов исследования, моделирование педагогических ситуаций.

Апробация работы осуществлялась в процессе организации констатирующей и поисковой экспериментальной работы, а также посредством докладов на кафедральных, факультетских, университетских семинарах, докладов (ежегодно, начиная с 1992 г.) на республиканских и

• международных конференциях в г. Кокшетау, г. Астане, г. Алматы и др.

Внедрение научных результатов осуществлялось автором на протяжении 14 лет в курсе теории и методики обучения математике, алгебры и теории чисел, практикума по решению задач, спецкурсе «Соотношение интуиции и логики в обучении математике», который читался на физико-математическом факультете Кокшетауского государственного университета им. Ш.Уалиханова более десяти лет. Также на протяжении многих лет автор читал лекции по теме исследования в областном ИПК, на постоянно действующем кафедральном семинаре для учителей города г.Кокшетау и Акмолинской области и специальном авторском семинаре по теме исследования для учителей города, студентов и магистрантов.

Опубликованы пять пособий и монографии, несколько статей в центральных журналах России «Математика в школе» и «Квант». Также предложен метод решения задач, который используется как один из рациональных методов решения алгебраических олимпиадных задач, в практику обучения вошли задачи, составленные автором.

По методике автора работают несколько учителей г. Кокшетау, г. Астаны и Акмолинской области, а также учителя различных городов Казахстана и России, выпускники Кокшетауского педагогического института им. Ш. Уалиханова, защитившие в разное время дипломные работы и магистерские диссертации под руководством автора.

Предложения автора имеют внедрение в теоретическом аспекте: положительная оценка результатов исследований автора дается в трудах других известных ученых, в том числе, российских.

В исследовании обобщен и систематизирован опыт работы автора в сельских и городских школах, и в школах г. Москвы, опыт педагогической работы в Кокшетауском педагогическом институте им. Ш.Уалиханова (ныне университет).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и одного приложения.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы о приоритетной роли интуиции, наряду с теми экспериментальными данными, которые описаны в главах 2 и 3, подтверждались неоднократно в течение почти десяти лет на большой и разнообразной по составу выборке (учащиеся, студенты, учителя).

Экспериментальное изучение интуиции учащихся осуществлялось посредством следующей технологии: выявлялись те учащиеся, которые успешно изучали математику, но вместе с тем не знали строгие определения некоторых математических понятий и формулировки некоторых теорем. В этом случае, предполагалось, что они в своей познавательной деятельности оперируют интуитивными представлениями и умениями. Т.е. речь шла о том, какими интуитивными представлениями и интуитивными рассуждениями оперируют учащиеся, когда они не знают строгие определения некоторых понятий и формулировки теорем. Причем, основное внимание было уделено исследованию тех интуитивных представлений и суждений, которые не имели негативного влияния на результативность их математической деятельности.

Отдельные моменты экспериментальной работы, в основном констатирующего характера, были описаны в параграфах З.1.- 3.4., но в обучающем эксперименте эти этапы изучались системно на более обширном материале, более длительное время. В течение многих лет изучалось формирование представлений о векторе, функции и цилиндре у учащихся, которые в разные годы по разным учебникам знакомились с этими понятиями посредством различных методических установок. Было установлено, что окончательное формирование представлений о понятиях примерно одинаковое:

1) У абсолютного большинства учащихся при совершенно различных методиках формируется окончательное представление о векторе, как о направленном отрезке (от 70 % до 80 %, а 10%-15% высказываются близко к этому пониманию).

2) У 60 % учащихся понятие функции ассоциируется со словом зависимость».

3) Когда же ставится конкретный вопрос: «С какими понятиями вы связываете свое представление о функции?», то ответы следующие: а) упорядоченная пара - 3% б) формула- 22 % в) зависимость -50 % г) переменная - 20% д) соответствие, отношение -5 %.

4) 90 % учащихся воспринимают цилиндр через описание его поверхности, а внутреннюю область, как аморфное множество точек.

Приведенные данные, с одной стороны, подтверждают выявленные в 3.1.-3.3. положения о том, что на процесс окончательного формирования представления о понятиях методика введения этих понятий не имеет определяющее значение, что доминирующее значение на формирование представлений о понятиях имеет дальнейшая эвристическая, познавательная деятельность, связанная с функционированием этих понятий в виде, удобном для интуитивного мыслительного процесса. С другой, результаты многолетних наблюдений, наряду с приведенными в параграфах 3.5.-3.7., экспериментальными результатами, говорят о наличии в учебном процессе условий, не зависящих от процесса преподавания, от обучающих людей. Эти условия перечислены в параграфе 3.7., они имеют различный характер.

Рассмотренные во второй и третьей главах экспериментальные данные и приведенные факты позволяют сделать вывод о том, что положения, выносимые на защиту (1-4) имеют экспериментальное подтверждение и подтверждают выдвинутую в работе гипотезу.

В связи с тем, что в работе на основе единой гипотезы выдвигаются ряд новых предложений, возникла необходимость специальной, отдельной экспериментальной проверки некоторых положений, так как негативное влияние одного из факторов можно не заметить за счет позитивного влияния других.

Исходя из этой позиции, теоретические выводы исследования относительно мотивации доказательств «очевидных» утверждений курса геометрии проверялись специально. В данном случае конкретно ставился вопрос о понимании необходимости доказательства этих фактов в структуре формальной аксиоматической теории. Результаты анкетирования однозначно показали, что необходимость доказательства «очевидных» фактов учащимися не усваивается. Такой результат был теоретически прогнозирован нами: при содержательном понимании аксиом геометрии логически некорректно добиваться понимания необходимости таких доказательств, потому что доказательства этих утверждений приобретают смысл при изложении аксиоматической теории на основе формальной аксиоматики.

Эта часть эксперимента проводилась со студентами педагогического вуза, но уже для установления связи понимания необходимости доказательства «очевидных» фактов геометрии с процессом формализации. Такой подход позволял не только констатировать трудности учащихся в усвоении такого уровня строгости изложения учебного материала, но и выяснить его причины.

Во-первых, было установлено, что и студенты в своем большинстве (92%) не понимают необходимость доказательства «очевидных» фактов, вследствие того, что они не поняли идей формализации (89 %, считают геометрию в формальной аксиоматикой наукой об окружающем пространстве). Совпадение приведенных процентов не случайно, оно косвенно подтверждает результаты проведенного теоретического обоснования о том, что не понимание идей формализации математики исключает понимание необходимости доказательства этих утверждений (хотя, не исключается существование и других факторов). Другие факторы можно было бы исключить, если бы ознакомление с идеями формализации привело бы к пониманию необходимости доказательства «очевидных» фактов геометрии. Для такой проверки этой частной гипотезы студентам были прочитаны лекции, основной целью которых было ознакомление и усвоение идей формализации геометрии, понимания ее как абстрактной обобщенной математической структуры. Краткое содержание материалов этих лекций приведены в параграфе 3.7. Было выделено 8ч. из числа лекций спецкурса, который читал автор в течение многих лет на физико-математическом факультете.

На основе анкетирования посредством специально подобранных вопросов выяснялось, усвоен или не усвоен материал студентами, т.е. шкала измерения является шкалой наименований, состоящей из двух категорий. Такое измерение было произведено в одних и тех же группах до чтения лекции и после, т.е. сравниваемые выборки были зависимыми, но меж собой попарно независимыми.

В разные годы на разных курсах автором проводилась эта работа, в которой участвовали более 220 студентов. Методом случайного отбора, из числа писавших работы студентов, была составлена выборка из 80 студентов. Приведенные допущения эксперимента говорят о возможности применения критерия Макнамары для проверки выдвинутой статистической гипотезы. Результаты двукратного выполнения тестовых заданий и измерения их результатов по категориям «усвоил» и «не усвоил» записаны в виде таблицы 2x2

Результаты после эксперимента усвоил не усвоил

Результаты до эксперимента усвоил а= 6 Ь=4 10 не усвоил с= 38 d=32 70

44 36 80

Проверяется гипотеза Я0: проведенные занятия по ознакомлению с идеей формализации аксиоматики не повлияли на понимание необходимости доказательства «очевидных» фактов геометрии, изложенной на основе формальной аксиоматики. В соответствии с результатом b < с (38 < 4) альтернативная гипотеза Я, выдвигается в виде: проведенные занятия по ознакомлению с идеей формализации аксиоматики повлияли положительно (усвоил) на понимание необходимости доказательства «очевидных» утверждений геометрии, изложенной на основе формальной аксиоматики.

Для n>20(n = b + c = 4 + 38 = 42) значение статистики считается (h — /-V по формуле: Тх=--— [62, с.43]. b + с

В данном наблюдении будет

Г,

1—. 4 + 38

Уровень значимости а =0,05, считается достаточным для педагогических исследований [62]. Этому уровню значимости критическое значение статики критерия определяется по таблице Г распределения х1 Для одной степени свободы: =3,84 [62, с.130].

Следовательно, верно неравенство Т. < Т, критич. * на&яюд.

Откуда следует, что нулевая гипотеза Н0 отклоняется на уровне значимости а =0,05. И принимается альтернативная гипотеза Я,: степень усвоения мотивировки необходимости доказательства «очевидных» фактов школьного курса геометрии повышается в зависимости от усвоения идей формализации аксиоматики геометрии.

Обучающий эксперимент с целью проверки гипотезы по положениям 5-9, выносимых на защиту, проводился учителями Ж. К. Хасеновой, Н.Ф.Никитиной, В.А. Небоговой (с. ш.№12), Р.Г. Мусайбековым (лицей университета), И.Г. Поляк, К.А. Нигметовой, Г.З. Султановой (с.ш. № 16), Г.В. Кушимбаева (с.ш.№18) в процессе изучения геометрии в 10 классах и математики в 5, 6 классах (12 классов, 324 учащихся).

Проверялась гипотеза о повышении эффективности обучения в экспериментальных классах посредством усиления интуитивного компонента, в которых обучение велось по предложенной автором методике. Для обучающего эксперимента были подготовлены методические разработки, в составлении которой участвовали учителя Р.Г. Мусайбеков, Г.З. Султанова, Ж.К. Хасенова, а также магистранты и студенты, которые посещали семинар автора.

Количество учащихся контрольных классов - 265.

Вначале эксперимента на основе оценок за выполнение типовых контрольных проверялось равенство показателей в обучении математике в экспериментальных и контрольных классах. Итоги подводились также по результатам типовой контрольной работы за полугодие. Такой выбор был сделан с целью проверки эффективности предлагаемой методики в обычных типовых условиях обучения, чтобы учащиеся экспериментальных классов не имели бы преимущества в решении специально подобранных задач, по которым их готовили. В этом случае не исключается возможность худших показателей в типовых условиях обучения.

Методом случайного отбора из учащихся экспериментальных и контрольных классов были составлены выборки объемом по 60 человек. По разработанным в дидактике критериям выставлялись оценки: «неудовлетворительно», «удовлетворительно», «хорошо» и «отлично», т.е. измерение проводилось по шкале порядка, имеющей четыре категорий (С=4).

В связи с тем, что выборки были случайными и независимыми и изучаемое свойство имеет непрерывное распределение, возможно применение критериев Вилкоксона - Манна -Уитни или %2. Но малое количество категорий, с одной стороны, делает предпочтительным применение критерия ^f2, а с другой, на этом же основании необходимо применять двусторонний вариант этого критерия.

Приведем таблицу 2x4 на основе данных выборок в начале эксперимента (таблица 4) и в конце эксперимента (таблица 5)

Где пх и п2 - объем выборок соответственно из экспериментальных и контрольных классов, Ои - число учащихся экспериментальной Таблица 4

Категория 1 Категория 2 Категория 3 Категория 4 (неудовл.) (удовлетвор.) (хорошо) (отлично)

Выборка №1 п~ 60 (эксперимент.) On =10 tf12=28 013=16

Выборка №2 п2 =60 (контроль.) 021=7 022 = 24 023 = 21 024=В

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Анализ процесса математического познания показал, что ученые, пытаясь сделать математику сводом абсолютно достоверных истин и определенно понимаемой областью познания, прошли сложный и извилистый путь, но доказать ее непротиворечивость им не удалось ни путем сведения обоснования математике к логике, ни посредством формализации, хотя попытки решения этой проблемы математиками современности фундаменталистского толка при наложении некоторых условий, как формализация, не угасают. Также не состоялось удовлетворительное построение всей математики интуитивистами на основе идеи конструктивизма.

Представителям теоретико-множественного обоснования математики удалось решить многие современные проблемы, но в решении проблемы непротиворечивости они пошли на большой компромисс: рассматривают математику как такую же области познания, как и другие естественнонаучные, результаты которой успешно применяются на практике, но их нельзя считать абсолютно достоверными, они время от времени должны подправляться и уточняться.

При всей полемичности доводов всех четырех основных математических школ и разительно отличающихся оценок разных философских течений относительно роли логики и интуиции в обосновании математики одно можно утверждать категорично - это то, что интуиция имеет место не только в процессе математического познания, но и в самой структуре математики. Все попытки логицистов и формалистов изгнать интуицию из структуры самой математики, которая началась со времен построения аксиоматических теорий под известное интуитивное содержание в конечном счете не удались. Причем проведенный выше анализ показывает, что логические и интуитивные методы не решают определенные познавательные задачи изолированно, они решают их только во взаимосвязанном и едином их функционировании, как в самой математике, так и в процессе ее познания.

Установлено, что при всей очевидной и общепризнанной творческой созидательной роли интуиции нельзя односторонне абсолютизировать эту ее функцию, эвристическая роль интуиции проявляется именно в противостоянии логике, эвристический потенциал интуиции раскрывается только во взаимодействии с логикой. С другой стороны, логика все время корректирует и развивает интуитивное мышление, и одна из главных ее функций заключается не только в том, что она является средством доказательства математических предложений, но и в том, что она, взаимодействуя с интуицией, усиливает ее эвристические возможности.

Хотя приоритетное значение интуиции заключается в том, что она средством эвристики, а значение логики в том, что она является средством достоверности, в целом, установлено, что на каждом этапе развития математики наблюдается сложное взаимосвязанное и единое их функционирование.

В процессе исследования соотношения интуиции и логики в процессе обучения математике установлены разнообразные факторы, не зависящие от обучающих людей:

1) детерминированные социально-экономическими причинами (при определении общих целей, при выработке концепции, посредством влияния родителей в учебном процессе);

2) зависящие от субъективного опыта учащихся;

3) зависящие от познавательной деятельности учащихся (приоритетное формирование окончательного представления о понятиях, предложениях математики, дедуктивной структуре и методах математики в сознании учащихся в виде удобном и приемлемом для интуитивного мышления, для концепции учащихся, выработанной на основе их субъективного опыта);

4) зависящие от генетических факторов, в частности от закономерностей онтогенетического развития в русле логики филогенеза (в определении логики и содержания учебного материала).

Перечисленные условия объясняют тот консерватизм к нововведениям и инертность к перестройке учебного процесса, который отмечают абсолютное большинство исследователей опыта работы школы последних десятилетий. Но вместе с тем именно благодаря этим тенденциям процесс обучения и воспитания приобретает характер устойчивого, разумного процесса, обладающего иммунитетом к нежелательным случайным явлениям и отсеивающего негативные влияния на него.

Анализ работ по философии математики показал, что недоверие к интуитивным рассуждениям возникает в том случае, когда речь идет об интуиции ассерторического характера, а умозаключения на основе аподиктической интуиции («интуиция чистого числа» по выражению Пуанкаре) не опровергнуты логикой и именно благодаря такому проявлению интуиции математику называют точной наукой.

Установлено, что соотношение интуиции и логики как научно-исследовательских методов в процессе развития математики-науки, через призму дидактических требований к становлению противоречий в движущую силу познавательной деятельности учащихся, проецируется в его деятельность, проходящей в структуре проблемного обучения.

Установлено, что не все элементы научно-исследовательской деятельности, причем порой существенные, моделируются в познавательной деятельности учащихся. С этой позиции предложены качественно новые задачи и упражнения, которые наиболее полно моделируют исследовательскую деятельность ученых.

Установлено, что основные компоненты учебного процесса, как системы, определяются на основе интуиции и общего мировоззрения и концептуальной установки учащегося. С одной стороны, влияние педагогической науки на этом этапе учебного процесса имеет только рекомендательный характер, показывает только тенденцию. С другой стороны, научные методы имею опосредственное влияние посредством участия в формировании общего мировоззрения и дидактической интуиции.

Технологии, как один из элементов учебного процесса, появляются на этапе, когда определены конкретные, определенные и прогнозируемые цели, как средства их достижения. Также технологии, методы и приемы появляются в преподавательской деятельности учителя как средства быстрого реагирования на возникшие непрогнозируемые дидактические ситуации.

Показано, что интуиция более полно, более разумно и более целостно отбирает те его свойства, которые более адекватно представляют этот объект, как в логическом, так и в интуитивном аспектах. И этот процесс зависит в большей мере от объективных факторов, чем от субъективных, что подтверждено экспериментально. Также показано, что логика при формулировке определений понятий абстрагируется от многих свойств изучаемого объекта, которые эквивалентно характеризуют данный объект, акцентирует внимание на некоторых характеристических свойствах. А при математической деятельности, которая протекает в основном посредством интуитивных рассуждений, отражаются различные свойства этого объекта, и как бы в свободной конкуренции фиксируются те её свойства, которые оказались наиболее удобными в математическом мышлении.

Сделан обобщенный вывод о том, что в процессе обучения достаточно сильно влияние объективных факторов, связанных с интуицией, и что процесс усвоения учебного материала не подчиняется тем методическим нововведениям авторов и учителей, в которых не учитываются эти факторы.

Показано, что некоторые нововведения игнорируют оценку учащегося как активного субъекта учебного процесса. Выбор уровня логической строгости изложения учебного материала не должен исходить из субъективных кредо авторов учебников или составителей программ, а должен быть следствием более глобального принципа: становления субъектно - субъектных отношений между учителями и учащимися. Т.е. уровень логической строгости изложения математики не является первичным независимым фактором обучения при определении методики преподавания. В качестве приоритетного условия необходимо учитывать требование о том, что уровень логической строгости и уровень обобщенности учебного материала не должен противоречить реализации целей, проблемного обучения.

Анализ логики появления доказательства «очевидных» утверждений в геометрии-науке и анализ интуитивно ясных утверждений алгебры и начала анализа показали, что проблема мотивировки доказательства этих утверждений школьного курса геометрии и интуитивно ясных утверждений алгебры и начала анализа зависит от семантики основных понятий школьного курса математики, т.е. при содержательном, наглядно-интуитивном понимании основных понятий математики, когда геометрия выступает как наука о пространстве и его свойствах, алгебра построена на эмпирической основе, а начала анализа на интуитивной основе необходимость доказательства «очевидных» утверждений геометрии и интуитивно ясных утверждений алгебры и начала анализа не может быть осознана учащимися.

Иначе говоря, тенденцию к усилению логической строгости обоснования «очевидных» утверждений геометрии, которая видна, например, в рассмотренных вариантах учебниках А.В.Погорелова, или же строгое обоснование начал анализа в первых вариантах реформы нужно считать нецелесообразной.

Установлено, что интуиция в процессе обучения играет также роль некоего связующего, цементирующего звена в системе знаний, служит психологической основой для понимания учебного материала и для его запоминания. Показано, что такое явление происходит по той причине, что логические «огрехи» и «пустоты» восполняются интуицией, выступая в некотором смысле, как некая защита от неудачных методических моментов учебников и методических недочетов в работе учителя.

На основе анализа опыта школы по обучению математике за последние десятилетия установлено, что наряду с идеями об усиления научности, обобщенности изложения учебного материала, усиления логической строгости, активного использования современных математических методов, как средств изложения, как методических средств, не меньшее значение имеет мотивация вводимых понятий и суждений, усвоение логики движения математической мысли, ознакомление с "кухней" творчества. А методика изложения учебного материала в учебниках должна создавать потенциальные условия для такого развития.

Установлено, что уровень усвоения учебного материала (формирование понятий, глубина понимания, запоминание) в большей мере зависит от интуитивной деятельности учащихся, как активной части познавательной деятельности. А так как процесс решения задач вне зависимости от методических привязанностей обучающих людей и есть всегда активная проблемно-поисковая часть учебного процесса, то уровень требований к изучению теоретического учебного материала, соотношение логического и интуитивного компонентов в учебном процессе должно в качестве исходного момента определяться уровнем задач, уровнем логики и интуиции, который востребован для решения этих задач.

В работе наряду с известными задачами и упражнениями приведены также задачи, которые составлены автором и опубликованы в центральных журналах, как новые математические задачи. В одних из них реализована новая математическая идея: методы исчисления конечных разностей применены для решения задач алгебры и теории чисел, в других -рассмотрены задачи, связанные с методом математической индукции, а также задачи на развитие пространственного воображения. Их содержание соответствует цели данной работы.

Показано, что понимание сущности учебного материала связано в первую очередь не с пониманием логических выводов отдельных силлогизмов, а интуитивным целостным восприятием всей дедуктивной последовательности этих силлогизмов.

В работе показано большое значение дидактической роли выдвижения гипотез в осознании противоречий и становлении их в движущую силу познавательной деятельности учащихся. Показаны отдельные конкретные ситуации в учебном процессе, где выдвижение гипотез осуществляется с такой целью.

Показано, что учебный материал по истории математики наряду с традиционным использованием, как воспитательное средство, должен не в меньшей мере служить достижению не менее важных дидактических целей, а именно: быть эффективным средством активизации познавательной деятельности учащихся, средством организации проблемного обучения.

На основе теоретического и практического анализа предложена теоретическая модель, определяющая такое соотношение интуиции и логики, которое способствовало бы повышению эффективности обучения математике.

С целью создания в учебниках потенциальных условий для повышения эффективности обучения авторам учебников выработаны следующие рекомендации: а) необходимо учитывать приоритетное влияние интуиции учащихся на формировании знаний, умений и навыков; б) непоследовательное повышение уровня обобщения учебного материала и одностороннее усиление логической строгости изложения негативно влияет на применение проблемно-поисковых методов обучения; в) предложения школьного курса математики, основанные на аподиктической интуиции не корректно оценивать, как фактор ослабления строгости изложения учебного материала. г) необходима мотивировка вводимых понятий и суждений и усвоение логики движения математической мысли; д) в познавательной деятельности учащихся должны моделироваться все компоненты эвристической деятельности ученых (выдвижение новых математических предложений, оценка культуры исследовательской работы при решении трудных или нерешенных в математике проблем и т.д.). г) подбор задач рассматривать как один из исходных моментов в определении соотношения интуиции и логики.

Проведенное исследование открывает новые перспективы для его продолжения, возникли гипотезы для дальнейшего исследования. Например, в связи с тем, что на основе анализа было установлено, что сам процесс понимания протекает посредством интуитивного «всеобщего взгляда», который, собственно, является основой эвристической сущности интуиции, у нас возникла гипотеза о том, что процесс усвоения даже известного доказательства фактически происходит посредством его переоткрытия. Т.е. на самом деле мы предполагаем, что репродуктивного усвоения доказательства, как усвоения готового знания, нет как такового, что любое, даже самостоятельное, усвоение приведенного в учебнике доказательства происходит в какой-то мере эвристически.

Список литературы диссертации автор научной работы: доктора педагогических наук, Маликов, Турсынбек Сабирович, Кокшетау

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М: Сов. Радио, 1970.- 150с.

2. Алгебра и начала анализа. Учеб. пособие для 9 кл. средней школы /А.Н.Колмогоров, Б.Е.Вейц, И.Т.Демидов и др.; Под ред. А.Н. Колмого-рова.-М.: Просвещение, 1975.-224с.

3. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. сред, шк./ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова.- 3-е изд.- М.: Просвещение, 1993-320с.

4. Алгебра и начала анализа: Учеб. пособие для 10 кл. средней школы / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др.: По ред. А.Н.Колмогорова.- М.: Просвещение, 1976 268с.

5. Алгебра и начала анализа: Учеб. пособие для 9 и 10 кл. сред, шк./ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова.- 4-е изд.- М.: Просвещение, 1980 335с.

6. Алгебра и начала анализа: Учеб. пособие для 9 и 10 кл. средней ^ школы/ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницин и др.: Под ред.

7. А.Н.Колмогорова.- 7-е изд.- М.: Просвещение, 1987 335с.

8. Алгебра и начала анализа: Пособие для учителя / Л.О. Денищева, Ю.П.Дудницин Б.М. Ивлев и др. М.: Просвещение, 1988 - 272 с.

9. Алгебра в 6 классе: Методическое пособие для учителей / Ю.М. Макарычев, Н.С. Миндюк, К.С. Муравин и др.- М: Просвещение, 1977.-191с.

10. Алгебра в VI классе: В помощь учителю / Ю.М. Макарычев, Н.С. Миндюк, К.С. Муравин и др.- М: Просвещение, 1972 271 с.

11. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред. шк. / Ш. А. Алимов, Ю.М. Коля-гин, Ю.В. Сидоров и др.- М: Просвещение, 1991.- 191с.т

12. Александров А.Д. Так что же такое вектор? // Математика в uncoil ле 1984. № 5. - С. 39-^6.

13. Александров А.Д. Математика и диалектика.// Сиб. мат. ж. -Т.11- 1970. №2.- С.247- 253.

14. Александров А.Д. Диалектика геометрии. // Математика в школе.- 1986. №1.-С. 12-19.

15. Александров А.Д. О геометрии. // Математика в школе. 1980. №3.- С.

16. Александров А.Д. О строгости изложения в учебном пособии

17. А.В. Погорелова. // Математика в школе. -1987. №5. С. 64-68.

18. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 1011 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математикию-3-е изд., перераб. М.: Просвещение, 1992.- 464с.

19. Алексеев М.Н. Учебный предмет и его логическая структура. -М.: АПН СССР, 1968.-228С.

20. Алексеев М.Н. Дедукция и индукция в учебном процессе // Советская педагогика. 1969. №1. - с.97 - 108.

21. Аль-Фараби Математические трактаты.- Алма-Ата: Издательство «Наука» Казахской ССР, 1972. 324 с.

22. Ананченко К.О. Обучение индуктивным и дедуктивным умозаключениям в курсе алгебры восьмилетней школы: Автореф. дис. канд. пед. наук. М., 1979.-20с.

23. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. М.: Учпедгиз, 1939. -480 с.

24. Архангельский С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы,- М.: Высш. шк.,1980

25. Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса. Метод, основы. -М.: Просвещение, 1982.- 192с.т

26. Баранов С.П. Обучение как вид познавательной деятельности // Результаты новых исследований в педагогике: Сб. научных трудов.-М.,1977.-С.27-37.

27. Басова Н.В. Педагогика и практическая психология. Ростов н/Д: "Феникс", 2000.-416с.

28. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии. -М.: Наука, 1969.

29. Башмаков М.И. Резник Н.А. Развитие визуального мышления на уроках математики // Математика в школе.-1991 .№1С. 4-8.

30. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа 10-11 кл.- 2-е изд.-М.: Просвещение, 1992.-351 с.

31. Башмакова И.Г., Юшкевич А.П. Происхождение систем счисления // Энциклопедия элементарной математики. Т.1.- ГТТИД951, с. 11-74.

32. Бевз Г.П. Об определении понятия «вектор» // Математика в школе. 1930. №2. - с.58-59.

33. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. М.: Педагогика, 1989.-192 с.

34. Блох А.Я., Вилянкин Н.Я. О развитии логических и творческих способностей при изучении математики // Заочное обучение математике VII X классов. - М., 1982.-с.127- 132.

35. Болтянский Г.В. и др. Векторное изложение геометрии: (в IX кл.ср.шк.): Пособие для учителей / В.Г.Болтянский, М.Б.Волович, А.Д.Семушин. -М.: Просвещение, 1982. 143 с.

36. Брадис В.М. и др. Ошибки в математических рассуждениях. -М.: Учпедгиз, 1959.-191 с.

37. Брунер Дж. Психология познания. За пределами непосредственной информации. М.: Изд-во «Прогресс», 1977.-412 с.

38. Брунер Дж. Процесс обучения. -М.: Педагогика, 1962. -264с.

39. БСЭ. -3-е изд. Том 17. -М.: Издательство «Советская Энциклопедия», 1974.

40. Бондаревский В.Б. Воспитание интереса к знаниям и потребности к самообразованию. -М.: Просвещение, 1985.

41. Бондаревская Е.В. Гуманистическая парадигма личностно ориентированного образования // Педагогика. -1977. №4.-С.11-17

42. Бурлев Ю.А. Формирование обобщенных дедуктивных умений в курсе геометрии 8-летней школы: Автореф. дис.канд. пед. наук. М., 1984. -17 с.

43. Варафаев Р. Формирование навыков дедуктивного мышления у учащихся 4-5 классов в курсе математики: Автореф. дис. канд. пед. наук. Ташкент, 1979. 52 с.

44. Виленкин Н.Я., Тавтаркелидзе Р.К. О путях совершенствования содержания преподавания школьного курса математики. Тбилиси: Изд. Тбилиского ун-та, 1985. - 355 с.

45. Вилькеев Д.В. Методы научного познания в школьном обучении. Индукция, дедукция, гипотеза. Казань: Татар, кн. изд - во, 1975. - 160 с.

46. Вилькеев Д.В. Роль противоречий в логике выдвижения гипотез учащимися в процессе проблемного обучения // Вопросы воспитания познавательной активности и самостоятельности школьников. Казань, 1972. -с.97 -110.

47. Виленкин Н.Я., Блох А.Я. О развитии логических и творческих способностей при изучении математики- В сб.: Заочное обучение математике школьников VIII -X классов Изд. НИИ СиМО, 1982

48. Владимиров B.C., Понтрягин JI.C., Тихонов А.Н. О школьном математическом образовании // Математика в школе.-1979. №3.-С. 12-14.

49. Выготский JI.C. Педагогическая психология. М.: Педагогика, 1991.

50. Габдуллин Р. Г. Применение « Maple 7» для развития интуитивного мышления // Материалы конференции « Валихановские чтения».- Кок-шетау: Изд-во КГУ им. Ш. Уалиханова, 2003, С.64-67.

51. Гальперин П.Я. Основные результаты исследований по проблемам формирования умственных действий и понятий. -М.: Наука, 1965

52. Ганзен В.А. Системное описание в психологии,- М.: Наука, 1964

53. Генкин Л. О математической индукции: Пер. с англ. -М.: Физ-матгиз, 1962,-36с.

54. Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе.- М.: Мир, 1967.-252 с.

55. Геометрия: Пробный учебник для 6 8 кл. ср. шк.: / JI. С. Атана-сян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, - М.: Просвещение, 1981. -383 с.

56. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл.сред. шк. / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 1992.-207с.

57. Геометрия для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.М. Рыжик.- М.: Просвещение, 1991.- 415 с.

58. Гильберт Д. Основания геометрии. Пер. с нем.-М.-Л: Гостехиз-дат, 1948.-492с.

59. Глейзер Г.И. История математики в школе: 1Х-Х классы: Пособие для учителей. М: Просвещение, 1983.-351 с.

60. Глейзер Г.Д. Психолого-математические основы развития пространственных представлений при обучении геометрии // Преподавание геометрии в 9-10 кл.: Сб. статей.- М., 1980.-270с.

61. Глаголева Е.Г. Соотношение логики и интуиции в обучении математике. // Проблемы совершенствования содержания и структуры школьного курса математики. -М.: НИИ СиМО, 1981.-С. 29-36.

62. Гнеденко Б.В. О воспитании научного мировоззрения на уроках математики // Математика в школе 1977. № 4.-С.З-6.

63. Гуськов В.А. Об одной проверке качества усвоения понятия функции // Математика в шгколе.-1981. № 1 .-С.50-51.

64. Грабарь М.И. , Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы.-М.: Педагогика, 1977.- 136 с.

65. Груздев П.И. Вопросы обучения и воспитания. -М.: АПН РСФСР, 1949.-171с.

66. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. М.: Просвещение, 1981.-95 с.

67. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика, 1972.-423 с.

68. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения М.: ИНТОР, 1996.-544 с.

69. Далингер В.А. Методика работы над формулировкой, доказательством и закреплением теоремы: Книга для учителя / ОмИПКРО. Омск, 1995.- 196с.

70. Далингер В.А. Методика формирования пространственных представлений у учащихся при обучении геометрии: Учебное пособие. -Омск: Изд-во Омского пединститута, 1992.-96с.

71. Далингер В.А. Формирование визуального мышления у учащихся в процессе обучения математике.-Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999.-156 с.

72. Далингер В.А. Чертеж учит думать // Математика в школе. -1990.№4.-С.32-35.

73. Данилов М.А. Процесс обучения в Советской школе. -М.: Учпедгиз, 1960. -299с.

74. Депман И.Я. История арифметики. -М.: Просвещение, 1965.

75. Дидактика средней школы / Под ред. М.Н.Скаткина.-М.: Просвещение, 1982.-319с.

76. Донеддю А. Евклидова планиметрия. -М.: Наука, 1978.

77. Дорофеев Г.В. Понятие функции в математике и в школе // Математика в школе.-1978. №2.- С. 10-27.

78. Дорофеев Г.В. Строгость определений математических понятий школьного курса математики с методической точки зрения // Математика в школе.-1984. №3.-С.56-59.

79. Дорофеев Г.В. Контрпримеры в математике // Математика в школе, 1999. №5.

80. Дорофеев Г.В. О правильности рассуждений и подробности изложения в решении задач // Математика в школе.-1982. №1. -С. 44-47.

81. Дорофеев Г.В. Логическое развитие учащихся и язык обучения математике // Математическое образование: современное состояние и перспективы. Тезисы докладов межд. конференции. Могилев, МГУ им. В.В. Кулешева, 1999.- С. 191-192.

82. Дорофеев Г.В. Переформулировка задач. // Квант.- 1974. №1.-с.53-59.

83. Дорофеев Г.В. Математика для каждого. -М.: Аякс, 2000.-446с.

84. Дорофеев Г.В. Соотношение содержательного и формального в школьной математике // Доклады II советско-английского семинара по математическому образованию. -М., 1982.- С. 36-41.

85. Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н. Гуманитарно ориентированный курс математики для 12-летней школы: анализ подходов // Сб. «На пути к 12-летней школе» / Под ред. Ю.И.Дика, А.В. Хуторского. -М., 2000.- С. 88-94.

86. Дъедонне Ж.Д. Надо ли учить «современной математике?»: Пер. с англ. // Математика в школе. 1976.№1.-С.88-91.

87. Дъедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.: Наука, 1972.

88. Дьюи Д. Психология и педагогика мышления. (Как мы мыслим): Пер. с англ. / Ред. Ю.С. Рассказов. -М.: Изд-во «Лабиринт», 1999.

89. Дьяконов В. Maple 6: учебный курс.-СПб.: Питер, 2001.- 608 с.

90. Еленьский Щепан. По следам Пифагора: Пер. с польского.- М.: Государственное Издательство Детской литературы, 1961 .-487 с.

91. Ерошкина Л.Н. Опыт и дедукция в школьном курсе геометрии в VI и VII классах: Автореф. дис. канд. пед. наук. М.: 1955. 16 с.

92. Ершова А.А. Определение целесообразного уровня строгости при проведении обоснований в курсе алгебры и начал анализа: Автореф. дис.канд.пед.наук. М., 1994, 16с.

93. Жирков Е.П. Соотношение логического и интуитивного аспектов обучения началам анализа в 9-10 кл. средней школы. Автореф. дис. .канд. пед. наук. М., 985. -17 с.

94. Завзягинский В.И. Противоречия процесса обучения. Свердловск: Сред.-Урал.кн. изд-во, 1971.-183с.

95. Зайкин М.И., Колосова В. А. Провоцирующие задачи. //Математика в школе. 1997. №6.- с.32-36.

96. Иванова Е., Заика Е. Сохранение материала в логической памяти //Вопросы психологии. 1983. №3.- С. 10-13.

97. Кедров Б.М. Общий ход научного познания природы и его противоречивый характер // Противоречия в развитии науки / Под общей ред. Б .М.Кедрова.-М., 1965 .-С. 12-151.

98. Кедров Б.М. Противоречивость познания и познание противоречия // Диалектическое противоречие. М., 1979.- с.9-38

99. Клайн М. Математика. Утрата определенности: Пер. с англ.- М.: Мир, 1984.-434с.

100. Клайн М. Логика против педагогики: Пер. с англ. // Математика: Проблемы преподавания математики в вузах. -Вып.З. -М., 1973.-С. 46-60.

101. Клини С. Математическая логика. -М.: «Мир», 1973.- 480 с.

102. Клопский В.М. и др. Геометрия: Учеб. пособие для 9-10 кл. ср. шк. / В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский.-5-е изд.- М.: Просвещение, 1979,-256с.

103. Киселев А.П. Элементарная геометрия. -М.: Просвещение, 1980.-226с.

104. Киселев А.П. Алгебра. Учебник для 9-10 кл. средней школы. 42-е изд. -М.: Просвещение, 1980. -226с.

105. Колеченко А.К. Энциклопедия педагогических технологии: Пособие для преподавателей. СПб.: КАРО, 2004. - 368 с.

106. Кожабаев К.Г. О воспитательной направленности обучения математике в школе: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1988.-80с.

107. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современном изложении // Математика в школе.-1971.№6.-С. 2-3.

108. Колмогоров А.Н. Замечания о понятии множества в школьном курсе математики // Математика в школе. 1984.№1.- С. 52-53.

109. Колмогоров А. Н. и др. Геометрия: Учебное пособие для 6-8 кл. ср. шк. / А. Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, Р. С. Черкасов. -М.: Просвещение, 1981,- 383 с.

110. Колмогоров А.Н. Математика // БСЭ.-З-е изд. -Т. 15. М., 1974. -с. 467-478.

111. Колмогоров А.Н. Об учебном пособии "Геометрия 6 10" А.В. Погорелова // Математика в школе. - 1983. №2. — с. 45 - 46.

112. Компанийц П.А. Опыт, интуиция и логика в обучении математике // Активизация деятельности учащихся при обучении математике. М., 1961-С. 5-29.

113. Краевский В.В. Проблемы научного обоснования обучения (методологический аспект).- М.; Педагогика, 1977.- 264 с.

114. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач .-М.: Прометей, 1995.- 166с.

115. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. -М.: Просвещение, 1968.-432с.

116. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее изучение. М.: Наука, Главная ред. физико-математической литературы, 1986.- 143с.

117. Кун Т. Структура научных революций.-М., 1971 .-280с.

118. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?: Элементарный очерк идей и методов: Пер. с англ. 2-е изд.-М.: Просвещение, 1967.-558 с.

119. Лакатос И. Доказательство и опровержения: Как доказывают теоремы: Пер. с англ.- М.: Наука, 1967.- 152 с.

120. Леднев B.C. Содержание общего среднего образования. Проблемы структуры. -М.: Педагогика, 1990.-264 с.

121. Лежебоков П.А. Диалектическое противоречие как закон познания. -М.: Высш. шк., 1981.- 176с.

122. Леонтьев А.Н. Избранные психологические произведения: в 2-х т. -М: Педагогика, 1983. -391 с.

123. Лернер И .Я. Проблемное обучение. М.: Знание, 1974. - 64 с.

124. Лернер И.Я., Скаткин М.Н. Дидактика средней школы. -М: Просвещение, 1982. -319 с.

125. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. -М.: Педагогика, 1981.-186 с.

126. Лоповок Л.М. Изображение фигур в стереометрии // Преподавание геометрии в 9-10 кл.: Сб. статей. -М., 1980.-270 с.

127. Маликов Т. С. Логический и интуитивный компоненты в определениях математических понятий // Математика в школе. 1987. № 1. -С. 44 - 48.

128. Маликов Т.С. Рассуждения заменяющие метод математической индукции для узкого класса функции // Математика в школе.-1979. №5.-С.35-36.

129. Васильев Н, Маликов Т. Рассмотрим разность // Квант.-1981. №6.- С.27-30.

130. Маликов Т.С. О доказательствах «очевидных» фактов школьного курса геометрии // Математика в школе.-1988. №6.-С.24-26.

131. Маликов Т.С. Индуктивные и дедуктивные рассуждения как средство развития активности и критичности мышления учащихся при изучении математики: Автореф. дис. канд. пед. наук. М.Д988.-16с.

132. Маликов Т.С. Новая задача (в условии конкурса им. А.П.Савина) // Квант.-2000. №1,№3.-С.27.

133. Маликов Т.С. О соотношении индуктивного и дедуктивного методов в процессе обучения математике в старших классах средней школы // Вопросы совершенствования преподавания математики в средней школе (методические рекомендации). М., 1988 .- С. 56-66

134. Маликов Т.С. Диалектика логики и интуиции в обучении математике// Материалы конференции. Кокшетау , 1993.- С. 79-81.

135. Маликов Т.С. Соотношение логики и интуиции в обучении математике. Учебное пособие. Алматы: Республиканский издательский кабинет, 1995.-76с.

136. Маликов Т.С. Логика изложения учебного материала в учебниках по математике. Учебное пособие. Кокшетау: Изд-во Кокшетауского университета, 1996. -69 с.

137. Маликов Т.С. Использование конечных разностей при решении задач алгебры. Кокшетау: Редакционно-издательский отдел КГУ им. Ш.Уалиханова, 1999. - 48 с.

138. Маликов Т.С. О роли конвенции в творчестве А. Пуанкаре//Материалы республиканской конференции «Валихановские чтения-5». Кокшетау, 2000.- С. 57-59.

139. Маликов Т.С. О методологических основах проблемного обучения // Материалы международной научно-практической конференции. Ал-маты: Казахско-Американский университет, 2000.- С. 4-6.

140. Маликов Т.С. Об интуитивной основе деятельности учителя // Материалы международной научно-практической конференции «Среднее образование в XXI веке: состояние и перспективы развития». Астана: Международный общественный фонд KATEY, 2001.- С. 472-474.

141. Маликов Т.С. Интуиция учащихся как иммунитет от методических ошибок авторов учебников // «Высшая школа Казахстана». 2002. №4. - С. 203-206.

142. Маликов Т.С. Соотношение интуиции и логики в математике и ее обучении (монография).-Алматы: НИЦ «Гылым», 2002.-166 с.

143. Маликов Т.С. О роли интуиции в определении концептуальных приоритетов авторами учебников// Международная конференция. Алматы, 2003г.-С. 218-223

144. Маликов Т.С. Некоторые обобщения опыта создания школьных учебников по математике // «Высшая школа Казахстана» 2003. №3.-С. 137140

145. Маликов Т. С. О рейтинге преподавателей вузов // «Высшая школа Казахстана».- 2004. №2.-С. 34-40

146. Маликов Т.С. О предмете методики преподавания математики // «Актуальные проблемы современной науки».- №2.- 2004.- С.

147. Мамасадыков Р. Воспитание логического мышления учащихся на основе математической логики: Автореф. дис. канд. пед. наук. Ташкент: 1973.-34 с.

148. Марнянский И.А. К изучению определений // Математика в школе.-1982. №5.-С.56-58.

149. Мартыщук О.И. Доказательства и обобщения в школьном курсе алгебры и элементарных функций: Автореф. дис. канд. пед. наук. Киев, 1969.-28 с.

150. Маслоу А. Дальние пределы человеческой психики. СПб: Евразия, 1997.

151. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М.Виноградов.- Т. 1. -М.: Советская энциклопедия, , 1984,

152. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.М.Виноградов -Т. 4. М.: Советская энциклопедия, 1984.

153. Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. -М.: Педагогика, 1972.-208с

154. Махмутов М.И. Проблемное обучение. -М.: Педагогика, 1975.367с.

155. Менчинская Н.А. Психологические проблемы совершенствования методов обучения // Проблемы методов обучения в современной общеобразовательной школе. -М., 1980.- С. 32-40.

156. Медеуов Е.У. Методологические основы проектирования стандарта математического образования Республики Казахстан. -М.: Авангард, 1996.-334с.

157. Медяник А.И. Учителю о школьном курсе геометрии: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1984.-96с.

158. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика / Составители: Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. -М.: Просвещение, 1985.- 336с.

159. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, В.Я.Савинский. -2-е изд. -М.: Просвещение, 1980, -368 с.

160. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М., Просвещение, 1977.-480с.

161. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец./ А.Я.Блох, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев и др.; Сост. В.И.Мишин. М., Просвещение, 1987.- 416с.

162. Миракова Т.Н. Гуманитаризация школьного математического образования (методология, теория и практика: Монография / Под ред. Г.В.Дорофеева. -М.: ИОСО РАО, 2000. -398 с.

163. Миракова Т.Н. Школьная математика и логическое развитие учащихся: проблемы и решения // Сб.: «Школа 2000.». Концепции. Программы. Технологии.- Вып.2.- М.: «Баллас», 1998.- С.70-79.

164. Мишин А.И., Мудрая JI.3. Пособие по методике преподавания математики в средней школе. -М.: МГПИ, 1985.-142с.

165. Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе . -1996. №6. С.28-33.

166. Морозов Е.М. О соотношении индукции и дедукции // Гносеологическое содержание логических форм и методов.- Киев, 1960.-c.86 -104.

167. Назаров М.Н. Развитие логического мышления учащихся в процессе преподавания геометрии в старших классах средней школы: Автореф. дис. канд. пед. наук. Алма Ата, 1970. - 19 с.

168. Наука и учебный предмет // Советская педагогика. 1965.-№7.-С.3-25.

169. Нечаев В.И. Числовые системы. -М.: Просвещение, 1975.-200с.

170. Никольская И.Jl. Привитие логической грамотности при обучении математике: Автореф. дис.канд.пед.наук. М.,1973.-26с.

171. Никольская И.Л., Семенов Е.Е. Учимся рассуждать доказывать. -М.: Просвещение, 1989. -190 с.

172. Нысанбаев А. Диалектика и современная математика -Алма-Ата: «Гылым», 1982.-218с.

173. Нодельман B.C. Система средств обучения для развития логической культуры учащихся на уроках математики в 4-8 классах: Автореф. дис. канд. пед. наук. М., 1978. 16с.

174. О методических аспектах теоретико-множественного подхода к понятию функции / А.В.Кузнецова, Ю.М. Макарычев, Н.Г.Миндюк, С.Б.Суворова // Математика в школе. 1979. №2. -С.23-27.

175. Осколкова Т.И. Учитель все равно работает по своему // Математика в школе. 2002.-№6.- С.61-63.

176. Пайсон Б.Д. Развитие логического мышления учащихся с помощью средств дедуктивного вывода / на алгебраическом материале средней школы/. Дис. .канд. пед. наук. М., 1979.- 18с.

177. Панов М.И. Интуиция и математическое творчество (является ли интуиция фундаментом интуитивизма // // Интуиция, логика, творчество. -М., 1987.-С. 99-123

178. Папи Ж. Геометрия в современном изложении // Математика в школе. 1967. - №1. - с. 39-41.

179. Пичурин Л.Ф. Математика гуманитарная наука // Математика в школе. - 2002.- №6.- С.8-11.

180. Педагогика. Учебное пособие для студентов педагогических вузов и педагогических колледжей / Под ред. П.И.Пидкасистого. М.: Педагогическое общество России, 1998.-640с.

181. Перминов В.Я. Содержательность и строгость математического доказательства// Интуиция, логика, творчество. -.М., 1987.-С. 78- 85.

182. Пидкасистый П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. -М.: Педагогика, 1980.- 240 с.

183. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. пособие для 6-10 кл. ср. шк. -2-е изд. -М.: Просвещение, 1983, -287 с.

184. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. пособие для 6-10 кл.ср.шк. 5-е изд., с изменен. - М.: Просвещение, 1986. -304 с.

185. Погорелов А.В. Геометрия : Учеб. для 7-11 кл. ср. шк. 3-е изд М: Просвещение, 1992. -383 с.

186. Подгорецкая Н.А. Изучение приемов логического мышления у взрослых. -М.: Изд. МГУ, 1980.-150с.

187. Пойа Д. Как решать задачу. -М.: Учпедгиз, 1959. -208 с.

188. Пойа Д. Математическое открытие. -М.: Наука, 1970. -420с.

189. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения: Пер. с англ.-2-е изд., перераб., -М.: Наука, 1975-463с.

190. Пойа Дж. Обучение через задачи: Пер. с англ. // На путях обновления школьного курса математики: Сборник статей и материалов. -М., 1978.-С.220-226.

191. Попов В.В. Место интуиции в процессе обучения математики // Математика в школе. -1981.-№1.-с. 20-22.

192. Поппер К. Логика и рост научного знания. -М.: Прогресс, 1983. -605 с.

193. Пуанкаре А. О науке: Пер. с фр./ Под ред. Л.С.Понтрягина.-2-е изд., стер. -М.: Наука, Гл. ред. Физ. -мат. лит., 1990.-736 с.

194. Радугин А.А. Философия: курс лекции.-2-е изд., перераб. и до-полн. -М.: Центр, 1998.-272с.

195. Реализация идей развивающего обучения Л.В.Занкова в основной школе (5-9 классы) // Сб. материалов / Ред. -сост. B.C. Гиршович, Г.А.Ткачева; Общ. Ред. В.С.Гиршович. -М.: Новая школа, 1996.

196. Роджерс К. Взгляд на психотерапию: становление человека. -М.: Прогресс Универс., 1994. 480 с.

197. Рубинштейн C.JI. Основы общей психологии. М.: Педагогика, 1989. -485 с.

198. Рузавин Г.И. Интуиция и понимание в математике // Интуиция, логика, творчество. -.М., 1987.-С. 85-98.

199. Рузавин Г.И. Проблема понимания в герменевтике // Герменевтика: история и современность.- М., 1985.-167 с.

200. Рыбников К.А. О формировании начальных математических представлений // Математика в школе. 1983. №1.-С. 44-46.

201. Сапранкова В.Н. Из опыта формирования у чущихся общих физико-математических понятий // Материалы научной конференции молодых ученых, студентов и школьников «Сатпаевские чтения».- Павлодар, 2004.- С. 100- 105.

202. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие. -М.: Народное образование, 1998.

203. Семантика, логика и интуиция в мыслительной деятельности. / Сб. статей под ред. А.Н.Соколова, Л.Л.Гуровой, Н.И. Жинкина. -М.: Педагогика, 1979. 184 с.

204. Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. Пер. с польского И.Г. Мельниковой.- М.: Просвещение, 1968.- 160 с.

205. Сеченов И.М. Избранные произведения. -Т.1. -М.: АН СССР, 1952.-772с.

206. Смирнов А.А. Психология запоминания. М.;Л.: Изд-во АПН РСФСР, 1948.

207. Смирнов А.А. Проблемы психологии памяти. М.: Просвещение, 1966.-420 с.

208. Сморжевский JI.O. Логическая структура школьного курса планиметрии основа развития мышления учащихся: Автореф. дис.канд. пед. наук. Киев, 1978.-20с.

209. Сойер У.У. Интуитивное понимание математического доказательства // Математика в школе.-1991.-№2.-С.75-77.

210. Сойер У.У. Путь в современную математику: Пер. с англ. -М.: Мир, 1972.-200 с.

211. Соколовский Ю.М. Онтодидактика в математике // Математика в школе.-1974.-№2.-С.65-68.

212. Соминский И.С. и др. О математической индукции / И.С. Сомин-ский, Л. И.Головина, И.М.Яглом.-М.: Наука, 1967.-144с.

213. Столяр А.А. Логика и интуиция в преподавании геометрии. -Минск: Вышэйш. Шк., 1963.-126с.

214. Столяр А.А. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ-мат. фак. пед. ин-тов Минск: Высшая школа, 1986.-414с.

215. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики: Пер. с нем. и доп. И.Б.Погребысского. 4-е изд., -М.: Наука, 1984.-284с.

216. Терешин Н.А. Методическая система работы учителя математики по формированию научного мировоззрения учащихся. Дисс. в форме научного доклада на соискание степени доктора пед. наук. М, 1991,- 44с.

217. Тесленко И.Ф., Фирсов В.В. Послесловие о методических особенностях учебного пособия А.В.Погорелова // Геометрия: Пробный учебник для 6-10 кл. ср. шк. / А.В.Погорелов. -М., 1981.-С.259-269.

218. Толстой Л.Н. Педагогические сочинения / Сост. Н.Н. Вейкшан (Кудрявая).-М.: Просвещение, 1989

219. Том Р. Современная математика, существует ли она?: Пер. с фр. // На путях обновления школьного курса математики: Сб. статей и материалов: Пособие для учителя.-М.,1978.-С.264-274.

220. Уемов А.И. Истина и пути ее познания. М.: Наука, 1974.

221. Уемов А.И. Системный подход и общая теория систем. -М.: Мысль, 1978.

222. Усова А.В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения. М.: Педагогика, 1986.- 173 с.

223. Фейнберг E.JI. Кибернетика, логика , искусство, М, 1981.

224. Философия естествознания. Вып. 1-ый.- М.: Политиздат, 1966.-419с.

225. Философская энциклопедия / Под ред. Ф.В.Константинова, т.2, М.: Советская энциклопедия, 1962.- 575 с.

226. Философский энциклопедический словарь / Гл. редакция: Л.Ф.Ильичев, П.Н.Федосеев, С.М. Ковалев, В.Г.Панов. -М.: Сов. Энциклопедия, 1983- 840с.

227. Фридман Л.М Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о педпсихологии .- М.: Просвещение, 1983.-160 с.

228. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. 41: Пособие для учителей/ Под ред. Н.Я.Виленкина; сокр. пер.с нем. А.Я.Халамайзера. -М.: Просвещение, 1982.-208с.

229. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: Книга для учителя / Под ред. Н.Я.Виленкина; сокр. пер. с нем. А.Я.Халамайзер. 411 -М.: Просвещение, 1983 .-192с.

230. Хан Д.И., Шибин В.А. О формировании пространственных представлений школьников на уроках стереометрии // Математика в школе.-1984.№6.-С.35-36.

231. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. -М.: АПН СССР, 1963.-204с.

232. Хинчин А.Я. Роль и характер индукции в математике // Сборник работ математического раздела Коммунистической академии.- Т.1. М., 1929.-С. 5-7.

233. Хитрина Н.А. О применении контрпримеров. — Математика в школе.- 1974. №6.- С. 34-41

234. Шамова Т.И. Активизация учения школьников. М.: Педагогика, 1982.- 203 с.

235. Шапоринский С.А. Обучение и научное познание. М.: Педагогика, 1981.-208с.

236. Шапошников Н.Б. О книге Э. Кастельнуово «Дидактика математики».// Математика в школе. 1966. №6.

237. Шаталов В.Ф. Эксперимент продолжается. М.: Педагогика, 1989.- 334 с.

238. Шоке Г. Геометрия. М.: Мир, 1970.

239. Шохор-Троцкий С.И. Геометрия на задачах (основной курс).-М.: Изд-во Товарищества И.Д. Сытина, 1913.-435 с.

240. Штофф В.А. Проблема методологии научного познания.- М.: Высшая школа, 1978.- 269 с.

241. Щукина Г.И. Роль деятельности в учебном процессе: Кн. для учителя. -М.: Просвещение, 1986. 142 с.

242. Эйнштейн А. Физика и реальность. -М.: Наука, 1965.-360с.

243. Эрдниев П.М., Эрдниев П,М. Укрупнение единиц в обучении математике. -М.: Просвещение, 1986.-252 с.

244. Юдина И.Б. Элементы математической логики в курсе математики средней школы: Автореф. дис. канд. пед. наук. М., 1965.-14 с.

245. Юнг К.Г. Феномен духа в искусстве и науке. -М,: Наука, 1992

246. Яглом И.М. Поговорим об определениях Квант, 1978, №6.-С. 32-35.

247. Якиманская И.С. Личностно ориентированное обучение в современной школе. М.: Педагогика, 1996.- 96 с.

248. Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьников . -М.: Педагогика, 1980. 239 с.

249. Эбшкасымова А.Е. Студенттердш танымдык 1здешмпаздыгын калыптастыру.-Алматы: Бшм, 1994.-1926.

250. Есмухан М.Е. Математиканы мектепте акпарлык технологиямен окыту. -Квкшетау: Квкшетау Мемлекетик Унивеситет1, 2002ж. -3286.

251. Кебесов А. Математика тарихы: Оку куралы.-Алматы: Казак университет!, 1997. -2406.

252. Рахымбек Д. Окушылардьщ логика-методологияльщ бшмдерш жетшд1ру.- Алматы: РБК, 1998.-2556.

253. Шэкшкова С.Е., Жаксымбетова С.Ш. Геметрия ecenTepi.-Алматы: Рауан, 1995.- 1246.