автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Исследование уравнений Максвела с применением элементов векторного исчисления в классах углубленного изучения математики

Автореферат диссертации по теме "Исследование уравнений Максвела с применением элементов векторного исчисления в классах углубленного изучения математики"

^ООНОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Спецаалнзированны:; Совет К 113.11.11

„л

Делянов Владимир Александрович

„л. ' На правах рукописи

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАИЗВША ' С ШШЕНЕНШ ЭЛЕМЕНТОВ ВЕКТОРНОГО КСЧШЛЕНШ В КЛАССАХ УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ ВДШАТИКй

13.00.02 - методика преподавания математик!

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском педагогическом Университете.

Научный руководитель:

доктор ^изико-математлческих наук, профессор О.В.^актуров.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор М.Н. Гайдуков; . кандидат педагогических наук, 'доцент В.Н. шапкина.

Ведущая организация- Московский педагогический

г

государственный Университет • . ем. В.И.Ленина.

Защита состоится "-7 " декабря 1993 г. в 15,-ООчасов на заседании специализированного совета К 113.11.11 по присуждению ученой степени кандидата педагогических наук в Московском педагогическом Университете по адресу: 107346-ГСП, Москва, ул.Радио, д.10-а.

и диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Университета.

Автореферат разослан " 6_ "• ноября 1993 г.

Ученый секретарь специализированного

совета , кандидат педагогических нам;,

доцент -^^"'У' ^л»-1й.Анисшова.

ОНШ ХАРЖЕРЖТйКА. РАБОТЫ

Актуальность исследования. В настоящее время физико-математические классы в школах интенсивно развиваются, привлекая науку. "Лдеи ¡Ликсвелла - Лоренца - Эйнштейна имеют большое значение в современной науке. Они играют огромную роль и для Формирования общего мировоззрения учащихся, именно в макс велловг кой системе уравнений, инвариантных относительно преобразований Лоренца, заняв»ены фундаментальные идеи теории электромагнитного поля. Но к содаленпю, эти идеи в школе не освещаются долзанш образо:.!. Было бы правильно, по нашему мненко, внести эти Фундаментальные идеи в школьную программу, с соответствующей

разработкой и теоретическим обоснованием методического уа-териала Факультатива* Проникновение в глубины физики, математики, естествознания важно в период обучения учащихся в 10-11 классах, когда хорошо ш могут быть усвоены наиболее трудные понятия и законы,

Возмо;аюстыо для такого обучения является то, что в настоящей программе по матегаатике имеются дифференциальное и интегральное исчисления, элементы векторного исчисления.

логическая структура учебного предмета становится компактной, обоснованной, четкой, если в нем получает отражение логика данно;; науки, основы которой учебный предает содержит в дидактически преломленном виде, если строго учитываются цат и задачи обучения на данном этапе развития школы, с учетом возраста и общеобразовательной

подготовки учашихся.

Цель работы - разработать и теоретически ооосновать содержание /чеошго .'¿игвргааа ^акэяьгазпвшх занятай об •

уравнениях Максвелла как иньарнангных относительно преоб-

разозшгая элементов группы Лоренца я, используя такой

материал, иолно бшю бы легко довести до учащихся этот

■тундачентальный сыыся уравнена:; ЛаксЕвлла.

Мы, предполагая ввести в факультативный курс по ' математике уравнение для электромагнитных потенциалов -и рассмотрение некоторых простерших решений этого уравнения, считаем это ваяяым в методическом отношении.

использование в содержании шакультатива йо изучения уравнении ;',1аг:свелла как инвариантных относительно преобразования элементов группы Яоренца обеспечивает взаимосвязь учебного материала ш физике и математике, способствует расширенно общего кругозора учащихся, их интеллектуальному развитию.

Объект исследования - хормырозание у школьников понят одного из фундаментальных законов естествознания.

предает исследования - разработка глетода изучения уравнении ;.(аксведла как инвариантных преобразованию

Лоренца с использованием геометрических построений а физических аналогий в 10-11 классах, на Факультативе.

Гипотеза - существует практическая ъоздокность вяпючить г '"щ-сультативнып курс для учащихся ^изико-п-яатема-тичесхих кяассоз раздел "Исследование урашени;; „¡аксвелда

с применением элементов векторного исчисления", в котором на доступном уровне иатагаатся основные идеи ЛаксЕелла -Лорьнца - Э ничейна о природе электромагнетизма /пои использовании специальной методики/. Формирование у учащихся понятий об этой фундаментальной идее еозмо;кно при условии использования:

1/ методика изложения математического аппарата теории

поля; • • "

'¿./ хорошего описания уравнений Максвелла с использованием Физической аналогии, но на строгой математической основе;

3/ получения четырехмерного уравнения электродинамики ' ' на уровне достаточном для понимания учащихся;

4/ обьясненш инвариантов групп преобразований относительно группы Лоренца на доступном физическом уровне и в применении к уравнению для четырехмерного потенциала электромагнитного поля;

5/ решения этих уравнений и исследование решений для случая электромагнитной волны.

Основные задачи исследования. Б соответси::;^ с целью, гипотезой, объектом и предметом исследования были определены следующие задачи:

1. Разработка и обоснование методического описания математического аппарата теории электромагнитного поля для учащихся Физико-математических классов, на основе принципа наглядности и привлечения физической аналогии;

2. Разработка содержания учебного материала Факультативных занят®::

а/ описание гт:лэнческо;': стороны системы уравнений

Максвелла с применением аналогии и наглядности,но на строгой мага мат ячее ко;"; основе;

б/ разъяснение законов сохранения, полученных из системы уратзнени;: -Ьксвелла с позиции тех знании, которыми владеют учадаеся при. обучении по ооичной црограшо;

в/ вывод аз уравнена!; Максвелла уравнений для электромагнитных потенциалов и методика наложения электродинамики с пепользовачием понятий электромагнитных потенциалов;

г/ геометрический и Физический смысл преобразовании группы Лоренца;

д/ находиение простерших решенаЛ еоляоеого. уравнения для электромагнитных потенциалов и исследование этих решений при описании электромагнитных еолн.

¿4 Э кспериментальная проверка эффективности-использования разработанного учебного материала Факультативных занятий "исследование уравнений Максвелла с применением элементов векторного исчисления" по формированию у учащихся представления о фундаментальной идее Максвелла - Лоренца - Эйнштейна.

Методы исследования. В теоретической части работы вместо абстрактных математических ьыкладок часто используются геометрические построения, а опытно-экспериментальной части работы применяется метод педагогического эксперимента.

Новизна диссертационной работы заключается в том,

что разработано содержание учебного материала, с помощью которого можно было бы легко донести до учащихся

фундаментальный смысл уравнений Максвелла как инвариантных относительно преобразования группы Лоренца. Обоснован и определен метод обучения в логике пауки для школьного факультативного курса. П^н зтам математика и физика_ находятся в тесной взаимосвязи.

Теоретическая значимость исследования состой в том, что его результаты раскрывают, дополняют и расширяют

возлокности использования' научно;! теории для интеллектуального развития школьников и представления о физической картине Мира. Составляет одно из направлений для дальнейших педагогических исследований по изучению теории групп, разделов современной теоретической Физики в школах и ВУЗах.

Практическая значимость состоит в том, что выводы и рекомендации экспериментально-педагогической работы позволили разработать: пути и методы организации занятий по математике, систему специальных задач, по формированию математических знаний, методическое описание математической теории поля, элементов группы преобразования Лоренца, описание уравнений Максгелла и их решение. Внводы и рекомендации могут быть использованы в школах с углубленным-изучением математики для дальнейшего совершенствования процесса математической подготовки школьников.

Достоверность проведенного, исследования определяется обьекгивньм анализом полученных результатов, личнкм участием автора в опытно-экспериментальной работе, соответствием этапов развития науки процедурам педагогического исследования.

Апробация работы. Основные результаты доложены на

еемшаре по дифференциальной геометрии при каЛедре геометрии ¿Московского педагогического Университета

/1992-S3 гг./; про издались до клади на семинаре "Передовые методы преподавания математики в России и За-рубелом" /19S2-93 гг./, московски:'; педагогический Университет, на конференции учителей г» Москвы по физика /1993 г./.

Внедрение результатов. Экспериментальная часть работы'проводилась в [Мзшш~;латематическых классах в школах И 1140, Jê 256 г. Москва, $ 73 г. Тула и др. Основное содержание выполненных исследовании отракена в семи опубликованных работах, fil — fvj .

Структура-и ооьем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, приложений, списка цитируемой литературы, изложенных на 260 страницах.

ОСНОВНОЙ СОДЖАШЕ ШСДйДОВАНШ

Введение. Дается обоснование цели,задачам,актуальности, структуре диссертационного исследования.

В nepEOii главе "Математический аппарат теории электромагнитного поля. Вопросы методики" подробно осве-шаются-.методические праекы введения в математическую теорию поля. Матерная налагается в привычном для школьников толковании операций с векторами для евклидова пространства с постепенным нарастанием сложности в

конечных разделах этой главы, и в тоне время, матерная остается доступным для понимания учащихся 10-11 классов средней дколы олагодаря наглядности наложения. Таким образом, содержание данного учебного магерпача служит подготовительной базой к тому; чтобы учащиеся могли достаточно полно изучать особого рода пространства - пространство ^¡инковского. Некоторые геометрические понятия и операции для этого пространства рассматриваются подобно для евклидова пространства.

В разработке содержания занятий со школьниками мы пользуемся в пергой главе понятиями, отраженными в школьных учебниках. Ва второй главе даем более строгие определения, тем самым расширяя знания учащихся о геометрии пространств евклидова и Минг.овсного и их ' отличительных особенностях.

первая глава содержит физико-геометрическую интерпретацию скалярного и векторного произведения векторов, физические примеры скалярного и Еектарного полей, геометрическое толкование градиента, Физико-геометрическую интерпретацию циркуляции и потока поля через поверхность. Особое место уделяется симеоли- • ческой записи дифференциальных операции через "набла".

Разраоотаяные содержание и методика позволили учащимся математических классов успешна осваивать раздел "Векторное исчисление", учащиеся смогли сдавать экзамены по этому разделу на одном уровне со студентами ЗУЗа.

Во втора;: главе "пространство ¡'Динкоеского и группа лоренца. методические подходы, на основании наглядности, аналогии, представленных в перво;': главе, рассматривается псердоевшпщово. пространство., более абстрактная математика, возможности наглядности которой существенно ограничены.

Ъ этой главе рассматриваются евклидоЕые и псевдо-евювдовые пространства, метрика этих пространств, группа линейных преобразований, сохраняющих скалярное произведение. и этом исследовании раскрываются методические подходы, изложения материала о координатном - мерном пространстве, евклидовом пространстве, свойстве движений евклидова пространства.. Приводятся примеры задач для- школьников, далее рассматривается псевдоевклидово пространство, метрика Минковского, движение псевдо-евкладовой плоскости, элементы группы Доренца.

Эта глава - еще одно связующее звено мезду школьной и ВУЗовской математикой.

В третьей главе - "Уравнения Максвелла и их физический смысл. Методика наглядного изложения основных свойств электромагнитного поля". Предлагаются методические приемы использования метода наглядности, опытных фактов, связанных с электромагнитным полем в виде системы уравнений Максвелла и вывод следствий из нее. Раскрываются возможности уравнения электродинамики для четырехмерного потенциала в развитии специальной теории относительности. Приведены исторические грахты, .методика наглядного изложения основных сеойств

электромагнитного поля, иписывается система уравнении .Максвелла в интегральной корме и еывод следствий с использованием элементов векторного исчисления - математического аппарата теории поля.

В это!: не главе получаем уравнение для четырехмерного потенциала электромагнитного поля, с которым в дальнейшем раоотаем. Отметим, что это уравнение удовлетворяет . системе уравнений Максвелла и само инвариантно относитель- . . но преобразования Лоренца. Это подробно анализируется в четвертой главе. •

В четвертой главе Некоторые решения уравнения для четырехмерного потенциала электромагнитного поля с использованием конкретных примеров, раскрывается инвариантность уравнения для электромагнитных потенциаюв, исследуются некоторые' решения этого уравнения для случая нулевой правой части с вычислением полей. Показывается как преобразуются магнитные поля при переходе от одной ннерциальной системы отсчета к другой. Здесь лее рассматривается физическая-интехдаретация существования электромагнитного поля вввде волны, записывается уравнение электромагнитной волны в сферической системе координат, отыскиваются некоторые простейшие решения этого уравнения.

В пятой главе - "Экспериментальная проверка содержания методики обучения на факультативном курсе" Исследование уравнений Максвелла с применением векторного исчисления."

Результаты исследования можно проследить на примере того :<ак сказывается усвоение учащимися школьная программы по гппзике и математике.

Подобно тому, как работа включает методическое описание математической теории поля /1-я глава/ и методическое описание ;.;аксведлоЕСхо:; теории электромагнитного поля ' /3-я глава/, педагогически:! эксперимент такие состоит из двух частей. Э-то .проверка усвоения знании учащимися элементов математической теории поля и проверка-знании максвеллонекои теории поля.

Поскольку математическая теория поля представляет

, собо:1 математически:: аппарат теории электромагнитного по—

. ля,- то при проведении поискового эксперимента больше

внимание уделялось определенна содержания, объема и

структуре такульгативного курса "математическая теория поля".

.Вакнкм итогом этого эксперимента явилось, то, что учащиеся математических классов смогли сдавать экзамены по разделу "бекторное исчисление" примерно на одном уровне со студентами второго курса математического с£а-• культета Тулпедпнститута /Школа И 73 г. хула, 1991 г./. 'Тогда было издано и методическое пособие для учителей

Отметкгл, что caví эксперимент, начаЕЛИися в период работы в школе, опережал написание диссертационной работы.

В обучаюпем эксперименте /школы ifié 1140, S66 г. Москва, 1991 г.; школа J5 45 г. Тула, 1987 г., J? 73 г. хула, 1991 г. Тулпединститут ПО, 1985 г./ большое внимание уделялось исследованию"влиянию на успеваемость по итогам выпускных экзаменов по 'пизкр;е 1' Исследовались контрольные и экспериментальные классы /см.граггик успеваемости/. Подьем

ГРАФИК УСПЕВАЕМОСТИ

-1 } 20

Экспериментальные классы

.контрольные классы

С,5 10 '

«ч ■

Е(Х)

Щ Я

относительная частота события х

число ответов,получивших £ баллов, число учеников в классе

в интервале а,5 - 4,5 связан с тем, что используются более лаконичные определения и понятия.

Результаты обучающего эксперимента подтвердили, что мы выбрали правильны;! путь.

ВЫВОДЫ

1. Разработанная методика изучения элементов группы Лоренна и ее приложений в Физике усиливает роль научной теории и-позволяет не только повысить научно- • теоретический уровень в преподавании математики и физики /по нашему мнению/, но и преодолеть разрыв в научном уровне преподавания мё:/ду этими учебными предметами в юколе и ВУЗе.

'2. Разработка содержания факультативных занятий, с применением аналогий и геометрических построений вместо абстрактных математических выкладок, с использованием простейших решений уравнений, сделала материал более наглядным, доступным для изучения.

3. Педагогический эксперимент показал, что методически разработанное, содержание факультативного курса способствует развитию творческих способностей учащихся, осмысленному изучению предметов. Позволяет увеличить глубину и широту знаний о Мире. Лучше усвоить школьную программу по. физике и математике, использовать математические знания для изучения физики.

Основное содержание диссертации и предлагаемой методики изучения уравнений Максвелла как инвариантных относительно группы Лоренца отражено, в следующих публикациях:

• 1. Учебное пособие для учителей физико-математических школ "Элемента векторного исчисления как математический аппарат электродинамики /наглядность в физике и математике/". Делянов З.А.; Тульское областное отделение российского педагогического общества. -Тула, 1991. - 20 .с. - Изд. ТШО зак. № 1277. Тир.50 экз.

2. Элементы векторного исчисления как математический аппарат электродинамики в курсе физики средней школы. Делянов Б.А.; Тульский госпединститут. - Тула, 1991.

- 94 с. - Деп. в ОДНИ "Школа и педагогика" № 18 - 92-.

3. Некоторые решения уравнений для электромагнитных потенциалов. Делянов В.А.; Тульский госпединститут. -

- Тула, 1992. - 6 с. - деп. в ВИНИТИ № 1744 - В 93.

4. Геометрические методы в школьной физике. Делянов В.А.; Тульский госпединститут. - Тула, 1993.

- 3 с. - Деп. в ОДНИ "Школа и педагогика" Л 98 - 93.

5. О некотором решении уравнения для электромагнитного. потенциала. Мантуров О.В., Делянов В.А.

В сб. "Дифференциальная геометрия и инварианты представления полупростых алгебр Ли"; Моск.пед.ун-т. - М, 1993.

- о с. - Деп. в ВИНИТИ # ¿445 - В 93.

6. Использование векторного исчисления в гаизических задачах в школе. Делянов В.А.; 3 сб.:"Дифференциальная геометрия и инварианты представления полупростых алгебр Ли"; Моск.пед.ун-г. - м., 1993 - 6 с. - деп. в ВИНИТИ ^

№ 2445 - В 93.

7. О некоторых элементах группы лоренца и и>: геометрическом толковании, делянов u.a.; Моск.пед.уя-т. - М., 1993. - & с. - деп. в ВИНИТИ * 2Г;.59 - В'93.