Задачи на составление уравнений и неравенств как средство развития математического мышления учащихся 7-8-х классов

Рыбдылова, Дарима Дорожиевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Задачи на составление уравнений и неравенств как средство развития математического мышления учащихся 7-8-х классов

Автореферат

Автор научной работы: Рыбдылова, Дарима Дорожиевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Москва
Год защиты: 1998
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Задачи на составление уравнений и неравенств как средство развития математического мышления учащихся 7-8-х классов"

На правах рукописи

.л

Рыбдылова Дарима Доржиевпа

ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 7-8 КЛАССОВ

Специальность 13.00.02 — теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва -1998

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Московского педагогического государственного университета.

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, профессор ТЕРЕШИН H.A.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор БАВРИН И.И.,

кандидат педагогических наук, старший научный сотрудник БОКОВНЕВ O.A.

Ведущая организация - Арзамасский государственный педагогический институт.

Защита диссертации состоится «у/ - уклЦил, 1998 г., в часов на заседании Диссертационного Совета К 053.01.16 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МПГУ по адресу: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, д.1.

Автореферат разослан" " ¡^OiMfU^ 1998 года.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета ' ЧИКАНЦЕВА Н.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Особую актуальность в настоящее время приобрел принцип гуманитаризации и гуманизации школьного образования, на первый план выдвигаются интересы личности ученика. Для полноцепного функционирования человека в современном обществе, динамичной адаптации его к обществу необходим высокий уровень общего развития человека, в том числе развитое мышление. Поэтому одними из основополагающих принципов современных концепций математического образования являются гуманитарная ориентация обучения математике как предмету общего образования и приоритет развивающей функции в обучении математике. Одной из основных целей обучения математике является развитие мышления школьников. Обучение математике имеет для этого большие возможности, обусловленные особенностями самого предмета изучения - основ математической науки. В то же время при организации учебного процесса, имеющего целью развитие мышления учащихся, необходимо использовать то ценное, что накоплено в психологии и педагогике по вопросам развития мышления человека.

Проблема развития в психологии не нова, но чрезвычайно сложна и далека еще от своего решения. В термин "развитие" каждый вкладывает свое особое содержание. В двадцатом веке были предложены две знаменитые теории развития - теория Л.С.Выготского и теория Ж.Пиаже . И тот, и другой сходятся во мнениях о том, что развитие человека есть прежде всего развитие его психики ( в том числе развитие мышления ), хотя , конечно, этим оно не исчерпывается. Эти ученые, а также С.Л.Рубинштейн, А.Н.Леонтьев, А.Р.Лурия, Б.М.Теплов, Д.Брунер, А.В.Брушлинский, О.К.Тихомиров, Я.А.Пономарев, В.А.Кругецкий и др. внесли большой вклад в изучение психологических закономерностей мышления. Исследования психологов выявили существенный характер влияния обучения на психическое развитие детей, в частности, на развитие их мышления. В педагогической психологии и педагогике имеется ряд теорий, указывающих разные пути реализации развивающего влияния обучения на мышление, предложенных П.Я.Гальпериным, Н.Ф.Талызиной , Д.Н.Богоявленским , Н.А.Менчинской , Е.Н.Кабановой-Меллер , Д.Б.Элькониньш, В.В.Давыдовым , Л.В.Занковым и др.

ной ситуации. Но о возникновении у данного субъекта задачи можно говорить, если она им не только понята, но и принята, то есть, соотнесена с потребност-но-мотивационной сферой личности. В ходе решения задачи мышление как процесс выступает особенно отчетливо, поэтому важным представляется исследование механизма внутреннего мыслительного процесса, приводящего к результату (решению). Вопросам психологического анализа мыслительной деятельности учащихся при решении задач посвящены работы Л.Л.Гуровой, Л-М.Фридмана, А.Ф.Эсаулова, Н.Г.Алексеева, К.Дункера, Ю.Н.Кулюткина, В.Н.Пушкина и др.

Общеметодический аспект проблемы развития мышления школьников при решении задач в процессе обучения математике рассмотрен в работах Д.Пойа, Ю.М.Колягина, А.А.Столяра, В.А.Гусева, Н.А.Терешина, В.С.Копылова, В.И.Крупича и др. Ряд диссертационных исследований посвящен изучению проблемы поиска эффективных методик развития мышления учащихся в процессе обучения математике. Т.С.Маликов рассматривает возможности развития таких качеств мышления, как активность и критичность, используя индуктивные и дедуктивные рассуждения. О.С.Медведева в качестве средства развития мышления учащихся рассматривает решение задач комбинаторного характера. В связи с развитием логической культуры средствами логического конструирования при обучении математике рассматривает Л.Н.Удовенко развитие логического мышления.

Потребностями науки, практики, образования обусловлена сегодня актуальность проблемы развития у школьников математического мышления. Под математическим мышлением мы понимаем прежде всего форму, в которой проявляется мышление в процессе познания конкретной науки - математики или ее приложений. Математическое мышление полностью отвечает той характеристике, которая присуща мышлению вообще, но имеет свои черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения. На материале алгебры и начал анализа И.Н.Семенова выявляет роль и место сюжетных задач в развитии математического мышления школьников. Е.В.Сухорукова рассматривает прикладные задачи как средство развития математического мышления. Методическую систему развития математического мышления учащихся при решении задач на приложение производной и интеграла предлагает в своем исследовании Ш.М.Вакилов. В своем исследовании мы рассматриваем возможности развития математического мышления учащихся, выбрав в качестве средства развития мышления задачи, решаемые методом составления уравнений и неравенств. Школьные задачи, которые можно решить этим методом, будем называть задачами на составление уравнений и неравенств.

Развитие мышления учащихся должно осуществляться целенаправленно. Большие возможности для этого имеются в организации особой формы активности ребенка - учебной деятельности, одним из важнейших структурных компонентов которой является учебная задача. Математическое мышление является теоретическим мышлением, оно должно основываться на содержательном (теоретическом) обобщеггии. Поэтому при решении задач важно овладение учениками общими принципами решения задач определенных классов. Для этого ученики должны открыть внутренние свойства и отношения объектов действия, то есть те их свойства, которые определяют закономерности их функционирования и преобразования. Сделать это можно в ходе решения учебных задач.

Роль математических методов в решении возникающих в различных сферах деятельности человека проблем в настоящее время трудно переоценить. В связи с этим актуальной задачей обучения математике становится формирование у учащихся представлений об одном из ведущих из этих методов - математическом моделировании. Обычно математической моделью изучаемого явления, процесса являются уравнения, неравенства, их системы. Поэтому особое значение приобретает формирование у школьников умения решать задачи методом составления уравнений. Из всего многообразия конкретно-практических задач можно выделить подмножество задач, решаемых методом составления уравнений и неравенств, внутри этого множества объединить задачи в подмножества (классы) задач общими способами их решения. Затем из каждого такого класса подобрать серии задач, позволяющие организовать учебную деятельность школьников, в которой с помощью учебных действий задачи определенной серии трансформировались бы в учебные задачи. При решении учебной задачи учащиеся овладевают общими принципами решения задач данным способом, что способствует формированию у них содержательного (теоретического) обобщения, которое является основой теоретического мышления. Формирование содержательного обобщения, в свою очередь, способствует формированию и развитию теоретического мышления школьников. Теоретическое мышление, которое осуществляется применительно к предметному содержанию, обусловленному предметом математики - математическими структурами, - есть математическое мышление. При использовании в качестве средства развития теоретического мышления учащихся математических задач происходит развитие их математического мышления. О формировании у них математического мышления можно судить по проявлению основных черт теоретического мышления (анализа, рефлексии и внутреннего плана действий) в процессе решения ими математических задач.

В связи со сказанным представляется важной проблема исследования роли и места задач, решаемых методом составления уравнений и неравенств, как средства развития математического мышления, разработка на этой основе методики обучения решению соответствующих учебных задач. Указанные факторы обусловили выбор в качестве объекта исследования процесс развития мышления школьников в ходе решения учебных задач в рамках курса алгебры 7-8 классов. Предмет исследования - решение задач на составление уравнений и неравенств как средство развития математического мышления в этом процессе. Цель исследования заключается в выявлении возможностей и уровня влияния задач, решаемых методом составления уравнений и неравенств, на развитие математического мышления учащихся для разработки научно обоснованных рекомендаций, для логического включения этих задач в общую систему обучения.

Выдвигается следующая гипотеза: организация учебной деятельности школьников по решению задач методом составления уравнений и неравенств способствует формированию обобщенного способа решения задач, способствует формированию обобщенного способа решения задач, формированию содержательного (теоретического) обобщения, что, в свою очередь, способствует развитию их математического мышления.

Для достижения поставленной цели и проверки достоверности гипотезы потребовалось решить частные задачи:

- анализ процесса решения задач на составление уравнений и неравенств с целью выявления особенностей мыслительной деятельности при их решении;

- разработка теоретических основ развития математического мышления школьников в процессе решения таких задач с учетом выявленной их специфики;

- разработка системы методических мер развития математического мышления учащихся, отбор учебных задач для организации учебной деятельности школьников по их решению;

- разработка диагностического аппарата, с помощью которого можно определять уровень развития мышления ученика; -

- экспериментальная проверка правильности выдвинутой гипотезы, действенности разработанной методики обучения, имеющей целью развитие математического мышления школьников.

Для решения перечисленных задач были использованы следующие методы :

- анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, школьных учебников и учебных пособий;

- изучение и обобщение опыта работы учителей, анализ состояния рабо-

ты по развитию мышления учащихся в школе;

- наблюдение за процессом решения задач учениками, индивидуальные собеседования с ними для выяснения, выполняется ли ими содержательное обобщение способов решения;

- педагогический эксперимент, включающий психолого- педагогическое доказательство целесообразности применения разработанной методики работы с этими задачами, и обобщение его результатов.

Основой методического подхода к реализации развивающей функции обучения в нашем исследовании явилась психолого- педагогическая концепция Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова развития мышления как перехода от эмпирического мышления к теоретическому в процессе специальным образом организованной учебной деятельности учащихся.

Научная новизна исследования состоит в разработке методических основ развития математического мышления учащихся в процессе решения задач на составление уравнений и неравенств при изучении курса алгебры 7-8 классов средней школы. Теоретическое значение работы заключается : а) в выявлении роли задач на составление уравнений и неравенств в системе образования и их места в развитии математического мышления учащихся; б) в обосновании путей и выявления методических условий развития мышления учащихся с помощью задач этого типа; в) в разработке серии учебных задач для организации учебной деятельности школьников с целью развития их мышления. Практическую значимость проведенного исследования определяют : а) разработка методики, позволяющей в рамках действующей программы по алгебре ( 7-8 классы общеобразовательной школы) проводить целенаправленную работу по развитию математического мышления учащихся в процессе решения задач на составление уравнений и неравенств; б) возможность использования содержания разработанных учебных задач как учителями математики, так и студентами на занятиях по методике преподавания математики, авторами школьных учебников; в) применимость разработанной методики обучения решению задач на составление уравнений и неравенств, имеющей целью развитие математического мышления учащихся, к другим разделам школьного курса математики. Актуальность исследования определяется необходимостью учета в процессе обучения математике результатов исследования психолого- педагогической науки и отбора на основе этого содержания обучения, выбора соответствующих эффективных путей психического развития детей, развития их математического мышления.

го мышления учащихся. 2. Содержание разработанных серий задач для организации учебной деятельности школьников, способствующей развитию их математического мышления. 3. Разработанная методика обучения решению задач на составление уравнений и неравенств, способствующая развитию математического мышления учащихся.

Апробация и внедрение результатов исследования.

С сообщениями по результатам исследования автор выступала на заседаниях методического объединения учителей математики Кижингинской средней школы № 1 Республики Бурятия в 1989-1991 гг.; заседаниях кафедры методики начального обучения математике Бурятского государственного педагогического института в 1993-1995 гт.; научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики Московского педагогического государственного университета в 1998 году.

Достоверность результатов исследования подтверждается их экспериментальной проверкой в Кижингинской средней школе №1 Республики Бурятия. Результаты исследования используются учителями школ г. Улан-Удэ и Республики Бурятия, а также нашли отражение в работе со студентами Бурятского государственного педагогического института на семинарских занятиях, в период педагогической практики.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируются проблема, цель, определяются объект и предмет исследования, выдвигается гипотеза, ставятся задачи исследования, раскрываются его научная новизна, теоретическая и практическая значимость, излагаются основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе "Психолого-педагогические основы развития мышления школьников в процессе решения задач" определяются теоретические основания необходимости и возможности развития мышления школьников в процессе решения задач при обучении математике. На основе многостороннего анализа научно-методической литературы по проблеме исследования выявляются подходы к ее решению.

В параграфе 1.1 рассмотрены психологические, психолого-педагогические теории, отдельные разработки некоторых проблем в изучении

мышления, а также концепции и теории, посвященные вопросам развития мышления детей, которые дают возможность в практике школы искать и находить эффективные пути реализации развивающей функции обучения, и, в частности, пути управления мыслительной деятельностью школьников. Под развитием мышления в психолого-педагогической литературе понимается развитие его видов и форм: эмпирического и теоретического; логического и интуитивного; словесно-логического, наглядно-образного, наглядно-действенного; продуктивного и репродуктивного и др. Считается также, что развитие мышления определяется формированием и совершенствованием мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения, обобщения и др.) и приемов умственной деятельности и т.д. Развитию мышления, по мнению многих авторов, способствует формирование и развитие определенных его качеств, таких, как, например, активность, критичность, гибкость и т.п.

В нашем исследовании мы исходим из понимания развития мышления как перехода от эмпирического мышления к теоретическому в процессе специальным образом организованной учебной деятельности обучающегося.

Параграф 1.2. посвящен изучению понятия задачи как объекта мыслительной деятельности субъекта и определению функций задач в процессе обучения математики. В исследованиях специалистов в области кибернетики, логики и некоторых других областей знания распространенной является трактовка понятия задачи как объекта, который может быть проанализирован и описан в отрыве от осуществляющего деятельность по ее решению субъекта. Для решения задач нашего исследования важно придерживаться трактовок этого понятия, включающих психологическое содержание. Их общая характеристика сводится к рассмотрению задачи как субъективного, психологического отражения внешней ситуации, в которой развертывается целенаправленная деятельность субъекта. Процесс решения задач будем рассматривать как сложный аналитико-синтетический процесс направленного взаимодействия субъекта с объективным содержанием решаемой задачи. Школьные математические задачи должны выполнять дидактические, познавательные, развивающие функции, имеют они значение и как средство воспитания детей.

Каждая из перечисленных выше функций задач важна в общей системе обучения, но в последние годы роль их развивающей функции подчеркивается особо. Специалисты в области психологии, школьного образования отводят задачам, процессу их решения огромную (а иногда и первостепенную) роль в развитии мышления школьников, о чем идет речь в параграфе 1.3. На основе психологического анализа умственной деятельности учащихся при решении задач они ищут для этого пути и средства. Предлагается использовать в обучении проблемные и другие виды задач, вернее - использовать разные виды за-

дач. Немаловажное значение придается таким сторонам работы по развитию мышления, как формирование систематичности и динамичности умственной деятельности, формирование у учащихся общего метода мыслительной деятельности, общих приемов мышления, формирование общих и специфических умственных действий, для чего необходимо деятельностью детей по решению задач специальным образом управлять.

Вторая глава "Методические основы развития математического мышления учащихся 7-8 классов при решении задач на составление уравнений и неравенств" посвящена рассмотрению методических основ развития математического мышления учащихся при решении задач на составлении уравнений и неравенств и разработке соответствующей методики для работы в 7-8 классах средней школы.

Как об одной из целей обучения говорится в параграфе 2.1 о развитии математического мышления школьников. В психологических и педагогических концепциях, из которых мы исходим, основным предметом исследования мышления является мышление как процесс, как деятельность. Любое явление, процесс представляет собой единство содержания и формы. Мыслительный процесс всегда осуществляется применительно к определенному предметному содержанию и проявляется в форме, обусловленной этим содержанием. Математическое мышление имеет особенное предметное содержание, определенное предметом математики - математическими структурами, - и выступает (проявляется) поэтому в особенной форме. Под математическим мышлением мы понимаем прежде всего форму, в которой проявляется мышление в процессе познания математики или ее приложений. Развитие математического мышления представляется нам как формирование общих и специальных математических мыслительных способностей, умений, оно предполагает целенаправленное формирование на математическом материале качеств научно-теоретического мышления, обучение школьников методам познания, общим и специфическим приемам мышления, а также развитие разных типов математического мышления.

Главная цель параграфа 2.2 - выявить особенности мыслительной деятельности учащихся при решении задач на составление уравнений и неравенств, с учетом которых осуществлялась разработка теоретических и методических основ развития математического мышления школьников. Уравнение -это средство представления, воспроизведения во внешней форме внутренних связей и отношений, закономерностей существования познаваемых объектов. Обычно для решения задач, возникающих перед современной прикладной математикой, используется этот вид математических моделей - уравнения, неравенства и их системы. Ученые, проведя психологический анализ умственной

деятельности учащихся при решении задач на составление уравнений и неравенств, определили состав умственной деятельности при этом, выявили некоторые особенности мыслительной деятельности при решении задач этим методом. При решении задач учащимися бывают задействованы комплексы мыслительных операций, и рассматривать их надо в комплексе друг с другом. В то же время обобщенность этого метода позволяет выделить в качестве ведущей операции при решении задач на составление уравнений и неравенств обобщение, выражающееся в выделении существенных признаков метода и используемых понятий. Определив умственные действия, входящие в состав метода, специалисты, работающие по проблеме управления мыслительной деятельностью учащихся, указали возможные пути отработки каждого из них. Думается, что при этом немаловажным фактором развития у школьников научно-теоретического мышления является формирование у них взгляда на математические понятия, и уравнения в том числе, как на модели.

При отборе задач для формирования учебной деятельности школьников по их решению, при разработке методики обучения решению задач на составление уравнений и неравенств, имеющей целью развитие математического мышления учащихся, мы опирались на работы Л.М. Фридмана, Ю.М. Колягина, В.А. Гусева, Н.А. Терешина, В.И. Крупича, рассматривающие различные аспекты проблемы развития мышления школьников при решении математических задач. Также нами учитывались разработки некоторых частных вопросов использования задач в обучении математике В.Г. Болтянского, И.И. Дырченко, А.Б. Василевского, В.П. Моденова, B.C. Былкова, Т.В. Малковой и В.М. Монахова.

В параграфе 2.3 задачи на составление уравнений и неравенств рассматриваются как средство развития математического мышления учащихся 7-8 классов. С такими задачами школьники встречаются на протяжении изучения всего курса математики 5-11 классов. В процессе решения таких задач у учащихся формируются умения моделирования реальных объектов, явлений, процессов, ими более глубоко усваивается идея функциональной зависимости. Метод составления уравнений и неравенств имеет большое значение в решении прикладных задач, а также широко используется в различных разделах математики. Этим обусловлено го, что решение школьниками задач этим методом играет большую роль в подготовке их к будущей профессиональной деятельности, в формировании их взглядов на возможности познания человеком реальной действительности. В то же время решение задач на составление уравнений и неравенств способствует и развитию мышления учащихся.

В целях развития математического мышления учащихся эффективным представляется использование специальным образом организованной учебной деятельности школьников по решению математических задач. Во множестве

всех конкретно-практических задач можно выделить подмножество задач, решаемых методом составления уравнений и неравенств, внутри этого множества выделить подмножества задач по общему способу их решения - классы задач. Из каждого такого класса подбираются серии задач, содержащие задачи, при решении которых можно в имеющихся конкретных условиях перейти к решению соответствующих учебных задач, и задачи, рассмотрение которых позволяет ученику выделить эти классы задач. При решении учебной задачи учащиеся овладевают общими принципами решения задач данным способом, что способствует формированию у них содержательного (теоретического) обобщения. Содержательное обобщение является основой теоретического мышления, поэтому формирование первого способствует формированию и развитию последнего. Математическое мышление есть теоретическое мышление, которое осуществляется применительно к особенному предметному содержанию, содержанию, обусловленному предметом математики - математическими структурами. Следовательно, при использовании в качестве средства развития теоретического мышления учащихся математических задач происходит развитие их математического мышления.

Приведем пример.

Среди задач, решаемых методом составления уравнений и неравенств, встречаются задачи, аналогичные следующей.

Задача. В двух различных растворах вода и соляная кислота (по массе) относятся соответственно как 5:2 и 3:4. Сколько граммов каждого раствора надо взять, чтобы после их смешивания получить 28 г нового раствора с равным содержанием воды и кислоты?

Выделить класс задач, о которых мы ведем речь, можно с помощью следующего описания. В этих задачах имеется общий элемент: из двух или нескольких смесей, содержащих один, два или несколько компонентов, путем перемешивания составляется новая смесь (это раствор, сплав и т.п.). При этом требуется найти, каково содержание компонентов в полученной смеси или в каких количествах надо взять исходные смеси (для получения смеси с заданным содержанием компонентов) и т.д. Величины, фигурирующие в условиях, (в общем случае) следующие: количества исходных смесей, концентрации составляющих смеси компонентов, количества отдельных компонентов. Количество вещества может быть охарактеризовано массой, объемом и т.д., причем единицы их измерения могут оказаться самыми разными. Концентрация может быть указана также по-разному: она может быть указана с помощью отношения количеств входящих в смесь компонентов, указанием процентного содержания компоненты в смеси и т.д.

Из этого класса задач подобрана серия задач для организации учебной деятельности школьников по их решению.

При решении первых одной-двух таких задач анализ их содержания, а также анализ попыток их решения позволяет обнаружить принцип или способ ее решения, что дает возможность переносить его на весь класс подобных задач. Благодаря рефлексии ученик рассматривает основания своих мыслительных действий и их соответствие условиям задачи, раскрывает их внутренние взаимоотношения. Внутренний план действий обеспечивает их планирование и выполнение в уме.

Усвоение учащимися способов решения разнообразных частных задач определенного класса должно сопровождаться овладением ими общими принципами решения задач этого класса. В данном случае для решения задач удобно было "расщепить" каждую смесь на отдельные компоненты и из них "составить" указанным в условии способом новую смесь. То есть, выразить количество каждой компоненты в исходных и полученной смесях и, используя информацию о том, какова связь между этими величинами, данную в условии задачи, составить уравнения.

Например, в данной задаче вначале выразили массу воды в первом рас-

,5 2 ч

творе и массу кислоты в нем ( — х и —х), массу воды во втором растворе и мас-3 4

су кислоты в нем (—у и Затем указанным в условии способом

"составили" новую смесь - в ней должно быть равное содержание воды и кислоты; общая масса равна 28 г.

Пусть надо взять х г первого раствора и у г - второго, х > 0;^ > 0.

Из системы уравнений х + у = 28,

5 3 2 4

—х + — у = + — у ? 7

получим: х =7; у = 21.

В.В. Давыдов выделяет учебные действия, посредством выполнения которых решается учебная задача (Давыдов В.В. Психологическая теория учебной деятельности и методов начального обучения, основанных на содержательном обобщении - Томск: Пеленг, 1992. - С. 43). В ходе решения задач данной серии школьники выполняют эти учебные действия. С целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта преобразовываются условия задач; выделенное отношение моделируется; для изучения свойств отношения модель преобразо-

вывается. Затем выделяется класс задач, решаемых общим способом; осуществляются контроль за выполнением предыдущих действий и оценка усвоения общего способа.

В то же время в разработанные серии задач включены задачи разных типов (по типологии, предложенной Ю.М. Колягиным): обучающие, поисковые, проблемная. Организация деятельности детей по решению таких задач помогает развивать такие качества мышления, как активность, гибкость и др.

Моделирование является основным методом познания окружающей действительности. Математическое моделирование - общий метод математического исследования реальных явлений, математического решения задач, возникающих при их исследовании. Составление уравнений и неравенств - один из способов модельного математического описания реальных явлений, процессов. Некоторые из имеющихся задач позволяют формировать у учащихся взгляд на уравнения и неравенства как на математические модели и одновременно формировать у них отношение к задаче как к объекту глубокого изучения и исследования.

Эксперимент, предпринятый нами для того, чтобы обеспечить научно-объективную и доказательную проверку правильности обоснованной в начале исследования гипотезы, описан в параграфе 2.4. Исследовалось влияние организации учебной деятельности школьников по решению задач на составление уравнений и неравенств на развитие их математического мышления, для чего был необходим формирующий эксперимент. При подготовке к проведению эксперимента был решен ряд задач: выбор необходимого числа школьников и классов; определение длительности проведения эксперимента; выбор конкретных методик для изучения начального уровня развития математического мышления учащихся; определение признаков, по которым можно судить об изменениях в мышлении школьников под влиянием педагогического воздействия. Проведение эксперимента включало: изучение начального состояния развития математического мышления школьников; определение критериев эффективности предложенной методики обучения решению задач, имеющей целью развитие математического мышления учащихся; осуществление экспериментального обучения; изучение конечного состояния развития математического мышления школьников; анализ итогов эксперимента и разработка практических рекомендаций. Трудно обнаружить действительные изменения в психической сфере личности за короткий срок, поэтому длился он по одному году в каждой группе учащихся. В течение 1989-1990 учебного года эксперимент был проведен в двух восьмых классах и в течение 1990-1991 учебного года - в двух восьмых и одном седьмом классах. Всего в нем участвовало 117 человек. Выбраны были и контрольные классы, общее число учеников в которых - 63. Основные

черты теоретического мышления, являющиеся основными чертами и мышления математического, - рефлексия, анализ, внутренний план действий. Если мышление человека не обладает этими чертами, то его нельзя назвать математическим. В начале каждого учебного года для определения наличия (или отсутствия) основных черт теоретического мышления с помощью методик, аналогичных описанным Л.К. Максимовым (Максимов Л.К. Зависимость матема-Т1гческого мышления от характера обучения// Вопросы психологии, 1979, №2. - С.57-65), проводилось обследование учащихся и экспериментальных, и контрольных классов. Для этого использовалось наблюдение процесса решения учениками математических задач, в ходе которого они проявлялись (или не проявлялись).

В нашем исследовании мы исходим из того, что наличие (или отсутствие) у человека рефлексии на способ решения задачи можно выявить с помощью следующей методики. Ученикам предлагаются три задачи. Первую из них ученики решают коллективно. Вторую и третью задачи можно решить таким же способом, по их внешние признаки отличаются от внешних признаков решенной задачи. Если ученик действительно устанавливает общий способ решения задач, вскрывая при этом их внутреннюю связь, то вторую и третью задачи он успешно решает этим способом. Если же, обнаружив отличие внешних признаков последних задач, ученик "не видит" возможности применения этого способа, то приходится констатировать, что общий способ им не установлен. Анализ является основой содержательного обобщения. Для выявления наличия (или отсутствия) у школьников анализа рассматриваем процесс видоизменений учениками данной задачи, по характеру выполнения которых можно судить, выделяют ли они существенные отношения. Если ученик при решении задачи выделяет общий принцип ее построения^ то при видоизменении ее он, опираясь на исходные отношения условий старой и новой задач, этот принцип безошибочно использует. Если же общий принцип учеником не выделен, то каждая новая задача формулируется им с помощью простого подбора нужных чисел. Для того, чтобы выяснить, планирует ли ребенок систему действий во внутреннем плане, соотносит ли умственные действия с задачей, использовались задачи, решить которые можно разными способами. Несколько способов их решения учащимся уже известны, кроме того, знание этих способов им приходилось актуализировать на предыдущих нескольких уроках. Если, желая использовать наиболее рациональный (или "красивый" и т.д.) способ, ученик делает целенаправленно соответствующий выбор в уме, то можно считать, что решение им задачи связано с внутренним планом действий.

Одновременно с выявлением наличия основных черт теоретического мышления оценивались уровни сформированности у школьников учебных дей-

ствий по решению задач. Г.В.Репкина и Е.В.Заика выделяют следующие уровни сформированное™ учебных действий: отсутствие учебных действий как целостных единиц деятельности; выполнение учебных действий в сотрудничестве с учителем; неадекватный перенос учебных действий; адекватный перенос учебных действий; самостоятельное построение учебных действий; обобщение учебных действий (Репкина Г.В., Заика Е.В. Оценка уровня сформированности учебной деятельности - Томск: Пеленг, 1993. - С. 27-28).

Имея возможность рассмотреть качественные различия решения детьми математических задач, мы провели оценку следующим образом. В том случае, когда при решении задачи ученик не может выполнять учебные действия как таковые, а может выполнять лишь отдельные операции без их внутренней связи друг с другом или копировать внешнюю форму действий, считается, что сформированность его учебных действий находится на первом из перечисленных уровней. На втором из этих уровней она находится, если решение ребенком задачи характеризуется тем, что содержание действий и их операционный состав им осознаются, к выполнению действий он приступает, но организовать свои действия и довести их до конца без внешней помощи не может, в сотрудничестве с учителем работает относительно успешно. Когда ученик усвоенный способ действия к решению новой задачи самостоятельно применяет, однако внести в него изменения в соответствии с условиями конкретной задачи не способен, речь идет о третьем уровне. Если он умеет обнаружить несоответствие новой задачи и усвоенного способа, пытается перестроить известный ему способ, однако может это правильно сделать только при помощи учителя, то уровень сформированности учебных действий можно оценить как четвертый уровень. На пятом уровне, решая новую задачу, ребенок самостоятельно строит новый способ действия или модифицирует известный ему способ, делает это постепенно, шаг за шагом и в конце без помощи извне правильно решает задачу. На шестом же уровне он опирается на принципы построения способов действия и решает новую задачу, выводя новый способ из этого принципа, а не из модификации известного частного способа. Если в конце экспериментального обучения ученик переходил на уровень с большим номером, то считалось, что уровень сформированности его учебных действий стал выше.

Сопоставив результаты, полученные в начале каждого учебного года, можно констатировать, что существенных различий в уровнях развития теоретического мышления и уровнях сформированности учебных действий у учащихся экспериментальных и контрольных классов не было. Сопоставив итоги обследований в конце каждого учебного года, можно сказать, что в экспериментальных классах все показатели более высокие по сравнению с соответствующими показателями в контрольных классах. Отсюда делаем вывод: реше-

ние задач по разработанной нами методике способствует формированию у детей таких черт теоретического мышления, как анализ, рефлексия, внутренний план действий, повышению уровня сформированности их учебных действий. Значит, организация учебной деятельности школьников по решению задач на составление уравнений и неравенств способствует развитию их математического мышления.

В заключении в соответствии с задачами исследования приводятся его основные результаты.

Метод составления уравнений и неравенств, наряду с некоторыми другими методами решения задач, обладает большой степенью обобщенности. В качестве ведущей операции в мыслительной деятельности решающего задачу этим методом можно выделить обобщение, выражающееся в выделении существенных признаков метода и используемых понятий, т.е. содержательное обобщение. При осуществлении мышления применительно к математическому материалу, в данном случае при решении математических задач, содержательное обобщение является основой математического мышления. Поэтому задачи на составление уравнений и неравенств можно использовать как средство развития математического мышления школьников.

Развитие математического мышления школьников возможно в ходе организованной преподавателем их учебной деятельности по решению задач. Выбранные конкретно-практические задачи, решаемые методом составления уравнений и неравенств, переводятся в учебные задачи, которые позволяют организовать учебную деятельность, в ходе которой школьники выделяют общий принцип решения задач данным способом. Обязательным условием здесь является самостоятельный анализ учениками условий задач, выделение в них существенных отношений. Выделение и усвоение учащимися общего принципа решения способствует формированию у них содержательного обобщения, что, в свою очередь, способствует формированию и развитию их математического мышления.

По проявлению в процессе решения школьниками математических задач таких основных черт теоретического мышления, как анализ, рефлексия и внутренний план действий, можно судить о формировании у них математического мышления. Анализ проявляется в переносе способа решения задачи на весь класс подобных задач, т.к., позволяя человеку выделить в задаче существенные отношения, дает возможность обнаружить принципы или способ ее решения. Наличие у ученика рефлексии на способ решения задачи можно выявить, проверив, устанавливает ли он общий способ решения задач одного класса, вскрывая их внутреннюю связь. О том, выполняет или нет ребенок действия, системы

действий во внутреннем плане, можно судить по произведению им целенаправленного выбора способа решения предложенной задачи в уме.

Материалы работы позволяют сделать вывод, что поставленная цель достигнута. В реализации развивающей функции обучения возможно эффективное использование задач, решаемых методом составления уравнения. Создание дидактических условий деятельности школьников по решению задач методом составления уравнений и неравенств на основе психологического анализа процесса решения задач этого типа оказывает эффективное влияние на успешность развития их математического мышления, что подтверждается с помощью разработанного диагностического аппарата.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях.

Функции, уравнения, неравенства. - В кн.: Математика. Методические указания и контрольные задания для студентов- заочников специальности 2121/ Сост. В.В.Убодоев, Д.Д.Рыбдылова.- Улан-Удэ: Издательство Бурятского пединститута, 1995. - С. 10-16.

Значение принципа моделирования в обучении математике в средней школе. - В кн.: Научные труды Московского педагогического государственного университета им. В.И.Ленина. Серия: естественные науки / Под ред. В.Л.Матросоваи др.-М.: Прометей, 1997. - С. 242. . .. .,

О проблеме воспитания у учащихся математического мышления как составной части общей культуры мышления. - В кн.: Современные проблемы воспитания и развития личности: теория и практика / Под ред. Т.Д.Марцинковской, А.Н.Литвиновой, В.В.Ряшиной,- М.: ИРЛ РАО, 1997. - С. 215-216.

Формирование у учащихся умения математизировать реальные ситуации - одна из важнейших функций задач. - В кн.: Проблемы совершенствования преподавания математики в современной школе. - М.: МПГУ, 1997. - С. 16.

Методы математики в решении практических вопросов и отражение их в решении школьных задач //Наука и школа, № 1, 1998.- С. 46-48.

Возможности обучения школьников методу познания как виду деятельности. - В кн.: Научные труды Московского педагогического государственного университета. Серия: естественные науки / Под ред. В.Л.Матросова и др. - М.: Прометей, 1998. - С. 51-52.

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Рыбдылова, Дарима Дорожиевна, 1998 год

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1Л. Исследование вопросов развития мышления в психологии и педагогике

1.2. Понятие задачи, функции задач в процессе обучения математике

1.3. Роль задач в развитии мышления школьников.

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 7-8 КЛАССОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

2.1. Развитие математического мышления школьников как одна из целей обучения

2.2. Особенности мыслительной деятельности учащихся при решении задач на составление уравнений и неравенств.

2.3. Задачи на составление уравнений и неравенств как средство развития математического мышления учащихся 7-8 классов

2.4. Организация и результаты педагогического эксперимента

Введение диссертации по педагогике, на тему "Задачи на составление уравнений и неравенств как средство развития математического мышления учащихся 7-8-х классов"

В настоящее время приобрел особую актуальность принцип гуманитаризации и гуманизации школьного образования, на первый план выдвигаются интересы личности ученика. Для полноценного функционирования человека в современном обществе, динамичной адаптации его к обществу необходим высокий уровень общего развития человека, в том числе развитое мышление. Поэтому одними из основополагающих принципов современных концепций математического образования являются гуманитарная ориентация обучения математике как предмету общего образования и приоритет развивающей функции в обучении математике. Одной из основных целей обучения математике является развитие мышления школьников. Обучение математике имеет для этого большие возможности, обусловленные особенностями самого предмета изучения - основ математической науки. В то же время при организации учебного процесса, имеющего целью развитие мышления учащихся, необходимо использовать то ценное, что накоплено в психологии и педагогике по вопросам развития мышления человека.

Проблема развития в психологии не нова, но чрезвычайно сложна и далека еще от своего решения. В термин "развитие" каждый вкладывает свое особое содержание. В двадцатом веке были предложены две знаменитые теории развития - теория Л.С.Выготского и теория Ж.Пиаже . И тот, и другой сходятся во мнениях о том, что развитие человека есть прежде всего развитие его психики ( в том числе развитие мышления ), хотя , конечно, этим оно не исчерпывается. Эти ученые, а также С.Л.Рубинштейн, А.Н.Леонтьев , П.П.Блонский , А.Р.Лурия , Б.М.Теплов , Д.Брунер , А.В.Брушлинский, О.К.Тихомиров, Я.А.Пономарев, В.А.Крутецкий и др. внесли большой вклад в изучение психологических закономерностей мышления. Исследования психологов выявили существенный характер влияния обучения на психическое развитие детей, в частности, на развитие их мышления. В педагогической психологии и педагогике имеется ряд теорий, указывающих разные пути реализации развивающего влияния обучения на мышление, предложенных П.Я.Гальпериным , Н.Ф.Талызиной , Д.Н.Богоявленским , Н.А.Менчинской , Е.Н.Кабановой-Меллер , Д.Б.Элькониным , В.В.Давыдовым , Л.В.Занковым и ДР

Часто мышление развертывается как процесс решения задачи, в которой выделяются условия и требования. Необходимость в мышлении возникает прежде всего тогда, когда перед человеком появляется новая цель, новые обстоятельства и условия деятельности, а старые средства и способы деятельности для достижения цели недостаточны, то есть, когда человек оказывается в проблемной ситуации. Начинается процесс мышления с анализа этой проблемной ситуации. Но о возникновении у данного субъекта задачи можно говорить, если она им не только понята, но и принята, то есть, соотнесена с по-требностно-мотивационной сферой личности. Так как в ходе решения задачи мышление как процесс выступает особенно отчетливо, важным представляется исследование механизма внутреннего мыслительного процесса, приводящего к результату ( решению). Вопросам психологического анализа мыслительной деятельности учащихся при решении задач посвящены работы Л.Л.Гуровой (37; 38) , Л.М.Фридмана (175; 176) , А.Ф.Эсаулова (186, 187) , Н.Г.Алексеева (5) , К.Дункера (50) , Ю.Н.Кулюткина (80) , В.Н.Пушкина (132) и др.

Общеметодический аспект проблемы развития мышления школьников при решении задач в процессе обучения математике рассмотрен в работах Д.Пойа (122; 123) , Ю.М.Колягина (69; 70) , А.А.Столяра (155; 156; 157) , В.А.Гусева (39) , Н.А.Терешина (165) , В.С.Копылова (72) , В.И.Крупича (77) и др. Ряд диссертационных исследований посвящен изучению проблемы поиска эффективных методик развития мышления учащихся в процессе обучения математике. Т.С.Маликов рассматривает возможности развития таких качеств мышления, как активность и критичность, используя индуктивные и дедуктивные рассуждения (89). О.С.Медведева в качестве средства развития мышления учащихся рассматривает решение задач комбинаторного характера (97). В связи с развитием логической культуры средствами логического конструирования при обучении математике рассматривает Л.Н.Удовенко развитие логического мышления (172).

Потребностями науки, практики, образования обусловлена сегодня актуальность проблемы развития у школьников математического мышления. Под математическим мышлением мы понимаем прежде всего форму, в которой проявляется мышление в процессе познания конкретной науки - математики или ее приложений. Математическое мышление полностью отвечает той характеристике, которая присуща мышлению вообще, но имеет свои черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения. На материале алгебры и начал анализа И.Н.Семенова выявляет роль и место сюжетных задач в развитии математического мышления школьников (149). Е.В.Сухорукова рассматривает прикладные задачи как средство развития математического мышления (158). Методическую систему развития математического мышления учащихся при решении задач на приложение производной и интеграла предлагает в своем исследовании (20) Ш.М.Вакилов. В своем исследовании мы рассматриваем возможности развития математического мышления учащихся, выбрав в качестве средства развития мышления задачи, решаемые методом составления уравнений и неравенств. Школьные задачи, которые можно решить этим методом, будем называть задачами на составление уравнений и неравенств.

Развитие мышления учащихся должно осуществляться целенаправленно. С целью развития мышления, которая должна быть неразрывно связана с остальными целями обучения, учитель должен организовывать деятельность учащихся. Большие возможности для этого имеются в организации особой формы активности ребенка - учебной деятельности, одним из важнейших структурных компонентов которой является учебная задача. Математическое мышление является теоретическим мышлением, оно должно основываться на содержательном (теоретическом) обобщении. Поэтому при решении задач важно овладение учениками общими принципами решения задач определенных классов. Для этого ученики должны открыть внутренние свойства и отношения объектов действия, то есть те их свойства, которые определяют закономерности их функционирования и преобразования. Сделать это можно в ходе решения учебных задач.

Выдвигается следующая гипотеза: организация учебной деятельности школьников по решению задач методом составления уравнений и неравенств способствует формированию обобщенного способа решения задач, что способствует формированию содержательного (теоретического) обобщения, что, в свою очередь, способствует развитию их математического мышления.

Для достижения поставленной цели и проверки достоверности гипотезы потребовалось решить частные задачи :

- разработка диагностического аппарата, с помощью которого можно определять уровень развития мышления ученика;

Для решения перечисленных задач были использованы следующие методы :

- изучение и обобщение опыта работы учителей, анализ состояния работы по развитию мышления учащихся в школе;

Научная новизна исследования состоит в разработке методических основ развития математического мышления учащихся в процессе решения задач на составление уравнений и неравенств при изучении курса алгебры 7-8 классов средней школы. Теоретическое значение работы заключается : а) в выявлении роли задач на составление уравнений и неравенств в системе образования и их места в развитии математического мышления учащихся; б) в обосновании путей и выявления методических условий развития мышления учащихся с помощью задач этого типа; в) в разработке серии учебных задач для организации учебной деятельности школьников с целью развития их мышления. Практическую значимость проведенного исследования определяют : а) разработка методики, позволяющей в рамках действующей программы по алгебре (7-8 классы общеобразовательной школы) проводить целенаправленную работу по развитию математического мышления учащихся в процессе решения задач на составление уравнений и неравенств; б) возможность использования содержания разработанных учебных задач как учителями математики, так и студентами на занятиях по методике преподавания математики, авторами школьных учебников; в) применимость разработанной методики обучения решению задач на составление уравнений и неравенств, имеющей целью развитие математического мышления учащихся, к другим разделам школьного курса математики. Актуальность исследования определяется необходимостью учета в процессе обучения математике результатов исследования психолого-педагогической науки и отбора на основе этого содержания обучения, выбора соответствующих эффективных путей психического развития детей, развития их математического мышления.

На защиту выносятся следующие положения. 1. Доказательство того, что специфика мыслительной деятельности при решении задач на составление уравнений и неравенств определяет особую роль их в развитии математического мышления учащихся. 2. Содержание разработанных серий задач для организации учебной деятельности школьников, способствующей развитию их математического мышления. 3. Разработанная методика обучения решению задач на составление уравнений и неравенств, способствующая развитию математического мышления учащихся.

Достоверность результатов исследования подтверждается их экспериментальной проверкой в Кижингинской средней школе № 1 Республики Бурятия.

Апробация работы.

С сообщениями по результатам исследования автор выступала на заседаниях методического объединения учителей математики Кижингинской средней школы № 1 Республики Бурятия в 1989-1991 гг.; заседаниях кафедры методики начального обучения математике Бурятского государственного педагогического института в 1993-1995 гг.; научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики Московского педагогического государственного университета в 1998 году.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях.

Значение принципа моделирования в обучении математике в средней школе. - В кн.: Научные труды Московского педагогического государственного университета им. В.И.Ленина. Серия: естественные науки / Под ред. В.Л.Матросова и др. - М.: Прометей, 1997. - С. 242.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы. В первой главе дается анализ литературы по проблеме исследования, выявляются психолого- педагогические основания необходимости и возможности развития мышления школьников в процессе решения задач при обучении математике. Вторая глава посвящена рассмотрению методических основ развития математического мышления учащихся при решении задач на составление уравнений и неравенств и разработке соответствующей методики для работы в 7 - 8 классах средней школы. Методика решения задач, имеющая целью развитие теоретического мышления школьников, заключается в особой организации их учебной деятельности. Исходным моментом учебной деятельности является учебная задача, "при решении которой школьники решают все задачи данного класса" (43, с. 46), то есть, задача, при решении которой школьники овладевают теоретически обобщенными способами решения некоторого класса конкретно-практических задач. Также здесь описан диагностический аппарат, с помощью которого определялась сформированность (или несформированность) основных черт теоретического мышления. Эффективность разработанной методики подтверждается данными педагогического эксперимента, которые приводятся в этой же главе.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проведенного исследования выбранной проблемы теоретически обоснованы и экспериментально подтверждены следующие результаты.

Анализ научно-методической литературы по проблеме исследования позволяет сделать следующие выводы. Метод составления уравнений и неравенств, наряду с некоторыми другими методами решения задач, обладает большой степенью обобщенности. В качестве ведущей операции в мыслительной деятельности решающего задачу этим методом можно выделить обобщение, выражающееся в выделении существенных признаков метода и используемых понятий, т.е. содержательное обобщение. При осуществлении мышления применительно к математическому материалу, в данном случае при решении математических задач, содержательное обобщение является основой математического мышления. Поэтому задачи на составление уравнений и неравенств можно использовать как средство развития математического мышления школьников.

По проявлению в процессе решения школьниками математических задач таких основных черт теоретического мышления, как анализ, рефлексия и внутренний план действий, можно судить о формировании у них математического мышления. Анализ проявляется в переносе способа решения задачи на весь класс подобных задач, т.к., позволяя человеку выделить в задаче существенные отношения, дает возможность обнаружить принцип или способ ее решения. Наличие у ученика рефлексии на способ решения задачи можно выявить, проверив, устанавливает ли он общий способ решения задач одного класса, вскрывая их внутреннюю связь. О том, выполняет или нет ребенок действия, системы действий во внутреннем плане, можно судить по произведению им целенаправленного выбора способа решения предложенной задачи в уме.

Материалы работы позволяют сделать вывод, что поставленная цель достигнута. В реализации развивающей функции обучения возможно эффективное использование задач, решаемых методом составления уравнений. Создание дидактических условий деятельности школьников по решению задач методом составления уравнений и неравенств на основе психологического анализа процесса решения задач этого типа оказывает эффективное влияние на успешность развития их математического мышления, что подтверждается с помощью разработанного диагностического аппарата.

Круг задач, решаемых методом составления уравнений и неравенств, используемых в качестве средства развития математического мышления учащихся по разработанной нами методике, можно расширить. Предлагаемая методика применима и к другим разделам школьного курса математики. Поэтому к имеющимся сериям задач можно добавить другие, но аналогичные, т.е. серии задач, дающие возможность организовать учебную деятельность школьников по их решению, в ходе которой детьми обнаруживается и усваивается общий принцип решения задач данным способом. Заметим также, что для использования в практической работе следует искать и другие средства развития математического мышления школьников. В этом мы видим перспективы продолжения нашего исследования.

Процесс расширения областей приложения математики оказывает влияние на формулирование важнейших проблем методики преподавания математики. Методы математики служат средством решения большого числа широкого круга задач. Проникновение математических методов в какую-нибудь область человеческой деятельности вызывает глубокие изменения в структуре этой области. Вследствие этого умение оперировать математическими понятиями становится необходимым все увеличивающемуся кругу специалистов. В то же время для формирования условий для успешной индивидуальной деятельности человека необходимо его развитие, его интеллектуальное развитие, развитие его мышления. Значит, теоретическое мышление, связанное с "оперированием понятиями и методами, облеченными в математическую форму" (161, с. 127), необходимо человеку для полноценного функционирования и динамичной адаптации в современном обществе. Его формирование способствует реализации принципа гуманизации образования, принципа приоритета развивающей функции обучения математике.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Рыбдылова, Дарима Дорожиевна, Москва

1. Авдеев В.И. Становление культуры мышления как проблема.- Воронеж: Изд. ВГУ, 1992.- 176 с.

2. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики : Пер. с фр. М.: Сов. радио, 1970. - 152 с.

3. Алгебра: Учебник для 7 классов общеобразовательных учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского. 5 изд. - М.: Просвещение, 1997. - 240 с.

4. Алгебра: Учебник для 8 классов общеобразовательных учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского. 4 изд. - М.: Просвещение, 1996. - 239 с.

5. Алексеев Н.Г. Проблема управления мыслительной деятельностью при решении алгебраических задач и их классификация.- В кн.: Вопросы активизации мышления и творческой деятельности учащихся. М.: Изд. МГПИ, 1964. -С. 157-160.

6. Апанасов П.Т., Апанасов Н.П. Сборник математических задач с практическим содержанием: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1987. - 110 с.

7. Бабанский Ю.К. Совершенствовать методы педагогических исследований // Советская педагогика, 1986, № 3. С. 40-46.

8. Богоявленский Д.Н. Приемы умственной деятельности в учебной работе. В кн.: Психология формирования понятий и умственных действий. (Материалы XVIII Международного психологического конгресса. Симпозиум 24.) -М.: Наука, 1966. - 227 с.

9. Болтянский В.Г. Нужна ли проверка при решении текстовых задач на составление уравнений? // Математика в школе, 1971 , № 3.-С. 42-45.

10. Брунер Д. Процесс обучения : Пер. с англ. М.: Изд. АПН РСФСР, 1962.-84 с.

11. Брушлинский А.В. Мышление. В кн.: Введение в психологию / Под ред. А.В.Петровского. - М.: Академия, 1995. - С. 196-221.

12. Брушлинский А.В. О формировании психического. В кн.: Психология формирования и развития личности / Под ред. Л.И.Анцыферовой. - М.: Наука, 1981.-С. 106-126.

13. Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение. -М.: Знание, 1983. (Новое в жизни, науке, технике. Серия "Педагогика и психология"; №6.) - 96 с.

14. Бургин М.С., Кузнецов В.И. Введение в современную точную методологию науки : Структуры систем знания. М.: Аспект-Пресс, 1994. - 304 с.

15. Былков B.C. Обучение школьников некоторым элементам математического моделирования // Математика в школе, 1986, № 1. С. 53-55.

16. Былков B.C. Формирование представлений о математическом моделировании у учащихся 9-10 классов при изучении алгебры и начал анализа. (Учебные материалы с методическими рекомендациями для учителей математики средней школы.) М.: Изд.МГПИ, 1986. - 40 с.

17. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра. М.: Наука, 1987. - 432 с.

18. Вакилов Ш.М. Развитие математического мышления учащихся при решении задач на приложение производной и интеграла: Дисс. . канд. пед. наук. М., 1993. - 176 с.21 .Василевский А.Б. Обучение решению задач. Мн.: Выш. шк., 1979. -192 с.

19. Вейль Г. Математическое мышление : Пер. с англ. и нем. / Под ред.

20. Б.В.Бирюкова и А.Н.Паршина. М.: Наука, 1989. - 400 с.

21. Виноградова J1.B. Развитие мышления учащихся при обучении математике. Петрозаводск: Карелия, 1989. - 173 с.

22. Выготский J1.C. Мышление и речь. M.-JL: Соцэкгиз, 1934.- 324 с.

23. Выготский JI.C. Орудие и знак в развитии ребенка. В кн.: Педагогическая психология / Под ред. В.В.Давыдова. - М.: Педагогика-Пресс, 1996. - С. 393-466.

24. Выготский JI.C. Проблема обучения и умственного развития в школьном возрасте. В кн.: Педагогическая психология / Под ред. В.В.Давыдова. -М.: Педагогика-Пресс, 1996. - С. 321-336.

25. Выготский J1.C. Развитие высших психических функций. М.: Изд. АПН РСФСР, 1960. - 500 с.

26. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. М.: Изд. МГУ, 1985.-45 с.

27. Глейзер Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии. М.: Педагогика, 1978. - 104с.

28. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. М.: Просвещение, 1985. - 192 с.

29. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессеобучения математике. М.: Просвещение, 1982. - 144 с.

30. Горбашев В.Л., Романов П.А. Научное познание ( методы, формы, подходы ). Йошкар-Ола: Изд. Map. гос. ун., 1995. - 81 с.

31. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях : Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977. - 136 с.

32. Гурова Л.Л. Исследование мышления как решения задач : Автореф. дисс. . докт. психол. наук. М., 1976. - 47 с.

33. Гурова Л.Л. Психологический анализ решения задач. Воронеж : Изд. ВГУ, 1976.-328 с.

34. Гусев В.А. Цели обучения математике в средней школе. В кн.: Психолого-педагогические основы обучения математике в средней школе / Под ред. В.А.Гусева. - Выпуск 1. - М.: Прометей, 1992. - С. 3-22.

35. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении : Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. М.: Педагогика, 1972. - 424 с.

36. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. М.: Педагогика, 1986.-240 с.

37. Давыдов В.В. Психическое развитие и воспитание. В кн.: Хрестоматия по педагогической психологии / Сост. А.И.Красило, А.П.Новгородцева. -М.: Изд. МПА, 1995. - С. 151-168.

38. Давыдов В.В. Психологическая теория учебной деятельности и методов начального обучения, основанных на содержательном обобщении. Томск: Пеленг, 1992. - 116 с.

39. Давыдов В.В. Содержание и строение учебной деятельности. В кн.: Хрестоматия по детской психологии / Под ред. Г.В.Бурменской. - М.: Изд. ИПП, 1996. - С. 77-89.

40. Денисова М.И., Беспалько Н.А. Применение математики к решению прикладных задач // Математика в школе, 1981, № 2. С. 28-29.

41. Добрынина М.Ф. Мыслительные процессы при составлении уравнений. В кн.: Решение задач в средней школе / Под ред. Н.Н.Никитина. - М.: Изд. АПН РСФСР, 1952. - С. 125-130.

42. Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. М.: ГИФМЛ, 1961.-267 с.

43. Дорофеев Г.В. Переформулировка задач//Квант, 1974, №2.-С. 13-18.

44. Дорофеева А.В. Гуманитарные аспекты преподавания математики // Математика в школе, 1990, № 6. С. 12-13.

45. Дункер К. Качественное исследование продуктивного мышления. В кн.: Психология мышления : Пер. с нем. и англ. - М.: Прогресс, 1965. - С. 21-85.

46. Дырченко И.И. Составление уравнений по условиям задач// Математика в школе, 1954, № 1. С. 44-50.

47. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике : Формирование приемов учебной деятельности. М.: Просвещение, 1990. -128 с.

48. Ждан А.Н. История психологии : от античности до наших дней. М.: Изд. МГУ, 1990. - 367 с.

49. Иванов А.В. Сознание и мышление. М.: Изд. МГУ, 1994. - 130 с.

50. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки / Под ред. М.К.Потапова.- 4 изд. -М.: Наука, 1984. 192 с.

51. Ительсон Б.Л. Психологические теории научения и модели процесса обучения // Советская педагогика, 1973, № 3. С. 83-95.

52. Кабанова-Меллер Е.Н. Учебная деятельность и развивающее обучение.- М.: Знание, 1981. (Новое в жизни, науке, технике. Серия "Педагогика и психология", 1981, № 6.) - 96 с.

53. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. М.: Просвещение, 1968. - 288 с.

54. Кедров Б.М. Обобщение как логическая операция // Вопросы философии, 1965, № 12.-С. 46-57.

55. Кипнис И.М. Задачи на составление уравнений и неравенств: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1980. - 68 с.

56. Кипнис И.М. Сборник прикладных задач на неравенства : Пособие для учителей. М.: Учпедгиз, 1961. - 104 с.

57. Кириллов Н.П., Плотников Ю.С. Магия метода. Томск: Изд. ТГУ, 1994. - 83 с.

58. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике: В 2 ч. М.: Просвещение, 1977. - Ч. 1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. - 110 с.

59. Копылов B.C. Психолого-педагогические основы развивающего обучения математике в средней школе. В кн.: Психолого-педагогические основы обучения математике в средней школе / Под ред. В.А.Гусева. - Выпуск 1. - М.: Прометей, 1992. - С. 80-89.

60. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. 3 изд. - М.: ГИТТЛ, 1956.- 576 с.

61. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой: ( Материал для классных и внеклассных занятий). М.: Просвещение, 1981. - 112 с.

62. Кравченко Т.К. Модели процессов принятия плановых решений: Авто-реф. дисс. канд.экон.наук. М., 1971. - 24 с.

63. Краснослабоцкая Г.В. Формирование общих интеллектуальных умений у учащихся на математическом материале в основной школе : Автореф. дисс. . канд. пед. наук. М., 1994. - 16 с.

64. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач : Дисс. . докт. пед. наук. М., 1992.- 395 с.

65. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. - 432 с.

66. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. 2 изд. -М.: Наука, 1985.-176 с.

67. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений. М.: Педагогика, 1970. - 232 с.

68. Ланда Л.Н. О формировании у учащегося общего метода мыслительной деятельности при решении задач // Вопросы психологии, 1959, № 3. С. 14-27.

69. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. М.: Политиздат, 1975.-304 с.

70. Леонтьев А.Н. Мышление // Вопросы философии, 1964, № 4. С. 85

71. Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики. 4 изд. - М.: Изд. МГУ, 1981. - 584 с.

72. Лернер И.Я. Качества знаний и их источники // Новые исследования в педагогических науках, 1977, № 2 (30). С. 16-21.

73. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта : Пер. с фр. М.: Мир, 1991.-568 с.

74. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений. 3 изд. - М.: Наука, 1990. - 96 с.

75. Максимов Л.К. Зависимость математического мышления от характера обучения // Вопросы психологии, 1979, № 2. С. 57-65.

76. Маликов Т.С. Индуктивные и дедуктивные рассуждения как средство развития активности и критичности мышления учащихся при изучении математики: Дисс. . канд. пед. наук. М., 1988. - 169 с.

77. Математическое моделирование. В кн.: Математический энциклопедический словарь. - М.: БРЭ, 1995. - С. 343-344.

78. Матюшкин A.M. Классификация проблемных ситуаций // Вопросы психологии, 1970, № 5. С. 23-35.

79. Матюшкин A.M. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М.: Педагогика, 1972. - 208 с.

80. Махмутов М.И. Организация проблемного обучения в школе. М.: Просвещение, 1977. - 239 с.

81. Махмутов М.И. Проблемное обучение : Основные вопросы теории. -М.: Педагогика, 1975. -367 с.

82. Медведева О.С. Решение задач комбинаторного характера как средство развития мышления учащихся 5-6 классов : Дисс. . канд. пед. наук. М., 1990.- 175 с.

83. Менчинская Н.А. Вопросы умственного развития ребенка.- М.: Знание, 1970.-32 с.

84. Менчинская Н.А. Задача. В кн.: Педагогическая энциклопедия: В 4 тт. - М.: Советская энциклопедия, 1965. - Т. 2. - С. 62-66.

85. ОО.Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника : Избранные психологические труды. М.: Педагогика, 1989. - 218 с.

86. Метельский Н.В. Дидактика математики : Общая методика и ее проблемы. 2 изд. - Минск : Изд. БГУ, 1982. - 256 с.

87. Методика преподавания математики в средней школе : Общая методика / В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, В.Я.Саннинский. 2 изд. -М.: Просвещение, 1980. - 368 с.

88. Методика преподавания математики в средней школе : Общая методика / Сост. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

89. Методика преподавания математики в средней школе : Частные методики / Сост. В.И.Мишин. М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

90. Методика преподавания математики в средней школе : Частные методики / Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин и др. М.: Просвещение, 1977. - 480 с.

91. Юб.Моденов В.П. О составлении уравнений при решении текстовых задач // Математика в школе, 1969, № 3. С. 46-49.

92. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969. - 303 с.

93. Мышление: процесс, деятельность, общение / Под ред. А.В. Брушлин-ского. М.: Наука, 1982. - 287 с.

94. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 классов средней школы. 5 изд. - М.: Просвещение, 1988. -160 с.

95. Никольская И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике : Дисс. . канд. пед. наук. М., 1973. - 186 с.

96. Образы Альберта Эйнштейна. В кн.: Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления / Под ред. Ю.Б.Гиппенрейтер, В.В.Петухова. - М.: Изд. МГУ, 1981. - С. 368-369.

97. Обухова Л.Ф. Формирование элементов научного мышления у ребенка: Автореф. дисс. . канд. психол. наук. М., 1972. - 23с.

98. Павлов Ю.В. Статистическая обработка дидактического эксперимента. Измерение и оценка знаний. Выпуск 2. - М.: Знание, 1977. - 42 с.

99. Перельман Я.И. Живая математика. 11 изд. - М.: Наука, 1978. - 176 с.

100. Петровский А.В. Психология о каждом из нас и каждому из нас о психологии. М.: Изд. РОУ, 1994. - 280 с.

101. Петровский А.В. Способности. В кн.: Введение в психологию / Под ред. А.В.Петровского. - М.: Академия, 1995. - С. 468-488.

102. Пиаже Ж. Природа интеллекта. В кн.: Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления / Под ред. Ю.Б.Гиппенрейтер, В.В.Петухова. -М.: Изд. МГУ, 1981. - С. 48-59.

103. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления. В кн.: Преподавание математики : Пер. с фр.- М.: Учпедгиз, 1960. - С. 10-30.

104. Пиаже Ж., Инельдер Б. Генезис элементарных логических структур. -М.: Иностранная литература, 1963. 448 с.

105. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения: Пер. с англ. -М.: Наука, 1975.-464 с.

106. Пойа Д. Математическое открытие: Пер. с англ. М.: Наука, 1976. -448 с.

107. Польский И.Г. Составление уравнений по условиям задач.- В кн.: Решение задач в средней школе / Под ред. Н.Н.Никитина. М.: Изд. АПН РСФСР, 1952. - С. 110-124.

108. Пономарев Я.А. Исследование внутреннего плана действий // Вопросы психологии, 1964, № 6. С. 65-77.

109. Пономарев Я.А. Развитие проблем научного творчества в советской психологии. В кн.: Проблемы научного творчества в современной психологии/ Под ред. М.Г.Ярошевского. - М.: Наука, 1971. - С. 46-150.

110. Пономарев Я.А. Психология творчества и педагогика. М.: Педагогика, 1976. - 280 с.

111. Пономарев Я.А. Фазы творческого процесса. В кн.: Исследование проблем психологии творчества / Под ред. Я.А.Пономарева. - М.: Наука, 1983.-С. 3 -26 .

112. Потеев М.И. Основы аналитической дидактики. СПб.: ЛИТМО, 1992.- 167 с.

113. Психология. Словарь / Под ред. А.В.Петровского, М.Г.Ярошевского. -М.: Политиздат, 1990. 494 с.

114. Пуанкаре А. Математическое творчество. В кн.: Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики : Пер. с фр. -М.: Сов. радио, 1970. - С. 135-145.

115. Пушкин В.Н. Эвристическая деятельность человека и проблемы современной науки. В кн.: Хрестоматия по психологии / Сост. В.В.Мироненко / Под ред. А.В.Петровского. - 2 изд. - М.: Просвещение, 1987. - С. 201-207.

116. Репкина Г.В., Заика Е.В. Оценка уровня сформированности учебной деятельности. Томск : Пеленг, 1993. - 61 с.

117. Рубинштейн С.Л. Бытие и сознание. О месте психического во всеобщей взаимосвязи явлений материального мира. М.: Изд. АН СССР, 1957.328 с.

118. Рубинштейн C.JI. О мышлении и путях его исследования. М.: Изд. АПН РСФСР, 1958. - 147 с.

119. Рубинштейн C.JI. Основная задача и метод психологического исследования мышления. В кн.: Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления / Под ред. Ю.Б.Гиппенрейтер, В.В.Петухова. - М.: Изд. МГУ, 1981. -С. 281-288.

120. Рубинштейн C.JT. Основы общей психологии: В 2 тт. М.: Педагогика, 1989.-Т.2.-328 с.

121. Рыбдылова Д.Д. Возможности обучения школьников методу познания как виду деятельности. В кн.: Научные труды Московского педагогического государственного университета. Серия: естественные науки / Под ред.

122. B.Л.Матросова и др. М.: Прометей, 1998. - С. 51-52.

123. Рыбдылова Д.Д. Формирование у учащихся умения математизировать реальные ситуации одна из важнейших функций задач. - В кн.: Проблемы совершенствования преподавания математики в современной школе. - М.: Изд. МГТГУ, 1997.-С. 16.

124. МЗ.Рыбдылова Д.Д. Функции, уравнения, неравенства. В кн.: Математика. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников специальности 2121 / Сост. В.В.Убодоев В.В., Д.Д.Рыбдылова. - Улан-Удэ: Изд. БГПИ, 1995.-С. 10-16.

125. Самарин Ю.А. Очерки психологии ума. Особенности умственной деятельности школьников. М.: Изд. АПН РСФСР, 1962. - 504 с.

126. Самарский А.А. Что такое вычислительный эксперимент? Математическая модель. В кн.: Что такое прикладная математика / Сост. Н.П.Жидков. -М.: Знание, 1980. - ( Новое в жизни, науке, технике. Серия "Математика, кибернетика", № 10.) - С. 22-35.

127. Сборник задач и производственных ситуаций по курсу "Экономика, организация и планирование промышленного производства" / Под ред. Е.И.Андросович и др. Мн.: Выш. шк., 1985. - 206 с.

128. Сборник задач и упражнений по высшей математике : Математическое программирование / Под ред. А.В.Кузнецова. Мн.: Выш. шк., 1995. - 381 с.

129. Сборник задач и упражнений по программированию : В 5 кн.: Учеб. пособие для сред. ПТУ / Ю.Ф.Щенников и др.; под ред. А.Я.Савельева. М.: Высшая школа, 1986. - Кн. 3. - 79 с.

130. Семенова И.Н. Роль и место сюжетных задач в развитии математического мышления и повышении качества знаний учащихся (на материале алгебры и начал анализа) : Дисс. . канд. пед. наук. М., 1990. - 195 с.

131. Семушин А.Д., Кретинин О.С., Семенов Е.Е. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. Обучение обобщению и конкретизации : Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978. - 64 с.

132. Сикорский К.П. О составлении уравнений по условиям задач // Математика в школе, 1954, № 1. С. 38-44.

133. Скаткин М.Н. Методология и методика педагогических исследований. М.: Педагогика, 1986. - 152 с.

134. Скидан О.П. Математическое сознание : предметное содержание , категориальная структура , культурные измерения : Дисс. . канд. филос. наук. -М., 1994.-217 с.

135. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. К.: Рад. школа, 1983.- 192 с.

136. Столяр А.А. Как математика ум в порядок приводит. 2 изд. - Мн.: Выш. шк., 1991.-96 с.

137. Столяр А.А. Методы обучения математике. М.: Высшая школа, 1966.- 190 с.

138. Столяр А.А. Педагогика математики. 3 изд. - Мн.: Выш. шк., 1986. -414 с.

139. Сухорукова Е.В. Прикладные задачи как средство развития математического мышления: Автореф. дисс. . канд.пед.наук. М., 1998. - 16 с.

140. Талызина Н.Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий и проблема развития мышления // Советская педагогика, 1967, № 1. С.28-32.

141. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний (психологические основы). 2 изд. - М.: Изд. МГУ, 1984. - 344 с.

142. Теория и практика педагогического эксперимента / Под ред. А.И.Пискунова, Г.В.Воробьева. М.: Педагогика, 1979. - 208 с.

143. Теплов Б.М. Проблемы индивидуальных различий. М.: Изд. АПН РСФСР, 1961,- 536 с.

144. Теплов Б.М. Способности и одаренность. В кн.: Теплов Б.М. Избранные труды : В 2 тт. - М.: Педагогика, 1985. - Т. 1. - С. 15-41.

145. Терешин Н.А. Мировоззренческая направленность курса методики преподавания математики. М.: Прометей, 1989. - 109 с.

146. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики: Книга для учителя. М.: Просвещение, 1990. - 96 с.

147. Терешин Н.А. Сборник задач по математике для средних сельских профтехучилищ. 2 изд. - М.: Высшая школа, 1984. - 111 с.

148. Терешин Н.А., Терешина Т.Н. Сборник задач и примеров по алгебре. 7-9 кл. М.: Аквариум, 1997. - 288 с.

149. Тихомиров O.K. К анализу факторов, создающих трудность решения задачи человеком. В кн.: Психологические исследования (сборник статей) / Под ред. А.Н. Леонтьева и др. - Вып.2. - М.: Изд. МГУ, 1970. - С. 75-82.

150. Тихомиров O.K. Психология мышления. М.: Изд. МГУ, 1984. - 272 с.

151. Тихомиров O.K. Эвристическое программирование и психология творческого мышления. В кн.: Проблемы научного творчества в современной психологии / Под ред. М.Г.Ярошевского. - М.: Наука, 1971. - С. 299-300.

152. Тихонов А.Н. Математическая модель. В кн.: Большая Советская энциклопедия: В 30 тт.- 3 изд. - М.: Советская энциклопедия, 1974. - Т. 15. — С.480.

153. Удовенко Л.Н. Развитие логической культуры учащихся 5-6 классов средствами логического конструирования при обучении математике : Дисс. . канд. пед. наук. М., 1996. - 236 с.

154. Факультативный курс по математике : Учебное пособие для 7-9 классов средней школы / Сост. И.Л.Никольская. М.: Просвещение, 1991. — 383 с.

155. Фарман И.П. Воображение в структуре познания. М.: Изд. РАН, 1994.-215 с.

156. Фридман Л.М. Дидактические основы применения задач в обучении : Автореф. дисс. докт. пед. наук. М., 1971. - 54 с.

157. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

158. Фридман Л.М., Джумаев К.К. О некоторых вопросах использования задач в обучении // Советская педагогика, 1974, № 6. С. 50-55.

159. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача: В 2 ч.: Пер. с нем. М.: Просвещение, 1982. - Ч. 1. - 208 с.

160. Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики. В кн.:

161. Хинчин А.Я. Педагогические статьи / Под ред. Б.В.Гнеденко. М.: Изд. АПН РСФСР, 1963.-С. 128-160.

162. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике: Для средней школы. 2 изд. - М.: Наука, 1989. - 574 с.

163. Шикун А.Ф., Лейбович Х.И. Методология, методы и психология научного исследования. Тверь : Изд. ТГУ, 1995. - 38 с.

164. Эльконин Д.Б. Введение в психологию развития : ( В традиции культурно-исторической теории Л.С.Выготского ). М.: Тривола, 1994. - 167 с.

165. Эльконин Д.Б. Избранные психологические труды / Под ред. В.В. Давыдова, В.П. Зинченко/ Сост. Б.Д. Эльконин. М.: Педагогика, 1989. - 554 с.

166. Эльконин Д.Б. Интеллектуальные возможности младших школьников и содержание обучения. В кн.: Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы) / Под ред. Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова. - М.: Просвещение, 1966. - С. 13-53.

167. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. В кн.: Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения: В 50 тт. - 2 изд. - М.: ГИПЛ, 1961. - Т. 20. - С. 5-338.

168. Эсаулов А.Ф. Активизация учебно-познавательной деятельности студентов. М.: Высшая школа, 1982. - 223 с.

169. Эсаулов А.Ф. Психология решения задач. М.: Высшая школа, 1972. -216с.

170. Эшби У.Р. Конструкция мозга. Происхождение адаптивного поведения: Пер. с англ. М.: Иностранная литература, 1962. - 398 с.