автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Изучение начал математического анализа в условиях дифференциации учебного процесса в средней школе

Автореферат диссертации по теме "Изучение начал математического анализа в условиях дифференциации учебного процесса в средней школе"

Л Ч

с-<:л

^ 7 На правах рукописи^

ТЕРЕШИНА Татьяна Николаевна

ИЗУЧЕНИЕ НАЧАЛ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В УСЛОВИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения математике

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре методики преподавания математики Московского педагогического государственного университета имени В.И. Ленина

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, профессор МИШИН В.И.

Официальные оппоненты:

Заведующий кафедрой математического анализа Московского педагогического университета, проректор, доктор педагогических наук, профессор ЛУКАНКИН Г.Л.

Главный редактор журнала «Математика в школе», кандидат педагогических наук, доцент ВЕРЧЕНКО А.И.

Ведущая организация - Мордовский государственный педагогический институт им. М.Е. Евсевьева

Защита диссертации состоится « __1997 г.

в Ф> часов на заседании Диссертационного Совета К 053.01.16 в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленгна по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная, 14, математический факультет МПГУ им. В.И. Ленина, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета имени В.И. Ленина по адресу: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, 1.

Автореферат разослан «.

Ученый секретарь Диссертационного Совета \ КУЗНЕЦОВ Э.И.

Реальностью, обуславливающей необходимость дифференцированного обучения математике, являются объективно существующие различия учащихся в темпах овладения /чебным материалом, в способностях самостоятельного применения усвоенных знаний \ умений. На современном этапе развития общества для отечественной школы особое ¡начение приобретает гуманизация образования, предполагающая уважение личности тщегося, учет ее индивидуальности, заботу о состоянии ее развития, как высшей це-ш всего процесса обучения. Каждому ученику должны быть созданы наиболее благо-триятные условия для индивидуального развитая в соответствии с его склонностями и ¡пособностями. Необходимость индивидуального подхода к личности в процессе обу-1ения давно отмечена как отечественными, так и зарубежными дидактами, ими же гроводились исследования путей ее осуществления. В практике работы средней школы тиболыпее отражение получили такие направления индивидуального подхода, как обственно индивидуализация и дифференциация обучения [65]. Анализ психолого-[едагогической литературы показывает, что дифференциация обучения, как общая пе-агогическая задача, не является новой ни для нашей, ни для зарубежной школы. В бщепедагогическом плане она глубоко исследуется в трудах Архангельского С.И. [20], >1], Бабанского Ю. К. [23], Гоноболина Н.Ф. [56], [57], Закшевски Е. [80], Зиновьева :.И.[81], Ильиной Т.А. [83], Кирсанова A.A., Кобыляцкого И.И. [96], Лернера И.Я., 'каткина Н.М., Сластенина В. А. [225] Унт И.З., и других. В своей работе мы также пирались на исследования в этой области психологов: Выгодского С.Л., Гальперина 1.Я. [49], Давыдова В.В., Кабановой-Меллер E.H. [86], Ильясова И.И. [85], Калошиной [.П. [87], Крутецкого В.А. [109], Кузьминой Н.В. [117] - [119], Рубинштейна С.Л. [183] [184], Талызиной Н.В. [228], Щербакова А.И. [258] - [259], Фридмана Л.М., Эсаулова Ф. [262] и др. Особого внимания заслуживают работы методистов и математиков олтянского В.Г., Глейзера Г.Д., Гусева В.А., Дорофеева Г.В., Кашшосова А.Н., Коля-¡на Ю.М., Куприяновича В.В., Луканкина Г.Л., Метельского Н.В., Смирновой И.М., толяра A.A. и других.

Особое значение для внедрения в практику любых форм и приемов дифференциро-нного обучения имеет организация предметного содержания учебного материала [65]. ентральное место в нем отводится задачам, так как они служат основным средством эрмирования приемов учебной деятельности учащихся по их решению и должны слу-1ть основным средством дифференциации учебного процесса. В исследованиях, посвя-енных роли и месту задач, широкое распространение нашел деятелыгостпый подход

(Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, В.И. Мишин, Г.И. Саранцев и др.)- Внимание уделяете; как внешней (информационной) структуре задачи (Ю.М. Колягин, В.И. Мишин, Л.М Фридман и др.), так и проблеме, связанной с изучением внутренней структуры задач! (В.И. Крупич и др.) Идея гуманизации, лежащая в основе профильной и уровнено* дифференциации, позволила разработать методическое обеспечение, основными поло жениями которого являются изучение и учет индивидуальных особенностей каждоп учащегося класса, анализ мыслительной деятельности учеников каждой из выделении подгрупп при решении задач с учетом их возможных затруднений. Проблемой исследова ния является выявление эффективности применения методического обеспечения по кур су начал математического анализа в профильных классах, основанного на их общеобра зовательной и специальной значимости в условиях уровневой дифференциации. В ход исследования была выдвинута следующая гипотеза - использование деятельностного под хода при решении задач математического анализа в условиях профильной и уровнево дифференциации позволит повысить качество знаний учащихся, как общекультурных та и специальных, развить и поддерживать у них интерес к изучаемому предмету.

Для решения поставленной проблемы и проверки сформулированной гипотезы был выдвинуты следующие задачи исследования:

1. Раскрыть психолого-педагогические основы уровневой и профильной дифферен циации в обучении математике.

2. Выявить требования к отбору задач курса математического анализа, использук щихся при дифференциации учебного процесса.

3. Разработать методическое обеспечение для реализации уровневой и профильно дифференциации в старших классах средней школы при решении задач математиче ского анализа.

4. Выполнить педагогический эксперимент и проанализировать его результаты.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

1) изучение отечественной и зарубежной литературы по истории, методике и мете дологии математики,

2) изучение и анализ психолого-педагогической, учебно-методической и специаш ной литературы по вопросам, относящимся к объекту исследования,

3) беседы с учителями математики и учащимися,

4) анкетирование,

5) проведение педагогического эксперимента.

Актуальность. Неразработанность сформулированной проблемы, отсутствие комплексного подхода к ней и определяет актуальность проблемы нашего исследования.

Объект исследования - дифференциация учебного процесса по математике в средней школе.

Предмет исследования - изучение начал математического анализа в условиях уровне-юй и профильной дифференциации.

Целью исследования является выявление эффективности разработанного методиче-:кого обеспечения для изучения элементов математического анализа в условиях дифференциации обучения.

На защиту выносятся методика реализации уровневой и профильной дифференциа-ши в старших классах средней школы при решении задач математического анализа, ¡ключающая в себя:

1. Требования к отбору задачного материала по курсу математического анализа в ус-овиях дифференцированного обучения;

2. Содержание учебного материала, соответствующего профилю обучения;

3. Методические подходы и соответствующие им методические рекомендации к ис-ользованию разработанного задачного материала.

Научная новизна исследования заключается в том, что в нем впервые на основе ком-лексного исследования проблемы дифференциации процесса обучения было разрабо-шо методическое обеспечение повышения эффективности изучения начал математи-еского анализа в условиях диалектического единства профильной и уровневой диффе-енциации на основе решения задач.

Апробация работы. Результаты исследования неоднократно докладывались автором и эсуждались на конференциях и семинарах: Международной конференции «Проблемы □дготовки преподавателей математики и информатики для высшей и средней школы» Москва, 1994 г.), на Апрельских чтениях МПГУ (1995 г.), на научной межрегионаи.-э'й конференции «Проблемы гуманизации математического образования в школе и УЗе» (Саранск, 1995.), Герценовских чтениях «Школьное математическое образова-1е: вопросы содержания и методов», (С.-Петербург, 1995),на научной конференции в

Орехово-Зуево (1995 г.),на Российско-Американской конференции «Проблемы кольного математического образования» (Москва, 1993), на научно-методическом се-тнаре аспирантов кафедры методики преподавания математики МПГУ (1995, 1996 -.). Были прочитаны лекции и проведены семинарские занятия со студентами и маги-рантами математического факультета МПГУ (1994, 1995, 1996 г.г.)

Цель и задачи исследования определили его структуру. Диссертация состоит из вве дения, двух глав, заключения и списка литературы.

Во введении дается общая характеристика проблемы, обоснована актуальность тем] исследования, определены цель исследования, ее практическая значимость.

В первой главе «Психолого-педагогические основы дифференциации учебного про цесса по математике в средней школе» дифференциация, индивидуализация и гумани зация рассматриваются как общепедагогические проблемы, проводится анализ литера туры, посвященной этой проблеме, подробно останавливаясь на двух различных вида дифференциации - уровневой и профильной, их различии и единстве. В этой же глав рассматривается вопрос о роли и месте задач в процессе дифференцированного обуче ния, определяются требования к отбору задачного материала по курсу математическог анализа в условиях дифференцированного обучения.

Глава вторая «Методика реализации профильного, разноуровневого подхода в прс цессе решения задач по началам математического анализа» посвящена реализаци предложенных подходов к дифференциации учебного процесса на примере курса мате матического анализа. Рассмотрены вопросы изучения понятий производной и диффе ренциала в процессе решения задач, упорядочения задачного материала по началам ма тематического анализа с учетом уровневой и профильной дифференциации. В этой ж главе приводятся основные результаты эксперимента, проводившегося с целью под тверждения гипотезы, выдвинутой нами, сделаны выводы и заключение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В дифференцированном обучении математике мы придерживаемся концепции един ства уровневой и профильной дифференциации. Любая из этих двух разновидпосте дифференциации одна без другой неполноценны. Раскроем внутреннее единство двух на званных видов дифференциации.

Во-первых, "высокий" уровень изучения математики в средней школе не может быт в полной мере осуществим, если он не опирается на профильную дифференциации Профильная дифференциация является важнейшим средством осуществления уровне вой дифференциации. Не использовать первую как рычаг для приведения в действие все возможностей второй - значит заранее запланировать заниженную эффективность обу чения по сравнению с той, какой она могла бы быть.

Во-вторых, профильная дифференциация является эффективным средством варьирс вания уровней обучения предмету, и независимо от того, ведется ли преподавание маге

машки в математшеском, техническом, гуманитарном, естественно-биологическом или обычном классе, без профильной дифференциации невозможна эффективная уровневая дифференциация.

В-третьих, выбор профильности обучения нисколько не снижает значимости уров-невой дифференциации, а изменяет лишь возможности ее осуществления.

В реальности уровневость и профильность дифференциации - неразрывные элементы единой дифференциации. Вообще, расчленение дифференциации на два вида полезно для того, что бы более разносторонне и глубоко, детально и полно изучить проблему дифференцированного обучения.

В работе рассматривается применение дифференцированного подхода на различных этапах урока, а именно на этапе введения нового материала, на этапе самостоятельной работы учащихся по изучению нового и самостоятельной работе по применению изученной теории к решению задач, возможности разделения самостоятельной работы по степени помощи со стороны учителя ученикам, на этапе работы с учебником, дифференцированный контроль подготовленности к уроку, дифференциация домашнего задания, дифференциация оценки знаний.

Остановимся на стиле изложения основ математического анализа в классах различных уровней. Выбор этого стиля является весьма существенным. Здесь надо идти по пути разумного компромисса между строгостью, доступностью и прикладной направленностью, не забывая ни об одной из этих сторон. Какого уровня строгости придерживаться, что и как доказывать? В классах гуманитарного профиля изложение элементов математического анализа должно иметь максимально наглядный характер. Оно должно постоянно уделять внимание содержательной стороне рассматриваемых понятий и фактов. Формально-логическое совершенство определений и доказательств отнюдь не должно быть самоцелью. Достижение таких качеств усвоения учащимися содержания математическою образования как осознанность, прочность, глубина, систематичность, эбобщенность возможно лишь при реализации деятельностного подхода в обучении. В технических классах целесообразно акцентировать внимание на прикладной и практикой направленности курса математического анализа. Методика обучения должна зыть направлена на формирование умений моделировать реальные процессы, развитие графических умений, образного компонента мышления, усиление межпредметных свя-¡ей. В математических классах изложение материала носит достаточно абстрактный характер с высокой степенью формальных доказательств, остаатяя большую часть изу-

с

чаемого материала для самостоятельной работы. Большую эффективность дает лекционная форма работы с последующими семинарскими занятиями.

Для реализации основных целей дифференцированного обучения в средней школе необходимы качественно иные системы задач и упражнений, которые и должны выступать как средство интеграции различных разделов школьной математики, что будет способствовать ликвидации перегрузок учащихся учебным материалом. При работе с классами различных профилей и уровней обучения учителю математики также необходимы материалы, при помощи которых он сможет реализовать идеи «гибкой технологии». Говоря о принципах отбора содержания школьного математического образования отметим, что важнейшей особенностью современного этапа развития школы, оказывающей влияние на сами принципы отбора содержания обучения математике, являете* развитие и широкое внедрение уровневой и профильной дифференциации, предполагающей максимальную гибкость как в определении самого объема информации, так и 1 требованиях к уровню овладения этой информацией различными учащимися.

Чаще всего в подходах к дифференциации обучения учитываются свойства личности, отражающие индивидуально приобретенный опыт: знания, умения, навыки, привычки, опыт эмоционально-оценочных отношений и разнообразной деятельности. Этт свойства личности легче изучаются и действительно определяют возможности дифференциации в обучении, так как отражают и актуальный уровень и возможный уровень Однако эти качества могут подсказать уровневую дифференциацию в обучении на определенном этапе, но не всегда отражают возможности школьника в профильной дифференциации. Проблема дифференциации обучения учащихся средней школы, а также время, отводимое на изучение алгебры и начал анализа в 10 - 11 классах, подтверждает целесообразность знакомства учащихся с достаточно общими методами решения задач, например, функциональным. Владение этим методом позволяет существенно упростить решение многих сложных задач прикладного характера. Реализация общего функционального подхода в условиях дифференцированного обучения оказывает существенное влияние на развитие структурных компонентов учебно-математических и научно-матемашческих способностей обучаемых: функциональное мышление, склонность к математическому моделированию, построению алгоритмов и эвристических схем, динамическое пространственное воображение, математическая индукция. При отборе учебного материала для профильных классов мы пользовались следующими критериями.

1) Критерий научной и практической значимости

2) Критерий соответствия содержания профилю обучения

Преподавание математики в классах гуманитарного профиля имеет свои особенности. Полноценное усвоение учащимся школьной программы должно сопровождаться их умственным развитием, формированием познавательных интересов. Обучение только тогда способствует развитию ума, когда оно руководит самостоятельными поисками учащихся. Преподавание математики в этих классах сложно именно потому, что основные познавательные интересы учащихся находятся в иных областях знания - истории, литературы, общественных наук и т.д. В процессе обучения математике «гуманитариев» преимущественное внимание следует уделять эмоциональной стороне интереса учащихся. Это необходимо учитывать при выборе методов, средств и форм обучения. При этом общими особенностями методики преподавания математики в классах гуманитарного профиля являются следующие: первостепенное внимание мировоззренческим вопросам науки, систематическое обобщение материала в рамках частных теоретических схем, способствующих формированию обобщенных, наиболее значимых для мировоззрения знаний, возможно большая эмоциональная насыщенность материала, стимулирование активности учащихся на основе профильного интереса, индуктивность при осмыслении. В классах технического профиля одна из целей - научить учащихся правильно формулировать задачи, связанные с реальной ситуацией, т.е. научить применять прочее математического моделирования. Согласно содержательно-методическому критерию, в классах технического направления распределение учебного времени происходит ) пользу увеличения практических знаний, при этом акцентируется внимание на решети задач прикладного характера. Методика обучения должна быть направлена на формирование умений моделировать реальные процессы, развитие графических уме-шй, образного компонента мышления, усиление межпредметных связей. Для классов ехнического профиля наиболее подходящими учебными заданиями являются те, в ко-орых понятие производной вытекает из физических явлений, геометрических толкова-гий и приближенных вычислений, в которых на первый план выдвигается задача о на-ождении мгновенно!! скорости движения и вычисление углового коэффициента каса-ельной к кривой в заданной точке. В учебниках должно быть большое количество за-ач на межпредметные связи и использование вычислительной техники. В современных особиях почти нет задач на развитие конструкторских навыков. Важные по степени рофессиональной значимости задачи на применение производной при решении урав-ений и неравенств почти отсутствуют в школьных учебниках. Поскольку обучение

анализу вообще связано с приложениями, метод обучения в технических классах должен быть таков, что понятие производной должно вводиться в неразрывной связи с их приложениями. Уже подход к анализу должен быть связан с приложениями. Математические классы отличаются тем, что в них и теоретический, и задачный материал может быть построен с точки зрения доказательности, строгости и сложности изложения на высоком уровне.

Общепризнанно, что обучение решению задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений, навыков, а так же ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе обучения математике. Успешность и эффективность обучения решению задач зависит от их постановки и вида, от усвоения учащимися курса школьной математики, от систематизации задач, с учетом психологических особенностей школьников. Требования к отбору задач отражены в схеме 1, где происходит разбиение задачного материала по уровням и по профилям.

Схема 1.

I уманитарные классы Математические классы

-Тахничткия КПЯГ.ГЫ_

Для формирования прочных умений и навыков учащихся должно быть достаточное число задач одного и того же типа по изучаемой теме. Однако и в этом случае надо проявлять умеренность, разумность В психологии установлено, что выполнение однотипных заданий приводит к ряду негативных явлений: учащиеся начинают решать задачи шаблонно, по аналогии с предыдущими, не вдумываясь в условие данной задачи, опуская при этом отдельные существенные рассуждения. Надо отметить, что последовательность рассуждений, повторяющихся при решении однотонных задач, может свер-

ываться до ассоциации, которая в дальнейшем, в случае необходимости, должна легко азвернуться в первоначальную цепь рассуждений. Свертывание рассуждений - естест-енный процесс, однако не у всех учащихся обратный процесс - развертывание - про-сходит без потерь каких-либо существенных элементов рассуждений.

Важно среди задачного материала систематическое использование "провоцирующих" пражнений, которые способствуют развитию внимания и самостоятельности, повы-геншо точности. Весьма ценной в методическом отношении группой задач являются г, которые получаются в результате переделывания какой-либо другой задачи.

Обучение школьников решению математических задач, как правило, осуществляется ри решении тех из них, которые сформулированы учителем, взяты из учебника или из [ебного пособия, из другой литературы. Однако существенную роль при этом играет гятельность учащихся по их составлению. Дело в том, что составление задач часто чсбусг от учащихся такой умственной работы, которая при решении "готовых" задач г имела места. Иначе говоря составление задач можно рассматривать как творческую :ятельность учащихся. Стало быть работа учащихся по составлению задач служит раз-гопо их творческого мышления.

Один из аспектов деятельности по составлению задач - это составление и решение дач, порожденных данной задачей, или, иначе говоря, составление и решение задач, рвиваюших тему данной задачи. Такого рода задачи можно получить из данной сходной) различными путями:

1) путем замены части данных в исходной задаче другими данными без замены за-почения задачи;

2) путем обобщения данных или искомых исходной задачи;

3) путем специализации данных или искомых исходной задачи;

4) путем добавления новых заключений при сохранении данных в исходной задаче;

5) путем замены части данных исходной задачи ее искомыми (часть данных прини-1ется за искомые, а некоторые искомые считаются данными), т.е. путем обращения чачи или составления задачи, обратной данной.)*

В работе показана реализация этого предложения на примере конкретных задач, удобного рода замены нередко приводит к применению разнообразных приемов и тодов решения полученных задач, казалось бы близких по содержанию с данными 1ачами. Таким образом в этом случае осуществляется не отработка какого-либо од-го приема решения задач, а усвоение широкого их спектра. Замену значений данных

в условии желательно осуществлять не беспорядочно, а придерживаясь определеннол логического плана.

Примером такого рода работы может служить следующая задача: Сравните е" и л' Некоторые рассуждения приводят к обобщению задачи: можно сравнивать ~lru> и ein я-

Ine In л

или, поделив оба выражения на ел сравнивать — и -. Если рассматривать функ

е л

lnx _ „

цию f(x) =- - обобщение, то решение данной задачи получается из решения боле

lnx

общей, а именно: исследуйте на монотонность функцию /(х) = -—.

х

Решение: f'(x) = ^ ^^-при 0<х<е, f'{x)>0 и стало быть функция возрастает н

этом промежутке. /'(х)<0, при х>е и f(x) убывает на промежутке от е до бесконеч

„ lne In я

ности. Таким образом, —>-и е > ж'.

е л

В подавляющем большинстве случаев в учебных задачах в условии дается лишь одн заключение. Между тем, нередки случаи, когда содержащаяся в задачах информаци позволяет сделать и другие выводы, которые не предусмотрены в заключении задач! Развития темы некоторых задач можно добиться, добавляя новые заключения, являк щиеся следствием данной задачи.

Задача. Покажите, что касательная к кривой у-х5+ 10х-3, проведенная в точке абсциссой х0 = 1, составляет с осью Ох острый угол.

Подзадача 1. Доказать, что касательная к кривой у = х5+ 10х-3 в любой точке сс стаиляет с осью Ох острый угол.

Подзадача 2. Доказать, что функция у= xs +10х-3не имеет экстремумов. Подзадача 3. Доказать что функция >' = х5+10х-3 всюду монотонно возрастает н своей области определения. Такого рода работу с задачами можно проводить и даю Составление и решение задач, порожденных данной - это уже творческая деятельное! учащихся. Место этой деятельности не ограничивается временем, уровнем подготовю но особое внимание ей нужно уделить на стадии завершающего, обобщающего обуче ния при изучении различных разделов школьного курса математики. Наверное не стог вводить системы специальных уроков или внеклассных занятий для этих целей.("Лучи систематически, время от времени, обращаться к составлению задач, родственных да!

-той, при изучении различных тем в классах различных уровней и профилей.\В работе фи водятся примеры задач трех уровней и разных профилей, которые могут предлагать-:я для развития темы.

[ Мы останавливаемся еще на таком типе задач, как задачи на доказательство. Такого юда упражнения в курсе начал математического анализа считаются одними из самых ложных, да и теоретическая база для решения таких задач иногда действительно ока-¡ывается недостаточной. Между тем, задачи на доказательство в разделе "Производная I ее применения" имеют ряд дидактических достоинств:

1. Они развивают логическое мышление учащихся;

2. являются действенным средством для неформального и глубокого усвоения поия-ий и методов математического анализа ;

3. помогают глубже вскрыть связи новых понятий с ранее известными, а также рас-:рыть связи между их свойствами и отношениями;

4. позволяют глубоко понять и усвоить процесс исследования функций с помощью роизводной и применить результаты исследования к алгебре (решение и исследование сшения уравнений, неравенств, ¡к систем, доказательство тождеств и т.п.);

5. открывают новые для учащихся, не изложенные в учебной литературе, свойства и тношения функций;

6. способствуют совершенствованию техники применения производной при реше-ии задач;

7. они помогают обучаться нестандартному мышлению. , !

Поскольку задачи на доказательство в курсе начал математического анализа, как уже юминалось, достаточно сложны, то подобрать такого рода задачи для работы в клас-IX 1уманитарного профиля не так легко, но отказываться от них в этих классах неце-хообразно. Ниже приведены примеры задач, предлагавшихся учащимся десятого тасса, профилирующим предметом в котором был английский язык. Тело движется тголинейно по закону £ = 3г+2. Докажите, что мгновенная скорость при = 2,1 = 3, г = 101 одна и та же и вычислите се значение; докажите, что кривая, изобра-гнная на рисунке а) не может быть графиком производной функции Дх), график >торой изображен на рисунке б)

0 13 X 0 13

рис. а рис. б

<---

| Еще один пласт задач, которые помогают разнообразить работу и заинтересоват учащихся различных уровней, - это задачи на составление функций по заданным cboî ствам. Эти упражнения полезны и для учащихся с сильной математической подгото! кой, и для школьников просто интересующихся математикой, так как эти задачи зг ставляюг вообразить ту функцию, которую нужно получить или попробовать найти ее своем багаже знаний. Учитель сам должен определить меру подсказки учащимся и дс

лю помощи в доказательстве того факта, что найденная функция удовлетворяет все

i

заданным свойствам^

Привести пример функции: а) непрерывной на отрезке [0, 1] и недифференциру< 1 2

мои в точках - - , х, = -, ' 3 2 3

б) непрерывной на множестве R и не дифференцируемой при хк = к, где к eZ,

в) всюду определенной, но дифференцируемой лишь в двух точках,

Учащиеся при решении такого рода задач обычно ищут и составляют формулу, з; дающую искомую функцию. Между тем, графическое изображение таких функци иногда быстрее приводит к нужному результату.

С целью проверки эффективности и достоверности полученных результатов в 199'. 1996 годах проводился педагогический эксперимент с учащимися X-XI классов. В пр< цессе экспериментальной работы решались следующие задачи, поставленные в Teopi тичсском исследовании:

1. Выяснить механизм организации уровневой и профильной дифференциации старших классах средней школы;

2. выявить требования к задачам курса математического анализа, использующих! при дифференциации учебного процесса, определить успешность деятельности учащи: ся и характер формируемых у них знаний с использованием и без использования дис ференциации при обучении началам математического анализа.

3.проверить на практике действенность предлагаемых способов дифференциаш процесса обучения основам математического анализа;

4. установить степень влияния предлагаемого математического обеспечения на качество знаний учащихся и на обогащение их творческого опыта.

Эксперимент проводился в школе 315 города Москвы и в школе № 411. Задачей первого этапа была проверка эффективности традиционного методическою подхода к изучению темы «производная». На втором этапе обучающего эксперимента предлагаюсь провести обучение по разработанным экспериментальным материалам. В основу дифференцированного процесса были положены такие параметры: 1) уровень усвоения зопросов алгебры, необходимый для успешного изучения экспериментальной темы, 2) ;тепень сформированное™ теоретического мышления, 3) тип лабильности нервной :истемы, 4) степень обучаемости, 5) степень интереса к изучаемому вопросу.

Определение уровня усвоения материала, предшествующего изучаемому осуществляюсь на основе результатов специальной контрольной работы.

Обработка данных проводилась следующим образом:

1. Для сравнения эффективности новых и старых методик в зависимости от профиля 1 уровня усвоения экспериментальными и контрольными классами материала исполь-овзлся двусторогагий критерий (/2). Все допущения для его применения выполнены.

2. Для сравнения эффективности методик в зависимости от количества верных ответов, данных учащимися на контрольной работе использовался критерий Колмато-юва-Смирнова. Все допущения выполнены.

3. Методики сравнивались по количеству допущенных учащимися ошибок при вы-[олнении контрольной работы. Ошибки классифицировались в четыре группы - по [евнимательности, не усвоены предыдущие темы, не усвоены вопросы предыдущих ем, не усвоен данный вопрос.

Количественный и качественный анализ результатов первой части обучающего ксперимента свидетельствует об эффективности экспериментального обеспечения по равнению с традиционно недифференцированными методами обучения.

Вторая часть эксперимента проводилась в 1993-1995 годах. Задачей этой части было существление экспериментального обучения, основанного на учете требований по ифференциации и дальнейшее сравнение его эффективности с эффективностью экс-ериментального обучения, проведенного в первой части обучающего эксперимента, определение значений параметров учащихся, положенных в основу дифференциации роцесса обучения, осуществлялось так же как в первой части. Исходный уровень обе-х групп и экспериментальной и контрольной почти одинаков. Обучение в экспери-

ментальных классах шло по специально разработанным дидактическим материала!. Измерение параметра «уровень усвоения знаний» прослеживается соответствующе

диаграмма а (контрольные классы)

диаграмма Ь (экспериментальные классы)

таблицей. Из анализа ее данных видна тенденция к увеличению числа учащихся экснс риментальной группы, усвоивших вопрос тем на втором и третьем уровне.

В численном выражении результаты работы можно представить в виде таблицы диаграммы (а,Ь) Таблица.

контрольные классы

Количество за- число учащихся, число учащихся,

дач бравшихся за решение верно решив-

эюго количества ших это число

задач задач

1 22 21

2 22 18

3 20 14

4 16 9

5 9 8

6 7 4

7 7 4

8 4 2

9 3 1

10 3 1

экспериментальные классы

число учащихся, число учащихся

бравшихся за решение верно решив-

этого количества ших это число

задач задач

22 22

22 20

22 19

22 19

22 17

20 15

17 9

10 8

9 5

9 4

Диаграмма 1.

Диаграмма (о). Результаты проведения работы в контрольных классах. Диаграмма (Ь). Результаты проведения работы в экспериментальны классах.

На заключительном этапе эксперимента проводилась работа, в ходе ко торой учащимся было предложено решать задачи несколькими способам; Задачи такого рода решались на уроках, причем предлагалось по способ

18% 32%-

27%

диаграмма а (контрольные классы)

;-41%

диаграмма б (экспериментальные классы)

гшения этих задач. Результаты проведения этой работы в контрольных пассах показали, что лишь 18% учащихся смогли решить эту задачу тремя юсобами, 23% - двумя способами, а оставшиеся 59% решали ее одним тособом (сюда же вошли и те, кто не смог решить эту задачу). Результа->1 этой работы в экспериментальных классах таковы - 27% - решили за-1чу тремя способами, 32% - двумя, и 41% - только одним (сюда же воли учащиеся не справившиеся с задачей). Эти цифры говорят о более юрческом подходе к решению задач, о глубине понимания проблемы и злее смелом взгляде на нее (см. Диаграмму 2 (а,Ь))

Проведенное теоретическое и экспериментально подтвержденное исследование по-юляет сделать следующие выводы:

1. Анализ психолого-педагогическое и методической литературы по рассматриваемой юблеме свидетельствует о том, что в основу профильной и уровневой дифференциа-ш должен быть положен деятельностный подход, включающий в себя необходимым ловием разработку учебного материала, актуализирующего каждого учащегося из упп обучения. В диссертации сделана первая попытка реализации такого подхода.

2. Одним из решающих условий успешного осуществления уровневой и профильной [фференциации является их диалектическое единство. Не использовать первую, как маг для приведения в действие всех возможностей второй - значит заранее заплани->вать заниженную эффективность обучения по сравнению с той, какой она могла бы

,1ТЬ.

3. Разработаны требования к задачному материалу классов различных профилей:

Гуманитарные классы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Фабулы задач должны быть эмоционально окрашены. При решении задач следуе идти по пути разумного компромисса между строгостью и наглядностью, особое значе ние отводится репродуктивным задачам.

Технические классы

Особое значение уделяется задачам прикладного характера, позволяющим успешн осуществлять внешнее математическое моделирование. Анализ учебной литератур] свидетельствует о том, что в решении предлагаемых задачах превалирует оперировани на втором этапе моделирования. В технических классах следует особое внимание уде лить работе на первом этапе - именно составление математической модели. Сущест венную помощь в этом оказывают межпредметные связи. Деятельность учащихся пр этом носит в основном поисковый и частично-поисковый характер.

Математические классы

Работа с задачами ведется на достаточно высоком уровне абстрагирования. Боль шинство задач не апеллирует к практике, работа ведется как правило с внутри матема тическими моделями, а потому она носит в высшей степени творческий характер. До казательность изучаемого материала имеет максимально возможный характер. Деятель ность учащегося носит поисковый характер.

4. Идея гуманизации, лежащая в основе профильной и уровневой дифференциацш позволила разработать соответствующее методическое обеспечение. Его базой явилис схема и таблица, позволившие выявить оптимальный вариант распределения учебног материала.

5. Педагогический эксперимент полностью подтвердил выдвинутую гипотезу.

Таким образом, общую гипотезу исследования считаем экспериментально доказан

ной, а основные положения, выносимые на защигу, научно обоснованными.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях автора:

1. Дифференциация обучения началам математического анализа и развитие лично сти учащихся.// Школьное математическое образование: вопросы содержания и мето дов, Герценовские чтения, (тезисы докладов), С.-Петербург, «Образование», 1995, с.25

2. Дифференциацш учебного процесса по математике в старших классах // Пробле мы гуманизации математического образования в школе и ВУЗе, научная межрегис нальная конференция (тезисы докладов), Саранск, 1995, с.17-18.

3. Соросовская олимпиада школьников. //Математика в школе, № 5, 1995 г., с57-67

4. Нестандартные применения производной функции в курсе алгебры и начал ана-иза средней школы. Сборник научных трудов Балашовского пединститута, 1995, с. 11930.

5. Некоторые требования к подготовке учителя математики (преподавание элементов атематического анализа в средней школе) // Международная конференция Подготовка преподавателя математики и информатики для высшей и средней школы», езисы докладов), 1994, ч.2, с 59-60.

6. О различных трактовках основных понятий математического анализа при диффе-'.ннированном обучении // Научная конференция (тезисы докладов), г. Орехового, 1995, с.46.

7. The Theoretical And Constructive Method In The Study Of 'Die Limit Of Function In le Profiled Mathematical And Arts Classes // Российско-Американская конференция Троблемы школьного математического образования», Москва, 1993, с 77.

Подп. к печ. 30.01.97 Объем 1 п.л. Зак. 17 Тир. 100

Типография МПГУ