автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Целомерные геометрические фигуры и их обучение в средней школе

Автореферат диссертации по теме "Целомерные геометрические фигуры и их обучение в средней школе"

°3" li^bgc^niolj сп&о^оЬоЪ ЪлЪдс^Э^одго

■36о30А1)о030п

(Л^а^ъ ^¿gnoU dg VaK^iHo

ama^^neain^eí) aanaoö^iiTJ^n «зшба&п од аом w¿3k?3í>ó ъап^б'зо

• 13Г 00. 02 — SùongSùjSjojob b^ôggngèob Sgcnmjjjojù

й з ô m ^ з *з aй 6 ô °

заздапшоъ азоепзбзь^та шзошбп №бпьш апшгш&едя?

m&o¡^>olio — 1997

Бй'ЗЛгоЗо oojmtb ^cn^g&o'Bßo^ob bobg^co&ob

boSg^Gogtaco bg^SdçngùEigi^o — (доЪгуй-ЗосодЭофо^оЬ 3g(jE>og&g<!>¿coú

Оэсо^фгоЛо, ЗЛспсддЬсоЛо

ûJ^O^Ô0' — ^0C?ù2>rri2)odo'J 3[](j6n¡j&Qbócoó <vro^ф<7)(Ьо, ¿(bmcßßbméno

mgoßOögngAo тЗсо&дбфдбо: —¿gçùgn^ojob ЗдцБодЛд&оооо

Çoroj^n&o, ¿(bcnoggbmAo

oSgAç^o'Bgoç^o сдоЪо^.з-Э.зсодЭлфсуоЬ ЗдуБодАд&осоо JùBçpOÇOù^jO ^ocoAjo бпЪос1д

^ЭудоБо ГО^ЙБОЪО^ОО — b^jçmbùE-bù&o oo£>cb<)çrooùE>ob bùbgi^cotbob ooboçmobob bobgç^Ç'oçgc} àgçog,«2,0^)^0

a^o^^ôoô0

<jobg6¿)úQoob Ç00Q30 ТЭдср&О^ " --1<^97

„--" ЬоасоЪд, co<î>o<™obob ЬоЬд^З^осдса £¡6033 АЬофдфоЬ

bccoobo^ôcQoco bù&3«b (Phm01.02 с №3) ЬЬсрооЭЛд.

çoobgfb^joQoob g, ¿>(3 Gota "Bgodçmgta cob^) bù3g(j6ogAc} àoà^ooocogjo'So (380043, œîboi^obo, ^БоддЛЬофдфоЬ 2).

Í51« 1997 <y

Ьо^оЬд&фоцот bù&^rob b^oß^'Q^o л np,

Э^одоБо 03. 3. 3. j. ÇoenQgG^o <vj • n. fKxgg^ßa&odj)

I. GôtJfomOob lîmgOçoo çoùbôboùcngiO)

БУЗ(лПЗПЬ ^düH^^D?)^ — ^дсоЗдф&ооЬ 'SgjSEù "(^gi^gbo çoAmoçoS 2,ù6ù3o<^Knbo о^роЗооБоЬ oracobrogGoi^g&gàSù. ^)3oA¿¡oggbo

эдсоЭдфАоу^о (jGgigào çoo tfùjjjgào (jSco&oçpo оусо jîgA ^ЗОСГ0

Д2)ЗоЗ(в)£](2ГД&оЬоООЗоЬ. JO^SQ^AOÙ doAoCD JÇOOXÇ 2,063 О СО О А (00 ¿ЗЗСР bo&gAdGgco'So.

ЬоЭ^р^со bjco^ob эдоЗдфАооЬ ¿^АЬ'Эо ЗБо'ЗдБд^годйБо ¿j'Q^'ocoçpgào

L (оостЭт&гх^о Зсод^ЪгоЗд&ооБ 2>0<т>^00'^>о'С)СГ (ро^оз'ЭоАд&д^о bùjooobg&ob b^/öß^giob. bûyg&ùçoçogilxno, АооЗ gb bojocnbgào ¡;g¿> Joço^O С?0*?0 ЬБосо ¿>ço&g y^jAùçpçog&ob ojp,^gçoo obgoio SùcngSo^ojobgàob 3ogA Ao^oAoq оудБдБ áocojgnAj, оддЛЭо

çoù goçmgAo.

jgoc'g^moob ¿gAdoço, Зсод^ЪсоЗд&ооБ âO^g^Ao^jçm сдо^дАд&сооБ çoùjog'Bo^gà^jÇTio bojocnbgbob b^oß^Q&obob jùbûcogùçnob'y oEjgàgçmoù "ЭдЗ^од^о SGo^Gg^mgoGo ЭсоЭдБ(5з<Ьо:

1. bojooobob ЗдуБодА^^о (rioAgtb^j^gáo çpo 3obo ¡>,ùQC>3m(jg3ob ЗдуБодАд^оо ЬоЬфдЗо.

2. Ь^оз<тог|ЬоЬ ЗА^фгуд^о QioAg&gçwj&a, Srob^oßQ^gcoo SnStoçogàù

boj3oo6cnâoboOT3ob.

3. о^ЗЪА(тзд(торо<Ьосоо o3cn(jù5g<î>o (Soob^öß^ggЬ'Зо boß^Q^jijno ^/¿АЗрктэ^дБд&оЬ, ^cn^oj^^o ¿ЪАоозБд&оЬ, çoûSogjoçpg&gçmo £)5Ù<V ^ЗЗЗЗ&оЬ ^i^ocooAgäo (jo о.'S.)

ЬодроЬдАфоцого Бо'ЭАспЗ'Зо "ЭдЭостзлдоЪд&дспоо "Ьоо^одАото уБсо^о^о оодгоАдЗоЬ Ac>3çog5o3g до&ооБфп, АгоЗ^оЬ oAßggo, Aco^piAq

Çgbo ijpojoß'Bo&gcb^i^oo содгоЛдЗоЬ ЗАо^фода^™ ^оЗтудБд&оЬсооБ çoo Sobo ^З^соЗоЬ Ьос^ЛЗдЬсооБ.

¿Зф^АоЬ Э од Л "Bgçp^gGoçroo, 'BgjAg&oç^o, çùbùà^jcogà^irrio (OÙ ¿(™obo(go(joAg2>£)<™oc>, АоуоооБо^^А ЬлЭдаспЬдсод&споб g.Ç1. Зоспо^ооАоЬо (Où ЗдАсоБоЬ boSj^oobgçpg&cr'ùE, Ад003g ЗдАсоБоЬ coco^cobgçgàcooS çoojog'BoAg&^^o o3co(joGgào, АспЗд^спо jùGboç^go ^дсоЗдф&ооЬ даАЬ'Зо bgij^b ^jÇ'gcoib Ьо^оБсоо'ЗпАоЬо jog'SoAgàob Адо^оЪоцооЬ ^дгоЗдфАооЬо, o>(boco3g¿)0jobú çoo

Бо'ЗАсоЭНо ^осоЗпцдЗ^^о 3obo<™o doAocnoçooço ^ùG^OTgGoçrooù çobo3^)'3o)ggà(^o)(o оЗ Scnb^og^gg&obocngob, AmSi^gàoQ bo'B^joijncn bjtn^o'So jùçoASùggà^jçrçùçp b^oßi^oägE 3c>cr>g3ù(*)Oj£jA bo^Egàb.

33^03(11) ЗОЪйбП. 2>gn3g(jAoob b^oß^g&obüb Зоодст'ЬгоЗдсЬооБ 2,дсг>ЭдфАо£)<£[> cgoj^Ag&oiùB (çojôg'doAgà^irno bo^ocobgàob b^/ogçngàob

bg¿>bg<bobo> çoo 3gcomço|]5)ob b&£)<™yrnçrjo> çoo ЗосодЗофо^оЬ З^Ь^/оз^д&^дсЛд, Здсг>го(ооЬфд<Лд çoo Ьф'Д^дБф-ЭосодЭофо^тЬд&Ъд (o¿b3o¿>g<í>ú.

<ЗЗКСОЗПЬ ¿ЗП1356Э&0. Эсод(тоЪсоЭд&ос)5 âO^^OÔ^0^1!? 'Зо^'З^'д^сооБ çùjog'BoAg&^n™ Qùçmjg^jç™ bojocobcoo b^iiß^g&obücoßob OÇgojô'Q^o gj'bg&nbù ÇOÙ Sgcooçgàob 2,L>3coß<™oE>g2>i>.

boj^OTùAo çoù^oi^gàobù ÇOÙ fiogjà^gà'gçpo ¿3Ç?33"5-dogiî>ob 'Bgçg^g&ob ^ùE'bnjjùçog&ù ÇOÙ çoùbg&g^ù bùbjroirocn ¿AÙ^OJÙ'SO.

33SS?О3ПЪ L¿8¿>6Í1. 3cogiwcbn3gâoù6 ^дтЗдфЛо^^то (go^c^gàob bojooobgboooS ù3cn(jù6g5>obo çù содооЛдЗдйоЬ ^gço^gEiù.

азс?азпь mnaaaa j. &с>отаЗоЬ№1 ao3b¿%o¿, &¿a^3ob

№2 (доЪо^^-ЭоспдЭо^о^^Лп Ь^го^о-обфд&бофо, àoco^)3ob bÇ'ogçjg&ob bo'B^jùçmcn bjnç^ù ¡OÔ àgçd^co^œù jgoijnoçgojùQOob ù3c>ç^g<î>obù çpo 2,ùçoo3<bùçog&ob boco£)3ob o5b¿)0¿)^]¿)ob bo^Abm çooiobdogbùbo.

esa&rm ¿n^nm^n •aatgaaa&n зэоБпа^т)с?о

°>3Ôcn<^°^i)'OC?0 J3d,030_c'o0^>o^J С?0 ^/oEù3çogi>ù&g Бо/ЗАгоЭоЬ

boob^g ob ù&ob (ЬпЗ:

— 'Эд^&дйо^о (ос> ¿obboç^ç^oo Зотд^ЪгоЗдйообо ^дсоЗд^Лсд^о çgojyg^gtbob 'Bgbobgà оЗооцоБд&о çoo (jGcoâoç^o отдсч&дЗдсЬо;

— bobcx^obco 3óC0g3ó¿)0j0b созсхтоЬоЪЛоЬооо 3mQg3£]<jnoù Sùbùçngào, g.Ç. „ЗдАспЗо^о^Ло SAùgoxraj^cobgçpgàob" boboco. „^дЛпЗл^сдЛо S^oßcxjnj^oobgcc'ob" Q^g&ù "3g3n¿)ú5o(^>oo с>зфсо6оЬ ЭодЛ;

— ^ù^Snço^gGoijnoù Зсод^ЪооЗдЬооБ Çgojj^ibgàcnùG Qçjùjcig'Bot'bgb^jçmo doAocoùÇoo содсп&дЗд&оЬ ¿o(jgü)ob bbßo^oobbßo bg&bgào;

— С11 Зсод^ЪпЗдйо^Ьо йд^Здф&о^^о Зг.сой^гоАоЬ, 3g¿>cnE>ob boSj^cobgçogàcoôb ÇOÙ oocoj^OTbgçgàcoùb (оо(^з'ЭоЛдс!>£)(£[>о ù3oo(jo5gào cogmfbgSgàob boboco;

— 3o(Tig2>£](Tr>oo bù3j£)cobgçoob SGo'SßbgirocnßojS ^g&¿)0(™g<!>b 'ЭооАоЬ 3ùbdo^g5>ob ^оЗтЬосоз^д^о Ibn^oçoo (groAS^.i^gbo.

Бо'ЭЛооЗ'Зо (oùE>ù^>coob boboco 3coqq3^](™où Эа>д(тоЪспЗд&о1ьБ &0ro^0Ô<<^oiDC!? Çgoj^rtgiicoùb (oùjùg'àoibgô^)^ boçpoçoggôb 'dofoob 3oçogà^(TOo tgmfoSg^igàob jbojcngjAùajo^njnùiç çoex^ù^gib^^o "SgboboSobo (jb&oçwjîbo.

ззеуэзпь aamiwa&n дшбпа&л <5юЬал(»),ЗСзоогЗо ^ьз^о

ùSmQoSgbob Jjùçpob^ygg^oço ^Sooygfjg&gcpo 3gcomçogcbo

çoù bù'B^jcxrogàg&o: ЗдцбодЛ-Зд^й^т^соо 'З&ооЗдйо, 2><эЭоЬо^з<™дзо 3&co&iw)3ob AgaçwijAo 3^2,тЭоЛдп&оЬ ЗоЗоЬо^рд^, bÇ'^ijng&ù'So bgAbg&ob ^оЗсоудЬдЬоЬ 'Sgbùbgk ùAbgà^i^o bo3g(j&ogAro-3g£oc>2)Pr>2)o'£)¿io (j^>0(*)g(bo)¿)^)Aob ùbùijno'bo.

Q?0 обсх^оЪЬ, 03,630)33, ùg^joi^ob

ЗЗСОЗ'5 dogàobù çpù ^з&оЬ SoSdoijn'bg ЗоЬо Зд^й^п^о^Ло Smçogo^ooàob

бб'ЭСпПЗПЬ ááiñnib^UflA Ьб^ОоЬзЛ^^уОО бо'ЭбгоЗоЬ ù36mîî>0>QOô bro^QOQ(^içci35cO(Çt> (тэоЬзАфоэбфоЬ Э036 á^dO^ú^illC?0 QOJ

gjù&QboQOQàQ&oao o^ùAob озфспБгоЭо£|6о (^gbi^à^ojob AiiomE^àbo ÇOÙ Зз^ол^со^о^Л ¿гоБсдз^зб^оз^Ъз, ЬоЛоотбсоЬо çoo bùroç^Joo Зз^^^п^о^Л ¿00^33^3, <boCQ£]3ob ЭоЬ^оз^з&з^со^ çùbg^ngSgbob оБЬфоф'дфоЬ ¿Qçoù^njœo jßox^ocgryjQOob ùSù^ç^àobù çoo> ^ои^оЗЪо^зйоЬ

ОроЬзЛф^цооЬ содЭ^Ъд 2,¿3po¿]33¿|E>3<í>£¡<moú 6 бо'ЗЛпЭо ЛспЗз^спо Е>£)ЬЬс>

g?íib3¿>(g>¿Mnb arioDg?fi?,¿ c?;s çobaA^oQoj ^QÇDaa&o

Dgbc^^ob.i çoo оосэтЬо cnoßobö^üB 66 ЗоЛо^^охдосг», (роБоЛсооЬ ЬоЬоСГ) (jb^G(^3&obù5)ù5, Qoäbjßßob, ЗАо^фо j^ljno Лд^ОоЗз бф^ЦОзЙоЬо ÇÇlù gjùSonyg&gâ'^ç^o ÇTio^jgAù^^^obù^ùG, AmSgi^oQ 'BßOQogb 120 ipùbùb3(jnQbob Çyùi^rob. ЬоЗ^'Эохп ^¿соЭпузЭ^^оо 184 Бо&зЗср 2,336(5^3 (Où 3nOQdßb 61 БоЬоЪЬо ÇOù 48 (jb^Oirab.

II. рооЬдСп^дуооЬ "3o6o>»5{nbo

ЗП(лЗЭК?П ОПЛЗО — „¿ocoùgmAùb bù3j£)OTbj)çç><)ào", 'ЭдсрйО^0 ^ Зобо^босдоЬо^оЕ).

Зоото^спАоЬ созтс^дЗо Ло^спбц 3çmc>Go3g(*)Aoob 3(^003^0)0

y£}AùÇ0(TX|àob (ззб^А'Зо. Ь^соЛзфоЭосо oobbGùb ЛгоЗ, çoçogoboa^ob

ôiôb3?>nâb оЭ созок^зЗоЬ ^ОБЬЬЗ^ЗЗ^^^О

Бо'ЭЛооЗ'Зо bùbjmçriro Ь^Ьз^ЗЗ^зоБз^гоз&оЬо^об

^oGbbßiißg&oco Зосоо^гоЛоЬ шзпАзЗоЬ çoo>3(*)jO(j3<î)ob 13 bgAbo.

ЗоЛсо^^ооЬс) bo3j^œb3Ç)b, ¿>co3<™ob ЙЗО^СРО*-10 á^cobúb^^oo ^Лсооз<^)ооЭоЛ(5озо Зсод^о Ао^Ьзз&осо, Q^roQogbo Зоот^сх'ЬоЬ dotaocncxjpo ЬоЗдаотЬд^оо.

ЗлЛсо^^слЬо boSj'gcobgçoob ¿ззЛ^оз&оЬ Ьо^^зз^оЬ 2,L>3ro3b,sbgg(™ £)ACD03¿>C03ÚA¿)03 Зсоз^т ЛоцЬзЗ&Ь ЗОСОО^СО&ОЬ ¿)0(jb33$)0 0>Б"Д

300002,СоЛоЬ <4oQbß3&ol) 3o<JKj?>ol) 3<bc0-3<^)cr)0 ЭоБо'ББд&'Д^ОС) tjßgijpo &3Ad35o qjo^robmo^oibob 3<™.эфтБоЬ Э03А: з<^о>-зАо> Júo)3¿)Ú(D 030^010о Е>д5>оЬЭоз&о ЛоцЬзо, Эс/ЗоБ з^ооооо "ЭдЗ^оЛз^^о ЗоЬо блЬзз^оЬ

¿3ÙÇOAO(*>)O 3goiAg ¿осодфоо, bronco Ù3 ^ùBùbjGg^ob coloco gjùçoçogà'Q^o ЛоцЬдо jo ЗоЗгофдБ'дЪоо.

g^co-gAcoo ¿оотдфо Ç^Ç'o fboybgoo, g.о. x = 2/7 > Sù'SoS

3ijf>0)¿)m5ob Ç'gbob cooEùb3ùçi y = n2 — 1 çoù z = П~ + 1 C?ù (*)fo (jorobo:

{2n)2 + {n2 -1)2 = [n2 +1)2 • x = 2n< y = n2-\, z = n2 +1

3ootù£ooAù8 'clgdçmco obgcoo Ç'gbob ùiri3roP)gSo>, ЛгоЭ^оЬ bù'S'^ùçmgàoooùQ 3coodgà&n2>ù àocoù^ooAùb do&ooooçoo bùS^cobgçog&o: дЗцоАдЬ jùoqq^ùço ogoçnoco Бд&оЬЗодЛо ¿дБфо СооцЬдо, Эо'ЗоБ ЭоЬо jgùçoAù^job g^cooco "c^Qoirigib^jçpo ^oßbgob БоЬддоАо ЭдгоЛд ¿осодфоо, bramen оЗ ^jjùEùbjEgijnob Эс>Э|тодзБсо AoQbßo ЗоЗофдБ'д'Ь^.

£)3(jo¿>gbo jùcog£)0 ¿¡дБфо Aoßbgooj, д.о. х = 2/7 + 1. 3ù*3o5

Зоопо^п^оЬ ^gbob CQù6ùb3ùço у = 2п2 + 2/7 ÇOÙ 2 — 2/Г + 2/7 + 1 >

Acn3(j[>g5)OQ ojSjymcgoi^gögE X2 + у2 — Z2 Зосоо^спАоЬ ^оБфт^дйоЬ:

(2/7 +1)2 + (2п2 + 2я)2 - (2Л7- + 2/7 +1)2 -

03(^02,0(0, (дпЛЗ^сГд&о X = 2/7 +1, у = 2п~ + 2/2, 2 = 2гГ + 2п +1

od^ggooE Зоото^го&дЬ ЛоцЬздйЬ — ЬоЗд^^пд&Ь.

Sodg&ío^oo Зосоо2,сг>(Ьо)Ь doAocoûçpo ЬоЗ^соЬддэд&оЬ äßQ^Qogbob 2,ú3mbc>co3(^g^o сдсосЬЗ'д^д&о:

x = m2+n2, у = 2тп, z = m2 + n2,

b¿roo>Q и/ rn.i »7 ^КдлгплКЬд.-) ^^З^^Д^^гоЗ^Д^оЬ ^orjbßg&oo. çoo m > n 3ù6oaj£)cr>boi bùS^cobgçoob ЗсоцдЗ^д^о X, y %

âôO^CSO^0^ Sobgopßoco <3o2)C) çù j^Agftciboti^j^no ^Ag^oAgkob ¿lûçpo'gbgûiob

r = p-z, rx= p- y, ry = p-X, r. =p,

bùÇDOQ 2p = X + y + z.

?>gAdg5o ЗосодЗофо^соЬоЬ орогосдоБфдЬ ЗодА (роЬЗ^ц^о оусо

оЗ

3o3cnßcoco 3ocQ02,mAob obgeoo LùSj^joobgçoo, Aca3ç^ob ЗоЗоофдБ^ЪоЬо (Où

en о en со o jocog^job bbgocoàgào (^OQbggcÎJob ¿£)&g<Sb

^ox^SmoQ^gEgEi. Э^сх^юспоятэ, ùbgcno bù3j£)cr>bgQDgàoù: (5, 12, 13) çoc> (116, 873, 845).

o&¿Qogáo ^ocnbgo: ùjgb cn^) àfaô çooroqpG^gb o3roQo5ùb bbgo ¿ЗтбоЬЬдБо, ojßb, ímjmA go^oogcoco o^o?

Р>3дБ зоБЪсп^о^д&со оЗгоцоБоЬ (où ßod(£ng3oco 3ob btb^^m ù3cobbGùb çoc> ЭоЬ^Б, jníbdm "ЭдЗсоЬздзоЬ, SoQOijig&a) (¡porotgob^gb ¿3ro(jù5ob

оЗспБоЬЬБдйЬ.

çoop-xgùG^jgb ^ùStco^ùijxngb^çpo oSpoqoGù o>bg fto>3oiyo><™o2)(t>g<!>c>: ЗоЗгоз^со Зооос^сп&оЬ obgcoo L ùSj^jcobgçogâo, ЛооЗд^спо ■ЗоЗоофдБ^ЪоЬ.з çoù cnocnmg^ji^io j¿cng¿)ob bbgocoàgâo Боф'дАо^д&о AoQbßgiob ¿дБфо b¿£>obbgáoo. Soçigègçmoo ù3 o3m(jo6ob 3ob^)bgào "Bgdçog^o çgntaS^jçpgàob

bobocn:

= п2к+1(п2Ы+2м-т2Ш), у = 2к+]-т2к+](п2к+' + 2к-т2Ш), г = n4k+2 + 2к+1(тп)2Ы +22Ы -?пи+2,

boçoù(j

z -X = (2т)2к+\ z-y = (n2)2k+\

со'д = 11 Зо'ЭоБ 3ogoçog<î>a> Зосоо^тЛ^Ь do&ocooço ЬсЗj^jcobgçob, ibn3gç>0(j oj3c>ycoq]oç^gôb çoomtgùS^gb оЗоуоБоЬ:

X = п\п3 + 4m3), y = 4m3(n3 + 2m3), z = n6 +4wV +8m6, z-x = (2m2)3. z-y = (n2f.

cog fît—f? = 1> З.ь'Эоб çgrotaSgçmgboçociE Sogoçogào)

аЗцоЛдЬ (2Ä+1 +1, 2k+](2k+\), 2n+] +2Ы + l) çoù (5,12,13) 3oOTo-

^cnf^ob doibocnoço boSjgonbgçogàb, ЛспЗ^дйоу 'SgboôoSoboço ^З^успсдо^д&дБ (pomo]oS¿)gb joSIb^oijingi^i^i çpo> (Ооо-хдоБф^Ь оЗпуоБдЬЬ.

Бо'ЗЛ.гоЗ'Зп 3codg&Soç^o çoù Зо^дсЬ^^оо Z — y — 1 cnßobgibob З^гоБд Зосло^гоЛ^Ь dofbocnoço bod^cnbgçogào, ЛспЗд^споц ^ооВБоосо ooßobgäo> y + Z — X2 , g.o. çooço ¿охядфоЬо çoo ЗоЗсофдБ'д'ЬоЬ £¿3o фоо<™оо> ЗуоЛд ¿¿oig^ob ¿з^АафоЬ:

1) (2/Î + 1, 2пг + 2п, 2/r+2rt + l);

2) (a, Ua2-1), + Ьо(оо0 а о^З 30ó"

2V r г

¿>o(jbßoo;

3) (Юл-5, 50л(и-1) + 12, 50л(и-1) + 13);

10п + т, -((l0n + w)2-l), ^((10/7 + w)2+i)J;

4> V-......' 2V-........'' 2'

5) (2-10"' -ь 1, 2-Ю2'"+2-10"', 2-Ю2"' +2-10"' + l);

6) (4-10"'+ 1, 8-102"' + 4-10"', 8-Ю2"' -ь4-10"' + l).

3codgà5o<mo çoo Soçthj&^j^où z — X — 2 tngobgàob 3jcoEg Зосоо^оабоЬ

doi^ocnoçpo ЬоЗдаслЬдордйо, ЛсоЭд^сооц ¿ùùPiSooco oogobgkù ЗоЗтспдБ^ЪоЬо çdo çooçpo jocog^ob jïù3o çoo bbßocnöo btfyg^o jgùçptaj^gàoo:

f' Л2 a\

-1, a,

1)

\2)

r«v ^ - +1

V2 )

» boçooQ a taoybgoo;

2) (ти2-1, 2m, m2+l);

3) (l00"-l, 2-10", 100" +l);

4) ((2л)2-1, 2-2n, (2«)2+l);

5) (/(/ + 2), 2(/ + l), /(/ + 2)+ 2).

-Зошо^'н^оЬ Ju/'MiujjQjo

z — y — 2, g. о. ЬоЭдаотЬд^од&о, бгоЗ^оЬ çooqoo jocog^o çoo ЗоЗооотдБ^Ъо goScnbùb'g^où со(Ьо ЗпЭ^одзБт ¿дБфо AoQbggJioco:

(2(я + 1), п(п + 2), п(п + 2)+ 2).

(5)c>3¿)d0OO^íDC?00 У ~ X = \ cogobgàob Зосоо^го&оЬ do^ocooço

ЬоЭдасоЬдсэдЬоЬ Soçngâob Dgbobgtb отдгоЛдЗо:

org (/7, П +1, tlîj Зооо^тЛоЬ ЬоЗ^отЬд^ооо), Зо'ЗоБ

[bu +2w + l, Зи + 2/?? + 2, 4И + 3/И + 2) ö&Agcngg ЗосооатАоЬ

bùSj^cobgçooù

3mdg&6o(^no, ^gçojgGoijno çpo Çoo>3(")jOQgcb£)(™oc> bbßo^obbßo oogobgàob Э^пбд Зосоо^гоАоЬ doAocnùçoo boSj'Qcobgçogâob 3o<^gàob 'ЭдЬоЬдЬ содспАдЗд&о:

сг>дгоАдЭо1. co£) [a, Ь, c) (j>o {jn, П, ¡cj Зоо>£тАоЬ bo3j£)cr)bg(Tog<î>oe>, Эс/ЗоБ [bri + am, \an ± bm\, cTcj o^Agooßg Зооо^^АоЬ boS^onbgçog&où

отдгоАдЭо 2. cr>£| [ci, b, cj Зоото^тЛоЬ ЬоЭ^стЬдфоо, Зо'ЭоБ

[ab, ac + bc, ab + C2) ¿?>Адсозд Зоотл^спАоЬ bù3j£jcnbgçooo.

<этдтАдЗо> 3. [a, b, cj Зосоо^гоАоЬ biiSj^joobgçooù, Зо'ЗоБ

(b2 — Cl2, 2ab, c2j ù&Agcogg Зоспо^тАоЬ ЬбЭдасоЬддооо.

спдтАдЗо 4. co^j ^íZ, b, cj Зосоо^гоАоЬ bo>3j'gcobgçooù, Зо^оБ

a2, 2bc, b2 +C2) ¿2>Agcogg Зооос^тАоЬ bù3j£)aibgçooû.

содгоАдЗс) 5. co£) b, cj Зосло^гоАоЬ boSj^jcobgçooù, Зо'ЭоБ

[аЪ, 3be2 +b3, 2Ô2C + C3) ¿фАдоозд Зосос^тоАоЬ boSjgtnbgçooù.

спдсоАдЗо 6. œ^ [о, Ь, cj Зосоо^гоАоЬ bùSj^cnbgçooù, Зо'ЗоБ

(а4, 3ЬсЪ + 4b3c, 6b2C2 + bA + с4) ¿г>Адсг>зд Зосгю^оАйЬ boS^oobgçpoù.

оодсоАдЗо 7. отд [а, Ь, с) çoo /7, к) Зоспе^ооАоЬ

bùSj^cnbgçogàoù, Эо'ЗоБ (аТЯ, + £372, ¿Л + ck) ojAgoogg Зосоо^гоАоЬ boSj^cnbgçooù.

3ndg&ío(^>oo> ЬодАслп joeng^ob 3,-JnGg, bogAcom ЗоЗспфдБ'дЪоЬ Э^пБд, ЬодАотп ЗдАоЗдфАоЬ З^ооБд ço ЬодАсооо çgoAcnmiob 3¿jro6g Зоооо^соАоЬ doAocooçoo bo3j^)cnbg(ogào çoù 3oç[>g&£)<™oi> "ЭдЬо&оЭоЬо Ъго^одэо çgro&S^jijrçgâo.

SDflfñD Ш53П — »3g¿)A)£)<™o ЬоЗдасоЬд^о'Бо",

"SgoQößb 1 1 Зобо^ЛосдЬ.

bù3 j^joobgçpob 3ro(jg3^)(^no bo'S^ùijpQàocr) Soçogà^j^oo

bo3ùçnçr>ob, 'Sojjù çoo 2>ù<^Q j^cnbob &obg^¿|<^>obgbob, 3gçooc>6ob, 'ЭдЗгоЬ.Л'д^о, РмЬоЪ^^о çoo 2,<5£>двс>Ь.Л£)(™о ^/Лд^оЛд&оЬ (bc>çoo£}bg<!>ob ^оЗооЬоспз^д^о Ъоо^о^оо cgcriAcl£)(™g2>o. 3<T>y3ù5o<jpoù çpù ÇO'iS^OQg&'giTOOù ЬоЭ^дотЬдсоЪд 'ЗдЗгоЬсЛ^]«™, ^оЬоЪ^^п, JjùАд^оЬоЪ'д^ Ç'&gÇoAgàob (boi^po'gbgàb, boSùçoçiggàb, 3gçooc>6g<bb, 'Эо^о (po ¡^оЛдРюЬоЪ^)^ ^¿bg^o^gíbob Лс>5ро£)Ьд5Ь, boSùçrxjnggàb, 3gçooù5g2)b, 'doßo [où ¡^oAg ¿jï)0,bggàob àobgjô^obgàb, Eob[)3ùA3;]tao3g(*)<bob, qpAooonibo g^gc^gáb "ЭсоЛоЬ çôScnjoçog&^^gbob "Bgbùbgà o^oggcAgéio.

bjoo^ob bùbgç^SdçngùSg^cabù^ùE ¡¡j^bbßoßg&oco ¡х^срЗтцдЗ^ц^поо)

bùSj^cobQi^ob (goAcocoàob ^üScnbocoß^g^o Зд&тБоЬ (goo^S^ijpob 7 ЬдЛЬосо ÇOSôjoqqûo.

bùSj'gcobgçob SEo'SßGg^coßoG Ç'gAoijngàb "c!cn&ob SùEdoçwjàob ¿o'dcnbocriß^ß^o ¡дсобЗ'д^дЬо:

— bùSj^jcnbgçciob bo3oç)(^>ob àcoçmng&oçoùEi гоАсоспцдБф^ооЗфд

— bùSj^jcobgçoob àobgj(®)^>obob o5(3gS(«)6ù3çog 3oSdo(TOQ&o;

— bùSj'QCobQÇOob Q^bQQË^ibojSçDg З^БсЬ^о;

— boSj'gcobQçooLi o5(jg5¿)(4o(Oó£ 3oído(roo;

— Ь^ЗдасоЬдоЛд 'ЗдЗсоЬо'Ь^^о ^/Лд^оАоЬ (здБфЛщтэоБ o5(jg6(®)Aù3çc>g

— bùSj'goobQçooj оБудБфЛосооб (здБф<Ьсю(рс>Згод 3o5do<™o;

— ЬйЭ^£)соЬд(т>Ъд 'ЭдЗспЬоЪ'д^о Ç'&gÇ'otbob (jg5(®) Ао^ооБ

— bo3j£)cobgço(bg 'ЭдЗсоЬоЪ^^о Ç'AgÇ'ofbob Qgí¿¡£>o(j>i>G 3o6doçpo.

ЭЗЪйЭЭ Ш63А — „¿g&o>6ob bùSj^cnbgçogîbo", 'BgoQùgb 15 àùibù^^oçgb.

ЬдЭj£)cob;]cob, cbro3(^>ob йЗО^ФО^0^ ho^rôdggào çoù сдоЛсоо&о Ao(jb33&OCO JjClSmobùbg&O, AùQOCnGùljn'g&O bù3j£)Cn>bgQC)0

g^oçogào.

у^за^о Ь^ЗдаотЬд^оо Sb^ojgûgàùSçog ЬоЪ^Ьфосо

^о&Эгосх^дБЬ ЬоЭдасоЬд^оЬ, АгоЗ^оЬ 2>3g^çog<bo çpù ajù&coco&o Зоод^о АоцЬздйосо ^oSooobùbgibù. оЗофгоЗ ¿¡здЗсосо b'SoAùço Ао>(_зо(Т>Бсхто£)<Ь bc>3lj£|oobg(ogb'3o Зоэд^ЪгоЗд&ооБ bùS^OTbgçpgàbùQ ßo^iraobbSgcbcD.

boS^œbgçob, ЛтЗ^оЬ ^ЗО^СРО^0^ bo^Adggbo çoù CTJÙÎ^COCOSIO Боф^^бо fboQbßg&oco ^ùSooobobgàù, ЗдАгоБоЬ IwSj^joibgçoo gÇ'mçogcbù.

ЗдбпБоЬ boSj^joobgçb, 1юЗодд йЗд^^роЬ bo^dg ^ùScnbùb^çmoù

АсподАотЗоАфодо АоуЬздЬоот, gÇ'oçogàô jgAco5ob ЗоАоото^о bo3j£)cnbgçcio.

3°Ôa30C0' mAo |úfp C,) çpo |tíf2, b-,, C-,) bù3j£)oobgçooQ3ù5

ЗоАдд^о Ço5 ^b^Ag&b 3gcr>Agb, org OTOCDPig'gçno

liAçpùçoo&ocn оАсюБ çooçTiojgègçnoo çoo £7| < cl-, . bùSj^oobgçogâob obgcoGooA

çoo^ù^gàob 3ÙCOO cpgjbojoojjAùcgo^jçpo çicx^o^gàù gÇ'mçogàù. ßcojßcico ЗпцдЭ'д^оо bùgAcom jocog^g&ob 3¿jo5g ooAo

{m2 - n2. 2mn, m2 + /72) qoj (/?(/;г2 -1), 2/??/?, n{in2 +1))

àocoù^raAob boSj^jOTbgçoo. Sogôço^oco gb boSj^cobgçogâo дАотЗоБдсоЬ ¿jooçrço 2/77/7 <JÙCDQÔG^ocn <3obù&ù3oboço ЬЬ3осроЬЬ3о БоЬдд.эАЬо&Афуд'Эо çoù gAco

БоЬдз^АЬойАфуд'Зо, 3ogoQog5cr> 'ЭдЬоЬоЗоЬсхтр

[m' + n2, n(m2 +1), (z? + 1)(/772 - 77)] <j>o

(/7(7/22 +l), m2 + П2, (/7-l)(/772 +"2)) ЗдАэтБоЬ ЬоЗ^соЬд^Ь.

3codgà5o<™où ЗдАсоБоЬ bo3j£)o->bgçog2>o, Aro3g<™cnù ^ЗД^^РО^0 ^БооБ

(m2+9/72; l(rn2 + З/72), 3(m2 + n2)), (n(n2+9), 2n(n2+3), 3n(n2+\)).

3mdgà6o(TOo qdù Soçogàgçpoo) дАспЗоБдспоЬ 3ro3çogg5ro 5ú¿)£)Aoxjp£)Ao AoQbggâocn ^оЗгоЬоЬ^^о 2,ЗД3¿jmEg ЗдАоБоЬ bo3j^)cnbgçpg&n.

Soçog&^j^où ЗдАсчБоЬ boSj^cobgçog&o, АооЗ^оЬ ЗдАоЗдфАд&о <тзо> çgùAcncoàgào AoQbggàoco a^coobùbg&oùG:

(5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20), (9, 10, 17).

g,ù 5gobo<™ncr) 3ùAo>j,£)CDbù 3ùAù<™gçmg3o3g(T>o, АсоЗ^оЬ 2>оБЪсоЭо<^пд&д<Ьо Заодно Aoßbggcboo çjpo PIAO Зохп^оБоЬ 'SgôA^jSgc^çmo boijpoQpgg&ob ¡?c>3o ■дстзАоЬ ЗдЬоЗоЬ 'BgàA^jGgà^jçm boçooçgb. co£) ЗоАсп^отЬо 3oAùç^o(^ig3o3gçDob ^оБЪсоЭо^д&д&оо x, y çoù z , Зо'ЭоБ 3oAro&ob

1 1 1

x y z w

ùçogo^jçt) 'Зддбо'ЗБодсо, АспЗ (1 ^¿Бфго^рдйоЬ 3cogç^o оЗспБоЬЬБдЬоо: X = m(m + n), y = n{m + n), z = mn.

org g^Eigoboijnogcn bo>3 j^jcnbgçob, AroSgçpooù 2,3gAçogc!>o

3ùAù<rao<rog3o3gçoob ÇùbEùg,g<î>ob çoo^roEùi^igàob ^oçoAù^gàob фто^ос., Зо'ЭоБ Sogoçng&co ЗдАгоБоЬ bùS^cobgçob, АгоЭ^оЬ ¡^АдВоЬсЛ'^^о Ç Ag^/oAgàob Aoçpo^bgào Эсод^о AoQbggàoco gjùSooobùbg&ù g^Snocogç^igàù cgooAS^j^gtbocn:

a = n2(n2 + 2mn + 2m2), b = m2(m2 + 2mn + 2«2), с-(m + n)2{m2 +«2), p = (m2+mn + n2)2, s - m2n2(m +n)2(m~ + mn + n2\ ra - m2(m2 + mn + и2), rh = n2(m2 + mn + n2\ rc = (m+ nf{nr + mn 4- и2).

Ù3 boSj^cobgçogàobùcngob

с - a = m3(2n + m), c-b = цпъ{2т + n)

оЗ фсх^пп&о'Зо fji çoù n 'Sgodijngüo obg "Эдзоз^оосо, АтЭ С — Cl C — b Ao(jb33&o bA^jç™ ^àg&ùço ^ùAScogoço^oSroco, о. о. ЬоЗдасоЬд^ооЬ g,3gA(Dgào ùjSodnq^oçmgàçogb çoooajùG^gb ù3m(jùE>ùb oAo&j'gcDbù

bùS^cnbgçog&obùcogob. SÙ^O^OCOOÇO, ACOQÙ yn — 554 Cjo П = 223 > Эс/ЭоБ 3o30(T)g&co Ù3 ^QoAgb ЬоЭдасоЬд^оЬ.

ЬоЭдасоЬд^оЬ АгоЗ^роЬ coAo ¿^jcobob bbgoraJbo 90° 'oú (QbggçoroSù-Acoj^joobo bùSj'gcobgçpo g^oaçogàù. Зо(г>д&^)(™оо ág Aro БоЬ <Sbg3Çpoo3ùA(nj^)a)bù ЬоЭ^отЬд^о, АгоЭд<™сг)о РюЬЛ^^о ÇOÙ ¿оАд^оЬоЪ^^о ÇAg^/oAgàob Aùçpogbgào 3oog<jno AoQbßg&ooo ^ùSroobùbg&ù:

a - m1 -rt, b = 2mn(m2 + n2), c = m4 - 6m2n2 + rt, ra = m{m + n)(mr + 2mn - л2), rb - n{m - ri)(m2 + 2mn - n2),

rc = m{m-n){m2 -2mn - л2), r — n(m + n)(m2 - 2mn-n2}.

ù3oo(jo5^. ¿171 + LП bo^Adob Эгоб^ддсоЪд çù 3ob 2w C?5 27F EùÇ'oirog&'bg, Acog,coA(3 Qooú3g¿) Ад&Ъд gAco БоЬдзоАЬо&Афуд'Эо 'ЭдЭгоЬоЪ^^оо BùbggoAÇ'AgÇ'oAgào. goàrogroa) ù3 БоЬдзоА^'Ад^оАд&'Эо Ç'AgÇ'oAob Aùço^bo çoo БоЬдзоА^Ад^о n ^оЬоЪд^о AgÇ'oAg&ob (jgS¿)Agáoco ^оБЬоЪсодА^^о bù3j£)cr>bg(t>ob 2,3gAçog<bo. co£) ÙScoqùSÙ'SO ЭсоузоБо(тоо bùSjgcobgçoob &3gAçrig&b ^ùgùçooçgcîjco

yyfmn Л-УГЗоЭоБ Sogoçngcbco ЗдАгоБоЬ ЬоЭдасоЬдсрЬ, Aro3<j[>ob АдРмЬоЪ^^о ^AgÇoAgibob Aùçoo£)bg&o ^ùScnobùbgàooS 3cogçmo Ао(зЬдд<Ьосо:

а = (т + п)(т2 + тп + /г), b = т(т2 + 2тп + 2п2), с = п(п2 + 2тп + 2т2), га = (т+ п){рг + тп + п2), rh = т{т + п)2, rc = п{т + nf.

3<">(r>g&g(™o bù3jgcob;](00 obgcno (*jo3obùù, АооЭ ЗоЬо соЛоогоЬй3^дотЬд(ооЬ (SúAoonáo çoù âobg^Aobg&o ^оЗтоЬоЬдЬооБ AùQoroGùç^gAo AoQbßgäoco.

ЭЗПШЪЭ (Jtó3fl — „ЭдфЛд^о coùBùçgùAçoooîbobo cno^jgcobg(p'3o",'3go(jùgb ó àùAù^AùCTjb.

(Oú3¿)jO(jg<bg(™oú jg3g(bob содтЛдЗо: cog cocob^gcobgçoob 2)33¿>(og?>o (оо (ooùjmbùçpgbo 2)ù3nobùbg?)ù (ôoQoroÉiùi^gAo Ao(jbgg&oco, Эо'Эоб (ooú^coboijnQÜn Зоооо joçoùjggcoob ^g&^oçmoco ibùQooiboç^gA bú^/o(mg<í>ú(o OyOOÇgOùG.

¿g3gAob содго(^д9о(оо!з ^оЭспЗоэоБоАдп&Ь, ¿оооЗ g,gg&(og(ioùE>o оЭооЪбд^о^о rooo[|jgcr>bg(oo (poo^coEiùi^gboCT) oyoocgo cocob

ßcojgoioo (x, y, z) ¿oœofrcofaob bùS^gcobgçoù. cog ù3 boSjgcobgçoob 2,3ßA(pa&b 'SQboàùSoboço 2,о>зоЗЛоз(тг)2)со 2z(x + y) AoQbßlig, Зо'Эоб ¿3^3 ¡2xz(x + y), 2yx{x + y), 2z2(x + y)) 3oax>g,ro6¿>b

boSjgcobgçob.

cog bo&A^yglàg 3oçog&g(rr> boSjgcnbgQob SoßocogoScn coùgobcr^b ЗоЗсофдБдЪдЬосо д&соЭй&дотЬ obg, АспЭ 3o(r>gâgçr>o cocobjgcobggpo gAoo-gAcoo (ooùjjCoiJijnob ЗоЭоАоо oyoob ЬоЗдфАод^о, Эо'Зоб 3oß0(og5co (og<™(®)mo(ob. (роЗф^оцдЬд^оо, АгоЗ 3o(og<bg(mo (рд(™фгоо(роЬ (ooù^nbo^gâo, (poo^mboi^gáob g,ú(Oú¿3gcoob Ç'g Афо^осо ¡>,ùyocgo<™o (ooù^oobùijTigiî^ob Smbùjggcogào, (ooùjjroÇù^ooi 3oçng&gç[n bùSjgcobgçogîybg (où (од(^(®)гоо(оЪд "ЗдЭтЬоЪд^г (où ВоЬ^Ъд^о Ag^oAob Aù(oogbgào, оЭ Ç'AgÇ'oAg&ob "ЭпАоЬ 3 о belong 5 О, ^"Ag^oAgàob ¡yjgAçpg&ooùf)

(où (ooùgjrabùÇ^gbooùb "ЗдЬд&оЬ ÇgA^oçmg&b 'ЭгоАоЬ 3obdo(mrjào, узд(^>о Эо(т>дЬд(^>о bú3¿gcobg(oob çgùAcomào ^ùSroobùbg&ù Зстд^о AoQbggàoco.

3 Aogùi^jgcobgçob gÇ'cogpg&ù ЗдАгоЭй^одАо, cog 3ob ЗЗО^СОО^^О ^oEi^ù^g&gç^o Эсод(^ Aoybgooo ЬоЭдд^д&о ^оАЭтсхзддЬдБ bùSjgcobgçob J^gAçcigàob bo^Adggàb, Apo3;](^>cooq 3cogç^>o АоуЬдд&осо jùScobùbgç^o çgùAcoro&gbo (Où gAcnGùoAo ЗдАоЗдфАо о^дсо.

^0C?2>0ù Зд АсоЭо^од Ao 3 Аозо(^дсоЬд(ооЬ

^oGijf'ù^gàg^o AoQbßgcbob (jb6oi™gc!>o. 6оцЬзз&оЬ g^B^ù^g&ù 36ú3¿><jnj£)cobg(TC>ob йЗО^ОРО^З çoùgoÇ'ynco 36ùgù<™ j£)cr>bgQDob

БзйоЬЗодбо ^/здбсо^ооБ oio63o(](t>3gAo}<bocD Бз^оЬЭозбо 3o3ù6co,£)(£ng<î>oco оЬз, бсоЭ cnocDmg£)ÇT> ^ЗД^СрЪд bù3o боцЬзо ЭоосоодЬдэзЬ. цЬбо^оЬ ¿06331™ Ьдз^'Зо fio^c^oçno 6o(jb3gào ¿(оБо'ЭБоддБ 'ЭдЬо&оЭоЬо ¿збсоБоЬ ЬоЭ^соЬз^з^оЬ Eúb33ú63g6o33¿)6b.

ЗдбгоЭ^о^бо ooco^gcobgçoQÔob 'SQSoobßgßo'Bo 5со<торо o^ocr'kß Ç>3<^)où GO^Ô^0 ^^360 боцЬзо. ^Ьзото госоЬдасоЬдоэоЬ Ьфбо^гоБзЬ'Эо çpù ^3000^° 6o(jbgg2>ob j?ù3g<î>o 06отЭс>БаотоЬ (*)со(тпоо. bronco

830063 bß35bo (Dû Ьфбо^СоБ'Зо 2>ú^d?ú&0<->'3C?0 ЬО9З£)(ТГ>ЗСЬО Ù6 ^/обЭомодзБзБ ¿збсоБоЬ bùSj^cobQçpgàb.

'ЗззБо'ЗБозот, бсоЭ Зз^гоЗо^сдбо ЭАозо^^соЬз^з&оЬ 'Зз^зБоЬ ù6ù30coù6o о(^>2)Го6оотЭо об ^ùj^ùFiBoù. ùbgoio o<™¡>)Co6oco3oL 8oodgcî>5ù °t?3°C?0 ^oycob, 03,0 "ЗдЭ^о^гоЭо ЗЗ^ЗЗоЬ Ьо^оБЬ ^ù63roùçog,3&b. ЬооБфдбдЬсоо ¿>5630033 "ЭдЭ^з^о bojocobo, 6002,0160 ^Б^о oycob БоЬззобЗдбоЗз^боЬ ^оЭсоЗЬоЬзз^о Эсо(зз9^)<тоо боцЬзо, бсоЗ ЗоЬсодоЬ обЬз&сой^зЬ ¿збооЗо^о'дбо 860301^¿^соЬз^о (où 6ù3(Tç>g5où оЬзсоо 36ù3ùlJ^j^)Oob3(00.

gjribgínjSjóQoob cng3o>bj) Q^OmJggyGgi-gß^o б^Э&етЭд&о:

1. ЗдАобоЬ çgbggiçroSùAcnj'gcnbo bùSg^cobgQogào. ¡jj^AEÎùçp ,,bgco(^>¿ QOO (jbcogAgàob" çooSc^gào „(дсЛо^о çoo ЭосодЗо^о^о bgco<™¿3o". 1985, №2, аз-64-71.

2. gAcoo bùbob oocoj^gcnbgçob 'ЭдЬоЬдй, ¡j^jAEùç^ „bjoiçmù çoo> (jboogAg&ob"

„сдоЪодо içù 3ùoog3ù(^ojù bjcni^o'So". 1986, №4, 2,g.81-83.

3. Ъго^одАспо 3ù6doijnob ¿оБЬоЪ^зАо bo>3(j'£)cobgQo'3o. jj^jABiiçp „bjooi^o) çoo> (jbroßAg&ob" ijo3o)¿)gát) „cgo'bojo qoô ЭоотдЭофо^" Ьдоо^с/Зо. 1988, №4, аз. 45-51.

4. ЗоАсодаслЬо àùAùçpgijpgàoigçocnùi) i^ùjog'BoAgà'giTpo ЗдАсобоЬд^д^о bù3j£)cobgçogào çpo ¿ocoù^mAùbg^çpo boSg^cobgçpg&ob дАото jç^ùbo.

„bjroi^nù qoù (jboagAgbob" (ооЗофд&о „сдоЪодо çoo ЗохэтдЭофод.}

bgm^o". 1996, №111 аз. 71-75.

5. со. Ç'^Jçp'Qjodg, 3. bùÇwjc/So — 3cogçp Aoßbßcoü оАосоЭдфо^о. „o^Ao", taro^So 1995, аз- 150.

6. A. Qooîjgçpoù, сo. ЭгоАсх^о'Здо^о, со. Ç^JCP'Qjodg <501 bbß. адо^Эд^Аоо) 10. aù3ro3(3g3ijpnàù ,,o6¿)g(™g^ón"i 1996.

ТБИЛИССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ ИВ. ДЖАВАХИШВИЛИ.

На правах рукописи

Цулукидзе Тамаз Джемалович

ЦЕЛОМЕРНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ИХ ОБУЧЕНИЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

13. 00. 02 - Методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Тбилиси -1997

р -

Работа выполнена в Национальном институте педагогических наук им Якоба Гогебашвили

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Леонард Мдзинаришвили

Эксперт - доктор педагогических наук, профессор

Валериан Келбакпанн

Официальные оппоненты -доктор педагогических наук, профессор

Елена Имерлишвилм кандидат физико-математических наук Георгий Нозадзе

Ведущая организация - Тбилисский государственный педагогический университет имени Сулхан-Саба Орбелиани.

Зашита диссертации состоится "-- -1997 г

в-—|-\5--час на заседании Диссертационного совета Тбилисского государственного университета (РЬш01.02 с №3)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ТГУ (380043, Тбилиси, Университетская 2).

Автореферат разослан "-

Ученый секретарь Диссертационного совета канд. физико-математических наук, доцент

0. а){/--^ Напетваридзе

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Создание геометрии с незапамятных времен было обусловлено практическими потребностями человека. Простейшие геометрические понятия и факты были известны еш,е в древнем Египте

Геометрия в основном была создана в Древней Греции. Здесь собирали различные геометрические факты и понятия и началась их систематизация.

Важнейшим этапом развития геометрии были "Начала" Эвклида Они были построены по принципу, по сей день считающемуся основой всякой дедуктивной науки.

В курсе геометрии значительное место уделяется изучению вопросов, связанных с целомерными геометрическими фигурами

Знаменательно, что эти вопросы издавна привлекали внимание таких выдающихся ученых, как Пифагор, Ферма и Эйлер.

При изучении вопросов, связанных с целомерными геометрическими фигурами, необходимо предусмотреть следующие значительные моменты:

1 Научная ценность вопроса и научная система его передачи.

2 Практическая ценность обучения, подготовка учащихся к практической деятельности

3 Воспитательные задачи (развитие у учащихся пространственных представлений, логического мышления, самостоятельных навыков и т. д.)

Автором составлены, собраны, обоснованы и классифицированы задачи, связанные с рациональными треугольниками, т.н. треугольниками Пифагора и Герона, а также с четырехугольником Герона, рассмотрение которых в курсе геометрии способствует реализации межпредметных связей в геометрии, арифметике и алгебре.

Переданный в работе материал в основном предназначен для школьниговт-утубленно^гаучающих-математические предметы-

Цель исследования При обучении геометрии совершенствование способов и методов изучения вопросов, связанных с целомерными геометрическими фигурами, оказание помощи преподавателям математики, методистам и студентам - математикам.

Задачи исследования. Выявление эффективных путей и методов обучения отдельным вопросам, связанным с целомерными геометрическими фигурами; обобщение собственных наблюдений и внедрение их в школьную практику.

Предмет исследования. Составление задач и теорем, связанных с

целомерными геометрическими фигурами.

Объект исследования. Батумская профильная гимназия №1, Батумская физико-математическая школа-интернат №2, Батумская профильная средняя школа, мероприятия Батумского института повышения квалификации и переподготовки педагогов.

Основные результаты и научная новизна работы. Итоги авторского исследования и научная новизна настоящей работы заключается в том, что:

- составлены и рассмотрены задачи и известные теоремы о целомерных геометрических фигурах.

- с*точки зрения заниматАной математики дан материал в виде т.н. "геромагических многоугольников".

Понятие "геромагический многоугольник" впервые введен автором.

- представлены различные способы доказательства основных теорем, связанных с целомерными геометрическими фигурами;

- составлены и систематизированы задачи в виде теорем, связанных с целомерными геометрическими фигурами, треугольниками и четырехугольниками Пифагора и Герона;

- получены общие формулы по вычислению расстояния между значительными точками треугольника.

Методы и источники исследования Труды ученых-педагогов, обзор реального положения исследуемой проблемы, анализ научно-педагогической литературы по использованию активных приемов в обучении.

АПРОБАЦИЯ. По диссертационной теме опубликовано 6 работ, список которых дан в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из вступления и четырех глав с 66 параграфами; в виде приложения даны таблицы, заключение, практические рекомендации и список использованной литературы. Работа выполнена на 184 печатных листах и содержит 61 чертеж и 48 таблиц

Краткое содержание диссертации. Первая глава, посвященная треугольникам Пифагора, состоит из 29 параграфов.

Найдены формулы сторон основных треугольников Пифагора:

х-т2+п2, у-2тп, 2 = т2+п2, где т и п числа разной четкости и т> п

По данным X, у и 2 сторонам прямоугольного треугольника получены формулы по вычислению радиусов, вписанных и иевписанных окружностей;

г = р-г, гх = р-у, гу — р — х, г. — р, где 2 р = х + у + г.

Греческим математиком Диофантом была поставлена задача: найти такой треугольник Пифагора, разницы гипотенузы и каждого катета которою представляют собой кубы натуральных чисел.

Возникает вопрос: имеет лиЭадача Диофанта другое решение? Мы обобщаем задачу и даем полное ее решение, а из него, как частный случай, получаем решение задач Диофанта.

Обобщенную задачу Диофанта можно сформулировать таким образом: найти такие треугольники Пифагора, разницы гипотенузы и каждого катета которых представляют собой нечетные степени натуральных чисел.

Найдены ответы обобщенной задачи Диофанта:

х = п2ы(п2м+2ы-т2ш), у = 2к+х ■ т2к+,(п2Ы + 2к ■ т2км), (*)

г = пАк+2 + 2к+\тп)1М + 21Ы • т4к+2,

где г -х - {2т) , г-у = {п)

Если к =1, то получим треугольник Пифагора, удовлетворяющий задачу Диофанта:

х = п3(п3 + 4т3), у = 4т3(п2 + 2т3), г = пв + Ат3п3 + 8т6,(б) Где 2-х = (2 да2)3, г - у- (и2)3.

Если т=п = \, то из (а) и (б) формул получил наименьшие

(2*+,+1, 2м(2к + \), 22Ы+2м+\) и (5,12, 13) основные

треугольники Пифагора, соответственно удовлетворяющие обобщенные задачи Диофанта.

В работе найдены и получены основные треугольники Пифагора,

имеющие 2 — у — 1 и у + г = X2 свойства.

Найдены и получены 2 — X = 2 свойства основные треугольников Пифаюра.

Наиден^С также имеющий z — у —2 свойство треугольник Пифагора:

(2(и + 1), п(п + 2), л(и + 2) + 2). Доказаны следуюшие теоремы:

Теорема 1. Если (я, п +1, га) треугольник Пифагора, то

{bn + 2m + \, Зп + 2т + 2, 4п + Зт + 2) также является треугольником Пифагора.

Теорема 2. Если (а, Ь, с) - треугольник Пифагора, то

(Зи + 2га + 1, 3« + 2ш + 2, 4« +Зга+ 2) также является треугольником Пифагора.

Теорема 3. Если [а, b, cj и (га, П, к) -треугольникПифагора,то

(¿И + ara, |ап ± Ьт\, ск) также является треугольником Пифагора.

Теорема 4. Если (a, 6, с) - треугольник Пифагора, то

(a¿, ас + be, ab + с2) также является треугольником Пифагора.

Теорема 5. Если (a, Ъ, с] - треугольник Пифагора, то

(б2 — a2, 2аЬ, С2) также является треугольником Пифагора.

Теорема 6. Если (а, Ь, с) - треугольник Пифагора, то

(a2, 26с, Ь2 + С2) также является треугольником Пифагора.

Теорема 7. Если (йг, с) - треугольник Пифагора, то

а3, 36с2 -I- ¿3, 2Ъ2с + с3) также является треугольником Пифагора.

Теорема 8. Если (a, Ь, с) - треугольник Пифагора, то

а4, З6с3 + 463с, 6b2c2 +b4 +с4) также является треугольником Пифагора.

Третья глава - "Треугольники Герона" - состоит из 15 параграфов.

Получены обшие формулы расстояния между значительными точками треугольника:

- с конца высоты до ортоцентра;

- с вершины до эксцентра;

- с инцентра до эксцентра;

- с центра описанной окружности до центроида;

- с центра описанной окружности до стороны.

Треугольник, длина и плошадь которого выражены целыми числами, называется треугольником Герона.

Получены такие треугольники Герона, стороны которого создают арифметическую прогрессию и высчитываются следующими формулами:

а = т2 + 9п2, Ъ = l{m2 + 3п2), с = 3{т2 + и2), s = 6тп{гп2 + Зи2).

Получен такой треугольник Герона, радиусы невписанных окружностей которого являются целыми числами и высчитываются формулами:

а = п2{п2 +2тп+2т2), b = т2{т2 + 2тп + 2п2),

с = {т + п)2(пг2 +и2), р = (рг2 +т,п + п2)2,

s = т2п2(т + п)2(т2 + тп + /г2), га — т2{т2 + тп + и2),

гь = п2{т2 + тп + л2), гс =(т+ п)2{рг2 + тп + и2).

Получен псевдопрямоугольный треугольник, радиусы вписанных и невписанных окружностей которого, а также диаметр вписанной окружности и высота "с" стороны являются полными числами:

а = т4 - п4, b - 2тп(пт1 + и2), с — тА- 6т2п2 + п4.

Получен такой треугольник Герона, биссектрисы ортотреугольника которого являются рациональными числами:

а = (т + п){т2 + тп + и2), b = т(т2 + 2тп + 2и2),

с = п(п2 + 2пт + 2т2).

Четвертая глава - "Метрические отношения в четырехугольнике" -содержит 6 параграфов. Определен рациональный четырехугольник.

Доказана теорема Кумера если стороны и диагонали четырехугольника выражены рациональными числами, то он точкой пересечения диагоналей делится на рациональные части.

соответственно умножим на число, то вновь получим

треугольник Пифагора.

Если полученный на плоскости треугольник приложить к самому себе гипотенузами так, чтобы полученный четырехугольник был бы симметричен к одной из диагоналей, то получится целомерная фигура --дельтоид, а полученные его диагоналями треугольники будут представлять собой треугольники Герона.

Радиусы вписанных и невписанных окружностей в этих треугольниках и дельтоиде выражены целыми числами.

Многогранник называется героматическим, если расположенные на его сторонах тройки целых чисел представляют длины сторон треугольника, которые имеют выраженные целыми числами плошади и одинаковые параметры.

Составлены таблицы чисел, расположенных на сторонах многогранника.

В работе в виде приложения даны лексикографически размешенные соответствующие таблицы формул, полученных между величинами, связанными с целомерными геометрическими фигурами.

Если стороны треугольника Пифагора

Опубликованные по теме диссертации работы:

1. Псевдопрямоугольные треугольники. Приложение к журналу "Школа и жизнь" (на груз. яз.). "Физика и математика в школе," 1985, №2, с.

2. Об одновидовом четырехугольнике, там же, 1986, № 4, с. 81-83.

3. Определение некоторого расстояния в треугольнике, там же, 1988, №4, с. 45-51

4. Связанные с прямоугольным параллелепипедом треугольники Герона и один класс треугольников Пифагора, там же, 1996, №111 с. 71-75.

5. Т. Цулукидзе, В. Халваши: - Арифметика целых чисел, Аджария, Батуми, 1995, с. 150.

6. Р. Данелия, Т. Цулукидзе, В. Гелбакиани и др. Геометрия 10. Изд-во "Интеллект," 1996.

64-71.