автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Методика преподавания темы "Производная и касательная" в классах с углубленным изучением математики

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Бахтина, Виктория Александровна, 1997 год

Введение

1 Глава 1 Творческие задачи и их место в учебном процессе физико-математической школы

2 Глава 2 Методика преподавания темы "Производная и касательная" в классах с углубленным изучением математики

2.1 Производная и касательная .•

2.1.1 Геометрический смысл и определение касательной

2.1.2 Метод Ньютона . . 46:

2.1.3 Диаграмма касательных

2.2 Методы графического интегрирования простейших дифференциальных уравнений.

2.2.1 Два метода графического интегрирования дифференциальных уравнений

2.2.2 Метод изоклин для качественного (графического) построения решений дифференциальных уравнений.

2.2.3 Простейшие задачи построение решений дифференциальных уравнений с помощью метода изоклин). ЮО

3 Глава 3 Математические модели в экологии Ю

3.1 Экологическая модель Ферхюльста

Развитие олонии организмов в ограниченном пространстве).

3.1.1 Модель экспоненциального роста. ЮЭ

3.1.2 Модель Ферхюльста. Х'

3.2 Математическая модель "Хищник-жертва" Лотка-Вольтерра (сосуществование двух популяций, одна из которых истребляет другую)

3.2.1 Вывод математических уравнений системы "хищник-жертва".

3.2.2 Три способа построения фазовых траекторий системы Лотка-Вольтерра.

3.3 Дополнение. Усовершенствованная математическая модель "Хищник-жертва" А.Н. Колмогорова.

3.3.1 Составление модельных уравнений.

3.3.2 Исследование различных случаев поведения фазовых кривых системы уравнений в модели Колмогорова.

3.4 Колебательные процессы в природе

3.4.1 Колебательные процессы в природе.

3.4.2 Модельная циклическая реакция Белоусова-Жаботинского ("орегонатор") . 1.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Методика преподавания темы "Производная и касательная" в классах с углубленным изучением математики"

В учебных программах по математике средней школы, как обычной, так и специализированной школы физико-математического профиля [106], понятию касательной к графику функции предшествует понятие производной функции в точке, и только после этого дается определение касательной к графику данной функции как прямой, задаваемой своим уравнением.

С другой стороны, понятия скорости, ускорения в учебном курсе физики вначале вводятся на интуитивной основе с использованием свойств касательной как предельного положения секущей к кривой.

В связи с этим большой интерес с точки зрения пропедевтики понятия производной и интеграла, а также их применения в курсах математики средней школы имеет изучение общих свойств касательной к кривой без использования понятия производной, что помогло бы школьнику глубже усвоить предлагаемый программный материал, а также, активизировать свои навыки и умения.

В исследованиях известных педагогов, психологов, методистов большое внимание уделяется творческой деятельности учащихся. Самостоятельная творческая деятельность, основные факторы, влияющие на ее успех, а также основные закономерности механизма познания были исследованы в работах А.В.Брушлинского, Л.С.Выгодского, П.Я.Гальперина, В.В.Давыдова, Б.П.Есипова, З.И.Калмыковой, В.Я.Крутецкого, С.Л.Рубийнштейна, О.К.Тихомирова и др.

Вопросам организации обучения, а также исследованию возможных средств включения учащихся в творческую познавательную деятельность посвящены работы Е.А.Акопяна, Ю.К.Бабанского, Г.А.Балла, В.Д.Голикова, С.И.Денисова, Н.В.Иванковой, Ю.М.Коля-гина, И.Я.Лернера, А.М.Матюшкина, В.Оконя, П.И.Пидкасистого, Д.Пойа, Э.А.Страчевского, Л.М.Фридмана и др.

В свете данных исследований представляется целесообразным разработать серию упражнений, задач, практических заданий для учащихся, которые помогли бы школьнику проникнуть в самую суть определений и понятий. Одним из видов работы, который, как показывает эксперимент, проведенный в школе им.

A.Н. Колмогорова Специализированного учебно-научного центра Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, побуждает учащихся к активному изучению математики и ее приложений, прививает вкус к задачам исследовательского характера и научной деятельности, является "математический практикум"— это серия индивидуализированных заданий, посвященных "экспериментальной" части математики — расчетов, графиков, схем, моделей и т.д.

Некоторым проблемам изучения в школьном курсе понятий производной и касательной, в указанном выше смысле, посвящены публикации [25"], [I/].

Проблеме изучения понятия " производная" в средней школе посвящено немало исследований. (Работы В.А.Гусева, А.Н.Землякова,

B.А.Далингера, Е.Г.Глаголевой и др.) Тем не менее в данный момент в школьном преподавании отсутствует традиция, основанная на опыте наглядно- геометрических представлений.

Математика в современном мире занимает видное положение в жизни общества. Сейчас уже никого не удивляют словосочетания "математическая биология", "математическая экономика", "математическая лингвистика" и т.д. Математика предлагает весьма общие и достаточно четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками.

Естественнонаучные открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства окружающего мира, а математические — ранее неизвестные свойства рассматриваемых моделей мира, а наиболее значительные из них дают основы для построения новых моделей. Кроме того, следует отметить, что созданная математическая модель может стать предметом самостоятельного изучения. Одним из наиболее ярких примеров в этом направлении является основополагающий труд И. Ньютона "Математические начала натурфилософии", во введении к которой автор сам пояснил стоявшую перед ним цель: применение математики к натуральной философии, т.е. к физике, и построение строгой теории системы мира. По единодушному мнению, в истории естествознания не было более крупного события, чем появление ньютоновских начал.

Математика едина, т.е. деление математики на чистую и прикладную не может быть строго проведено. Это один из основополагающих принципов преподавания математики, принятый на III Международном Конгрессе по математическому образованию (г. Карлсруэ) [73]. Этот принцип предполагает введение в курс обучения математике в высших и средних учебных заведениях изучения, в частности, различных математических моделей реальных явлений. При этом предполагается, что обучающийся должен осознать в процессе обучения, что математика и практика находятся в тесной взаимосвязи. С этой точки зрения представляется целесообразным проведение "математического эксперимента", который включает анализ самой модели, исследование возникающей математической задачи, к которой модель приводит, и обобщение теоретических знаний; все это, как показывает педагогический эксперимент, способствует развитию творческой личности и формированию у школьников целостного представления о науке. Модель создает условие для активной мыслительной деятельности учащихся в поисках разных способов решения конкретных задач физики, химии, биологии, применять математические методы в других областях знаний.

Для современных научных исследований характерно всестороннее применение точных математических методов в самых разнообразных областях, в том числе таких как биология и медицинская диагностика, экономика, экология, лингвистика, психология, социология и т.д.

В связи с возросшей ролью математики в современной науке и технике будущие биологи, экономисты, социологи нуждаются в серьезной математической подготовке, которая давала бы возможность математическими методами исследовать широкий круг новых проблем, применять современную вычислительную технику, использовать теоретические достижения на практике. Сейчас как никогда остро стоит вопрос о необходимости осуществления политехнического обучения, эта проблема обсуждалась в работах Кудрявцева Л.Д., Колмогорова А.Н., Гнеденко Б.В. [№], [#], [73] и др. Развитие науки и техники теснейшим образом связано с потребностями общества, поэтому объем и содержание образования обязаны находится в тесной связи не только с состоянием науки, но и, в первую очередь, с общественными потребностями.

Вопросам внутри- и межпредметных связей, а также изучению приложений элементов математического анализа в общеобразовательной школе посвящены работы И.А.Баранова,В.Л.Бермана, М.Б.Гельфанда, В.А.Гусева, В.И.Крупича, Г.Л.Луканкина, Н.А.Те-решина и др. В частности, в современных исследованиях большое внимание уделяется вопросам индивидуализации заданий и самостоятельной работе учащихся. (Работы Г.Д. Глейзера, В.А.Гусева, Н.И.Чиканцевой и др.)

Крайне важно, чтобы уже в средней школе учащиеся получили правильное представление о том, что такое математическая модель, в чем состоит математический подход к изучению реальных явлений и как его применять.

Т.к. биология является неисчерпаемым источником постановки новых математических задач, в настоящее время актуальной является проблема ознакомления школьников, а также студентов медиков, биологов, экологов, химиков и др. с элементарным, но необходимым для них физико-математическим аппаратом, постоянно применяемым в биологических исследованиях и иллюстрация действия этого аппарата на примерах классических биологических и экологических моделей.

Примеры должны быть яркими и анализироваться элементарными методами. Очень важно, чтобы они оставались в памяти как можно дольше и демонстрировали пример активного математического знания на уровне, доступном пониманию учащегося.

Производная" и "касательная" являются фундаментальными понятиями курса математического анализа,которые широко используются в естествознании. Поэтому приобретает особую актуальность разработка методики преподавания темы "Производная и касательная" которая была бы основана на наглядно-геометрических представлениях и легко позволяла бы перейти от теории к ее приложениям, т.е. к изучению методов качественного (графического) анализа простейших математических моделей (например, экологических моделей динамики развития популяций), которые естественным образом возникают при преподавании математических курсов в средней, в особенности, в специализированной школе физико-математического профиля и служат яркими примерами установившихся межпредметных связей с основными математическими методами исследования в физике, химии, биологии и других дисциплинах. В этом заключается актуальность исследования.

Проблема исследования: разработка методики преподавания темы "Производная и касательная" в классах с углубленным изучением математики, которая предполагает изучение первоначальных свойств касательной к кривой без использования понятия производной, и лишь затем введение понятия понятия производной, а также создание системы задач, индивидуализированных заданий ("математических практикумов") и примеров, посредством которой происходит реализация данной методики.

Объект исследования: процесс обучения теме "Производная и касательная" и ее приложениям в классах с углубленным изучением математики, способствующий развитию творческой личности.

Предмет исследования: методические основы темы "производная и касательная".

Гипотеза исследования состоит в том, что методика изложения темы "Производная и касательная", предполагающая изучение первоначальных свойств касательных без использования понятия производной, и лишь затем введение понятия производной, включающая ряд, примеров, задач, а также индивидуализированных заданий (математических практикумов) может обеспечить существенное повышение качества усвоения математических знаний, а также интерес учащихся к изучению математики и ее приложений.

Цель исследования

1. Разработка методики преподавания темы "Производная и касательная" в классах с углубленным изучением математики.

2. Рассмотрение в рамках данной методики некоторых основных математических моделей в экологии, анализ методических основ их составления и соответствующих биологических гипотез. Основным отличительным методическим принципом в работе является использование только качественных (графических) методов исследования возникающих моделей.

Для решения проблемы исследования и проверки высказанной гипотезы потребовалось решить ряд взаимосвязанных задач: проводится анализ содержания математических курсов средней школы по теме производная и касательная и приложений средств дифференциального исчисления к изучению математических моделей; изучается методика изложения данной темы, которая предполагает изучение общих свойств касательной к кривой без использования понятия производной; разрабатываются методы качественного анализа поведения математических моделей экологических систем (модели Ферхюльста, Лотка-Вольтерра); разрабатываются специальные математические практикумы, посвященные построению диаграмм касательных для графиков данных функций; исследованию сходимости метода Ньютона; графическому интегрированию простейших дифференциальных уравнений и экологическим моделям для учащихся классов с углубленным изучением математики. В качестве приложения к диссертации приведены работы учащихся школы им. А.Н. Колмогорова при Московском Университете, которые выполнялись в рамках специальной дисциплины "математический практикум".

В работе использованы следующие методы исследований: педагогический эксперимент, который включает анализ учебных программ, действующих учебников, беседы с учителями и учащимися, анализ письменных работ и устных ответов учащихся при создании методики применялись методы качественного (графического) анализа математических моделей (на примере экологии), а также изучались методические основы их составления.

Научная новизна

В диссертации разработана методика преподавания темы "Производная и касательная" основанная наглядно-геометрических представлениях. Рассмотрены приложения этой методики к изучению (на качественном уровне) двух экологических моделей. Результаты получены автором самостоятельно и являются новыми.

Практическая значимость

Данная работа может быть использована учителями математики, физики и биологии в средней и специализированной школах. Материалы, изложенные в диссертации, могут быть использованы в качестве дополнительного материала на занятиях математических кружков, на уроках биологии и математики, а также могут быть прослушаны на факультативных занятиях в средней и специализированной школах, лицеях, колледжах, в педагогических университетах при подготовке будущих учителей математики, биологии, в медицинских институтах, на курсах повышения квалификации учителей.

На защиту выносятся следующие результаты:

Методика преподавания темы "Производная и касательная" в классах с углубленным изучением математики. в рамках указанной темы разработаны специальные математические практикумы: "Диаграмма касательных", посвященный построению касательных к кривой из данной точки плоскости и "Метод Ньютона", посвященный качественному исследованию сходимости метода Ньютона; на примере экологических моделей Ферхюльста и Лот-ка-Вольтерра, разработаны элементарные методы качественного (графического) анализа решения дифференциальных уравнений и систем, адаптированные к содержанию математических дисциплин в средней школе; разработаны специальные математические практикумы "Изоклины", "Модель Лотка-Вольтерра "посвященные качественному исследованию простейших дифференциальных уравнений и систем.

В качестве приложения к диссертации приведены результаты педагогического эксперимента проведения данных практикумов в школе им. А.Н. Колмогорова Специализированного учебно-научного центра МГУ им. М.В. Ломоносова.

Апробация результатов

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах кабинета элементарной математики мех.-мат. факультета МГУ, а также на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1996 году ,на международной конференции по проблемам математического образования (Италия, 1995), на международной конференции, посвященной математическому образованию (Норвегия, 1995).

Методика, изложенная в работе, апробировалась в школе им. А.Н. Колмогорова Специализированного учебно-научного центра МГУ им. М.В. Ломоносова. В этой школе проведено четыре математических практикума: "Диаграммы касательных", "Метод Ньютона", "Изоклины" и практикум, посвященный изучению системы "Хищник-жертва" Лотка-Вольтерра.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем диссертации 191 стр.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Заключение

Результаты, полученные в ходе исследования, позволяют сделать следующие выводы.

1. Результаты педагогического эксперимента, проведенного в школе им. А.Н. Колмогорова Специализированного учебно-научного Центра МГУ им. М.В. Ломоносова показали, что внедрение в учебный процесс разработанной в диссертации методики позволяет значительно повысить качество приобретаемых учащимися знаний и способствует повышению творческой активности учащихся.

2. В рамках предлагаемой методики разработана система примеров и задач, которая помогает формированию таких фундаментальных понятий математического анализа, как "производная" и "касательная".

3. Разработана серия математических практикумов, которые индивидуализируют задания для каждого школьника. Такая форма работы позволяет дать учащимся представление о математическом моделировании, понять тесную связь математики и практики, самостоятельно провести "Математический эксперимент".

Математический практикум" вызывает особый интерес учащихся, кроме того, средний балл уровня знаний по теме "Производная и касательная" в классах, где он был проведен был существенно выше, чем в тех классах, где эксперимент не проводился.

Каждому практикуму предшествовала сорокапятиминутная лекция. Все задания сдавались индивидуально и были специально защищены. Задание было выполнено учащимися очень аккуратно — троек и двоек не было. (В качестве дополнения к диссертации приводятся работы учащихся школы А.Н. Колмогорова.)

4. Проведенные экспериментально исследования позволяют также дать некоторые методические рекомендации по применению качественных (графических) методов исследования решений простейших дифференциальных уравнений и систем в классах с углубленным изучением математики.

5. Правильность теоретических положений и справедливость выдвинутой гипотезы об эффективности предлагаемой методики преподавания темы "Производная и касательная" в классах с углубленным изучением математики подтверждены экспериментально в реальном учебном процессе.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Бахтина, Виктория Александровна, Москва

1. Абдулаев Н.Х., Алламияров Б.У., Моделирование биологических процессов. — Ташкент, 1979.2 [34 [56710П1213

2. А. Азимов, Краткая история биологии. — М.: Мир, 1967.

3. Акопян Е.А. Пути развития творческой деятельности учащихся в процессе внеклассной работы по математике /7-10 кл. ср.шк./ Дис.канд.пед.н.,-М., 1973,183с.

4. Алгебра и начала анализа, 10-11 кл., Под ред. А.Н. Колмогорова, — М.: Просвещение, 1993.

5. Алгебра и начала анализа 9-11, учебное пособие для вечерней (сменной) школы. Под ред. Г.Д. Глейзера. — М.: Просвещение, 1984.

6. Андреев В. И. Диалектика воспитания и самовоспитания творческой личности: основы педагогического творчества,— Казань, 1988,238с.

7. Антология экономической классики, т. 2, Мальтус Р., Кейнс Д., Ларин Ю., — М.: Эконов-Ключ, 1993.

8. Аристотель, Сочинения в 4 томах. — М.: Мысль, 1975.

9. Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984.

10. Арнольд В.И., Эволюционные процессы и обыкновенные дифференциальные уравнения. — "Квант", 2, с. 13-20, 1986.

11. Бабанский Ю.К. Рациональная организация учебной деятельности,—М.:3нание,1981,96с.

12. Базыкин А.Д., Математическая биофизика взаимодействующих популяций. — М.: Наука, 1985.

13. Балл Г.А. Теория учебных задач,- М.:Педагогика, 1990,184с.1516