автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Геометрия узлов как средство развития пространственного мышления школьников

Автореферат диссертации по теме "Геометрия узлов как средство развития пространственного мышления школьников"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ГЛОБАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ

На правах рукописи

/

Рейхани Эбрахим

Геометрия узлов как средство развития пространственного мышления школьников

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре образовательных технологий факультета глобальных процессов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор, чл.-корр. РАО Розов Н.Х.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Бутузов В.Ф.

кандидат психологических наук, доцент Каплунович И .Я.

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится " 20 "декабря 2005г. в 16 часов на заседании Диссертационного совета Д 501.002.07 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва. Ленинские горы, МГУ, 2-ой учебный корпус, факультет глобальных процессов, аудитория 5А.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУ им. Горького. Автореферат разослан » ноября 2005 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В последние годы растущий интерес к геометрическим идеям стимулировался их новым использованием в математике и других областях науки. Мы живем в реальном мире, и реальный мир является геометрическим. Поэтому важнейшей целью обучения геометрии является развитие способности человека существовать, ориентироваться и действовать в окружающем пространстве. Двойной характер геометрии - и как теоретической области, как области практического опыта - дает возможность учителям математики связать теорию с каждодневной практической деятельностью их учеников.

Поскольку геометрия развивается, охватывая все более широкий круг разнообразных визуальных явлений, важно понимать, что представляет собой геометрическое мышление, как оно решает проблемы, возникающие в этих визуальных явлениях, и как это мышление развивается. Одно из определений геометрии, данное британским математиком Кристофером Зиманом, звучит так: "Геометрия включает те отрасли математики, которые эксплуатируют визуальную интуицию (наиболее доминирующее из наших чувств), чтобы помнить теоремы, понимать доказательство, вдохновлять догадку, чувствовать действительность и давать глобальное понимание".

Много лет обучение геометрии было ограничено обозначением форм и измерением их характеристик. Конечно, евклидова геометрия имеет огромное значение в изучении геометрии в школах. Однако в сфере восприятия современных детей (благодаря кино, телевидению, компьютерным средствам, книгам) оказывается такой широкий спектр геометрических свойств, по сравнению с которым круг классических, традиционных вопросов элементарной евклидовой геометрии оказывается

з

ничтожно малым. Это порождает необходимость вводить в школе элементы из других геометрий, чтобы воспринимаемые детьми геометрические свойства окружающего мира не оседали изобилием мертвых впечатлений, а работали на их интеллект. Bishop (1983) дал следующее определение геометрии, которое показывает необходимость расширить круг геометрических идей (концепций): «Геометрия - это не изучение доказательств! Геометрия - изучение пространственных отношений, которые могут быть найдены в трехмерном пространстве, где мы живем, и на любой двухмерной поверхности в этом трехмерном пространстве».

В настоящее время фундаментальная проблема, связанная с геометрической компонентой школьной математики, состоит в том, что в геометрии есть слишком много интересных направлений и разделов, гораздо больше, чем может быть разумно включено в учебный план математики. Последние оценки показывают, что имеется более 50 направлений геометрии.

Развитие геометрического воображения можно осуществлять на различном материале, как каноническом, так и более современном. В последние годы все большее место в геометрическом образовании школьников занимают графы, многогранники, мозаики, паркеты и т.п. В диссертации предлагается вниманию и учителей, и методистов еще один важный, наглядный и интересный геометрический объект - узел. Конечно, речь не идет о том, чтобы включить в школьную программу еще один объект. Скорее всего, предлагаемый материал будет удобен и полезен для внеклассной работы, расширяющей кругозор школьников, развивающей их пространственное воображение.

Выбор узлов определяется еще и тем, что они позволяют показать те проблемы, которые возникают при введении в школьный обиход любого

нового материала, будь то векторы, метод координат, производные, вероятность или графы, и продемонстрировать пути его изучения. Отметим, что даже в таких темах школьной геометрии, как векторы или метод координат, уже ставших каноническими, эти проблемы далеки от полного решения, так что предлагаемые подходы ммут оказаться полезными и при работе со стандартной программой школьного курса геометрии.

Цель исследования. Целью исследования является изучение возможности развития геометрического воображения школьников с помощью неевклидовых объектов. Для этого было предложено разработать цикл занятий, посвященных изучению в школе узлов.

Задачи исследования. Дня достижения поставленной цели необходимо было решить несколько принципиальных задач:

Первая - чисто методическая: подготовить материал, который был бы интересным и полезным для изучения. Выбор именно узлов определяется тем, что они являются одним из удачных средств развития геометрического воображения учащихся, так как позволяют опереться при изучении на чрезвычайно мощный пласт ассоциированных друг с другом визуальных представлений, осязательных комплексов и активных действий (манипуляций).

Вторая - методологическая: на излагаемом материале продемонстрировать, как строить "школьную теорию". Узлы являются удачным примером, потому что, с одной стороны, это объект, широко употребляемый и в обыденной жизни, и в профессиональной деятельности, а с другой - предмет изучения одной из интенсивно развивающихся ветвей современной математики, имеющей перспективные приложения в физике, химии, биологии. Проблема состоит в том, что обыденные представления об

узлах - это чисто эмпирическое знание, и, в то же время, научная теория, даже на уровне простейших определений совершенно недоступная для восприятия школьников. Для того чтобы разрешить возникшее противоречие, приходится строить "школьную теорию" узлов. Основная задача такой теории - формирование лестницы из представлений, ведущей от представлений обыденных к представлениям научным, построение, если так можно выразиться, пути от «жизни к науке». Главное требование, предъявляемое к этому пути, - чтобы каждый следующий шаг учащиеся могли делать самостоятельно: выделить свойство, сформулировать правило, задать ограничение, ввести понятие и т.п. Роль учителя же должна состоять не в изложении истин, а в формировании взгляда на проблему путем предъявления подобранных специально для этого примеров и контрпримеров.

Наконец, третья и самая важная задача, которую мы преследуем - это цель социально-системная. Она состоит в том, чтобы способствовать активизации перехода в школьном естественно-научном образовании от языковой компиляции (когда детей обучают не умению работать с реальными объектами материального мира, а со словами, обозначающими эти объекты, причем зачастую с полностью утраченной связью между словом и соответствующим объектом) к материально-ориентированному образованию. В качестве основных принципов такого образования можно назвать три. Первый - формирование абстрактных, идеальных представлений в воображении ребенка на основе его чувственного опыта, путем вычленения из этого опыта наиболее важных, существенных свойств и представления этих свойств в максимально выраженной, идеальной форме. Второй -формирование представлений о воображаемых действиях с воображаемыми предметами на основе реальных действий с реальными предметами. И,

б

наконец, третий - формирование логики (то есть принципов аргументации) путем опять же абстрагирования общих правил действий с материальными объектами, перенося их сначала в область действий воображаемых, а затем -в область понятий.

Объектом исследования является процесс развития пространственного воображения школьников при освоении представлений об узлах, оперирований с узлами, изображения узлов и изучения их свойств.

Теория узла возникла как математическая теория в конце 18 - начале 19 веков. Ее систематическое изложение началось с восьмидесятых годов 19 века, когда математики и физики начали составлять таблицы узлов под влиянием идей У. Томпсона (лорда Кельвина), полагавшего, что узлы должны соответствовать химическим элементам. Однако настоящие прорывы в теории узлов начались во второй половине 20 века.

Сейчас математическая теория узлов бурно развивается в связи с запросами физики, химии, биологии: узел приобретает роль одной из основных моделей сложных структур. И хотя современные результаты этой теории весьма далеки от обыденной практики и не могут быть доступны школьникам, развитые в этой теории методы оперирования с узлами, символического изображения узлов, их классификация, понятие равенства (эквивалентности) узлов и т.д., то есть все, что составляет элементарную теорию узла - находится в тесной связи с нашей деятельностью как в обыденной жизни, так и в профессиональной сфере.

Теория, которую мы используем для изучения узлов, имеет свои правила и характеристики. Например, правило изображения и раскрашивания, индекс пересечения, движения Рейдемейстера, число звеньев и т.п описывают характеристики этой теории, которая оказывается уже «геометрией нового типа». Мы называем эту геометрию «геометрией узлов».

Предмет исследования - методологические и психологические основания, позволяющие осуществить в средней школе освоение представлений об узлах, методах их изображения и технике оперирования как с узлами, так и с изображениями узлов.

Узлы, с учебной точки зрения, являются весьма благодатным материалом. Дети осваивают завязывание узлов на ботинках и заплетание косичек еще до того, как научатся читать и считать. Умение шить и вязать для девочек или умение привязать веревку к дереву и крючок к леске для мальчиков являются некоторыми "абсолютными" составляющими домашнего, бытового образования. С узлами мы имеем дело всю свою жизнь - от раннего детства до старости. Узлом завязываются и галстук, и нитка, узлом привязывается и коза к колышку, и буксировочный трос к автомашине. Узел как элемент человеческой культуры известен уже несколько тысяч лет. С глубокой древности те или иные традиции специфического вязания узлов отличали один народ от другого, нередко эти традиции носили культовый характер (как, например, Гордиев узел) и являлись предметом профессиональных умений: без способности вязать специальные узлы не бывает ни ткача, ни моряка, ни рыболова, ни альпиниста, ни спасателя, ни туриста. Таким образом, для изучения узлов у школьников есть и вполне сформировавшаяся база навыков, и вполне естественные мотивации - как бытового характера, так и в плане профессиональной ориентации.

Узел - легко создаваемый объект. Из материалов не требуется ничего, кроме веревки, карандаша и бумаги. Он может быть легко продемонстрирован в классе, дома, в любом другом месте. Экспериментировать с узлом, преобразуя его собственными руками, могут школьники любого возраста и способностей, и именно это

экспериментирование создает у них тот сплав осязательных и визуальных ассоциаций, из которых формируется пространственное восприятие и пространственное воображение. Для иллюстрации различных узлов имеется довольно много методических материалов (правда, иностранных, на английском языке) с упражнениями и иллюстрациями, которые выполнены как в традиционной форме книг и брошюр, так и в виде Интернет-сайтов и программных продуктов, позволяющих создавать и исследовать узлы на экране компьютера.

Узлы легко изображаются, работа с диаграммами узлов позволяет школьникам развивать навыки перехода от пространственных образов к плоским изображениям и обратно. Этот переход лежит в основе всего механизма пространственного воображения и умения рассуждать о пространственных объектах на плоских чертежах.

Наконец, очень важным моментом следующий: изучение узлов дает преподавателю возможность продемонстрировать школьникам, что любая математическая теория есть просто результат научного изучения того или другого объекта. Это изучение - совершенно естественный процесс, который школьники вполне способны осуществлять самостоятельно, руководствуясь только соображениями здравого смысла. Несмотря на то, что еще никто не нашел способа полного и ясного описания всего многообразия узлов, и тем более невозможно сразу охватить всю запутанность и сложность, которую математики обнаружили при изучении узлов, тем не менее уже на уровне школы возможно хотя бы отчасти понять, как они изучают этот объект и в каких терминах и представлениях они формулируют своё знание.

Гипотеза исследования состоит в том, что для развития пространственного воображения возможно использовать не только

классические евклидовы отношения пространственных объектов, но, прежде всего - отношения топологические, которые и начинают восприниматься школьниками раньше евклидовых, и встречаются несравненно чаще. При этом изучение даже таких нетривиальных объектов, как узлы, оказывается возможным, если опираться в работе на реальный материал, отправляясь от интуитивных представлений и практического опыта детей, сформированных в результате работы с этим материалом.

Общая схема изучения узлов следующая:

Младшие школьники начинают с простого завязывания и развязывания узлов, затем осваивают их изображение на диаграммах, тренируются в соотнесении изображения и пространственного расположения узла, с помощью раскрашивания учатся делить узел на фрагменты.

Затем круг освоенных узлов обогащается и расширяется одновременно круг изучаемых фактов. В основной школе познается, как геометрические свойства узла связаны с их функциональными свойствами, значимыми для практики (легко ли узел завязывается и развязывается, ползет ли под нагрузкой, не ослабляет ли прочность веревки и т.д.). Учащиеся осваивают движения, преобразования узлов. На основе чувственного опыта и путем экспериментирования они формулируют правила таких движений, выделяют их основные типы. Параллельно формируется представление об эквивалентности узлов, появляется потребность в классификации.

Третий этап в изучении узлов уже приближается к научной системе представлений. Старшеклассники отправляясь от уже известных им характеристик, приходят к основным инвариантам, позволяющим отличить один узел от другого.

Отметим, что проведение занятий с младшими школьниками показало наличие новых фактов возрастной педагогики. Например, обнаружилось, что

ю

переход от третьего класса к четвертому связан с приобретением представлений об ориентации. С заданием на завязывание узлов в разных направлениях (по и против часовой стрелки) школьники четвертого класса справляются, в то время как школьники третьего класса испытывают существенные трудности. По-видимому, это связано с теми уровнями развития пространственного восприятия школьников, которые обсуждает в своих работах Ж.Пиаже.

Теоретико-методологическая основа исследования. При разработке был использован целый ряд современных психолого-педагогических концепций: теории Ж.Пиаже, модели P.&D.Van Hiele, W.Whiteley, A.Hoffer'a, J.Del Grande, И.С.Якиманской, A.J.Bishop'a и И.Я.Каплуновича.

Методы исследования. Вопрос о том, как правильно излагать геометрический материал, - давнишний. Поскольку интересных вещей, которые можно включить в геометрию, слишком много, необходимо какое-то решение относительно того, что включить, а что исключить в этом учебном материале.

Какого-то общего мнения о том, какие принципы можно и нужно положить в основу для принятия такого рода решений, сейчас нет, так что указанная проблема далека не только от полного, но даже и от частичного решения. Тем не менее, можно указать некоторые совершенно естественные требования к соответствующему учебному материалу геометрии. Например, изучаемый материал должен:

• Опираться не столько на текстовые определения и доказательства, сколько на представления о форме, пространстве и движении.

• Основываться на свойствах не только двумерного, но и трехмерного мира.

• Обеспечивать минимум записывания и максимум действия.

il

• Развивать пространственное воображение учеников.

• Развивать навыки, необходимые для профессиональной деятельности.

• Развивать логическое мышление.

• Показывать связь между математикой и другими предметами, между математикой и человеческой практикой.

При разработке цикла занятий в основу были положены следующие принципы: а) Осуществлять движение от реального действия к воображаемому, к формированию геометрического образа на основе не словесных определений, а интуитивного и чувственного опыта.

б) Освоение темы должно быть связано с построением «лестницы» из представлений, которая начинается с представлений чувственных, заканчивается представлениями научными (понятийного характера), а каждая «ступенька» - переход от одного уровня представлений к другому - может быть освоена учеником самостоятельно, основываясь на примерах и контрпримерах, подобранных учителем.

в) Использовать «исторический» подход, старясь для построения этой «лестницы» реконструировать логику и путь развития научного знания.

Новизна полученных результатов. Все результаты диссертации являются новыми. Методология введения в школе математических представлений об узлах, опираясь на обыденной опыт и практическую деятельность с реальными узлами, - используется впервые. Известные публикации либо описывают чисто практические применения узлов, либо посвящены чисто математическим вопросам. Те же, которые претендуют на «популярное» изложение теории узлов, на самом деле только ссылаются на практическую значимость узлов, а затем переходят к чисто математическим понятиям и рассуждениям, которые подчас школьнику практически

недоступны.

Теоретическая значимость работы.

1. Продемонстрировано, что для развития геометрического мышления школьников можно использовать новые современные геометрические концепции и идеи.

2. Осуществлен анализ построенного цикла занятий на основе различных теоретических концепций, показано, что они не вполне описывают механизм возникновения и развития геометрического воображения школьников.

3. Приведенная разработка является примером построения психологически мотивированного и логически естественного пути освоения школьниками нового для себя предмета. Распространение на другие разделы математики и на другие предметы этого опыта, заменяющего простое изложение научных истин процессом заинтересованного развития мышления учащегося, несомненно, резко повысило бы эффективность процесса образования.

Практическая значимость работы.

1. Разработан цикл занятий для учеников разного возраста и уровня подготовки (начиная с 3-4 класса и кончая 10-11 классами).

2. Развита методика формирования воображения и мышления, начинающаяся с работы с реальным материалом, переходящая затем к его изображению, формированию понятий и отношений между понятиями.

3. Сформулированы некоторые принципы обучения, позволяющие активизировать развитие геометрического воображения.

Апробация. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научной конференции «Ломоносовские чтения - 2005», на конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа» (Душанбе, 2005), готовится к изданию монография "Узлы в школе.

Уроки развития пространственного мышления". Пробные уроки, приведенные в школе в городе Москве, показали высокую заинтересованность школьников; особый особенный энтузиазм вызвала у них работа с реальным материалом.

Обоснованность и достоверность. Результаты апробации показали соответствие в целом реального процесса освоения геометрии узлов школьниками тому процессу, который проектировался при разработке.

Результаты, выносимые на защиту.

1 Методика развития пространственного воображения, геометрического мышления школьников с помощью изучения узлов.

2. Методика построения занятий, отправляющаяся от реального материала, чувственного восприятия и интуитивного представления.

3 Сам цикл занятий, представляющий собой единую систему и охватывающий различные возрастные группы школьников.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, библиографии и приложения. Основное содержание изложено на 205 страницах машинного текста. Библиография включает 85 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из семи глав и разбита на 35 параграфов Нумерация параграфов двойная - по номеру главы и номеру параграфа в главе.

В первой главе рассматриваются общие вопросы, связанные с развитием геометрического воображения и геометрического мышления

школьников и с ролью узлов в развитии геометрического воображения и геометрического мышления.

В параграфе 1.1 излагаются основные цели изучения геометрии. В параграфе 1.2 перечисляются основные причины для выбора узлов как средства развития геометрического воображения учащихся. В параграфе 1.3 обсуждается, как можно построить "школьную теорию" узлов, какие трудности при этом возникают и как их приходится преодолевать.

В параграфе 1.4 приводятся некоторые совершенно естественные требования к учебному материалу в геометрии. Показывается, что изучение узлов удовлетворяет большинству этих требований. В параграфе 1.5 излагается общая схема изучения узлов.

Во второй главе излагается методологическая основа, использованная при разработке занятий. Здесь дается краткий обзор ряда теоретических моделей мышления в геометрии, которые оказываются полезными для того, чтобы описывать геометрическое мышление и понимать законы его развития. Глава состоит из восьми параграфов. В параграфе 2.1 приводится определение геометрии с точки зрения Клейна и Зимана и приводятся примеры некоторых современных практических применений геометрии. В параграфе 2.2 обсуждается «Теория стадий» Пиаже. Здесь же обсуждаются основные топологические концепции - близость, разделение, порядок и вложение. В параграфе 2.3 приводится модель Ван Хиле обучения геометрии и описываются уровни мышления и стадии изучения. В этом параграфе же обсуждаются свойства модели Ван Хиле. Параграф 2.4 посвящен сравнению двух теорий - теории Пиаже и модели Ван Хиле. В параграфе 2.5 излагаются точки зрения Hoffer и Del Grande о пространственной способности и пространственном мышлении и о геометрических действиях, которые вовлекают семь пространственных способностей. В этом же

параграфе мы кратко описываем разные действия, которые школьники осуществляют во время изучения узлов, и которые развивают их пространственные способности. В параграфе 2.6 излагается анализ психологических основ пространственного мышления в концепции И С.Якиманской. В соответствии с выделенными ею тремя типами оперирования пространственными образами мы обсуждаем проявление этих трех типов оперирования в изучении узлов В этом параграфе приводится также точка зрения В1зЬор'а на визуальные способности. Параграф 2.7 посвящен созданию и оперированию образами как ступеням пространственного мышления в концепции И.Я.Каплуновича. Последний параграф в главе 2 посвящен обсуждению способов мышления, выделенных А.Пуанкаре.

В третьей главе приводится описание цикла занятий, рассчитанных на учеников 3-5 класса, В этих занятиях школьники знакомятся с простейшими узлами, изучают методы их изображения, учатся выделять основные элементы узла и формулировать простейшие свойства. Каждый из параграфов 3 1-3.3 этой главы посвящен одному занятию. Первое занятие -знакомство с узлами (простейшие узлы - одинарный узел, «восьмерка», двойной узел). Здесь школьники учатся завязывать и развязывать узлы, сравнивать их между собой, обращать внимание на основные элементы узлов. Второе занятие - изображение узлов. Здесь ученики знакомятся с изображением узлов на диаграмме. Третье занятие - раскрашивание узлов, точнее, диаграмм, изображающих узлы. Раскрашивание помогает лучше увидеть и понять структуру узла.

В главе 4 излагается материал, связанный с простейшими операциями с узлами: упрощением и усложнением узлов, зеркальным отражением и обратной проекцией. Изменения в структуре узла, происходящие при этих

операциях, изучаются с помощью раскраски. Здесь же происходит первоначальное знакомство с бегущим узлом. Глава состоит из четырех параграфов, описывающих занятия 4-7 . Параграф 4.1 описывает занятие, посвященное упрощению и усложнению узлов, и введению понятия движения для узлов. На этом занятии ученики познакомятся с двумя правилами упрощения и усложнения узлов Следующее занятие (параграф 4.2) - изучение раскраски при движении На этом занятии школьники с помощью раскрашивания узлов лучше и точнее знакомится со структурой узлов. Выполняя первое и второе движение с раскрашенными узлами, изучают их влияние на структуру узлов Кроме того, раскрашивание позволяет находить существенные различия между некоторыми узлами, которые в старших классах приведут к важным классифищрующим признакам Параграф 4.3 (шестое занятие) - изучение зеркального отражения и обратной проекции. Последнее занятие в главе 4 (параграф 4.4) посвящено бегущим узлам.

В главе 5 мы в изучении узлов снова возвращаемся к их применению в разных ситуациях в жизни. Тем самым мы, с одной стороны, расширяем круг изучаемых узлов, а с другой - строим базу для формирования представления о математическом узле как абстрактном объекте, сохраняющем в себе главные, существенные свойства реальных узлов и лишенного свойств второстепенных, несущественных, непринципиальных Основная цель нашей методики - организовать естественный процесс, в котором школьник сам формирует понятие, а не заучивает его из учебника или со слов учителя. Глава состоит из пяти параграфов (занятий 8-12). Занятие 8 (параграф 5.1) посвящено узлам, завязываемым на одной веревке. На этом занятии даются несколько простых примеров, которые показывают, как узлы используются в реальной жизни. Занятие 9 (параграф 5.2)

посвящено узлам, позволяющим связать между собой две веревки. Здесь школьники изучают завязывание «бабьего узла», «рифового узла», «ткацкого узла» и некоторых бегущих узлов. Десятое занятие (параграф 5.3) -раскраска узлов. На этом занятии школьники не только познакомятся со структурой одного узла, но и начнут понимать различие между разными узлами. Это важный шаг на пути к математическим представлениям об узлах. Параграф 5.4 (занятие 11) - игры и узлы. Здесь приводятся несколько игр, связанных с завязыванием узлов и осуществляется их теоретический разбор В этих примерах с помощью математических узлов объясняются причины явлений, которые производят, на первый взгляд, впечатление неясных и загадочных. Последнее занятие в главе 5 - узел на замкнутой линии. На этом занятии мы показываем, как можно двигаться от обыденного представления к математическому понятию узла.

В главе 6 мы продолжаем этот путь, работая с узлами с соединенными концами (замкнутые узлы) так, чтобы, в конце концов, придти к понятию математического узла. Сначала мы показываем, что все узлы с одним и двумя пересечениями превращаются в тривиальный узел, т.е. классифицируем узлы с одним и двумя пересечениями. Далее речь заходит о таком важном понятии, как «индекс пересечения». Мы также продолжаем работу и с движениями Рейдемейстера, которые позволяют нам упрощать диаграммы сложных узлов. Затем мы представляем модель изучения нескольких математических узлов. Наконец, обсуждаем понятие эквивалентности, то есть когда два узла можно считать «одинаковыми» Глава состоит из семи параграфов (занятия 13-19). Параграф 6.1 (занятие 13) посвящено детальному изучению узлов с одним и двумя пересечениями. Здесь дается способ классификации таких узлов. Второй параграф (занятие 14) - движения Рейдемейстера. Третий - изучение раскраски при применении

третьего типа движения. На этом занятии школьники, выполняя третий (а также первый и второй) тип движения с раскрашенными узлами, изучают его влияние на структуру узлов. Параграф 6.4 (занятие 16) - применение движений Рейдемейстера для упрощения узлов. Параграф 6.5 описывает занятие 17, на котором представлены уже некоторые математические узлы. Параграф 6.6 (занятие 18) вводит фундаментальное понятие эквивалентности узлов. На этом занятии школьники знакомятся с вопросом, который математиков всегда интересует' как можно определить, являются ли два узла одинаковыми или они различаются? Наконец, последнее занятие в главе 6 посвящено введению одного из главных инвариантов в теории узлов -индекса пересечения. На этом занятии ученики знакомятся с этим понятием на примере трилистника.

Глава семь состоит из трех параграфов, посвященных занятиям 20-22. В первом параграфе рассматриваются и сравниваются между собой два важных действия: вращение узлов и взгляд на узел с разных сторон. На этом занятии школьники, работая с узлами, изучают их структуру при вращении в плоскости, а затем сосредотачиваются на задаче представления узлов с разных сторон В освоении пространственной геометрии узлов оказывается очень удобным использовать компьютерное программное обеспечение (мы используем «Кпо1Р1оЬ>), с помощью которого можно хорошо работать с узлами. Одна из возможностей - это возможность увидеть один и тот же узел с разных сторон в пространстве. Кроме того, с помощью «Кпо1Р1о1» можно изобразить и диаграммы выбранных узлов Освоению «Кпо1Р1оЬ> посвящено занятие 21 (параграф 7.2). Наконец, в последнем параграфе (занятие 22) представляется ещё одна важная характеристика узла - «число звеньев». На этом занятии школьники, завязывают узел не на веревке, а с помощью палочек, связанных в цепочку. С помощью такого объекта школьники лучше

начинают чувствовать различие между плоскостью и пространством, кроме того, они изучают еще один способ различения узлов. Понятие «число звеньев» помогает химикам при изучении структуры молекул, поэтому изучение этого материала смыкается уже с применениями узлов в науке.

Основные результаты исследования:

1. Разработан цикл занятий (22 занятия), посвященных изучению в школе узлов и направленных на развитие пространственных способностей школьников.

2 Показано, что создание простейших узлов, оперирование с ними и их изучение доступно практически всем школьникам, начиная с начальных классов.

3. Для формирования в сознании школьников ясного представления о связи между реальной жизнью и математикой разработана техника естественного перехода от обыденных представлений к математическим понятиям.

4. Разработаны элементы новой геометрии для школьников, которую мы назвали «геометрия узлов», в которой основное значение имеют топологические характеристики (свойства), второстепенная роль принадлежит проективным характеристикам и, наконец, евклидовые свойства имеют наименьшее значение.

5. Показана полезность использования на внеклассных занятиях в школе элементы из других разделов геометрии (не только евклидовой), чтобы воспринимаемые детьми геометрические свойства окружающего мира развивали их интеллект.

6 Показано, что рассуждения с изображениями (образами) являются эффективным средством математического обучения .

7. Дан обзор и анализ ряда теоретических моделей мышления в геометрии -теории Пиаже, модели Ван Хиле, Whiteley, Hofier, Якиманской, Bishop'a и Каплуновича, изложены некоторые точки зрения, которые уместны в изучении математики вообще и геометрии в частности. Эти точки зрения соотнесены с выполненной в диссертации работой.

Благодарности

Автор рад выразить благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАО профессору Н.Х. Розову за постановку задач, постоянное внимание к работе и полезные советы. Автор также сердечно благодарен доценту А.В.Боровских за постоянную помощь в работе над диссертацией и обсуждения результатов.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях автора:

1. Розов Н.Х., Рейхани Э., Боровских A.B. Узлы в школе. Уроки развития пространственного мышления. М.: «Московский учебник», 2005.

2. Рейхани Э. Изучение узлов в школе // «Ломоносовские Чтения». Факультет глобальных процессов МГУ. Выпуск 3. М., 2005. С.34-39.

3. Рейхани Э. Узлы и развитие геометрического воображения // «Ломоносовские Чтения». Факультет глобальных процессов МГУ. Выпуск 3. М., 2005. С.39-43.

4. Боровских A.B., Рейхани Э., Розов Н.Х. Развитие геометрического мышления школьников // Педагогика. 2006. Принято к печати.

5. Боровских A.B., Рейхани Э., Розов Н.Х. Узлы в школе // Математика в школе. 2006. Принято к печати.

6. Рейхани Э., Боровских А.В, Розов Н.Х. Геометрия узлов в развитии пространственного мышления школьников // Международная научная конференция «Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа», Душанбе, 8-10 ноября 2005 / Душанбе, ТаджГУ. 2005.

7. Reyhani Е. Introduction to the Piaget's Theory & Van Hiele Theory // Roshd Mathematics Education Journal (ministry of education , organization of research & educational planning). 2005. No.80. P. 12-22. (Persian)

http://www.roshdmag.Org/pdf/takhasosi/riyazi/80/3 .pdf

* * *

8. Рейхани Э. Система среднего образования в Иране // «Ломоносовские Чтения», научн. конф.: Сборник статей и тезисов. Вып. 2 / Под ред. Н.Х. Розова,- М.: МАКС Пресс, 2004. С. 41-44.

9. Рейхани Э. Система образования в Иране // Вестник Московского Университета. Серия XX. Педагогическое образование. 2005. N2.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж Юо экз. Заказ №

»21014

РНБ Русский фонд

2006-4 19649

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Рейхани Эбрахим, 2005 год

0. Введение.

1.Изучение узлов как средство развития геометрического воображения школьников.

1.1. Развитие геометрического воображения учащихся.

1.2. Использование узлов для развития геометрического воображения.

1.3."Школьная наука": проблемы и методология построения.

1.4.Преимущества узлов с точки зрения методологии обучения геометрии.

1.5. Общая схема изучения узлов.

2. Геометрическое мышление.

2.1. Что такое геометрия?.

2.2. Теория стадий Пиаже.

2.3. Модель Ван Хиле (van Hiele ). ц 2.4.Сравнение двух теорий.

2.5.Пространственная способность и пространственное мышление.

2.6. Анализ психологических основ пространственного мышления в концепции И.С.Якиманской.

2.7. Создание и оперирование образами как ступени пространственного мышления в концепции И.Я.Каплуновича.

2.8. Способы математического мышления.

3. Знакомство с узлами и формирование основных представлений об узлах.

3.1. Занятие 1. Знакомство с узлами.

3.2. Занятие 2. Изображение узлов.

3.3. Занятие 3. Раскрашивание узлов.

4. Простейшие операции с узлами.

4.1. Занятие 4. Упрощение и усложнение узлов. Понятие о движениях в теории узлов.

4.2. Занятие 5. Изучение раскраски при движении.

4.3. Занятие 6. Зеркальное отражение. Обратная проекция.

4.4. Занятие 7. Бегущие залы.

5.Движение от практики к математике (формирование абстракции).

5.1. Занятие 8. Узлы на одной веревке.

5.2. Занятие 9. Узлы на двух веревках.

5.3. ЗанятиеЮ. Раскраска узлов.

5.4. Занятие 11. Игры и узлы.

5.5. Занятие12. Узел на замкнутой веревке. б.Элемеитарная теория математического узла в школе.

6.1. Занятие 13. Узлы с одним и двумя пересечениям.

6.2. Занятие 14. Движения Рейдемейстера.

6.3. Занятие15. Изучение раскраски при применении третьего типа движения

6.4. Занятие 16. Применение движений Рейдемейстера- упрощение узлов.

6.5. Занятие 17. Представление некоторых математических узлов.

6.6. Занятие 18. Понятие эквивалентности узлов.

6.7. Занятие 19. Индекс пересечения — инвариант.

7.Пространственная геометрия узлов.

7.1. Занятие 20. Вращение и Представление узлов с разных сторон.

7.2. Занятие 21. Программное обеспечение.

7.3. Занятие 22. Число звеньев.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Геометрия узлов как средство развития пространственного мышления школьников"

В диссертации представлены результаты разработки цикла занятий, посвященных изучению в школе узлов. Это разработка имеет три основные цели.

Первая цель - чисто методическая: представить материал, очень интересный и полезный для изучения. Выбор именно узлов определяется тем, что они являются одним из удачных средств развития геометрического воображения учащихся, так как позволяют опереться при изучении на чрезвычайно мощный пласт ассоциированных друг с другом визуальных представлений, осязательных комплексов и активных действий (манипуляций).

Вторая цель - методологическая: мы хотели бы продемонстрировать на излагаемом материале, как строить "школьную теорию". Узлы являются здесь удачным примером потому, что, с одной стороны, это - объект, широко употребляемый и в обыденной жизни, и в профессиональной деятельности (см., напр., [1]), а с другой - предмет изучения одной из интенсивно развивающихся ветвей математики, имеющей приложения в физике, химии, биологии. Проблема состоит в том, что обыденные представления об узлах - это чисто эмпирическое знание, а, с другой стороны, научная теория (см., напр. [2-3]), даже на уровне простейших определений, совершенно недоступна для восприятия школьников. Для того, чтобы "закрыть" возникшую дыру, и приходится строить "школьную теорию" узлов. Основные функции "школьной теории" - формирование лестницы из представлений, ведущей от представлений обыденных к представлениям, характерным для научного знания. Построение, если так можно выразиться, пути от «жизни к науке». Главное требование, предъявляемое к этому пути - чтобы каждый следующий шаг учащиеся могли сделать самостоятельно: выделить свойство, сформулировать правило, задать ограничение, ввести понятие и т.п. Роль учителя же должна состоять не в изложении истин, а в формировании взгляда на проблему путем предъявления подобранных специально для этого примеров и контрпримеров.

Отметим, что дистанция между обыденными и научными представлениями имеется не только в теории узлов, она обнаруживается практически во всех школьных предметах (и в геометрии, и в арифметике, и в химии, и в литературе, и в биологии). Однако, как правило, ее преодоление осуществляется методом страуса: делается вид, что никакой дистанции нет, и детям излагается наукообразный материал, из которого выброшены наиболее сложные (и поэтому наиболее содержательные) в плане аргументации фрагменты. Узлы позволяют на материале, не засоренном традициями методик, методологий и концепций, ясно показать технику преодоления этой дистанции и построения пути, доступного для школьников и развивающего их интеллект.

Наконец, третья и самая важная цель, которую мы преследуем - это цель социально-системная. Она состоит в том, чтобы активизировать переход в школьном естественно-научном образовании от языковой компиляции (когда детей обучают не умению работать с реальными объектами материального мира, а со словами, обозначающими эти объекты, причем зачастую с полностью утраченной связью между словом и соответствующим объектом) к материально-ориентированному образованию. В качестве основных принципов материальноориентированного образования, на наш взгляд, можно назвать три следующих. Первый - это формирование абстрактных, идеальных 5 представлений в воображении ребенка на основе его чувственного опыта, путем вычленения из этого опыта наиболее важных, существенных свойств и представления этих свойств в максимально выраженной, идеальной форме. Второй - формирование представлений о воображаемых действиях с воображаемыми предметами на основе реальных действий с реальными предметами. И, наконец, третий - формирование логики (то есть принципов аргументации) путем опять же абстрагирования общих правил действий с материальными объектами, перенося их сначала в область действий воображаемых, а затем, уже в старших классах - в область понятий.

Еще один очень важный принцип, о котором мы хотели бы сказать -это принцип доказательности. Научный характер аргументации чрезвычайно важен, и, на наш взгляд, необходимо проявлять постоянное стремление к превращению педагогической аргументации в действительно научную. Аргументация именно научного характера отличается от любой другой тем, что обладает безусловной убедительностью для всех, без исключения. Мы бы хотели противопоставить такой характер аргументации другому, довольно широко распространенному и в обыденной жизни, и, к сожалению, в педагогике - когда аргументация придумывается для того, чтобы имитировать причинно-следственную связь между фактами, про которые мы только предполагаем, что они как-то связаны.

Новизна полученных результатов

Все результаты диссертации являются новыми. Методология введения в школе математических представлений об узлах опираясь на обыденной опыт и практическую деятельность с реальными узлами - используется впервые. Известные монографии либо описывают чисто практические применения узлов [1, 9, 33, 34,36, 40-42, 44-46], либо посвящены чисто математическим вопросам [2, 10, 13, 30, 58, 60]. Те же, которые претендуют на «популярное» изложение теории узлов (например, [3, 35, 37, 47, 48, 5056, 61]), на самом деле только ссылаются на практическую значимость 6 узлов, а затем переходят к чисто математическим понятиям и рассуждениям, которые школьнику практически не доступны.

Апробация

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научной конференции «Ломоносовские чтения - 2005», готовится к изданию монография "Узлы в школе. Уроки развития пространственного мышления". Пробные уроки, проведенные в Иранской школе в городе Москве, показали высокую заинтересованность школьников. Особенный энтузиазм вызывает у них работа с реальным материалом.

При проведении уроков обнаружилось, что переход от третьего класса к четвертому связан с приобретением представлений об ориентации. Так, с заданием на завязывание узлов в разных направлениях (по и против часовой стрелки) школьники четвертого класса справляются, в то время как школьники третьего класса испытывают существенные трудности.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из семи глав и разбита на 34 параграфа. Нумерация параграфов двойная - по номеру главы и номеру параграфа в главе.

В первой главе рассматриваются общие вопросы, связанные с развитием геометрического воображения и геометрического мышления школьников и о роли узлов в развитии геометрического воображения и геометрического мышления.

В параграфе 1.1 излагаются основные цели изучения геометрии. В параграфе 1.2 перечисляются основные причины для выбора узлов как средства развития геометрического воображения учащихся. В параграфе 1.3 обсуждается, как можно построить "школьную теорию" узлов, какие трудности при этом возникают и как их приходится преодолевать. 7

В параграфе 1.4 приводятся некоторые совершенно естественные требования к учебному материалу в геометрии. Показывается, что изучение узлов удовлетворяет большинству этих требований. В параграфе 1.5 излагается общая схема изучения узлов.

Во второй главе излагается методологическая основа, использованная при разработке занятий. Здесь дается краткий обзор ряда теоретических моделей мышления в геометрии, которые оказываются полезными для того, чтобы описывать геометрическое мышление и понимать законы его развития. Глава состоит из восьми параграфов. В параграфе 2.1 приводится определение геометрии с точки зрения Клейна и Зимана и приводятся примеры некоторых современных практических применений геометрии. В параграфе 2.2 обсуждается «Теория стадий» Пиаже. Здесь же обсуждаются основные топологические концепции -близость, разделение, порядок и вложение. В параграфе 2.3 приводится н модель Ван Хиле обучения геометрии и описываются уровни мышления и стадии изучения. В этом параграфе же обсуждаются свойства модели Ван Хиле. Параграф 2.4 посвящен сравнению двух теорий - теории Пиаже и модели Ван Хиле. В параграфе 2.5 излагаются точки зрения Hoffer и Del Grande о пространственной способности и пространственном мышлении и о геометрических действиях, которые вовлекают семь пространственных способностей. В этом же параграфе мы кратко описываем разные действия, которые школьники осуществляют во время изучения узлов, и которые развивают их пространственные способности. В параграфе 2.6 излагается анализ психологических основ пространственного мышления в концепции И.С.Якиманской. В соответствии с выделенными ею тремя типами оперирования пространственными образами мы обсуждаем проявление этих трех типов оперирования в изучении узлов. В этом параграфе приводится также точка зрения Bishop'a на визуальные способности.

Т4'

Параграф 2.7 посвящен созданию и оперированию образами как ступеням пространственного мышления в концепции И.Я.Каплуновича. Последний 8

V; параграф в главе 2 посвящен обсуждению способов мышления, выделенных А.Пуанкаре.

В третьей главе приводится описание цикла занятий, рассчитанных на учеников 3-5 класса. В этих занятиях школьники знакомятся с простейшими узлами, изучают методы их изображения, учатся выделять основные элементы узла и формулировать простейшие свойства. Каждый из параграфов 3.1-3.3 этой главы посвящен одному занятию. Первое занятие - знакомство с узлами (простейшие узлы - одинарный узел, восьмерка», двойной узел). Здесь школьники учатся завязывать и развязывать узлы, сравнивать их между собой, обращать внимание на основные элементы узлов. Второе занятие - изображение узлов. Здесь ученики знакомятся с изображением узлов на диаграмме. Третье занятие раскрашивание узлов, точнее, диаграмм, изображающих узлы.

Раскрашивание помогает лучше увидеть и понять структуру узла. и; В главе 4 излагается материал, связанный с простейшими операциями с узлами: упрощением и усложнением узлов, зеркальным отражением и обратной проекцией. Изменения в структуре узла, происходящие при этих операциях, изучаются с помощью раскраски. Здесь же происходит первоначальное знакомство с бегущим узлом. Глава состоит из четырех параграфов, описывающих занятия 4-7 . Параграф 4.1 описывает занятие, посвященное упрощению и усложнению узлов, и введению понятия движения для узлов. На этом занятии ученики познакомятся с двумя правилами упрощения и усложнения узлов.

Следующее занятие (параграф 4.2) - изучение раскраски при движении. На этом занятии школьники с помощью раскрашивания узлов лучше и точнее знакомится со структурой узлов. Выполняя первое и второе движение с раскрашенными узлами, изучают их влияние на структуру узлов. Кроме того, раскрашивание позволяет находить существенные различия между некоторыми узлами, которые в старших классах приведут к важным классифицирующим признакам. Параграф 4.3 (шестое занятие) - изучение 9 зеркального отражения и обратной проекции. Последнее занятие в главе 4 (параграф 4.4) посвящено бегущим узлам.

В главе 5 мы в изучении узлов снова возвращаемся к их применению в разных ситуациях в жизни. Тем самым мы, с одной стороны, расширяем круг изучаемых узлов, а с другой - строим базу для формирования представления о математическом узле как абстрактном объекте, сохраняющем в себе главные, существенные свойства реальных узлов и лишенного свойств второстепенных, несущественных, непринципиальных. Основная цель нашей методики - организовать естественный процесс, в котором школьник сам формирует понятие, а не заучивает его из учебника или со слов учителя. Глава состоит из пяти параграфов (занятий 8-12). Занятие 8 (параграф 5.1) посвящено узлам, завязываемым на одной веревке. На этом занятии даются несколько простых примеров, которые показывают, как узлы используются в реальной жизни. Занятие 9 (параграф 5.2) посвящено узлам, позволяющим связать между собой две веревки. Здесь школьники изучают завязывание «бабьего узла», «рифового узла», «ткацкого узла» и некоторых бегущих узлов. Десятое занятие (параграф 5.3) - раскраска узлов. На этом занятии школьники не только познакомятся со структурой одного узла, но и начнут понимать различие между разными узлами. Это важный шаг на пути к математическим представлениям об узлах. Параграф 5.4 (занятие И) - игры и узлы. Здесь приводятся несколько игр, связанных с завязыванием узлов и осуществляется их теоретический разбор. В этих примерах с помощью математических узлов объясняются причины явлений, которые производят, на первый взгляд, впечатление неясных и загадочных. Последнее занятие в главе 5 - узел на замкнутой линии. На этом занятии мы показываем, как можно двигаться от обыденного представления к математическому понятию узла.

В главе 6 мы продолжаем этот путь, работая с узлами с соединенными концами (замкнутые узлы) так, чтобы, в конце концов,

10 придти к понятию математического узла. Сначала мы показываем, что все узлы с одним и двумя пересечениями превращаются в тривиальный узел, т.е. классифицируем узлы с одним и двумя пересечениями. Далее речь заходит о таком важном понятии, как «индекс пересечения». Мы также продолжаем работу и с движениями Рейдемейстера, которые позволяют нам упрощать диаграммы сложных узлов. Затем мы представляем модель изучения нескольких математических узлов. Наконец, обсуждаем понятие эквивалентности, то есть когда два узла можно считать «одинаковыми». Глава состоит из семи параграфов (занятия 13-19). Параграф 6.1 (занятие 13) посвящено детальному изучению узлов с одним и двумя пересечениями. Здесь дается способ классификации таких узлов. Второй параграф (занятие 14) - движения Рейдемейстера. Третий - изучение раскраски при применении третьего типа движения. На этом занятии школьники, выполняя третий (а также первый и второй) тип движения с раскрашенными узлами, изучают его влияние на структуру узлов. Параграф 6.4 (занятие 16) - применение движений Рейдемейстера для упрощения узлов. Параграф 6.5 описывает занятие 17, на котором представлены уже некоторые математические узлы. Параграф 6.6 (занятие 18) вводит фундаментальное понятие эквивалентности узлов. На этом занятии школьники знакомятся с вопросом, который математиков всегда интересует: как можно определить, являются ли два узла одинаковыми или они различаются? Наконец, последнее занятие в главе 6 посвящено введению одного из главных инвариантов в теории узлов - индекса пересечения. На этом занятии ученики знакомятся с этим понятием на примере трилистника.

Глава семь состоит из трех параграфов, посвященных занятиям 2022. В первом параграфе рассматриваются и сравниваются между собой два важных действия: вращение узлов и взгляд на узел с разных сторон. На этом занятии школьники, работая с узлами, изучают их структуру при вращении в плоскости, а затем сосредотачиваются на задаче представления

11

V) узлов с разных сторон. В освоении пространственной геометрии узлов оказывается очень удобным использовать компьютерное программное обеспечение (мы используем «Кпо1Р1о1»), с помощью которого можно хорошо работать с узлами. Одна из возможностей - это возможность увидеть один и тот же узел с разных сторон в пространстве. Кроме того, с помощью «Кпо1Р1оЬ> можно изобразить и диаграммы выбранных узлов. Освоению «Кпо1Р1оЬ> посвящено занятие 21 (параграф 7.2). Наконец, в последнем параграфе (занятие 22) представляется ещё одна важная характеристика узла - «число звеньев». На этом занятии школьники, завязывают узел не на веревке, а с помощью палочек, связанных в цепочку. С помощью такого объекта школьники лучше начинают чувствовать различие между плоскостью и пространством, кроме того, они изучают еще один способ различения узлов. Понятие «число звеньев» помогает химикам при изучении структуры молекул, поэтому изучение этого материала смыкается уже с применениями узлов в науке.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Рейхани Эбрахим, Москва

1. Антропов Д.М., Как завязывать узлы: 38 надежных испытанных узлов.-М.: Наука. Физматлит, 1995.-32с.

2. Мантуров В.О., Лекции по теории узлов и их инвариантов. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 304 с.

3. Сосинский А.Б., Узлы и косы (Серия: «Библиотека „Математическое просвещение"») М.: МЦНМО, 2001. 24 е.: ил.

4. Роджерс Л. Историческая реконструкция математического знания, пер. с англ. // Матем. образование. 2001. N 1. С. 74-85.

5. Щетников А.И., Щетникова A.B. Преподавание математики в историческом контексте // Матем. образование. 2001. N 3. С. 60-68.

6. Пиаже Ж. Суждение и рассуждение ребенка. СПб.: СОЮЗ, 1997. 286 с.

7. Каплунович И.Я. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике. Новгород. 1996. 100 с.

8. Рейхани Э. Система среднего образования в Иране, Ломоносовские Чтения: Научная конференция: Сборник статей и тезисов. Вып. 2 / Под ред. Н.Х. Розова.- М.: МАКС Пресс, 2004. с.41-44.

9. Дарман П., Учебник выживания в экстремальных ситуациях. — М.: ООО Изд-во Яуза, Формул а-Пресс, 2000. 352 с.

10. Прасолов В.В.; Наглядная топология, М.: МЦНМО, 1995

11. Ткачева М.В. Вращающиеся кубики: Альбом заданий для развития пространственного воображения. -М.: Дрофа, 2002. 168с.

12. Наглядная геометрия. 5 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений / И.Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева. - 5-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2002. - 192с.: ил.

13. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире. 2-е изд. - М.:Изд-во Моск.ун-та, Изд-во «Черо»,1998. -416с.

14. Якиманская И. С. Психологические основы математического образования: Учеб. пособие для студ. пед. вузов / Ираида Сергеевна Якиманская. — М.: Издательский центр «Академия», 2004. — 320 с.

15. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики: Перевод с французского М. А. Шаталовой и О.П. Шаталова под редакцией И. Б. Погребысского «СОВЕТСКОЕ РАДИО» МОСКВА—1970

16. Пуанкаре А. Последние работы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 208 стр.

17. Пуанкаре А. О науке: Пер. с франц.— М,- Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.— 560 с.

18. Крутецкий В.А.Психология математических способностей школьников / Под редакцией Н.И.Чуприковой. — М.: Издательство «Институт практической психологии»; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 1998. — 416 с. (Серия «Психологи отечества»),

19. Каплунович И.Я.Структура и основные этапы развития образного мышления в дошкольном детстве Вопросы психологии. 2004 № 5

20. Каплунович И.Я., Иванова Н.Ю. Влияние индивидуальных особенностей математического мышления на процесс решения задач Ж. «Математика в школе»,.2004/9

21. Каплунович И.Я. Пять подструктур математического мышления: Как их выявить и использовать в преподавании. (Новгород),Т.А. Петухова (Саров)//Математика в школе. 1998. №5 с.45-48

22. Каплунович И.Я. Психологические закономерности развития пространственного мышления.//Вопросы психологии 1999, №1. с 60-68.

23. Каплунович И.Я. О психологических различиях мышления двухмерными и трехмерными образами.

24. Douglas H Clements, Sudha Swaminathan, Mary Anne Zeitler Hannibal, JulieSarama. Young children's concepts of shape. Journal for Research in Mathematics Education. Washington: Mar1999. Vol. 30, Iss. 2; pg. 192, 21 pgs

25. Jones K., (2000), Critical Issues in the Design of the School Geometry Curriculum. Invited paper in Bill Barton(Ed), Readings in Mathematics Education. Auckland, New Zealand: University of Auckland. http://www.soton.ac.uk/~dkj/geompub.html

26. Clausen-May, T., Jones, K., McLean, A. and Rollands, S. (2000), Perspectives on the Design of the Geometry Curriculum, Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 20(1 &2), 34-41.

27. Sinan O., Making Connections: Improving Spatial Abilities with Engineering Drawing Activities International Journal of Mathematics Teaching and Learning, April 2003 http://www.ex.ac.uk/cimt/ijmtl/ijabout.htm

28. Barr S., Experiments in Topology, Dover Pubns; Reproduction edition, 1989.

29. BuckG., Why Knots? http://www.knots.org/exhibit/whyknots.html

30. A vision for the learning and teaching of school geometry, http ://www. wcape. school. za/malati/Vision. pdf

31. Hopkins R., Knots (Pocket Guide Series), Thunder Bay Press, 2003.

32. Bigon M., Regazzoni G., The Morrow Guide to Knots, 1982.

33. Adams C., Why knot?: an introduction to the mathematical theory of knots, Key College Publishing, 2004.

34. Adams C., The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society (September, 2004).

35. McLeay H., The Knots Puzzle Book, Grades 7-12, Key Curriculum Press,2000.

36. Penn R., The Everything Knots Book: Step-By-Step Instructions for Tying Any Knot (Everything Series) 2004

37. Bigon M., Regazzoni G., The Morrow Guide to Knots (1982)

38. Budworth G., The Complete Book of Knots (Complete) The Lyons Press, 1997)

39. Des Pawson Handbook Of Knots ,1998

40. Why knot? Knot Tying, http://www.beworldwise.org/teachers/knottying.php

41. Sailor's Knots, Bowline "The Boater's King of Knots" http ://www. downeastduck. com/knots .htm

42. The Most Useful Rope Knots For The Average Person To Know http ://www. layhands.com/knots/KnotsMiscellaneous. htm

43. Knot Knowledge, Single Loop Knotshttp://www.iland.net/~jbritton/KjiotPhoto%20SingleLoop%20Knots.html

44. Mathematics problems, Arctic string trickshttp://www2.edc.org/mathproblems/problems/printProblems/ekArcticString.pdf

45. Sossinsky A., Knots : Mathematics with a Twist. Harvard University Press, 2002.

46. Sinan O., Making Connections: Improving Spatial Abilities with Engineering Drawing Activities International Journal of Mathematics Teaching and Learning April 2003 http://www.ex.ac.uk/cimt/ijmtl/ijabout.htm

47. McLeay H., "Some Knotty Problems" Australian Mathematics Teacher Volume 50 Number 4, November 94

48. McLeay H., "Mathematics and Knots", Mathematics in School, Volume 20 Number 1, January 1991

49. Adams C., Furstenberg E., Li J., Schneider J., "Exploring Knots" in Mathematics Teacher, Vol. 90, No. 8, Nov. 1997, 640-646, 652.

50. Mathematics and Knots http://www.popmath.org.uk/exhib/knotexhib.html

51. Adams C., Why knot: knots, molecules and stick numbershttp://pass.maths.org.uk/issue 15/features/knots/

52. De Santi G., An Introduction to the Theory of Knots, December 11, 2002 www-graphics.stanford.edu/courses/cs468-02-fall/projects/desanti.pdf

53. Knot theory. A Fox's Quick Introduction to Knot Theory http://www.cs.ubc.ca/nestyimager/contributions/scharein/knot-theory/fox-knot.html

54. Bennie K., Smit S. "Spatial sense ": Translating curriculum innovation into classroom practicehttp://academic.sun.ac.za/mathed/malati/Files/Geometry992.pdf

55. Knots and Their Polynomials http://www.ams.org/new-in-math/cover/knots 1 .html59.The KnotPlot Sitehttp://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/scharein/KnotPlot.html

56. Equivalence of Knots and Links: http://www.math.cuhk.edu.hk/publect/lecture4/knots.html

57. Untangling the Mathematics of Knots http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/knot/knot.html

58. Strohecker C., Understanding Topological Relationships through Comparisons of Similar Knots TR96-06 March 1996, Published in Al&Society: Learning with Artifacts, Vol. 10, 1996, pp. 58-69.

59. Knots on the Web http://www.earlham.edu/~peters/knotlink.htm

60. NCTM Standards and the Mathematics of Knotshttp ://www. c3. lanl. gov/mega-math/workbk/knot/knnctm.html

61. Overview: Standards for School Mathematics: Prekindergarten through Grade 12 http://standards.nctm.org/document/chapter3/index.htm

62. Steve Abbott's Computer Drawn 3D Knots with KnotTyer3D http://www.abbott.demon.co.uk/knottyer3d.html

63. Walter Whiteley ,The Decline and Rise of Geometry in 20th Century North America. To appear in the Proceedings of the 1999 CMESG Conference.202http://www.math.yorku.caAVho/FacultyAVhiteley/cmesg.pdf

64. Mary L . Crowley , The van Hiele Model of the Development of Geometric Thought, National Council of Teachers Mathematics , Yearbook Lerning and Teaching Geometry . K 12

65. Teaching and Lerning Geometry C & I 811 May 1, 2001 Jamie Sutherland, Deborah Trzinski-Becker, Duggyal Tsering http://www.math.wisc.edu/~weinberg/MathEd/GeometryandSpace.doc

66. Developing Geometric Concepts and Systems http://64.78.63.75/samples/04EDKennedyGuidingChildrens 10Ch9.pdf

67. Everett S., (2000). Spatial Thinking Strategies. Science and Children, 37, (7), 36-39

68. Way J.,The Development of Spatial and Geometric Thinking http://nrich.maths.org/public/

69. Christman A., Geometric Shapes, December 10, 2001, Math Molding For Teachers http ://myweb. loras. edu/ dw078774/christman.pdf

70. Gutierrez A., Exploring the links between Van Hiele Levels and 3-dimensional geometry.http://www.uv.es/~gutierre/archivosl/textospdf/Gut92a.pdf

71. ReinHold S., Topology in Elementary School Mathematics A contribution the Improvement of Childrens Spatial Ability?http://yerme2002.uni-klu.ac.at/papers/participants/srreinhold.pdf

72. Piaget, J.& Inhelder,B.(1967).The Childs Conception of Space .NewYork:Norton

73. Piaget, J., Inhelder,B.& Szeminski,.A.(1960).The Childs Conception of Geometry. London:Routledge &Kegan Paul.

74. Conceptualizing geometric objects: from doodles to deductions http://homepage.mac.com/davidtall/davidtallhome/mathematical-growth/7.geometric-objects.pdf

75. Del Grande, J. (1990): Spatial sense, Arithmetic Teacher vol. 37.6, pp. 14-20.

76. Bishop, AJ. (1983): Spatial abilities and mathematical thinking, in Zweng, M. et al. (eds.) Proceedings of the IV I.C.M.E. (Birkhauser: Boston, USA), pp. 176178.

77. Presmeg, N.C. (1986): Visualization in high school mathematics, For the Learning of Mathematics 6.3, pp. 42-46.

78. Gutierrez, A (1996) Visualisation in 3-dimensional geometry: In search of a framework. In L. Puig and A. Gutierrez (Eds.) Proc. 20th Conf. Int. Group Psychology of Mathematics Education. Vol. 1, pp 3-19. Valencia: Universidad de Valencia.