автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Алгоритмическая подготовка студентов факультета начальных классов в вузовском курсе математики

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Хамер, Галина Викторовна, 1999 год

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ХАРАКТЕРИСТИКА АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЕЙ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ К ОБУЧЕНИЮ УЧАЩИХСЯ МАТЕМАТИКЕ

§ 1, Возможности содержания начального курса математики для развития алгоршмического мышления учащихся.

§ 2. Уровень алгоритмической культуры учителей начальных классов,.

Глава 2. ПУТИ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ

В ВУЗОВСКОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

§ 1. Задачи, содержание и методические особенности изучения темы «Алгоритмы».

§ 2. Характеристика системы упражнений.

§ 3. Экспериментальное исследование проблемы.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Алгоритмическая подготовка студентов факультета начальных классов в вузовском курсе математики"

На пороге XXI века обществом осознана необходимость осуществления поворота в сфере образования к человеку с целью создания условий для открытия и развития потенциальных возможностей реализации личности в различных видах деятельности. А они носят такой характер, что всю человеческую деятельность можно рассматривать как выполнение последовательности алгоритмов.

Эффективное использование заложенных и приобретённых алгоритмов означает способность человека осознавать, что именно ему необходимо делать в каждый текущий момент производимого действия, предварительную обусловленность этапов достижения конечной цели, а также ожидаемый итог действий и т,п. Другими словами, результат деятельности прямо зависит от того, насколько сам индивидуум представляет алгоритмическую сущность производимых г' действий.

Впервые возможность применения алгоритмов в учебной деятельности и их значение для формирования у учащихся общих методов мышления как проблема были проанализированы Л.Н.Ландой в 1961 году (95).

В развернувшейся дискуссии по проблеме правомерности использования в обучении алгоритмов в 1960-70 гг. приняли участие многие психологи, дидакты, математики, методисты, специалисты по кибернетике, вычислительной технике и программированию, философы (10, 26, 32, 35, 36, 43, 46, 58, 59, 78, 96, 97, 105, 106, 152,154,155,157,159,171,174,175,187, 188,194, 196,198).

Путём теоретического анализа и педагогических экспериментов в эти годы и последующие были получены значимые результаты. В rot числе можно назвать: формулировку и уточнение таких понятий, как «алгоритмическое предписание» (или, по-другому, «предписание алгоритмического типа», «учебный алгоритм», «нежёсткий алгоритм») (28), «алгоритмическая деятельность» (195), «алгоритмическое мышление» (163), «алгоритмическая культура» (121), «алгоритмическая линия» (121), «алгоритмический подход» (96, 151, 190, 200), алгоритмический метод» (51), «алгоритмизация обучения» (92) и другие; отличие алгоритма на интуитивно-содержательном уровне от математического определения алгоритма (28); целесообразность изучения и применения алгоритмов в определённых темах учебных предметов и различные способы их записи (21, 33,34,37,45,51, 54,60,65,84,88,94,120,123,131,143,151, 161,197). $ Использование алгоритмов в учебном процессе облегчило школьникам ф процесс овладения различными умениями и навыками, создало у них уверенность в своих силах и способностях, что крайне важно в деле обучения. Благодаря применению алгоритмов учитель получал возможность точно установить пробелы в подготовке учащихся на каждом этапе обучения, видеть причины f ошибок и своевременно их устранять, причём эти ошибки мог легко найти и сам ученик. Таким образом, назначение алгоритма определялось в качестве хорошего средства для контроля и самоконтроля (42,49, 53, 61, 73, 83,115).

Многие исследователи отмечали в своих работах, что наиболее полезными X в обучении являются алгоритмические предписания, в которых каждое действие указывает лишь на то, что надо делать, а вот как достичь конкретной цели - ученик должен подумать сам. Именно такие алгоритмы выступают в качестве средства управления психическими процессами учащихся, ориентиров, организующих их деятельность в процессе решения учебных задач (4, 18, 31, 89, 93, 98, 147,189,199,203).

Кроме того, не менее важным признан и тот факт, что алгоритмический метод подготавливает учащихся к решению творческих задач, т.к. в решении типовых задач посредством алгоритма формируются те мыслительные действия и умения, которые затем будут выполнять учащиеся, переходя от решения типовых задач к творческим. Поэтому, исходя из цели обучения, формирования творческого мышления, целесообразно данный процесс начинать с формирования простейших мыслительных действий и умений, по сути также являющихся алгоритмическими предписаниями (2,3,16,22,31,44,48,52,79, 153,195). Осмысление этих выводов с психолого-педагогических позиций приобретает особое значение на современном этапе школьного образования, при котором основная цель состоит в том, чтобы наделять учащихся не столько конкретными знаниями, умениями^ навыками, сколько закладывать различные способы умственной деятельности, формировал» общую культуру, создавать условия для всестороннего развития личности.

Сегодня внимание к алгоритмическим аспектам деятельности человека возрастает ещё и по причине широкого внедрения в производство и быт компьютеров, различных устройств-автомагов. Все они требуют от человека, как от пользователя, строгого соблюдения определенной последовательности действий. Кроме того, работа технического устройства невозможна без предварительного составления человеком алгоритмов (программ), заложенных в основу их деятельности.

Всё вышесказанное свидетельствует о том, что выработка алгоритмов выполняемых действий становится существенным компонентом деятельности современного человека, составной частью его мышления и культуры, а впоследствии и рефлекторного поведения.

По мнению Г.В.Дорофеева, алгоритмическое мышление в наиболее чистом виде может быть сформировано только в процессе изучения математики, т.к. обучение математике вносит в его формирование «важную и специфическую компоненту, которая в настоящее время не может быть эффективно реализована даже всей совокупностью остальных школьных предметов» ([62], с. 59).

Роль в формировании и развитии алгоритмического компонента культуры современного человека принадлежит учителю, к профессиональной подготовке которого на текущем этапе - развивающего обучения-необходимы более высокие требования. В частности, качественное повышение уровня алгоритмического мышления учащихся невозможно без специальной алгоритмической подготовки преподавателя.

В многочисленных психологических (Д.И.Богоявленскии, В.В.Давыдов, П.Я.Гальперин, Е.Н.Кабанова-Меллер, З.И.Калмыкова, Л.Н.Ланда,

А.Н.Леонтьев, Н.Ф.Талызина, Л.М.Фридман и др.) и методических исследованиях (И.Н.Антипов, А.К.Артёмов, В.Г.Болтянский, Н.Я.Виленкин, М.Б.Волович, Г.В.Дорофеев, Н.Б.Истомина, А.Г.Мордкович, А.А.Столяр и др.) доказано, что уровень развития мышления, в том числе алгоритмического, существенно зависит от построения процесса обучения, от того, являются ли алгоритмические понятия и представления объектом специального усвоения и средством обучения. Однако в практике работы школы, если процент учащихся, овладевающих отдельными алгоритмами при решении математических задач, довольно высокий - 73 % ([86], с. 31), то общий уровень алгоритмической грамотности выпускников школ: понимание сущности алгоритма, его свойств, владение средствами для записи алгоритмов, знание алгоритмов школьных курсов и пр. - остаётся низким (68, 120, 129, 143, 160 и др.).

Естественно предположить, что одной из основных причин такого положения является неумение учителей правильно организовать деятельность учеников при изучении любого алгоритма, что, в конечном счёте, является следствием неразработанности темы алгоритмической подготовки преподавателя. Именно это вызывает необходимость специальной подготовки будущих учителей, целью которой является не только привитие им элементарной алгоритмической грамотности, но и освоение будущими педагогами тех знаний и умений, которые позволят им творчески решать задачу изучения и использования алгоритмов в процессе обучения для оптимального развития учащихся.

В настоящее время наиболее разработанной является проблема алгоритмической подготовки будущих учителей математики (Н.М.Новак, И.И.Полевченко, Е.И.Скафа и др.) и учащихся средних и старших классов (Б.АДЪхва®, М.И.Дербинян, Е.И.Жилина, С.А.Искандарян, А.Н.Капиносов, А.Ф.Касторнов, Ю.А.Макаренков, Т.А.Мамедова, Р.Ю.Маханов, С.А.Моркин, И.И.Пак, Е.Х.Попова, Н.А.Радюк, Б.Д.Раковер, В.М.Туркина, Л.П.Червочщща, И.Г.Шабаев, И.Г.Шеин, и др.). Поскольку подготовка учителей начальных классов имеет свою специфику, то полученные в этих работах результаты не могут быть непосредственно перенесены в учебную практику подготовки учителей начальных классов. А на наш взгляд, данная проблема ничуть не менее актуальна, чем подготовка учителей-предметников.

Психологи доказали, что возрастной период с 5 до 11 лет является наиболее ответственным в создании важнейших структур мышления детей, среди которых и алгоритмическое, т.к., по мнению В.В.Давыдова, возраст учащихся начальных классов наиболее благоприятен для образования таких важных для всей последующей учёбы и жизни школьника психических процессов, как рефлексия, анализ, внутренний план действий, являющихся основой для формирования алгоритмического мышления (149).

Многие-учёные (А.К.Артёмов, Н.Я.Виленкин, А.П.Ершов, Н.Б.Истомина, В.М.Монахов, В.А.Успенский и др.) считают, что работу над формированием алгоритмического мышления учащихся следует начинать с первых дней их обучения в школе, тем более что некоторые алгоритмы, например, сложения, вычитания, умножения и деления многозначных чисел, формируются в начальном курсе математики. Поэтому авторы Н.Я.Виленкин, Л.Г.Петерсон включили в содержание учебников по математике (2 класс) в явном виде понятия "операции, программы, алгоритма, линейного, разветвляющегося, циклического алгоритмов, примеры алгоритмов различных способов записи. Такое раннее изучение понятии обусловлено также тем, что в более позднем возрасте их формирование может быть связано с ломкой случайно сложившихся представлений, особенно в связи с обилием появившихся в последнее время заданий алгоритмического типа, содержащихся в различной учебно-методической литературе для дошкольного й младшего школьного возраста и стихийно использующихся в педагогической практике.

В процессе обучения школьников математике у них не происходит формирования алгоритмического мышления автоматически, а требуется целенаправленная, систематическая работа в этом направлении. Анализ подобной деятельности, направленной на совершенствование математической подготощф учителей начальных классов, показал, что их алгоритмическая подготовка в вузовском курсе математики уже являлась предметом исследования. Можно назвать две диссертации, посвященные подготовке учителей начальных классов к обучению алгоритмам в начальном курсе математики: В.Ф.Ефимова (1982) и Н.Ибодова (1983).

В первой работе проблема алгоритмической подготовки учителей начальных классов рассмотрена с точки зрения взаимосвязи курса математики и методики её преподавания. Во втором случае предлагается усиление алгоритмической направленности подготовки учителей за счёт проведения спецкурса или спецсеминара по теме «Научно-практические основы алгоритмической пропедевтику в начальных классах».

Подчеркнув значимость этих исследований в разработке материалов содержания занятий со студентамй;"тём не менее, приходится отметить, что их авторы не ставили себе задачу обосновать и разработать сам* процесс формирования алгоритмических знаний и умений/ъ вузовском курсе математики. Однако естественно полагать, что именно эта дисциплина должна, взять на себя основную нагрузку в повышении алгоритмической грамотности учителя начальных классов, являясь важной неотъемлемой частью его алгоритмической подготовки.

Кроме того, в этих исследованиях не затронут ещё один важный аспект в подготовке учителя: как именно следует изучать и использовать алгоритмы в начальном курсе математики, чтобы при этом происходило оптимальное развитие младших школьников.

Таким образом, актуальность выбранной темы определяется:

1. Важностью формирования полноценной, всесторонне развитой личности учителя с высоким уровнем алгоритмической культуры.

2. Бурным внедрением компьютерной техники, различных устройств-автоматов во все сферы деятельности человека, необходимостью формирования алгоритмической грамотности как важной составляющей ком пьютерной грамотности.

3. Противоречиями, появившимися в практике начального обучения в связи со стихийным и часто неосознанным, и в результате неэффективным применением заданий алгоритмического типа, содержащихся в различной литературе.

4. Неразработанностью методики алгоритмической подготовки учителя начальных классов при изучении курса математики к обучению и использованию алгоритмов для развития учащихся.

Цель исследования состоит в разработке методики формирования алгоритмических знаний и умений у студентов факультета начальных классов в процессе изучения ими курса математики.

Для реализации поставленной цели выделены; объект исследования - процесс математической подготовки студентов на факультете начальных классов, и предмет исследования - пути формирования алгоритмических знаний и умений студентов факультета начальных классов в вузовском курсе математики.

Проблема исследования заключается в обосновании путей совершенствования алгоритмической подготовки учителя начальных классов в рамках вузовского курса математики.

В своём исследовании мы исходили из гипотезы, согласно которой уровень, математической подготовки учителя начальных классов в процессе изучения курса математики можно будет повысить в том случае, если будет построена методика формирования алгоритмических знаний и умений, учитывающая особенности многопредметной деятельности учителя и опирающаяся на специально разработанную сашёму упражнений, ориентированную на выработку алгоритмических умений.

Для проверки выдвинутой гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1) проанализировать содержание школьных учебников по математике для начальных классов с точки зрения возможности развития алгоритшщ^ ского мышления учащихся;

2) выявить состояние алгоритмической подготовки учителей начальных классов;

3) определить задачи, содержание и методические особенности изучения темы «Алгоритмы» в вузовском курсе математики;

4) разработать систему упражнений, обеспечивающую формирование выделенных алгоритмических знаний и умений, и проверить её эффективность.

Методологической основой исследования явились принцип единства и взаимодействия теории и практики обучения, основные положения теории деятельности, достижения в области психологии, дидактики, методики преподавания по проблеме использования алгоритмов в учебной деятельности и их значения для формирования у учащихся общих методов мышления.

Для реализации поставленных задач и проверки исходных положений диссертационного исследования использовались следующие методы: теоретические

• анализ специальной, психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования,

• изучение программ и учебников по математике для пединститутов (педуниверситетов), педколледжей (педучилищ) и начальных классов; экспериментальные - • >

• анкетирование учителей и студентов,

• изучение и обобщение педагогического опыта,

• организация и проведение обучающего эксперимента, анализ контрольных, дипломных работ и ответов студентов на занятиях, зачётах и экзаменах, количественный и качественный анализ материалов итогового эксперимента с целью определения эффективности разработанной методики; статиетр^ки^

• обработка результатов эксперимента методами математической статистики.

Базой исследования явился факультет начальных классов Калужского государственного педагогического университета имени К.Э.Циолковского.

Организация исследования. Исследование по данной проблеме проводилось в несколько этапов с 1992 по 1999 годы.

На первом этапе (1992-1993 гг.) была изучена математическая, психолого-педагогическая, учебно-методическая литература по проблеме исследования; проведён анализ программ, учебников по математике высшей и начальной школы; проведено наблюдение, анализ уровней алгоритмической подготовки учеников и учителей начальной школы. Полученный материал позволил сформулировать гипотезу, наметить программу опытно-экспериментальной работы.

На втором этапе (1993-1994гг.) был разработан учебный материал студентов факультета начальных классов по изучению алгоритмов в вузовском курсе математики, который был издан в качестве методических рекомендаций (в авторстве) (167).

На третьем этапе (1994-1999 гг.) осуществлял^! экспериментальное обучение, в ходе которого происходила корректировка учебного Материала й методики. Итогом этого этапа стал анализ и обобщеЙЙЙ ре^льтатйв, полученных в ходе теоретического и экспериментального исследования.

Научная новизна исследования состоит, й том, что: , ;

• сформулированы и обоснованы задачи аш^оритм^е^^^йедрй^овки учителя начальных классов в вузовском курсе математики;

• уточнен^ способы записи алгоритмов в начальной школе и внесены коррективы уложившуюся мет^вду обучения алгоритмам;

• выделены алгоритмические умения, которыми должны овладеть будущие учж^да й^^ньгх .классов в провесе изучения математики в вузе;

•. рщабойш! система зздрайсненйй, адекватная этйм умениям, способст-вующй^№ышению качества^тематической и методической подштовки будущего учителя начальных классов.

Теоретическая значимость исследования состоит в обосновании требований к содержанию алгоритмической подготовки студентов факультета начальных классов и выявлении научно-методических основ алгоритмической составляющей вузовского курса математики.

Практическая значимость результатов исследования заключается в следующем: 1 '

• разработанная методика формирования алгоритмических знаний и умений в процессе изучения вузовского курса математики позволяет повысить качество профессиональной подготовки учителя начальных классов;

• составлена программа курса по выбору «Алгоритмы и приёмы построения алгоритмических предписаний» для второй ступени математической подготовки студентов факультета начальных классов (191);

• предложенные в диссертационном исследовании материалы включены в учебник «Стойлова Л.П. Математика: Учебное пособие Для студентов средних педагогических учебных заведений», рекомендованный Министерством общего и профессионального образования (165);

• материалы исследования могут использоваться преподавателями педагогических вузов и колледжей в обучении математике будущих учителей начальных классов, а также преподавателями начальной школы.

Обоснованность и достоверность результатов обусловливается тщательным анализом теоретических и практических предпосылок исследуемой проблемы, согласованностью результатов с теми, которые имели место в ранее проведённых психолого-педагогцческих и методических исследованиях, неоднократной проверкой результатов эксперимента в опытной работе. На защиту выносятся:

• научно-методические основы изучения и испощ»зовййия алгоритмов в вузовском курсе математики;

• система упражнений, нацеленная на формирование алгоритмических знаний и умений у будущих учителей начальных классов.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные результаты исследования внедрены в практику работы педагогических училищ, колледжей, институтов и университетов посредством учебных пособий по математике. Также они были представлены автором на научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава КГПУ им. К.Э.Циолковского (г. Калуга, 1996), на семинаре-практикуме преподавателей московских педколледжей (г. Москва, 1996), на заседании кафедры естественно-математических дисциплин КГПУ (г. Калуга, 1997, 1998).

Результаты исследования внедрены в форме курса по выбору «Формирование алгоритмической грамотности учащихся начальных классов» в Калужском государственном педагогическом университете имени К.Э.Циолковского, а также использованы при написании учебных пособий по математике для студентов педагогических учебных заведений.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Эти выводы были подтверждены в результате исследований, проведённых в? 1998/99 учебном году студентами 5 курса факультета начальных классов Беловой О.И. и Шалабановой И.Н., выполненных в рамках дипломных работ по темам; «Методические средства и приёмы формирования алгоритмической культуры учащихся начальных классов при обучении математике» и «Использование алгоритмов как средства обеспечения преемственности между детским садом и первым классом» под руководством диссертанта, и завершились успешной защитой.

Однако в процессе наблюдения реального процесса обучения нами сделан вывод, что подавляющее число учителей не реализует имеющиеся в курсе математики начальных классов для этого возможности, не могут провести логико-магемагический анализ алгоритмических упражнений учебника, организовать деятельность учащихся по изучению любого алгоритма начального курса мате матики таким образом, чтобы ученики сами составляли алгоритмы, а не получали их в готовом виде, не умеют эффективно использовать алгоритмы для развития учащихся.

Всё это не только отрицательно сказывается на развитии детей, но и не способствует усвоению учащимися прочных, и, что более важно, осознанных знаний, умений и навыков , предусмотренных программой.

Полученные данные позволяют предположить, что та алгоритмическая подготовка, которую получает учитель начальных классов, не обеспечивает ему необходимого уровня алгоритмических знаний и умений.

§ 2. Уровень алгоритмической культуры учителей начальных классов.

Анализ учебников математики для начальной школы показал, что содержащиеся в них задания могут быть использованы для развития алгоритмического мышления младших школьников и, одновременно, - логического мышления, творческого мышления, внимания, памяти, речи, - только в том случае, если учитель достаточно подготовлен к этой работе.

Проведённый анализ позволил так же выявить тот необходимый минимум алгоритмических знаний и умений, который должен входить в алгоритмическую подготовку учителя начальных классов. В основном этот минимум соответствует перечню знаний и умений, характеризующих так называемую «алгоритмическую культуру» ([121], с.З).

Это понятие объединяет:

- интуитивное осознание сущности алгоритма и его свойств;

- представление о возможной автоматизации деятельности человека на основе алгоритма;

- умение описать алгоритм с помощью определённых средств и методов отображения;

- знание основных конструкций, позволяющих описать алгоритмы ■ - / ветвление, цикл); • т

- понимание алгоритмического характера методов математики;

- владение алгоритмами курса математики.

Уместно упомянуть, что авторы исследований по проблематике формирования алгоритмической культуры школьников (19, 73, 108, 121, 131, 150, 193,. 194, 200, другие) полагают, что оно должно осуществляться в средней школе. Но даже введение в 1985/86 учебном году курса «Основ информатики и вычислительной техники» на практике эту задачу не решает (68, 120, 129, 143, 160). Кроме того, даже если бы эта проблема была бы решена, и будущий студент имел бы высокий уровень алгоритмической культуры, то нет гарантии, что этого уровня достаточно для работы учителем начальных классов, имеющей определённую специфику.

Именно поэтому при подготовке учителя начальных классов в вузе, педагогическом училище, колледже требуется специальная работа в этом направлении.

Начальным в комплексном эксперименте, проведённом нами в ходе исследования в 1993-94 гг., явился констатирующий эксперимент, целью которого было определение уровня алгоритмической культуры учителей начальных классов.

Базой данного исследования явилось заочное отделение факультета начальных классов Калужского государственного педагогического университета, причём только те студенты, которые работали учителями начальных классов, имея педагогический стаж от 1 до 13 лет.

В процессе изучения со студентами раздела «Алгоритмы» (введённого в курс математики на факультетах начальных классов педагогических институтов в 1986 году с целью получения студентами определённых знаний об алгоритмах для формирования алгоритмического мышления у младших школьников в своей педагогической деятельности),, других разделов вузовского курса математики нами были замечены из года в год повторяющиеся типичные ошибки сгудентбв^ имеющие алгоритмическую направленность и в значительной мере укоренившиеся у них самих ещё в начальной школе. Как показывают ^следования психологов (173), процент ошибок, в случае отсутствия в последующем какой-либо работы с целью их исправления, снижается незначительно.

При посещении уроков математики в начальных классах и в процессе целенаправленного наблюдения за текущей работой учителей, было выявлено, чтсъ алгоритмическая культура школьников остаётся низкой, так как их конкретные ошибки по теме исследования учителями не замечаются и, следовательно, не исправляются, а в ряде случаев исходят от самих преподавателей.

В подтверждение вышесказанного приведём несколько характерных примеров. (Отметим, что описываемые ситуации наблюдались на уроках учителей, осуществляющих обучение по традиционной программе, но анализ ошибок педагогов и содержания альтернативных учебников не даёт гарантии невозможности их переноса в большинстве случаев).

Пример 1. Выполняя деление 18648 на 37, ученик получил частное, равное 54. Учительница, обнаружив ошибку, потребовала от ученика повторного выполнения действий с подробным комментарием и осталась удовлетворена его ответом после следующей цепочки рассуждений:

- 186 делим на 37, берём по 5, умножаем 5 на 37, получаем 185, вычитаем, получаем остаток 1, меньший 37; сносим 4, 14 на 37 не делится, пишем 0; сносим 8^148 делим на 37, берём по 4, 37 умножаем на 4, будет 148, вычитаем, получаем 0. Ответ - 504. б Записи это выглядит следующим образом:

37

504

18648 185

148

148 0

Продемонстрированный фрагмент учебного процесса свидетельствует о том, что сам преподающий не владеет в полной мере алгоритмом деления многозначных чисел. Y

Во-первых, нарушены действия алгоритма. Это связано с тем, что в начал ьнрй школ с ал горитм ы арифметических действий традиционно таковыми не являются, так \щ описывают последовательность действий не в общем виде, а на конкретных частных примерах с постепенным усложнением последовательности действий. (Кроме учебника Н.Б.Истоминой «Математика-3»* (74), в котором при выполнении письменного деления ученикам предлагается руководствоваться математически грамотно и в доступной для учащихся форме составленным алгоритмом). Тем самым учащиеся воспринимают от преподавателей их устоявшиеся представления, что операции, входящие в алгоритм, трансформируются в зависимости от специфики исходных данных. Так, например, при делении многозначных чисел, если неполное делимое превышает делитель, то алгоритм представляется одной последовательностью операций (например, «186 делим на 37, берём по 5.»), а в противном случае - другой последовательностью («14 не делится на 37, пишем 0.»), хотя и в первом случае 186 на 37 не делится, т.к. «целое неотрицательное число а делится на натуральное число вР если существует такое целое неотрицательное число с, что а=вс» (определение отношения делимости на множестве целых неотрицательных чисел).

Во-вторых, пропущены действия, позволяющие определить количество цифр в частном, что исключило бы возможность потери учащимся нуля в разрядах частного (75, 177 и др.).

Пример 2. Чтобы объяснить учащимся, как следует находить ^йину отрезка посредством линейки, учительница воспользовалась методическими рекомендациями ([126], с. 73) в качестве руководства и почти дословно процитировала их:

- Когда хотят узнать, какой длины полоска или какой-нибудь другой предмет, пользуются линейкой. Возьмите линейку и приложите к сшей полоске так, чтобы один конец полоски совпадал с цифрой 0. Другой конец около какой цифры оказался?

Ученики, испытывая затруднение, стали приводить самые разные ответы;

- Шесть. - Семь. - Восемь.

Учительница просила их быть внимательнее, не замечая, в свою очередь, , что причина ошибок порождена самим данным предписанием, лишённым свойства детерминированности (определённости). Здесь требуется действие «чтобы один конец полоски совпадал с цифрой 0» уточнить следующим образом: « чтобы один конец полоски совпадал с делением нуля на линейке». Аналогично определяется и позиция другого конца йолоски: «Найдите на линейке деление. совпадающее со вторым концом полоски. Скажите, какое значение ему соответствует».

Хочется отметить, что изъятие «сложных» терминов из текста методических рекомендаций не упрощает, а усложняет их восприятие возникающей неконкретностью существенных деталей и ориентиров.

Пример 3. При нахождении площади фигуры с помощью палетки ([113], №437) учителем был предложен следующий способ: «Наложите палетку на фигуру; не сдвигая палетку, подсчитайте число полных квадратных сантиметров.

Сколько получили? Правильно. Запишите в тетради, а я на доске -11».

Далее, следуя указаниям методических рекомендаций ([112], с.64), учитель продолжил определение площади фигуры:

Затем подсчитывают количество неполных квадратных сантиметров. Сосчитайте».

Здесь ответы учащихся варьировались в пределах от 16 до 19. (Заметим, что эти числа действительно различны в некоторых изданиях учебвдрэв). Учитель отдал предпочтение одному из вариантов:

В учебнике опечатка. Должно быть 16 неполных квадратных сантиметров. 16 неполных квадратных сантиметров - это приблизительно 8 полных. Принимаем 2 неполных квадратных сантиметра за 1 полный. Записываем - 8, Сколько же всего, квадратных сантиметров в этой фигуре? Запишите; 11 + 8 = 19 см2 ».

В составленном учителем предписании не конкретизирована операция нахождения количества полных квадратных сантиметров по числу неполных: «число неполных квадратных сантиметров разделите на два», не определено, как поступить в случае нечётного количества неполных квадратных сантиметров, а, следовательно, не у каждой фигуры учащиеся смогут определить площадь при помощи далетки. Отметим, что ни в одном учебнике не содержится математически грамотного алгоритма и отсутствуют упражнения для его верного составления (В учебнике авторов Н.Б.Истоминой и др. (77) нахождение с помощью палетки площади любой фигуры не предусмотрено). Кроме того, данное предписание учитель преподнёс учащимся в готовом виде (как, впрочем, и во всех примерах). С методической точки зрения подобное предписание не будет являться осознанным самими учениками ориентиром, так как в его составлении они не принимали непосредственного участия.

Пример 4. После нахождения учениками значения выражения: была проведена проверка, причём учитель попросил сначала назвать последовательность выполнения действий. Один из учеников сказал, что сначала выполнил деление, затем вычитание. Учительница прервала, по её мнению, неверный ответ ученика и добилась от других перечисления последовательности действий в соответствии с алгоритмом порядка выполнения действий в выражениях со скобками. После того, как были проверены значения каждого действия, учитель даже не поинтересовался: есть ли другие варианты. По тому, как уверенно ученики проверяли каждый промежуточный результат, сигнализируя «светофорами», можно было предположить, что мысль о возможности составлен ния другого алгоритма, когда в упражнении нет такого указания, им также не приходила. Хотя другие алгоритмы, математической основой которых являются правила сложения и вычитания, более рациональны, т.к. они если и не уменьшают числа дрйствий, то имеют более простые вычисления.

Например:

8194 - (8460 : 90 + 1378) + 5306

1) 8194 - ( 8460 : 90 + 1378) + 5306

8194 - 94

8100 I

1378

6722

5306

12028

2) 8194 - ( 8460 : 90 + 1378 ) + 5306

94 + 1378 г-1

1472

8194 + 5306

-J

13500 - 147^ v

12028

Результаты наблюдений показали, что ошибки, допускаемые учениками и учителями, часто одинаковы. Это, в частности, проявляется в незнании алгоритмов, математического смысла выполняемых в них действий, в неумении представить сложное действие в виде последовательности более простых и наоборот, применить алгоритм в нестандартной ситуации, в нежелании искать другой, более рациональный алгоритм и др.

С целью получения более точной картины о состоянии алгоритмической подготовки учителей начальных классов были использованы специальные задания.

Приведём содержание этих заданий и соответствующие им алгоритмические знания и умения в таблице 1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные выводы диссертационного исследования:

1. На основе содержательного анализа школьных учебников по математике для начальных классов сделан вывод о возможности повышения алгоритмической грамотности младших школьников. На конкретных примерах показано, что при соответствующей методической обработке заданий учебников учитель может проводить с учащимися целенаправленную работу по формированию понятия алгоритма, его свойств, способов записи, использовать алгоритмы как эффективное средство обучения с целью формирования у учащихся различных математических знаний и умений. Кроме того, показано, как при этом реализовывать такую направленность изучения и применения алгоритмов, которая способствует развитию у учащихся важных психических процессов: мышления, памяти, внимания, речи, восприятия, активизирует их познавательную деятельность, способствовует развитию творческих способностей. Выделен минимум алгоритмических знашш и умений, необходимый учителю начальных классов для осуществления в профессиональной деятельности оптимального использования алгоритмов и обучения им.

2. На основании целенаправленного наблюдения за учителями начальных классов в процессе их работы, анализа ответов студентов на занятиях по математике, письменных работ, установлено, что большинство учителей не только не реализуют имеющиеся в начальном курсе математики возможности для развития алгоритмического мышления детей, но часто не замечают алгоритмических ошибок учащихся и даже сами являются их источником. Вывод о низком уровне алгоритмической культуры учителей начальных классов был подтверждён в ходе проведения констатирующего эксперимента.

3. Произведён отбор материала, имеющего алгоритмическую направленность, для изучения в курсе математики факультетов начальных классов. Сделано это с учётом принципов профессиональной направленности обучения и функционирования алгоритмических знаний и умений. Составлен перечень алгоритмических умений, которые должны быть сформированы у студентов при изучении курса математики. Разработана система упражнений, адекватная перечню алгоритмических умений. Определены последовательность и методические особенности изучения алгоритмических понятий в вузовском курсе математики. К ним относятся: • изучение понятия алгоритма на интуитивно-содержательном уровне, ® требования к содержанию алгоритмической подготовки студентов факультета начальных классов: формирование алгоритмических знаний и умений преимущественно на содержательном материале, причём, учитывая многопредметную деятельность учителя начальной школы, как математическом, так и нематематическом, ® поэтапное изучение алгоритмических понятий. Экспериментально доказана доступность и эффективность предложенной методики обучения.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Хамер, Галина Викторовна, Москва

1. Аблова B.C. Формирование элементов логической и алгоритмической грамотности при изучении математики в начальной школе // Начальная школа. №10, 1991. с. 24-34.

2. Аблова B.C. Формирование элементов логико-алгоритмической культуры учащихся в процессе обучения математике в начальной школе: Автореф. дис. канд. пед. наук. Орёл, 1995. - 16с.

3. Абрамян А.В. Исследование возможности широкого применения программированных заданий и алгоритмов для формирования познавательной самостоятельности учащихся: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Ереван, 1978. - 18с.

4. Александров Г.Н. Обучение алгоритмам и развитие продуктивной познавательной деятельности учащихся. // Вопросы воспитания познавательной активности и самостоятельности школьников. Сборник статей. Казань, 1972. с. 54-60.

5. Александрова Э.И. Математика: 1 класс, часть I: Учебник. М.: «Инфолайн», 1994. - 142с.: ил.

6. Александрова Э.И. Математика: 1 класс, часть П: Учебник. М.: «Инфолайн», 1994. - 150с.: ил.

7. Александрова Э.И. Математика: 2 класс: Учебник. М.: «Инфолайн», 1995. - 174с.: ил.

8. Александрова Э.И. Математика: 3 класс, часть I: Учебник. = М.: «Инфолайн», 1995. 309с.: ил.

9. Александрова Э.И. Математика. Рабочий вариант для 3 класса (Программа развивающего обучения). Часть 2. М.: «Дом педагогики», 1995. - 176с.: ил.

10. Алексеев Н.Г. Правомерен ли «алгоритмический подход» к анализу процесса обучения?//Вопросы психологии. №3, 1963. с. 137-143.

11. Амосов Н.М. Алгоритмы разума. Киев: Наукова думка, 1979. - 223с.

12. Антипов И.Н. Изучение основ информатики в школе. // Начальная школа. № И, 1985. с. 60-65.

13. Аргинская И.И. Математика: 2 класс: Проб. учеб. М.: Просвещение, 1992.- 191с.: ил.

14. Аргинская И.И. Математика: 3 класс: Проб. учеб. М.: Просвещение, 1993.- 160с.: ил.

15. Аргинская И.И., Занков JI.B. Математика: 1 класс: Проб. учеб. М.: Просвещение, 1991. - 192с.: ил.

16. Артёмов А.К. Развивающее обучение математике в начальных классах: Учеб. пособие для учителей и студентов факультета педагогики и методики начального обучения. Самара: Изд-во Самарского ГПУ, 1995,- 118с.

17. Бабанский Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. М.: Просвещение, 1985.- 208с.

18. Байбаков В. Четыре слоя образования. // Вестник высшей школы. №2, 1992. с. 10-14.

19. Байдак В.А., Ефимов В.И., Лапчик М.П. Формирование алгоритмической культуры у учащихся. // Повышение эффективности обучения математике в школе. / Сост. Глейзер Г.Д. М.: Просвещение, 1989. с. 74-78.

20. Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. М.: Просвещение, 1984. - 335с.

21. Басова Л.А. Обучающие программы по алгебре как средство самостоятельного овладения алгоритмами учащимися 7 класса. // Преподавание математики в средней школе. / Под ред. Барановой И.В., Борчуговой З.Г., Щукиной М.А. Л.: ЛГПИ, 1972. с. 88-101.

22. Белопольская А.Р Опыт применения обучающих алгоритмов. // Вестник высшей школы. №6, 1963. с. 31-35.

23. Бененсон Е.П., Итина Л.С. Тетрадь № 1 для 2-го класса. / Под ред. И.И: Аргинской. Самара: Корпорация «Фёдоров», 1996. - 33с.

24. Бененсон Е.П., Итина JI.C. Тетрадь № 2 для 2-го класса. / Под ред. И.И. Аргинской. Самара: Корпорация «Фёдоров», 1996. - 33с.

25. Бененсон Е.П., Итина JI.C. Тетрадь № 3 для 2-го класса. / Под ред. И.И. Аргинской. Самара: Корпорация «Фёдоров», 1996. - 49с.

26. Беспалько В.П. Программированное обучение (дидактические основы). -М.: Высшая школа, 1970. 300с.

27. Беспалько В.П., Татур Ю.Г. Системно-методическое обеспечение учебно-воспитательного процесса подготовки специалистов: Учебно-методич. пособие. М.: Высш. шк., 1989. - 144с.

28. Бирюков Б.В., Ланда Л.Н. Методологический анализ понятия алгоритма в педагогике и психологии в связи с задачами обучения. // Вопросы алгоритмизации и программированного обучения. Вып. 1,- М.: Просвещение, 1969. с. 17-38.

29. Блох А.Ш. Граф-схемы и алгоритмы. Минск: Вышэйш. шк., 1987. - 141с.

30. Богоявленский Д.Н., Менчинская Н.А. Психология учения. М., 1960 -320с.

31. Болтянский В.Г. Алгоритмизация внешняя и содержательная. // Математика в школе. №2, 1989: с. 68-72.

32. Будников B.C. Методологические проблемы алгоритмизации в науке: Авто-реф. дис. . канд. философ, наук. М., 1974. - 25с.

33. Бурлаченко В.П., Михайлик П.Я. Алгоритмы в решении задач на вычисление среднего. //Вечерняя средняя школа. №2, 1968. с. 83-87.

34. Вайзер Г.А. Об алгоритмическом подходе в обучении физике. // Вопросы алгоритмизации и программированного обучения. Вып. 1,- М.: Просвещение, 1969. с. 143-153.

35. Варга Т. Математика I. Блок-схемы. Перфокарты. Вероятности. М.: Педагогика, 1978. - 112с.

36. Виленкин Н.Я. О некоторых аспектах преподавания математики в младших классах. //Математика в школе. №1, 1965. с. 27-36.

37. Виленкин Н.Я., Дробышев Ю.А. Воспитание алгоритмического мышления на уроках математики. //Начальная школа. №12, 1988. с. 34-37.

38. Виленкин Н.Я., Петерсон Л.Г. Математика. 1 класс. Часть 1. М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллас», 1995. - 64с., с илл.

39. Виленкин Н.Я., Петерсон Л.Г. Математика. 1 класс. Часть 2. М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллас», 1995. - 64с., с илл.

40. Виленкин Н.Я., Петерсон Л.Г. Математика. 1 класс. Часть 3. М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллас», 1995. - 96с., с илл.

41. Виленкин Н.Я., Петерсон Л.Г Математика. 1 класс. Часть 4. М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллас», 1995. - 80с., с илл.

42. Власенков А.И. Алгоритмы в обучении орфографии. // Вопросы методики преподавания русского языка в средней школе. М.: Просвещение, 1965. с. 48-56.

43. Волович М.Б. К вопросу об алгоритмах в обучении. // Вопросы психологии. №4, 1967. с. 183-186.

44. Волович М.Б. Не мучить, а учить. / О пользе педагогической психологии. -М., изд. Российского открытого ун-та, 1992. 232с.

45. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. -Киев: Рад. шк., 1989. 160с.

46. Гальперин П.Я. К теории программированного обучения. М.: Знание, 1967. - 72с.

47. Гнеденко Б.В. О воспитании учителя математики. // Математика в школе. №6, 1964. с. 8-20.

48. Голиков В.Д. Использование алгоритма в процессе воспроизводящей и творческой познавательной деятельности учащихся. Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1983. - 16 с.

49. Гохват Б.А. Формирование у учащихся общих методов построения алгоритмов преобразования: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1970. - 16 с.

50. Грабарь М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические методы. М.: Педагогика, 1977. - 136с.

51. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: й Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. - 224с.: ил.

52. Гурова JI.JI. Творческий подход к решению учебных задач и проблема алгоритмизации. // Вопросы активизации мышления и творческой деятельности учащихся: Тезисы. М.: Изд-во Мое. гор. пединститута. - М., 1964,- с.69-70.

53. Гутман В.И., Мощанский В.Н. Алгоритмы решения задач по механике в средней школе. М.: Просвещение, 1988. - 95с.

54. Давайте поиграем: Мат. игры для детей 5-6 лет: Кн. для воспитателей дет. сада и родителей. / И.И. Касабуцкий, Г.Н. Скобелев, А. А. Столяр, Т.М. Че-ботаревская; Под ред. А.А. Столяра. М.: Просвещение, 1991. - 80с.: ил.

55. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении (логико-психологические проблемы построения учебных предметов). М.: Педагогика, 1972. - 423с.

56. Данилов М.А. Процесс обучения в советской школе. М.: Педагогика, 1960. -213с.

57. Двухступенчатая подготовка учителя начальных классов: Взаимосвязанные программы для педагогического колледжа и факультета подготовки учителей начальных классов в вузе. / Сост. Н.Б. Истомина. М.: Л ИНКА-ПРЕСС, 1995. - 89с.

58. Демидович Н.Б., Монахов В.М. Алгоритмы вычислений. // Математика в ,, школе. №4, 1976. с. 46-51.

59. Демидович Н.Б., Монахов В.М. Алгоритмы невычислительных процессов. //Математика в школе. №5, 1976. с. 70-75.

60. Дербинян М.И. Методика обучения элементам алгоритмизации учащихся 56 классов с использованием диалоговой системы Поста: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1989. - 18 с.

61. Дилигул Г.Д. Алгоритмический подход при обучении математике. // Методические рекомендации по математике. Вып. 1. М.: Высшая школа, 1976. г 71 то1. С. /1- / о.

62. Дорофеев Г.В. Гуманитарно ориентированный курс основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. № 4,1997. с. 59-66.

63. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приёмов учебной деятельности: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990. - 127с.

64. Ефимов В.Ф. Алгоритмы в методико-математической подготовке учителя начальных классов в педагогическом институте: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -М., 1982. 16 с.

65. Жилина Е.И. Алгоритмическая и алгебраическая линии в изучении числовых систем в курсе математики 4-5 классов: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -М., 1980.-24 с.

66. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Техника вычислений и алгоритмизация. -М.: Просвещение, 1987. 160 с.

67. Загвязинский В.И. Методология и методика дидактического исследования. -М., 1982. 160с.

68. Зак А. Развитие самостоятельного мышления школьников. // Информатика и образование. №5, 1987. с. 80-82.

69. Зак А.З. Различия в мышлении детей. / Уч.-мет. пособие- М., изд. Российского открытого университета, 1992. 128с.

70. Зарецкий А.В., Зарецкий В.П., Сырцов А.Г. Умные раскраски: Программы в картинках. М.: «Детская Академия», 1992. - Юс.

71. Ибодов Н. Усиление алгоритмической направленности подготовки учителей начальных классов: Автореф. дис. канд. пед. наук. М., 1983. - 16с.

72. Изучение основ информатики и вычислительной техники в средней школе: опыт и перспективы. / Сост. В.М. Монахов и др. М.: Просвещение, 1987. -192с.: ил л. (Б-ка учителя математики).

73. Искандарян С.А. Методика обучения младших школьников элементам алгоритмизации: Автореф. дис. канд. пед. наук. М., 1980. - 16с.

74. Истомина Н.Б. Математика. 3 класс: Учебник для начальной школы. 1-е изд. - М.: ЛИПКА-ПРЕСС, 1995. - 240с.: ил.

75. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 1997. - 288с., илл.

76. Истомина Н.Б., Нефёдова И.Б. Математика. 1 класс: Учебник для начальной школы. 1-е изд. - М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 1993. - 172с.: ил.

77. Истомина Н.Б., Нефёдова И.Б., Кочеткова И.А. Математика. 2 класс: Учебник для начальной школы. 1-е изд. - М.: ЛИНКА-ПРЕСС, 1994. - 189с.: ил.

78. Ительсон Л.Б. Математические и кибернетические методы в педагогике. -М.: Просвещение, 1964. 248с.

79. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приёмов умственной деятельности и умственного развития учащихся. М.: Просвещение, 1968. - 288с.

80. Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. М.: Педагогика, 1981. - 200с., ил.

81. Камбурова Л.А. Информатика-2: Учеб. пособие. М.: Изд-во гимназии «Открытый мир», 1995. - 48с.: ил.

82. Каплан Б.С., Рузин Н.К., Столяр А.А. Методы обучения математике: некоторые вопросы теории и практики. Минск: Нар. асвета, 1981. - 191с.

83. Касторнов А.Ф. Совершенствование методики решения задач с помощью применения схем и программ: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1979. -16 с.

84. Кек М.С. Алгоритмическое предписание при обучении решению уравнений. //Начальная школа. №2, 1975. с. 44-48.

85. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современной школе. // Математика в школе. № 6, 1971.-е. 2-3

86. Краснянская К.А., Кузнецова JI.B. Оценка математической подготовки школьников по результатам международного тестирования: Кн. Для учителя. М.: Просвещение, 1995. - 96с: ил.

87. Криницкий Н.А. Алгоритмы вокруг нас. М.: Наука, 1984. - 224с.

88. Крупич В.И. Опыт использования алгоритмических предписаний в программировании учебного материала по математике. // Вопросы программированного обучения в школе. М.: МГПИ, 1966,- с. 56-64.

89. Крылова В.А. Использование обучающих алгоритмов как средства повышения эффективности обучения (на материале преподавания иностранного языка в неязыковом вузе): Автореф. дис. . канд. пед. наук. JL, 1966. - 26с.

90. Куличкова О.П. Аксиоматическая теория натуральных чисел: Методическое пособие для студентов факультета подготовки учителей начальных классов и учащихся педагогических колледжей. Мичуринск, 1996. - 45с.1.,

91. Ланда Л.Н. Алгоритмизация в обучении. М.: Просвещение, 1966. - 96с.

92. Ланда Л.Н. Умение думать. Как ему учить? М.: Знание, 1975. - 64с.

93. Ланда Л.Н. О формировании у учащихся общего метода мышления при решении задач. //Вопросы психологии. №3, 1959. с. 14-26.

94. Ланда Л.Н. Обучение учащихся методам рационального мышления и проблема алгоритмов. //Вопросы психологии. №1, 1961. с. 103-117.

95. Ланда Л.Н. Алгоритмический подход к анализу процессов обучения правомерен. //Вопросы психологии. №4, 1963. с. 143-152.

96. Ланда Л.Н. О кибернетическом подходе к теории обучения. // Вопросы философии. №9, 1962. с. 75-87.

97. Ланд а Л.Н., Сорокина Л.Н. Формирование алгоритмических и эвристических процессов. // Развитие мышления средствами программированного обучения / Под ред. Ланда Л.Н. М., 1969. - 172с.

98. Лапчик М.П. Вычисления. Алгоритмизация. Программирование. М.: Просвещение, 1988. 208с.

99. Лапчик М.П. Обучение алгоритмизации: Учеб. пособие. Омск, 1977. -102с.

100. Левинов A.M. О понятии «навык» и возможности оценки уровня сформированное™ навыка при обучении алгоритмам. // Новые исследования в педагогических науках. Вып. 1 -М., 1981. с.31-34.

101. Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики. 4-е изд. - М.: изд-во МГУ, 1981.-584с.

102. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. М.: Педагогика, 1981.- 185с.

103. Ломов Б.Ф. Человек и автоматы. М.: Педагогика, 1984. - 128с., ил.

104. Ляпунов А.А., Шестопал Г.А. Об алгоритмическом описании процессов управления. // Математическое просвещение. №2, 1957. с. 43-48.

105. Лященко Е.И. Системный подход при формировании алгоритмов арифметических действий в 4-5 классах. // Актуальные вопросы методики обучения математике. Сборник научных трудов. Л., 1978. - с. 16-19.

106. Макаренков Ю.А., Столяр А.А. Что такое алгоритм. Минск, 1989. - 87с.

107. Мамедова Т.А. Пути совершенствования алгоритмической культуры учащихся: Автореф. дис. канд. пед. наук. Баку, 1992. - 16 с.

108. Математика: 2 класс: Учеб. Для четырёхлет. нач. шк. / М.И. Моро, М.А. Бантова и др.; Под ред. Ю.М. Колягина. М.: Просвещение, 1987. - 160с.: ил.

109. Математика: 3 класс: Учеб. Для четырёхлет. нач. шк. / М.И. Моро, М.А. Бантова и др.; Под ред. Ю.М. Колягина. М.: Просвещение, 1988. - 192с.: ил.

110. Математика: 4 класс: Учеб. Для четырёхлет. нач. шк. / М.И. Моро, М.А. Бантова и др.; Под ред. Ю.М. Колягина. М.: Просвещение, 1989. - 223с.: ил.

111. Математика в 3 классе: Пособие для учителя трёхлет. нач. шк. / А.С. Пчёл-ко, М.И. Моро и др. 4-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1988. - 159с.: ил.

112. Математика: Учеб. для 3 кл. трёхлет. нач. шк. / А.С. Пчёлко, М.А. Бантова, М.И. Моро, A.M. Пышкало. 17-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1989. -207с.: ил.

113. Матюшков Л.П., Лихтарович А.А. Основы машинной математики. Минск: Нар. асвета, 1988. - 240с.

114. Маханов Р.Ю. Формирование общих алгоритмических умений учащихся с помощью использования языка блок-схем при изучении математики: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Душанбе, 1984. - 18с.

115. Махмутов М.И. Теория и практика проблемного обучения. Казань, 1972. ^ 123с.

116. Методика начального обучения математике. / Под ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. Минск: Вышэйш. шк., 1988. - 253с.: ил.

117. Микулина Г.Г. Роль предметных действий при изучении последовательности чисел. // Начальная школа. № 9, 1987. с. 41-44.

118. Минаева С.С. Вопросы обучения вычислительной математике и программированию в средней школе: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1971. -21с.

119. Михно А.А. Формирование общих алгоритмических умений учащихся при изучении математики в средних специальных учебных заведениях: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Киев, 1988. - 20с.

120. Монахов В.М., Лапчик М.П., Демидович Н.В., Червочкина Л.П. Формирование алгоритмической культуры школьника при обучении математике. -М.: Просвещение, 1978. 94с.

121. Мордкович А.Г. О профессионально-педагогической направленности преподавания математических дисциплин на заочных отделениях пединститутов (рекомендации). М.: МГЗПИ, 1985. - 38с.

122. Моркин С.А. Приёмы построения алгоритмов как средство обучения тождественным преобразованиям в курсе алгебры: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Л., 1990. - 16с.

123. Моро М.И., Бантова М.А. Математика: Учеб. для 2 класса трёхлет. нач. шк. 18-е изд. - М.: Просвещение, 1989. - 256с.: ил.

124. Моро М.И. и др. Математика: Учеб. для первого класса трёхлет. нач. шк. / М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова 15-е изд. - М.: Просвещение, 1988. - 175с.: ил.

125. Моро М.И. и др. Математика в 1 классе: Пособие для учителя трёхлет. нач. шк. / М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. 5-е изд. - М.: Просвещение, 1989. - 160с.: ил.

126. Моро М.И., Степанова С.В. Математика. 1 класс: Учебник для четырёхлетней начальной школы. М.: Просвещение, 1986. - 128с.

127. Москаева А.С. Алгоритмы и алгоритмический подход к анализу процесса обучения. //Вопросы психологии. №3, 1965. с. 138-146.

128. Новак Н.М. Алгоритмизация обучения как средство осуществления внут-рипредметных и межпредметных связей при изучении математического анализа в пединституте: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1993. - 16с.

129. Новосёлов М.М. Алгоритм. // Философский энциклопедический словарь / Редкол.: С.С. Аверинцев, Э.А. Араб-Оглы и др. 2-е изд. - М.: Сов. энциклопедия, 1989. с. 20-21.

130. Пак И.И. Формирование культуры алгоритмических вычислений в курсе алгебры 6-7 классов: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1987. - 16с.

131. Паутова А.Г. Информатика-1: Учеб. пособие. М.: Изд-во гимназии «Открытый мир», 1995. - 48с.: ил.

132. Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 1. М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллае», 1996. - 112с,, с илл,

133. Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 2. М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллас», 1996. - 112с., с илл.

134. Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 3. М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллас», 1996. - 112с., с илл.

135. Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 4. М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллас», 1996. - 64с., с илл.

136. Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 1. М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллас», 1996. - 96с., с илл,

137. Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 2. М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллас», 1996. - 128с., с илл.

138. Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 3. М.: Компания С-инфо-Лтд, фирма «Баллас», 1996. - 128с., с илл.

139. Петерсон Л.Г. Математика. 3 класс. Часть 4. М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллас», 1996. - 96с., с илл.

140. Петерсон Л.Г. Программа по математике для трехлетней и четырехлетней начальной школы, //Начальная школа, № 11, 1996, с, 49-58,

141. Подцубная Т., Фукс И. Построение алгоритмов. // Информатика и образование. №5, 1987. с. 64-75.

142. Полевченко И.И. Методика организации самостоятельной работы студентов при изучении алгоритмического содержания математического курса (на примере алгебры и теории чисел): Автореф. дис. . канд. пед. наук. Могилёв, 1988 - 27с.

143. Пономарёв Я. А. Знания, мышление и умственное развитие. М.: Педагогика, 1967. - 208с,

144. Попова Е.К. Взаимосвязь функциональной и алгоритмических линий школьного курса алгебры: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1990. -22с.

145. Практикум по педагогике математики. / Под общ. ред. А.А. Столяра. -Минск: Вышэйш, шк., 1978. 192с,

146. Применение алгоритмов как средства управления познавательной деятельностью учащихся. / Под ред. Б.В. Ершова, Б.П. Пузанова. М.: Экспресс -Информация, 1972. - 20с.

147. Программы педагогических институтов. Сб. 16: Педагогика. Русский язык. Математика. Музыкальный инструмент: Для спец. № 2121 «Педагогика и методика начального обучения». / М-во просвещения СССР. М.: Просвещение, 1986. - 86с.

148. Психическое развитие младших школьников: Экспериментальное психологическое исследование. / Под ред. В.В. Давыдова; Науч.-исслед. Ин-т общей и педагогической психологии Акад. пед. наук СССР. М.: Педагогика, 1990. - 160с.; ил.

149. Радюк Н.А. Формирование элементов алгоритмической культуры учащихся при изучении математики в 5-6 классах: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -Минск, 1988. -16с.

150. Раковер Б.Д. Алгоритмические аспекты в обучении математике (алгебра и элементарные функции): Автореф, дис, ,,, канд. пед, наук, Кишинёв, 1967 -16с.

151. Ржецкий Н.Н. О содержании понятий «надёжность» и «алгоритм» в учебной деятельности. //Вопросы психологии. №3, 1969. с. 93.

152. Розенберг Н.М. Обучение алгоритмам умственных и практических действий. // Советская педагогика. №8, 1965. с. 59-70.

153. Розенберг Н.М. Рационализация учебных алгоритмов распознавания и оптимальное кодирование. // Программированное обучение. КГУ, 1968. -Вып, 2, с, 57-74,

154. Ростовецкая JI.A. Обучение алгоритмам как средство развития самостоятельности мышления школьников. // Новые исследования в пед. науках. Вып. 6. -М.: Просвещение, 1966. с. 45-50.

155. Румачик П.Ф. От планирования к алгоритмам путь перестройки преподавания математики, // Математика в школе, №2. 1989, с, 65-68,

156. Ряховский Г.Д. Использование алгоритмических структур при решении некоторых педагогических задач. -Киев, 1966. 14с.

157. Савченко В. Как составить алгоритм. // Информатика и образование. №6,1989. с. 39=43.

158. Скаткин М.Н., Логинов И.Н. Исследование по алгоритмизации в обучении. //Советская педагогика. №4, 1967. с. 145-147.

159. Скафа Е.И. Методика обучения выбору учебного алгоритма решения математических задач (на материале раздела «Неравенства» для подготовительных отделений): Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1990 - 15с.

160. Скобелев Г.Н., Столяр А.А. Алгоритмы в обучении шестилеток в математике. //Начальнаяшкола. №5, 1989. с. 66-70.

161. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. = Киев: Радяньска школа, 1983. 192с,

162. Соловей Л.А. Гносеологический анализ алгоритмичности мышления (на материалах математики): Автореф. дис. . канд. философ, наук. Киев, 1977, - 22с,

163. Стойлова Л.П. Бинарные отношения в системе математической подготовки учителя начальных классов: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 1976 -24с.

164. Стойлова Л.П. Математика: Учебное пособие для студ. сред. пед. учеб. за= ведений. 2-е издание, исправленное. - М.: Издательский центр «Академия», 1997. - 464с.

165. Стойлова Л.П., Липатова Г.Ф., Смолеусова Т.В. Методические рекомендации к самостоятельной работе над курсом математики. Часть П, Для студентов дневного отделения факультета начальных классов. М.: МГЗПИ,1990. 74с., 28 рис.

166. Стойлова Л.П., Хамер Г.В. Алгоритмы и их свойства: Методические рекомендации к самостоятельной работе над курсом математики, М,: МГОПИ, 1994. - 46с.

167. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: Вышзйхп. шк., 1986. - 414с

168. Столяр А.А., Чеботаревская Т.М. Вычислительные машины. // Начальная школа. №12, 1987. с. 52-54.

169. Талызина Н.Ф, Педагогическая психология: Учеб. пособие для етуд. сред, пед. учеб. заведений. М.: Издат. центр «Академия», 1998. - 288с.

170. Талызина Н.Ф. Теоретические основы программированного обучения. М.: Знание, 1968, - 102с,

171. То гтт тпгттто I I ftl \^п«апттатгтт ттлпттолаа»* тшллатттт г»ттоттгхтг \ А 1 QT^ ^ /1. laimijiina П.чг. > ираолсшго ii/uijcvvui*i Jvouciuin jnarum. т., i у J j. ~ j-rjw.

172. Тихомиров O.K. Алгоритмы и разум. // Автоматика. №6, 1980. с. 79-84.

173. Трошкова Т.П. О пропуске нулей в частном при делении многозначных чисел (3 класс). // Начальная школа. № 11, 1974. = с. 42=44.

174. Туркина В.М. Формирование общих приёмов доказательства математических утверждений: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Л., 1984 - 16с.

175. Управление познавательной деятельностью учащихся. / Под ред. П.Я. Гальперина, М,: изд-во Моек, ун-та, 1972, - 262с,

176. Управляемое формирование психических процессов. / Под. ред. П.Я. Гальперина. М.: изд-во Моск. ун-та, 1 977. ■ 198с.

177. Усова А.В. Психолого-дидактические основы формирования у учащихся научных понятий; Учеб, пособие, Челябинск, 1979, - 86с,I

178. Усова А.В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения. -М.: Педагогика, 1986. 173с.: ил.

179. Успенский В.А. Алгоритм. // Философская энциклопедия. Т.1. М.: Сов. Энциклопедия, 1960. с. 38-42.

180. Успенский В.А. Алгоритм. «Уточнения» понятия алгоритма. // Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол. : С.И. Адян, Н.С. Бахвалов и др. М.: Сов. энциклопедия, 1988. с. 62=64.

181. Успенский В, А, К преподаванию математики в начальной школе, // Математика в школе. №2, 1966. с. 37-38.

182. Формирование приёмов математического мышления. / Под ред. Н.Ф.Талызиной. М.: Изд-во ТОО «Вентана-Граф», 1995. - 231с.

183. Фридман Л.М. Ещё раз о понятии алгоритма в психологии. // Вопросы психологии. №55 1971. с. 75-84.

184. Фридман Л.М. Учебные алгоритмы распознавания. // Известия АПН РСФСР, 1963 Вып. 129. - с.125-132.

185. Фролова Г,В, Педагогические возможности ЭВМ; Опыт, Проблемы, Перспективы. / Отв. ред. А.П.Ершов, Сиб. отд-ние. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. - 170с.: ил.

186. Хамер Г.В. К вопросу об обучении приёмам построения алгоритмов, алгоритмических предписаний студентов факультета начальных классов. // Сборник трудов молодых учёных, Выпуск 3, Калуга, 1995, - с, 52-63,