Обучение доказательству математически одаренных учащихся на факультативных курсах

Маскина, Мария Сергеевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Обучение доказательству математически одаренных учащихся на факультативных курсах

Автореферат

Автор научной работы: Маскина, Мария Сергеевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Рязань
Год защиты: 2003
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Обучение доказательству математически одаренных учащихся на факультативных курсах"

На правах рукописи

МАСКИНА Мария Сергеевна

ОБУЧЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ МАТЕМАТИЧЕСКИ ОДАРЕННЫХ УЧАЩИХСЯ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ КУРСАХ

13.00.02 Теория и методика обучения и воспитания (математика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Саранск - 2003

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Рязанского государственного педагогического университета имени С.А. Есенина

Научные руководители: доктор педагогических наук,

доцент Назиев Асланбек Хамидович;

кандидат физико-математических наук, профессор Киотина Галина Васильевна

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, доцент Дорофеев Сергей Николаевич;

кандидат педагогических наук, Егорченко Игорь Викторович

Ведущая организация:

Московский городской педагогический университет

Защита состоится » 2003 г. в часов на заседании

диссертационного совета ДМ 212.118.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Мордовском государственном педагогическом институте имени М.Е. Евсевьева по адресу: 430007, г. Саранск, ул. Студенческая, 11а, ауд. 320.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного педагогического института имени М.Е. Евсевьева.

Автореферат разослан <Х*у<£~иЗ 2003!

Ученый секретарь диссертационного совета - Капкаева Л.С.

2.ооЗ -А ббър '

Общая характеристика работы

Отечественная система образования является важным фактором сохранения места России в раду ведущих стран мира, ее международного престижа как страны, обладающей высоким уровнем культуры, науки, образования.

В «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года» подчеркивается, что современное общество нуждается в воспитании самостоятельного, ответственного, думающего человека. Направленность на формирование этих качеств должно быть главным приоритетом учебно-воспитательного процесса в российских школах.

Успешность реализации концепции модернизации российского образования в значительной мере определяется системой работы с одаренными детьми.

Аналго современной педагогической литературы показывает, что большинство стран мира выносит вопросы формирования интеллектуальной элиты общества в приоритетные задачи развития образования. В нашей стране на федеральном, региональном и муниципальном уровнях также активно поддерживаются и реализуются целевые программы «Одаренные дети».

Количество одаренных детей, по мнению различных исследователей, колеблется от 5 до 15 процентов от общего числа школьников, что для Рязанской области составляет, в среднем, около 16 тыс. человек, причем около 10 тыс. из них живут в г. Рязани.

Значительную часть одаренных учащихся занимают дети, увлекающиеся предметами естественно-математического цикла (математика, физика, химия, биология). Не случайно, что именно по этим предметам российские школьники являются лидерами международных олимпиад.

Таким образом, важность формирования интеллектуальной элиты общества для развития современной России и сохранения ее в ряду ведущих государств мира, и наличие достаточно большой группы российских школьников, имеющих способности и проявляющих особый интерес к математике, определяют социальную значимость выбора темы исследования.

В нашей стране накоплен большой опыт работы с математически одаренными школьниками (А.Н. Колмогоров, И.М. Яглом, В.Г. Болтянский и др.). Однако в настоящее время в большинстве случаев работа с этими детьми «носит однобокий характер» , она ведется бессистемно и нерегулярно, активизируясь в период олимпиад. Это приводит к воспитанию «не математиков, а, в сущности, спортсменов-"решателей"», в сфере интересов которых «математика вытесняется более легкими околоматематическими занятиями»*.

На наш взгляд, одной из причин этого является то, что при работе с математически одаренными учащимися акцент делается на умение решать задачи, а формирование математической культуры (культуры математической речи, культуры доказательств) отступает на второй план.

Особенно плохо дело обстоит с обучением доказательству: строгие логические рассуждения заменяются суррогатами, а иногда и картинками-"комиксами". Эти проблемы отмечаются многими, но попытки создания единой системы, призванной их разрешить, нам не известны. Таким образом, обнаруживается противоречие. С одной стороны, от математически одаренных школьников естественно ожидать более высокого

' ГладкгтЛ.В Как работать с одаренными детьми? // Математика в школ£ НВШШП Ь г'. АI'. !

3 БИБЛИОТЕКА ;

С.Петербург Я/Л

ОЭ

— ---

уровня культуры доказательств, а с другой стороны, именно в этом направлении с ними не ведется достаточной систематической работы.

Все вышесказанное определяет актуальность проблемы исследования, состоящей в разрешении или хотя бы ослаблении указанного противоречия посредством выделения и разработки основных направлений в обучении доказательству математически одаренных учащихся.

Рассмотрим эти направления.

1. Прежде чем оперировать абстрактными математическими понятиями, ученик должен познакомиться с их содержательной стороной, которая является необходимой предпосылкой формирования верных, непустых абстракций.

Как неоднократно отмечалось ведущими математиками и методистами (В.М. Брадис, А. Пуанкаре, Г. Фройденталь, И.М. Яглом), наилучшим источником образов и наиболее наглядной частью математики является геометрия окружающего пространства (или, как ее называет И.Ф. Шарыгин, наглядная геометрия), изучение которой способствует лучшей ориентации в пространстве.

В процессе работы с конкретными объектами реального мира все мыслительные операции осуществляются буквально: анализ как разделение, разбиение, разрезание; синтез как склеивание, соединение частей в единое целое; классификация как раскрашивание в разные цвета, раскладывание (группировка) по форме, размеру, цвету. В результате такой деятельности идет активное освоение окружающего пространства и накопление знаний о нем, что способствует лучшей ориентации и адаптации ребенка. Кроме того, эта деятельность увлекательна и служит хорошим стимулом для последующего развития интереса учащихся к математике.

2. В процессе такой деятельности школьник постепенно абстрагируется от конкретного материала, очищает рассматриваемый объект от лишнего, называет его, включает его имя в систему понятий и учится оперировать не с конкретным предметом, а с его обозначением (знаком, символом). Для этого ученик должен приобрести опыт доказательных рассуждений, познакомится с многообразием методов доказательств на самом различном (и геометрическом, и алгебраическом, и логическом) материале.

3. Далее школьник должен научиться подмечать общие свойства объектов, потом — выбирать те свойства, из которых следуют остальные, а затем вычленять исходные положения теории, то есть выделять систему аксиом, на которой затем выстраивается вся теория.

Важность такой деятельности подчеркивали многие математики и методисты (A.A. Столяр, Г. Фройденталь и др.). Учащиеся еще в стенах школы должны познакомиться с примером аксиоматического изложения теории. Осуществлять его, на наш взгляд, лучше не на геометрическом, а на алгебраическом материале, так как системы аксиом в алгебраических структурах значительно более просты и операциональны.

4. При работе с математически одаренными учащимися А.Н. Колмогоров говорил, что необходимо еще на школьной скамье «добраться с хорошим, ну хотя бы пассивным пониманием до рубежа между известным и неизвестным»*, знакомить молодых людей с новейшими достижениями в математике и приобщать их к самостоятельному получению результатов. Стремление заглянуть за горизонт, соприкоснуться с новым, неведомым, выйти на передовой рубеж науки, возможность откры-

" Колмогоров АН. О развитии математических способностей // Вопросы психологии -2001,№3 -С. 101-106.

тия пусть небольшого, но еще неизвестного в науке факта — все это оставляет неизгладимые впечатления и заряд на всю последующую жизнь.

Таким образом, мы приходим к выводу, что при обучении доказательству математически одаренных учащихся должна быть предусмотрена работа в следующих направлениях:

1) первоначальное обучение доказательству на материале наглядной геометрии;

2) развитие абстрактно-логического мышления посредством углубленного изучения геометрического, алгебраического и логического материала школьного курса математики;

3) опыт изучения аксиоматических математических теорий и приобщение к процессу аксиоматизации;

4) вовлечение в исследовательскую деятельность в области математики.

Отметим, что каждый следующий пункт этой совокупности опирается на предыдущие и является их естественным продолжением. При изучении материала каждого следующего пункта по-новому осмысливается содержание и методы доказательств, используемые ранее.

Не претендуя на глобальное изменение содержания курса математики в массовой школе, мы полагаем, что данные направления в обучении доказательству математически одаренных учащихся могли бы быть реализованы в рамках серии факультативных курсов по математике. В нашей работе предлагается один из вариантов такой реализации.

Объектом исследования является процесс обучения математике математически одаренных учащихся.

Предметом исследования являются специфика, содержание, методы и средства обучения доказательству математически одаренных учащихся на факультативных курсах.

Целью исследования явилось выделение перечисленных направлений, разработка содержательных модулей (факультативных курсов) по каждому из них и экспериментальная проверка этих модулей в их соотнесенности с этапами обучения доказательству - как по отдельности, так и в их взаимных связях.

Гипотеза исследования: развитие мышления, познавательной активности и творческих способностей математически одаренных школьников будет более эффективным, если обучение их доказательству организовать следующим образом: первоначальное обучение доказательству проводить на материале наглядной геометрии; накопление методов доказательств осуществлять посредством углубленного изучения геометрического, алгебраического и логического материала школьного курса математики; приобретение опыта изучения аксиоматических теорий и приобщение к процессу аксиоматизации осуществлять на алгебраическом материале; вовлекать школьников в исследовательскую деятельность в области математики и для каждого из указанных направлений разработать содержательный модуль (факультативный курс).

Установленные цели, объект, предмет и гипотеза исследования, потребовали решения следующих задач исследования:

1) проанализировать основные психолого-педагогические концепции одаренности;

2) изучить состояние проблемы обучения доказательству в школе;

3) выделить основные направления в обучении доказательству математически одаренных учащихся и дать теоретическое обоснование целесообразности их выделения;

4) для каждого из направлений разработать содержательный модуль (факультативный курс);

5) экспериментально проверить эффективность предложенной совокупности направлений при их реализации на факультативных курсах.

При выявлении и разработке совокупности основных направлений в обучении доказательству были использованы исследования психологов, педагогов, методистов и математиков, направленные на повышение эффективности процесса обучения в школе.

Общие вопросы развития способностей, особенности работы с одаренными детьми и приобщения их к творческой деятельности рассмотрены в трудах JI.C. Выготского, С.Н. Дорофеева, И.И. Ильясова, Н.С. Лейгеса, А.Н. Леонтьева, Я.А. Пономарева, СЛ. Рубинштейна, Б.М. Теплова, B.C. Юркевич, кандидатских диссертациях A.B. Жи-гайлова, AB. Менделя, докторской диссертации Н.И. Мерлиной и др.

Ряд крупных математиков (Ж. Адам ар, А.Д. Александров, В.Г. Болтянский,

A.Н. Колмогоров, А. Пуанкаре, Г. Фройденталь), изучая природу математического творчества, делали ценные замечания о значении наглядно-образного компонента мышления в творчестве. Различным аспектам реализации принципа наглядности в обучении посвящено достаточно много д иссертационных исследований. Среда работ последних лег отметим кандидатские диссертации В.Н. Березина, Г.Х. Воистиновой, Ж.Г. Дедовец, докторскую диссертацию АЛ. Цукаря.

О необходимости аксиоматического изучения математических теорий говорили

B.М. Брадис, Н. Бурбаки, Г. Вейль, А. Пуанкаре и др. Опыт изучения в аксиоматическом духе некоторой геометрической или алгебраической теории описан в трудах Н.М. Бескина, А.Н. Колмогорова, A.A. Столяра, докторской диссертации А.Х. Назиева.

О необходимости развития абстрактно-логического мышления и приобщении учащихся к исследовательской деятельности говорили практически все ведущие психологи, педагоги, методисты и математики. Отметим, например, НЛ. Виленкина, А.Н. Колмогорова, И. Лакатоса, ИЛ.Лернера, П.И. Пидкасистого, В.М. Тихомирова, P.A. Утееву, кандидатские диссертации В.Ю. Лешера, З.И. Хусаиновой и др.

Таким образом, отдельные составляющие разрабатываемой нами совокупности направлений в обучении доказательству постоянно находятся в центре внимания психолого-педагогической науки и практики. Вместе с тем, исследование этих направлений в их взаимной связи не встречалось в психолого-педагогических и методических работах.

Методологической основой исследования явились:

- труды по философии и методологии математики и математического образования (Г. Вейль, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.И. Маркушевич, Д. Пойа, А. Пуанкаре, Г.И. Саранцев, Г. Фройденталь, А.Я. Хинчин, и др.);

- теоретические труды по проблемам содержания школьного математического образования (В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, А.Г. Мордкович, Г.И. Саранцев, A.A. Столяр и др.);

- концепция доггельносгного подхода к обучению (А.Н. Леонтьев, С JL Рубинштейн и др.);

- концепция гуманитарно ориентированного преподавания математики А.Х. Назиева;

- методическая концепция обучения доказательству Г.И. Саранцева;

- концепция геометрического образования И.Ф. Шарыгина.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

- анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы по проблеме исследования;

- анализ школьных программ, учебников и учебных пособий;

- наблюдение, опрос, анкетирование, обобщение педагогического опьгга;

- экспериментальная апробация отдельных направлений в обучении доказательству и всей их совокупности.

Научная новизна исследования заключается в том, что в нем предложен новый подход к решению проблемы развития мышления математически одаренных учащихся, основанный на выделении четырех направлений обучения их доказательным рассуждениям (первоначальное обучение на материале наглядной геометрии; развитие абстрактно-логического мышления посредством углубленного изучения некоторых тем школьного курса математики; приобщение к процессу аксиоматизации; вовлечение в исследовательскую деятельность).

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что автором

- выявлена, разработана и теоретически обоснована совокупность направлений в обучении доказательству математически одаренных школьников в целом и каждое из направлений в отдельности;

- показана реализация данной совокупности через серию факультативов;

- выявлены основные особенности обучения доказательству математически одаренных учащихся различного возраста;

- в основу организации исследовательской работы учащихся положены результаты автора по планиметрии Лобачевского (выявлено 14 новых типов четырехугольников, доказано их существование и проведена классификация).

Практическая значимость исследования определяется наличием в нем конкретных методических рекомендаций, которые могут быть реализованы в практике обучения доказательству учащихся средних школ. Материалы исследования могут быть использованы при разработке программ и отборе содержания для кружковых и факультативных занятий в средней школе, при проведении курсов повышения квалификации учителей математики, а также при чтении спецкурсов студентам математических специальностей педвузов.

На защипу выносятся следующие положения:

1. Решение проблемы обучения доказательству математически одаренных школьников имеет комплексный характер, включающий в себя:

- первоначальное обучение доказательству на материале наглядной геометрии;

- развитие абстрактно-логического мышления посредством углубленного изучения геометрического, алгебраического и логического материала школьного курса математики;

- опыт изучения аксиоматических математических теорий и приобщение к процессу аксиоматизации;

- вовлечение в исследовательскую деятельность в области математики.

2. Выделенная нами совокупность направлений в обучении доказательству математически одаренных учащихся согласуется с психофизиологическими особенностями развития мышления школьников и с этапами обучения доказательству.

3. Перечисленные направления в обучении доказательству математически одаренных учащихся целесообразно реализовывать на следующей серии факультативных курсов:

- «Задачи на клетчатой бумаге»;

- «Задачи на построение», «Логические задачи»;

- «Введение в теорию функциональных уравнений»;

- «Элементы геометрии Лобачевского на плоскости».

На защиту также выносятся: программы, содержание и методика проведения перечисленных факультативов в школе и спецкурсов (в рамках дисциплины преддипломной специализации) для математических специальностей в педвузах, а также учебные пособия по указанным курсам.

Достоверность и обоснованность основных положений и выводов диссертации обеспечивается использованием целостного подхода к изучаемой проблеме; построением исследования на основе положений современной психологии, педагогики и методики преподавания математики; положительной оценкой учителями и методистами разработанных учебных материалов и методики их использования; результатами опытного обучения и внедрения.

Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались на межвузовских научно-методических конференциях «Рязанские педагогические чтения» в 2000,2001 и 2003 гг., на VII и VIII международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» в 1999 и 2000 гг., на II Всероссийской конференции «Качество педагогического образования» (Рязань, 2001 г), на Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов под руководством А.Г. Мордковича в Калуге (1998 г), Брянске (1999 г), Москве (2000 г), Санкт-Петербурге (2002 г).

Внедрение результатов исследования в практику. Разработанные автором методические материалы использовались в ходе экспериментальной проверки при проведении факультативов по математике в средних общеобразовательных школах №№ 63, 67 и 68 г. Рязани (1999 - 2002 гг.) и в областном физико-математическом лагере старшеклассников (1998 - 2002 гг.). Публикации автора широко используются учителями математики г. Рязани и области в кружковой работе и при подготовке школьников к математическим конкурсам и олимпиадам различного уровня. Отдельные направления используются преподавателями кафедры алгебры и геометрии Рязанского государственного педагогического университета имени С. А. Есенина для проведения спецкурсов и в индивидуальной работе со студентами физико-математического факультета.

Структура работы определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Обший объем работы - 189 страниц. Из них 173 страницы основного текста, 16 страниц - список литературы из 189 наименований. В работе содержится 24 рисунка и 4 таблицы.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность проблемы, описаны объект и предмет исследования, определены цель и задачи исследования, раскрывается теоретическая и практическая значимость результатов исследования, перечислены положения, которые выносятся на защиту.

Глава 1 «Основные направления в обучении доказательству одаренных учащихся», посвященная решению первых трех задач исследования, состоит из б параграфов.

Параграф 1 «Психолого-педагогические концепции одаренности и особенности работы с одаренными детьми» начинается со сравнительного анализа взглядов трех основных школ советской психологии (Б.М.Теплов, А.Н.Леонтьев и С.Л. Рубинштейн) на определение понятий «развитие способностей» и «одаренность». Далее исследуется история изменения взглядов на определение природы творческих способностей в мировой психологии (С.Л. Рубинштейн, Я.А. Пономарев, Дж. Гилфорд и др.) и современное состояние проблемы (комплексные теории одаренности Р. Стернберга, Дж. Рензулли, К. Хеллера).

На основе проведенного анализа выявляются особенности и формулируются методические рекомендации для организации работы с математически одаренными учащимися: личный пример, поощрение сомнений, разрешение делать ошибки и разумно рисковать, предоставление творческих заданий и учет творчества при оценивании, щедрое предоставление времени на творческий поиск, подготовка к препятствиям, развитие умения находить, формулировать и переопределять проблему, развитие терпимости к неопределенному и непонятному, выработка веры в свои идеи, побуждение к постоянному развитию.

В начале параграфа 2 «Роль математики в познании, обучении и воспитании» проводится анализ взглядов известных психологов и математиков на процесс познания. Уточняется, что познание не просто является актом непосредственного "отражения", а представляет собой процесс моделирования исследуемого явления с помощью предугаданной схемы и перевода накопленной информации на привычный для субъ-кта язык (Ж. Адамар, М. Вертгеймер, В.В. Давыдов, В.В. Мадер, Ж. Пиаже, А. Пуанкаре и др.). Единственным языком науки и инструментом познания является математика (Г. Вейль, Г. Галилей и др.).

Анализ литературы позволяет сделать вывод, что познание невозможно, если нет необходимых знаний, или если мы не владеем тем языком, который необходим для построения модели. И то, и другое предоставляет математика, следовательно, математика - инструмент познания. Бурное развитие математики в XX веке повлияло на развитие лингвистики, экономики, медицины и др.

Вторая половина параграфа посвящена анализу работ о роли математики в обучении и воспитании. Большинство ученых отмечают важнейшее влияние математики на развитие интеллекта. Г. Фройденталь, например, говорит, что математика во все времена «считалась оселком, на котором оттачивался интеллект, розгой для мышления, упражнением ума и в качестве такового пронизывала все, что ставило своей целью воспитание».

Изучение математики, на наш взгляд, оказывает важнейшее влияние не только на развитие мышления, речи и логики, но и на раскрытие индивидуальности человека, формирование его характера, становление мировоззрения.

Параграф 3 «Теоретическое обоснование целесообразности выделения предлагаемой совокупности направлений в обучении доказательству» начинается с выявления роли доказательств в формировании личности школьника. Наше исследование проводилось в рамках концепции гуманитарно ориентированного преподавания математики А.Х. Назиева, основное положение которой: преподавать математику — значит систематически побуждать учащихся к открытию собственных доказательств.

В данном параграфе проводится анализ изменения взглядов на содержание понятия «умение доказывать» в различные периоды развития методики математики в нашей стране и современный взгляд на это понятие, изложенный в концепции обучения доказательству Г.И. Саранцева. Предложенная им уровневая классификация умения доказывать уточняется нами при ориентации на работу с математически одаренными школьниками. После добавления шестого уровня она приобретает следующий вид: умение доказывать - это синтез умений:

1) осознавать необходимость доказательных рассуждений;

2) выполнять цепочки логических шагов, воспроизводить готовые доказательства;

3) анализировать готовые доказательства;

4) опровергать готовые доказательства;

5) самостоятельно конструировать новые доказательства;

6) самостоятельно формулировать проблему.

В параграфе раскрывается содержание каждого уровня.

С целью наиболее полного овладения математически одаренными школьниками всеми этими уровнями, нами выделена совокупность направлений работы в обучении доказательству, учитывающая возрастные психофизиологические особенности развития детей, реализуемая посредством серии факультативных курсов. Остановимся на основных ее положениях более подробно.

Первые два уровня умения доказывать формируются в 5 - 7 классах, когда у школьников доминирует образное мышление, развитию которого в данном возрасте наилучшим образом способствует изучение наглядной геометрии.

Третий уровень умения доказывать формируется в 7 - 8 классах, когда постепенно начинает преобладать абстрактно-логическое мышление, которое развивается посредством более углубленного изучения тем школьной программы по математике. Варьирование тем (алгебраических, геометрических и логических) позволит школьникам приобрести достаточно обширный арсенал методов доказательств.

Последние три уровня умения доказывать формируются в 9 - 11 классах, когда у школьников развивается критичность мышления и склонность все подвергать сомнению. Эта склонность, направленная в нужное русло, благоприятно влияет на развитие умения аргументированной критики и опровержения утверждений. Формированию этого умения активно способствует вовлечение учащихся в аксиоматическое изучение математической теории и в процесс аксиоматизации.

В этом же возрасте для молодых людей характерно стремление к самореализации и самоопределению, которые создают благоприятную почву для приобщения математически одаренных учащихся к самостоятельной исследовательской деятельности.

Параграф 4 «Наглядная геометрия как начальный этап обучения доказательству» начинается с обоснования необходимости изучения наглядной геометрии (И.Ф. Шарыгин) или «геометрии-физики» (И.М. Яглом), которое должно предшествовать систематическому дедуктивному курсу «геометрии-математики».

Первоначальное изучение геометрии, которое начинается с восприятия пространства, способствует ориентации ребенка в этом пространстве, является прекрасным средством обучения математике, увязанным с повседневной жизнью (В.А. Гусев, И.Ф. Шарыгин), и одной из лучших возможностей обучения умению математизировать реальную действительность (Р. Том, Ж. Дьедонне).

К сожалению, как показывает анализ учебников математики для начальной школы, геометрический материал составляет в них не более 1,9 % от общего объема (A.B. Белошистая).

Опорой мышления являются, прежде всего, наглядные, конкретные образы, которые предоставляет геометрия. И мы полагаем, что пока не будет накоплена достаточно обширная система образов, систематическое изучение геометрии начинать нельзя, так как для осознания необходимости доказательств требуются время и огромная предварительная работа. Сигналом к систематическому изучению геометрии, как писал Г. Фройденталь, и является вопрос ребенка: «Почему?».

В начале параграфа 5 «Аксиоматическое построение математических теорий в школе и процесс аксиоматизации» анализируются взгляды математиков (Н. Бурбаки, Г. Вейля, Д. Гильберта, А. Пуанкаре и др.) на аксиоматический метод, который является наиболее рациональным и упорядоченным путем изложения математических теорий, позволяет лучше проникнуть в сущность изучаемого, понять глубокие причины близости теорий, внешне отличных друг от друга, приводит к экономии мысли.

Выделяются три уровня построения аксиоматических теорий, проводится обзор аксиоматического построения геометрии (Г. Вейль, Ф. Бахман, A.A. Столяр и др.). Далее обосновывается предпочтительность изучения школьниками аксиоматического построения алгебраической теории, так как рассматриваемая система аксиом должна быть легко обозрима и операционально лабильна (оперирование со смыслом в ней в значительной мере заменяется оперированием со знаками) и рассматривается опыт изучения школьниками в аксиоматическом духе алгебраического материала (С.А. Моисеев, А.Х. Назиев, A.A. Столяр, И.М. Яглом). Отмечается, что обучение аксиоматизации на материале алгебры отвечает и требованиям информатики (А.П. Ершов). В конце параграфа обосновывается, что одной из наиболее доступных для школьников тем, обладающих всеми этими свойствами, являются функциональные уравнения.

В параграфе б «Использование различных методов обучения для вовлечения учащихся в исследовательскую деятельность» отмечается, что одной из основных задач обучения является приобщение учащихся к творческой деятельности и систематическое ее инициирование (А.Н. Колмогоров, И.Я. Лернер). Примеров описания организации такой деятельности в литературе крайне мало, и нам во многом приходилось действовать наугад.

Наш опыт показывает, что при использовании исследовательского метода наиболее сильно сказываются различия в индивидуальных психологических свойствах личности учащихся (таких, например, как ригидность или пластичность мыслительных действий). Поэтому применение этого метода возможно только в хорошо известной педагогу аудитории, достаточно подготовленной для такой деятельности.

Большое значение при организации исследования имеет выбор темы: она должна быть интересной школьникам, новой и посильной для них. Такой областью знаний является геометрия Лобачевского. В ходе ее изучения, как показал наш опыт, происходит постепенная смена позиции ученика от объекта научения, получателя готовой информации, до активного субъекта учения, самостоятельно добывающего необходимую информацию. Возможность познать то, что еще неизвестно, самостоятельно разработать проблему, проявить свою активность в новой сфере знаний, притягивает математически одаренных учащихся значительно больше, чем решение, пусть даже очень красивых, проблем и задач, уже известных ранее.

На первом этапе изучения основной целью является накопление информации, чему наиболее способствуют репродуктивные методы обучения. Однако необычность материала не позволяет школьникам пассивно внимать словам преподавателя. На уроках царит атмосфера "подозрительности", ученики постоянно ищут какой-то подвох или ошибку в рассуждениях учителя, выдвигают опровержения, учатся доказательным рассуждениям.

Развитие на этих занятиях у учащихся критичности мышления является необходимым условием для последующей эвристической, а затем и исследовательской деятельности, переход к которой осуществляется постепенно, когда острота споров стихает и школьники привыкают к своеобразию гиперболической геометрии. Плавное увеличение степени самостоятельности учащихся позволит учителю организовывать и направлять их творческий поиск.

Глава 2 «Методика практической реализации совокупности направлений в обучении доказательству математически одаренных учащихся» состоит из 4 параграфов.

Каждый из первых трех параграфов главы содержит программу, тематическое планирование и обзор содержания соответствующего факультативного курса для школьников (а также курса преддипломной специализации студентов математических специальностей педвузов).

Отличительной особенностью задач параграфа 7 «Первоначальное обучение доказательству при решении задач на клетчатой бумаге» является необычность сюжета формулировки, их эмоциональная привлекательность и внешняя простота, которые возбуждают неподдельный интерес и даже азарт учащихся. Эти задачи являются ярким стимулятором, и для нахождения их решения характерно «броуновское движение мысли». Они наилучшим образом способствуют развитию наглядно-образного мышления и реализации первых двух этапов обучения доказательству (см. С. 10).

Как отличительную особенность этих задач отметим их "двухслойность" - решение задачи распадается на два этапа:

1) требуется найти объект, удовлетворяющий некоторым условиям;

2) требуется доказать его оптимальность.

На первом этапе следует проявить конструктивные способности, выполнить эксперимент, устроить перебор, использовать индуктивные построения, что вполне доступно учащимся 5-6 классов. В процессе такого построения широко применяются наблюдение, сопоставление, сравнение, находятся общие свойства, закономерности.

На втором этапе требуются зачастую нетривиальные рассуждения, доказывающие оптимальность построенного примера. Это требует уже достаточно развитого математического мышления, опыта в рассуждениях. Нередко учителю, в конце концов, приходится самому рассказывать доказательство, в чем нет ничего плохого, ибо школьник все-таки потрудился над задачей достаточное время. Поэтому он лучше оценит яркую идею, заложенную в решении, и эта идея надолго останется в его сознании.

Основное содержание факультатива отражено в его тематическом плане.

№ п/п Название темы Кол-во часов

1. Решение различных типов задач на клетчатой бумаге 3

2. Решение задач, в которых используются шахматные фигуры 2

3. Решение задач методом раскрашивания таблиц в шахматном порядке 3

4. Решение задач методом раскрашивания таблиц в произвольном порядке 4

5. Решение задач на нахождение выигрышной стратегии 4

6. Решение задач на нахождение выигрышной стратегии, опирающейся на свойства симметрии 1

7. Решение задач методом вычислений 4

8. Решение задач метод ом разд еления на блоки 2

9. Решение задач методом паркетирования 2

10. Решение задач с использованием принципа Дирихле 2

11. Решение задач методом преобразования таблиц 2

12. Решение задач методом выделения инварианта преобразования 3

13. Решение задач, в которых используется целочисленная решетка координатной плоскости 2

В параграфе 8 «Методика изучения аксиоматической математической теории на примере решения функциональных уравнений» описан опыт указанной деятельности. Решение функциональных уравнений способствует не только развитию у учащихся умения оригинально и нестандартно мыслить, но и выработке навыка четкого видения идеи доказательства, прослеживания его структуры при строгой аргументации каждого из его шагов. Доказательства, приводимые в данном факультативном курсе, не являются логически свернутыми (как доказательства школьных учебников), и каждый шаг рассуждения обосновывается ссылкой на соответствующую аксиому или определение. В то же время эти ссылки не являются слишком громоздкими (как з первых теоремах учебника геометрии) и не закрывают собой смысл и основную нить доказательства.

Значительная часть данного факультатива посвящена определению и изучению свойств основных элементарных функций школьного курса математики. Это систематизирует знания учащихся по направлениям «Функции», «Тождественные преобразования» и «Числовые системы» и позволяет в пропедевтическом плане изучить важнейшие свойства таких алгебраических понятий, как гомоморфизм, изоморфизм и конечной группы.

Более полное представление о содержании курса дает его тематический план.

№ п/п Название темы Кол-во часов

Введение: Основные понятия теории функциональных уравнений I

1. Методы решения функциональных уравнений 12

1. Метод перебора переменных 2

2. Метод Коши 3

3. Метод подстановок 3

4. Использование функциональных уравнений с известными решениями 2

5. Использование аппарата дифференцирования 2

II. Некоторые типы функциональных уравнений 5

6. Задача на многочлены 2

7. Задача на последовательности 2

8. Испожзование периодичности функции 1

Ш. Определение основных элементарных функций - решений уравнений Коши 6

9. Определение линейной функции 2

10. Определение степенной функции 1

И. Определение показательной функции 1

12. Определение логарифмической функции 2

IV. О функциональных уравнениях, опред еляющих тригонометрические функции 5

13. Исходная система уравнений 1

14. Периодичность функций и С(дс) 2

15. Основные свойства функций 5(д:) и С(х) 2

V. Определение тригонометрических функций через аналитический косинус 4

16. Исходная система аксиом и периодичность функции Дх) 2

17. Единственность функции/дг) и ее совпадение с соях 2

Заключение 1

Параграф 9 называется «Методика вовлечения учащихся в исследовательскую деятельность иа материале планиметрии Лобачевского». Для учащихся геометрия Лобачевского является областью, постоянно возбуждающей их интерес, перед преподавателем она открывает широкие возможности для организации такой формы работы, которую академик А.Н. Колмогоров называл «свободным плаванием». Большее разнообразие фигур гиперболической плоскости, по сравнению с евклидовой, является своего рода «морем» для «свободного плавания» школьников по ее волнам. А «компасом» для такого рода «плавания» служит аналогия.

При изучении гиперболической плоскости необходимо постоянно сравнивать свойства ее фигур со свойствами аналогичных фигур евклидовой плоскости. Проведение аналогии между двумя геометриями способствует более глубокому познанию обеих, нежели при изучении каждой в отдельности. Равносильные на евклидовой плоскости характеристические свойства фигур при переносе их на плоскость Лобачевского становятся различными, что дает возможность определить новые типы фигур.

Сравнение результатов логических конструкций, построенных на одном и том же факте (определении, формулировке теоремы, свойстве или признаке), но в различных геометрических системах, позволяет лучше понять взаимосвязь в геометрической науке двух начал: «геометрии-математики» (как абстрактно-логической математической дисциплины) и «геометрии-физики» (как науки, изучающей свойства окружающего пространства).

Основное содержание факультатива отражено в его тематическом плане.

№ п/п Название темы Кол-во часов

Введение: Краткий экскурс в историю 4

1. Геометрия до Евклида. «Начала» Евклида: структура и исходные положения (определения, постулаты, аксиомы) 1

2. Абсолютная и собственно евклидова геометрия. Утверждения, доказываемые без V постулата. Утверждения, эквивалентные V постулату. Сумма внутренних углов треугольника и V постулат 1

3. Попытки доказательства V постулата. Классификация В.Я. Буняковского. Доказательство Прокла 1

4. Обзор исследований Дж. Саккери, И. Ламберта и А. Лежандра. «Воображаемая геометрия» Н.И. Лобачевского. Работы Я. Бойаи 1

I. Прямые на плоскости Лобачевского 10

5. Постулат Лобачевского 1

6. Сумма внутренних углов треугольника и многоугольника на гиперболической плоскости 1

7. Гиперболическая параллельность. Основные свойства параллельных прямых 2

8. Угол параллельности. Функция ПО). Дополнительные отрезки 2

9. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Заградительные прямые 2

10. Модель гиперболической плоскости в круге евклидовой плоскости. 2

II. Т реугольники плоскости Лобачевского 9

11. Четырехугольник Саккери. Двупрямоугольники и четырехугольники Нестерови-ча. Трипрямоугольники 1

12. Четвертый признак равенства треугольников 1

13. Вырожденные треугольники: определение, виды, свойства, признаки равенства. 2

14. Обзор теорем о замечательных точках и линиях треугольника 2

15. Основные построения в гиперболической плоскости 2

16. Существование и построение прямоугольных треугольников 1

Ш. Квазипараллелограммы плоскости Лобачевского и их частные случаи 9

17. Гиперболический параллелограмм и гиперболический ромб 1

18. Различные определения квазипараллелограммов. Построение квазипараллелограммов I - Ш родов 2

19. Квазиромб, квазипрямоугольник н квазиквалрат II рода 1

20. Существование квазиромба I рода 1

21. Квазипрямоугольник и квазиквадрат I рода 1

22. Квазиромб Ш рода 2

23. Квазипрямоугольник и квазиквадрат Ш рода 1

Заключение: Понятие о неевклидовых геометриях на плоскости 2

24. Девять геометрий на плоскости 1

25. Понятие о геометрии Римана Понятие о бифлаговой плоскости 1

В параграфе 10 «Организация работы в выделенных направлениях с математически одаренными учащимися Рязанской области» описаны этапы проведения и результаты эксперимента, который проходил в 1998-2002 годах в областном летнем физико-математическом лагере старшеклассников и в 1999-2002 годах средних школах №№63,67 и68 г.Рязани.

Итоги экспериментальной работы подтверждают целесообразность и эффективность применения предлагаемой методической системы обучения доказательству математически одаренных учащихся.

Заключение

В ходе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с его целью и задачами получены следующие основные выводы и результаты:

1. Выделена, теоретически обоснована и разработана совокупность направлений в обучении доказательству математически одаренных учащихся, включающая в себя:

- первоначальное обучение доказательству на материале наглядной геометрии;

- изучение аксиоматических теорий и приобщение учащихся к процессу аксиоматизации;

- вовлечение учащихся в исследовательскую деятельность.

2. По каждому из направлений разработан содержательный модуль (факультатив).

Предложена программа и разработано содержание факультатива «Задачи на

клетчатой бумаге», имеющего целью мотивацию изучения математики, развитие на-

глядно-образного мышления, интуиции, воображения, а также важнейших мыслительных действий (анализа, синтеза, сравнения, обобщения, классификации и т. п.), приобщение к эстетике математики и направленного на осознание необходимости и приобретение первоначального опыта доказательных рассуждений.

Предложена программа и разработано содержание факультатива «Введение в теорию функциональных уравнений», имеющего целью знакомство с аксиоматическим методом, приобретение опыта изучения аксиоматической теории, и позволяющего обобщить и систематизировать знания учащихся по ключевым линиям школьного курса алгебры: «Функция», «Тождественные преобразования», «Числовые системы».

Предложена программа и разработано содержание факультатива «Элементы геометрии Лобачевского на плоскости», предназначенного для завершающего этапа обучения доказательству и направленного на приобщение учащихся к исследовательской деятельности. При разработке содержания курса использованы собственные результаты автора по планиметрии Лобачевского (выделены 14 ранее неизвестных типов четырехугольников, обладающих одним из характеристических свойств евклидова параллелограмма, и их частные случаи, доказано существование этих четырехугольников и проведена классификация).

Созданы учебные пособия, реализующие все три факультатива и являющиеся основой аналогичных спецкурсов (в рамках дисциплины преддипломной специализации) для математических специальностей в педвузах.

3. Эффективность предложенной совокупности направлений в обучении доказательству математически одаренных учащихся подтверждена экспериментально. На основе анализа наиболее известных концепций творчества и одаренности и результатов экспериментальной работы сформулированы методические рекомендации по работе с математически одаренными учащимися.

Перечисленные результаты свидетельствуют о том, что поставленные задачи решены, гипотеза исследования подтверждена, а цель достигнута.

Публикации автора по теме диссертации

1. Киотина Г.В., Моисеева М.С. Квазипараллелограммы и их классификация в плоскости Лобачевского. - Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 1998. - Библиогр. 6 назв. - Деп. в ВИНИТИ 04.08.98г. - № 2505 - В98. - 28 с. (50%).

2. Моисеев С.А., Моисеева М.С. Математический семинар старшеклассников и подготовка студентов к углубленному преподаванию математики в школе / Проблемы углубленного преподавания математики: Тез. Всерос. семинара препод, математики педвузов. - Калуга, 1998. - С. 183-184 (50%).

3. Киотина Г.В., Жмурова Н.В., Зацепина О.В., Моисеева М.С. Аналогии и квазианалогии в дипломных работах и кандидатских диссертациях по геометрии / Тезисы VII международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» - М.: Прогресс-Традиция, 1999.-С. 148 (25%).

4. Моисеев С.А., Моисеева М.С. Варианты вступительных работ по математике на физико-математический факультет. - Рязань: Изд-во Ratel, 1999. - 44 с. (50%).

5. Моисеев С.А., Моисеева М.С. Математика как средство формирования качеств личности обучаемого / Содержание и методы обучения математике в школе и вузе на рубеже столетий: исторический и методологический аспекты: Тез. докл.

XVIII Всерос. семинара препод, математики университетов и педвузов. - Брянск,

1999.-С. 31-33 (50%).

6. Киотина Г.В., Моисеева М.С. О трапециях, вписанных в окружность / Подготовка школьников к математическим олимпиадам. Часть 3. - Рязань: Изд-во РГПУ,

2000.-С. 21-29 (20%).

7. Моисеева М.С. Об использовании дидактических возможностей изучения геометрии Лобачевского / Профессионально-педагогическая направленность математической подготовки будущих учителей математики в педвузах: прошлое, настоящее, будущее: Труды XIX Всерос. науч. семинара препод, математики педвузов - М.: МГЛУ, 2000. - С. 208-209.

8. Киотина Г.В., Моисеева М.С. Гиперболический параллелограмм плоскости Лобачевского и его частные случаи. - Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 2001. - Библи-огр. 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 31.01.01. - № 254 - В01. - 17 с. (70%).

9. Моисеева М.С. Квазипараллелограммы плоскости Лобачевского и их частные случаи. - Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 2001. - Библиогр. 6 назв. - Деп. в ВИНИТИ 31.01.01.-№255-В01.-40 с.

10. Моисеева М.С. Об изучении функциональных уравнений в школе и педвузе / Математика. Компьютер. Образование: Сб. тр. VIII Междунар. конф. Вып. 8. Ч. I. - М.: Прогресс-Традиция, 2001. - С. 44-48.

11 .Моисеева М.С. Организация математического творчества при изучении основ планиметрии Лобачевского / Творческий подход к реализации государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования: Тез. докл. межвуз. науч.-метод. конф. «VIII Рязанские педагогические чтения». - Рязань: Изд-во РГПУ, 2001. - С. 180-181.

12. Моисеева М.С. Об использовании геометрии Лобачевского при работе с математически одаренными учащимися / Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики. Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 3. - Калуга: Изд-во КГПУ,

2001.-С. 93-103.

13. Моисеев С.А., Маскина М.С. Рязанские городские математические олимпиады. -Рязань: Изд-во РГПУ, 2001. -100 с. (50%).

14. Моисеев С.А., Маскина М.С., Жмурова Н.В., Маскин A.B., Котанс А.Я. Содержание деятельности Рязанского областного физико-математического лагеря старшеклассников. - Рязань: Изд-во РГПУ, 2001. -179 с. (30%).

15. Маскина М.С. Курсы по выбору как средство повышения качества математического образования в школе и педвузе / Качество педагогического образования. Материалы II Всерос. науч.-практ. конф. Ч. II. - Рязань: Изд-во РГПУ, 2001. - С. 16-17.

16. Маскина М.С. Задачи на клетчатой бумаге: Учеб.-метод. пособие. - Рязань: Изд-во РИРО, 2002. -116 с.

17. Маскина М.С., Моисеев С.А. Введение в теорию функциональных уравнений: Учеб. пособие по курсу по выбору. - Рязань: Изд-во РГПУ, 2002. - 96 с. (50%).

IS. Маскина М.С. Параллелограммы плоскости Лобачевского: Учеб. пособие по спецкурсу. - Рязань: Изд-во РГПУ, 2002. - 80 с.

19. Маскина М.С. Система обучения доказательству, реализуемая посредством серии факультативных курсов / Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики: Тез. XXI Всерос. семинара препод, математики педвузов. - СПб, 2002. - С. 146-147.

20. Моисеев С.А., Маскина М.С. Интеграция различных разделов математики в рамках дисциплины преддипломной специализации / Интеграция учебной, научной, воспитательной деятельности высшего учебного заведения - основа качественной подготовки специалиста: Материалы межвуз. науч.-метод. конф. «X Рязанские педагогические чтения». - Рязань: Изд-во РГПУ, 2003. - С. 174-176 (50%).

Печать ризографическая. Тираж 100 экз. Заказ № 147. Отпечатано в ООО «Интермета» г. Рязань, ул. Каляева, д. 5.

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Маскина, Мария Сергеевна, 2003 год

Введение.

Глава I Основные направления в обучении доказательству одаренных учащихся.

§ 1. Психолого-педагогические концепции одаренности и особенности работы с одаренными детьми.

§ 2. Роль математики в познании, обучении и воспитании.

§ 3. Теоретическое обоснование целесообразности выделения предлагаемой совокупности направлений в обучении доказательству.

§ 4. Наглядная геометрия как начальный этап обучения доказательству

§ 5. Аксиоматическое построение математических теорий в школе и процесс аксиоматизации.

§ 6 Использование различных методов обучения для вовлечения учащихся в исследовательскую деятельность.

Глава II Методика практической реализации совокупности направлений в обучения доказательству одаренных учащихся.

§ 7. Первоначальное обучение доказательству при решении задач на клетчатой бумаге.

§ 8. Методика изучения аксиоматической математической теории на примере решения функциональных уравнений.

§ 9. Методика вовлечения учащихся в исследовательскую деятельность на материале планиметрии Лобачевского.

§ 10. Организация работы в выделенных направлениях с математически одаренными учащимися Рязанской области.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Обучение доказательству математически одаренных учащихся на факультативных курсах"

Актуальность исследования. Отечественная система образования является важным фактором сохранения места России в ряду ведущих стран мира, ее международного престижа как страны, обладающей высоким уровнем культуры, науки, образования.

Успешность реализации модернизации российского образования в значительной мере определяется системой работы с одаренными детьми.

Анализ современной педагогической литературы показывает, что большинство стран мира выносит вопросы формирования интеллектуальной элиты общества в приоритетные задачи развития образования. В нашей стране на федеральном, региональном и муниципальном уровнях также активно поддерживаются и реализуются целевые программы «Одаренные дета».

Количество одаренных детей, по мнению различных исследователей, колеблется от 5 до 15 процентов от общего числа школьников, что для Рязанской области составляет в среднем около 16 тыс. человек, причем около 10 тыс. из них живут в г. Рязани.

В нашей стране накоплен большой опыт работы с математически одаренными школьниками (А.Н. Колмогоров, И.М. Яглом, В.Г. Болтянский и др.). Однако в настоящее время в большинстве случаев работа с этими детьми «носит однобокий характер» [39, С. 10], она ведется бессистемно и нерегулярно, активизируясь в период олимпиад. Это приводит к воспитанию «не математиков, а, в сущности, спортсменов-"решателей"» [39, С. 10], «в сфере интересов математически одаренных детей математика вытесняется более легкими околоматематическими занятиями» [39, С. 11].

На наш взгляд одной из причин этого является то, что при работе с математически одаренными учащимися акцент делается на умение решать задачи, а формирование математической культуры (культуры математической речи, культуры доказательств) отступает на второй план.

Особенно плохо дело обстоит с обучением доказательству: строгие логические рассуждения заменяются суррогатами, а иногда и картинка-ми-"комиксами". Эти проблемы отмечаются многими, но попытки создания единой системы, призванной их разрешить, нам не известны. Таким образом, обнаруживается противоречие. С одной стороны от математически одаренных школьников естественно ожидать боле высокого уровня культуры доказательств, а с другой стороны именно в этом направлении с ними не ведется достаточной систематической работы.

Рассмотрим эти направления.

Как неоднократно отмечалось ведущими математиками и методистами (В.М. Брадис [18], А. Пуанкаре [138], Г. Фройденталь [171], И.М. Яглом [186]), наилучшим источником образов и наиболее наглядной частью математики является геометрия окружающего пространства (или, как ее называет И.Ф. Шарыгин [177], наглядная геометрия), изучение которой способствует лучшей ориентации в пространстве.

В процессе работы с конкретными объектами реального мира все мыслительные операции осуществляются буквально: анализ как разделение, разбиение, разрезание; синтез как склеивание, соединение частей в единое целое; классификация как раскрашивание в разные цвета, раскладывание (группировка) по форме, размеру, цвету. В результате такой деятельности идет активное освоение окружающего пространства и накопление знаний о нем, что способствует лучшей ориентации и адаптации ребенка. Кроме того, эта деятельность увлекательна, и служит хорошим стимулом для последующего развития интереса учащихся к математике.

3. Далее школьник должен научиться подмечать общие свойства объектов, потом - выбирать те свойства, из которых следуют остальные, а затем вычленять исходные положения теории, то есть выделять систему аксиом, на которой затем выстраивается вся теория.

Важность такой деятельности подчеркивали многие математики и методисты (А.А. Столяр [155-156], Г. Фройденталь [170-171] и др.). Поэтому учащиеся еще в стенах школы должны познакомиться с примером аксиоматического изложения теории. Осуществлять его, на наш взгляд, лучше не на геометрическом, а на алгебраическом материале, так как системы аксиом в алгебраических структурах значительно более просты и операциональны.

4. При работе с математически одаренными учащимися А.Н. Колмогоров говорил, что необходимо еще на школьной скамье «добраться с хорошим, ну хотя бы пассивным пониманием до рубежа между известным и неизвестным» [79, С. 106], знакомить молодых людей с новейшими достижениями в математике и приобщать их к самостоятельному получению результатов. Стремление заглянуть за горизонт, соприкоснуться с новым, неведомым, выйти на передовой рубеж науки, возможность открытия пусть небольшого, но еще неизвестного в науке факта - все это оставляет неизгладимые впечатления и заряд на всю последующую жизнь.

1) первоначальное обучение доказательству на материале наглядной геометрии-,

3) опыт изучения аксиоматических математических теорий и приобщение к процессу аксиоматизации;

4) вовлечение в исследовательскую деятельность в области математики.

Объектом исследования является процесс обучения математике математически одаренных учащихся.

Установленные цели, объект, предмет и гипотеза исследования, потребовали решения следующих задач исследования: ^проанализировать основные психолого-педагогические концепции одаренности;

2) изучить состояние проблемы обучения доказательству в школе;

4) для каждого из направлений разработать содержательный модуль (факультативный курс);

Общие вопросы развития способностей, особенности работы с одаренными детьми и приобщения их к творческой деятельности рассмотрены в трудах Л.С. Выготского [31], С.Н. Дорофеева [56], И.И. Ильясова [67], Н.С. Лейтеса [89, 90], А.Н.Леонтьева [92], Я. А. Пономарева [134], С.Л. Рубинштейна [141], Б.М. Теплова [159], B.C. Юркевич [182-184], кандидатских диссертациях А.В. Жигайлова [60], А.В. Менделя [109], докторской диссертации Н.И. Мерлиной [110] и других.

Ряд крупных математиков (Ж. Адамар [1], А .Д. Александров [2], В.Г. Болтянский [17], А.Н. Колмогоров [78-79], А. Пуанкаре [138], Г. Фрой-денталь [171]), изучая природу математического творчества, делали ценные замечания о значении наглядно-образного компонента мышления в творчестве. Различным аспектам реализации принципа наглядности в обучении посвящено достаточно много диссертационных исследований.

Среди работ последних лет отметим кандидатские диссертации В.Н. Березина [11], Г.Х. Воистиновой [28], Ж. Г. Дед овец [51], докторскую диссертацию А.Я. Цукаря [176].

О необходимости аксиоматического изучения математических теорий говорили В.М. Брадис [18], Н. Бурбаки [20-21], Г. Вейль [23-24],

A. Пуанкаре [138], Г. Фройденталь [170]. Опыт изучения в аксиоматическом духе некоторой геометрической или алгебраической теории описан в работах Н.М. Бескина [12], А.Н. Колмогорова [78], А.А. Столяра [155156], в докторской диссертации А.Х. Назиева [123].

B.А. Крутецкого [86], И. Лакатоса [87], И .Я. Лернера [93], П.И. Пидкасис-того [126], В.М. Тихомирова [161], Р.А. Утееву [164], кандидатские диссертации В.Ю. Лешера [94], З.И. Хусаиновой [175] и др.

Методологической основой исследования явились:

- труды по философии и методологии математики и математического образования (Г. Вейль [24], А.Н. Колмогоров [78], А.И. Маркушевич [103], Д. Пойа [131, 132], А. Пуанкаре [138], Г.И. Саранцев [144], Г. Фройденталь [170,171], А.Я. Хинчин [173], и др.);

- теоретические труды по проблемам содержания школьного математического образования (В.А. Гусев [47], Ю.М. Колягин [83], А.Г. Мордко-вич [120], Г.И. Саранцева [144-146], А.А. Столяр [155, 156] и др.);

- концепция деятельностного подхода к обучению (А.Н. Леонтьев [95], С.Л. Рубинштейн [141, 142] и др.);

- концепция гуманитарно ориентированного преподавания математики А.Х. Назиева [123-124];

- методическая концепция обучения доказательству Г.И. Саранцева [145, 146];

- концепция геометрического образования И.Ф. Шарыгина [177].

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования.

- анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы по проблеме исследования;

- анализ школьных программ, учебников и учебных пособий;

- наблюдение, опрос, анкетирование, обобщение педагогического опыта;

- экспериментальная апробация отдельных направлений в обучении доказательству и всей их совокупности.

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что автором

- показана реализация данной совокупности через серию факультативов;

На защиту выносятся следующие положения:

- первоначальное обучение доказательству на материале наглядной геометрии;

- опыт изучения аксиоматических математических теорий и приобщение к процессу аксиоматизации;

- вовлечение в исследовательскую деятельность в области математики.

- «Задачи на клетчатой бумаге»;

- «Задачи на построение», «Логические задачи»;

- «Введение в теорию функциональных уравнений»;

- «Элементы геометрии Лобачевского на плоскости».

Апробация работы. Основные результаты исследования докладывались на межвузовских научно-методических конференциях «Рязанские педагогические чтения» в 2000, 2001 и 2003 гг., на VII и VIII международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» в 1999 и 2000 гг., на II Всероссийской конференции «Качество педагогического образования» (Рязань, 2001 г), на Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов под руководством А.Г. Мордковича в Калуге (1998 г), Брянске (1999 г), Москве (2000 г), Санкт-Петербурге (2002 г).

Внедрение результатов исследования в практику. Разработанная автором методические материалы использовались в ходе экспериментальной проверки при проведении факультативов по математике в средних общеобразовательных школах № 63, 67 и 68 г. Рязани (19992002 гг.) и областном физико-математическом лагере старшеклассников (1998- 2002 гг.). Публикации автора широко используются учителями математики г. Рязани и области в кружковой работе и при подготовке школьников к математическим конкурсам и олимпиадам различного уровня. Отдельные направления используются преподавателями кафедры алгебры и геометрии РГПУ для проведения спецкурсов и в индивидуальной работе со студентами физико-математического факультета.

Публикации. По материалам диссертации автором опубликовано 20 научно-методических работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 189 страниц. Из них 173 страницы основного текста, 16 страниц - список литературы из 189 наименований. В работе содержится 24 рисунка и 4 таблицы.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Заключение

- первоначальное обучение доказательству на материале наглядной геометрии;

- изучение аксиоматических теорий и приобщение учащихся к процессу аксиоматизации;

- вовлечение учащихся в исследовательскую деятельность.

2. По каждому из направлений разработан содержательный модуль (факультативный курс).

Предложена программа и разработано содержание факультатива «Задачи на клетчатой бумаге», имеющего целью мотивацию изучения математики, развитие наглядно-образного мышления, интуиции, воображения, а также важнейших мыслительных действий (анализа, синтеза, сравнения, обобщения, классификации и т. п.), приобщение к эстетике математики и направленного на осознание необходимости и приобретение первоначального опыта доказательных рассуждений.

Созданы учебные пособия, реализующие все три факультативных курса и являющиеся основой аналогичных спецкурсов (в рамках дисциплины преддипломной специализации) для математических специальностей в педвузах.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Маскина, Мария Сергеевна, Рязань

1. АдамарЖ. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. - М.: Сов. Радио, 1970. - 152 с.

2. Александров АД., Вернер АЛ., Рыжик В.И. Геометрия для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1991. - 415 с.

3. Ананьев Б.Г. Психология чувственного познания. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1960.-486 с.

4. Атанасян Л.С. Геометрия Лобачевского: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 2001. - 336 с.

5. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: В 2-х частях: Учебное пособие. Ч.И. М.: Просвещение, 1987. - 352 с.

6. Атанасян А.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия: Учебник для 10-11 классов средней школы. М.: Просвещение, 2000. - 206 с.

7. Атанасян А.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 1997. - 336 с.

8. Ацелъ Я. Некоторые общие методы в теории функциональных уравнений одной переменной // Успехи математических наук, 1956, Т. XI. Вып. 3 (69). С. 3-68.

9. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятая симметрии. М.: Наука, 1969.-380 с.

10. Белошистая А.В. Почему ученикам так трудно дается геометрия? // Математика в школе, 1999, № 6. С. 14-19.

11. Березин В.Н. Методическая функция наглядности в обучении математике: Дис. . канд. пед. наук. М., 1975. - 154 с.

12. Бескин Н.М. Аксиоматический метод // Математика в школе, 1993, № 3. С. 25-30; № 4. - С. 48-54.

13. Визам Д., ГерцегЯ. Многоцветная логика. М.: Мир, 1978. - 435 с.

14. Богоявленская Д.Б. Исследование творчества и одаренности в традициях процессуально-деятельностной парадигмы // Основные современные концепции творчества и одаренности. М.: Молодая гвардия, 1997. - С. 328-348.

15. Богоявленская Д.Б. Проблемы творчества и одаренности: логика и история // Основные современные концепции творчества и одаренности. -М.: Молодая гвардия, 1997. С. 5-23.

16. Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. М.: Мир, 1986. - 474 с.

17. Болтянский В.Г. Примечания к книге: 74. С. 370-416.

18. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. -М.: ГУПИ Мин. Проев. РСФСР, 1954. 504 с.

19. Брунер Дж. Психология познания. М.: Прогресс, 1977. - 386 с.

20. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963. - 292 с.

21. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. - 456 с.

22. Васильев Н.Б., Егоров А.А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. М.: Наука, 1988. - 288 с.

23. Вейль Г. Давид Гильберт и его математические труды // В книге: Рид К. Гильберт. М.: Наука, 1977. - С. 308-360.

24. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. - 400 с.

25. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. - 192 с.

26. Вертгеймер М. Продуктивное мышление. М.: Прогресс, 1987. - 176 с.

27. Виленкин НЯ. Функции в природе и технике. М.: Просвещение, 1985. - 192 с. - (Серия: «Мир знаний»).

28. Вожтинова Г.Х. Задачи на построение как средство формирования приемов мыслительной деятельности учащихся основной школы: Ав-тореф. дис. . канд. пед. наук. М., 2000. - 17 с.

29. Войтенко Т.П. Игра как метод обучения и личностного развития: Методическое пособие для педагогов начальной и средней школы. -Калуга: Ад ель, 1997. 216 с.

30. Выготский Л.С. Мышление и речь / Собр. соч. в б томах. Т. 2. - М.: Педагогика, 1982. - С. 5-361.

31. ВыготскийЛ.С. Педагогическая психология. М.: Педагогика, 1991. - 480 с.

32. Гайдук Ю. М. К вопросу об аналитическом и геометрическом определениях тригонометрических функций // Математика в школе, 1953, № 4. С. 1-7.

33. Гальперин П.Я. Психология как объективная наука. М.-Воронеж, 1998.-480 с.

34. Гарднер М. Математические досуги. М.: Мир, 1972. - 496 с.

35. Гарднер М. Математические новеллы. М.: Мир, 1974. - 456 с.

36. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. М.: Наука, 1967. - 128 с.

37. Генкин СЛ., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. Киров: Аса, 1994. - 272 с.

38. Гик Е.А. Шахматы и математика. М.: Наука, 1983. - 176 с. - (Библиотечка «Квант». Вып. 24).

39. Гладкий А.В. Как работать с одаренными детьми? // Математика в школе, 1993, № 2. С. 9-11.

40. Голомб С.В. Полимино. М.: Мир, 1975. - 208 с.

41. Гомонов СЛ. Функциональные уравнения в школьном курсе математики // Математика в школе, 2000, № 10. С. 58-62.

42. Гоноболин Ф.Н. К вопросу о понимании геометрических доказательств учащимися. М.: Изд-во АПН РСФСР. Вып. 54, 1954. - 168 с.

43. Грегори Р.А. Разумный глаз. М.: Мир, 1972. - 209 с.

44. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М.: Мир, 1871. - 248 с. (Современная математика. Популярная серия).

45. Гузеев В.В. Методы и организационные формы обучения. М.: Народное образование, 2001. - 128 с.

46. Гусев В.А. Геометрия 6-11. Экспериментальный учебник. М.: Авангард, 1994- 1999.

47. Гусев В А. Каким должен быть курс школьной математики? // Математика в школе, 2002, № 3. С. 4-8.

48. Гусев В А., Орлов А.И., Розенталь АЛ. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. М.: Просвещение, 1977. - 288 с.

49. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика, 1972. - 208 с.

50. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М.: ИНТОР, 1996. - 544 с.

51. Дедовец Ж.Г. Задачи на разрезание как одно из средств обучения планиметрии в основной школе: Автореф. дис. . канд. пед. наук. Петрозаводск, 2001. - 23 с.

52. Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. М.: Физматгиз, 1961.-268 с.

53. ЪЪ.Дразнилин И.Е. Опыт системы преподавания математики // Математика в школе, 1996, Nq 6. С. 37-39.

54. Дъедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия. М.: Наука, 1972. - 336 с.

55. Дъедонне Ж.А. Надо ли учить «современной» математике? // На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и материалов. М.: Просвещение, 1978. - С. 274-283.

56. Дорофеев С.Н. Основы подготовки будущих учителей математики к творческой деятельности: Монография. Пенза: Информационно-издательский центр Пенз. гос. ун-та, 2002. -218 с.

57. Ершов А.П. Компьютеризация школы и математическое образование // Математика в школе, 1989, № 1. С. 14-31.

58. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971. - 576 с.

59. Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии: Сб. статей / Сост. и общ. ред.ЛФ. Обуховой и Г.В. Бурменской. М.: Гардарики, 2001. - 624 с.

60. Жигайлов А.В. Организационно-педагогические основы работы с одаренными детьми в условиях региональной системы дополнительного общего образования: Дис. . канд. пед. наук. Ставрополь, 2002. - 185 с.

61. Журнал «Математика в школе».

62. Задачи Турнира Городов. М.: МЦНМО, 1993 - 2000.

63. Зарубежные математические олимпиады / Под ред. И. Н. Сергеева -М.: Наука, 1987.-416 с.

64. Зотов Ю.Б. Организация современного урока: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1984. - 144 с.

65. Ильясов И.И. Структура процесса учения. М.: Изд-во МГУ, 1986. - 198 с.

66. Каган В.Ф. Основания геометрии, T.I. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. - 492 с.

67. Канелъ-Белов А.Я., Ковальджи А/С. Как решают нестандартные задачи. -М.: МЦНМО, 1997. 96 с.

68. Киотина Г.В. Пространства с обобщенной проективной метрикой / Пособие по спецкурсу. Рязань: Изд-во РГПИ, 1981. - 104 с.

69. Киотина Г.В., Моисеева М.С. Гиперболический параллелограмм плоскости Лобачевского и его частные случаи. Ряз. гос. пед. ун-т - Рязань, 2001. - Библиогр. 5 назв. - Деп. в ВИНИТИ 31.01.01. -№ 254-В01.- 17 с.

70. Киотина Г.В., Моисеева М.С. Квазипараллелограммы и их классификация в плоскости Лобачевского. Ряз. гос. пед. ун-т - Рязань, 1998. -Библиогр. 6 назв. - Деп. в ВИНИТИ 04.08.98г. - № 2505 - В98. - 28с.

71. Киотина Г.В., Моисеева М.С. О трапециях, вписанных в окружность // Подготовка школьников к математическим олимпиадам. Часть 3. -Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. С. 21-29.

72. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. - 434 с.

73. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. М.: Наука, 1987.-Т. 2.-416 с.

74. Колмогоров А.Н. Математика наука и профессия. - М.: Наука, 1988. -288 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 64).

75. Колмогоров А.Н. О развитии математических способностей // Вопросы психологии. 2001, № 3. - С. 101-106.

76. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В., Тропин И.Т. Физико-математическая школа при МГУ. М.: Знание, 1981. - 64 с. - (Новое в жизни, науке, технике. Серия: «Математика, кибернетика», № 5).

77. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. М.: Просвещение, 1977.-4.1.- 110 е.; 4.2.-143 с.

78. Колягин Ю.М. О функциональных уравнениях // Математика в школе,1959, № 5. С. 4-8.

79. Колягин Ю.М., Аукашин ГА. Основные понятия современного школьного курса математики: Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1974. - 382 с. - (Методическая библиотека школы).

80. Концепция развития школьного математического образования // Математика в школе, 1990, № 1, С. 2-14. (Авторский коллектив; А.М.Абрамов, Д.В. Алексеевский, А.А. Гольдман, Ю.П. Дудницын, А.К. Звонкин, Ю.С. Ильяшенко, Д.Б. Фукс).

81. Котельников П.М. О функциональных уравнениях, определяющих тригонометрические функции // Математика в школе, 1951, № 2. С. 1-12.

82. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. - 431 с.

83. Аакатос И. Доказательства и опровержения. М.: Наука, 1967. - 162 с.

84. Аейтес Н.С. Возрастной подход к проблеме детской одаренности // Основные современные концепции творчества и одаренности. М.: Молодая гвардия, 1997. - С. 57-66.

85. Аейтес Н.С. Об умственной одаренности. Психологические характеристики некоторых типов школьников. М.: Изд-во АПН РСФСР,1960.-215 с.

86. Лейтес Н.С. Проблемы соотношения возрастного и индивидуального в способностях школьников // Вопросы психологии, 1985, № 1. С. 9-18.

87. Лелон-Ферран Ж. Основания геометрии. М.: Мир, 1989. - 312 с. (Серия: Современная математика. Вводные курсы).

88. Леонтьев А.Н. Избранные психологические произведения: в 2 т. М.: Педагогика, 1983, Т.1. - 391 е.; Т.2. - 318 с.

89. Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. М.: Педагогика, 1981. - 186 с.

90. Легиер В.Ю. Развитие творческого потенциала подростка в учреждении дополнительного образования: Автореф. дис. . канд. пед. наук. -Оренбург, 2000.-21 с.

91. Линдгрен Г. Занимательные задачи на разрезания. М.: Мир, 1977. - 256 с.

92. Лихтарников A.M. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997. - 160 с.

93. Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений в 3 томах. Т. I. М.-Л.: ГИТТЛ, 1946.-416 с.

94. Лойд С. Математическая мозаика. М.: Мир, 1980. - 344 с.

95. ЛопшицА.М. Функциональные уравнения // Квант, 1975, № 1. С. 31-35.

96. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение, 1987. - 400 с.101 .Мадер В.В. Введение в методологию математики. М.: Интерпракс, 1995. - 464 с.

97. Мардахаева ЕЛ. Математический кружок в системе дополнительного математического образования учащихся 5-7-х классов основной школы: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 2001. - 24 с.

98. Маркугиевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе // На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и материалов. М.: Просвещение, 1978. - С. 29-48.

99. Маскана М.С. Задачи на клетчатой бумаге / Пособие по спецкурсу. -Рязань: Изд-во РИРО, 2002. 116 с.

100. Маскина М.С. Параллелограммы плоскости Лобачевского / Пособие по спецкурсу. Рязань: Изд-во РГПУ, 2002. - 80 с.

101. Маскина М.С., Моисеев С.А. Введение в теорию функциональных уравнений / Пособие по спецкурсу. Рязань: Изд-во РГПУ, 2002. - 96 с.

102. Математика: 6 класс: Учебник для общеобр. учеб. завед. / Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Дрофа, 1995. - 416 с.

103. Математика: Учебник для 5 кл. общеобр. учр. / Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещение, 1994. - 272 с.

104. Мендель А.В. Педагогические условия саморазвития личности одаренного учащегося в летней физико-математической школе: Дис. . канд. пед. наук. Хабаровск, 1999. - 171 с.

105. Мерлина Н.И. Теоретические основы дополнительного математического образования школьников: Дис. . д-ра пед. наук. Чебоксары, 2000. - 289 с.

106. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, ГЛ. Луканкин, В Л. Саннинский. -М.: Просвещение, 1980. 367 с.

107. Методика преподавания математики в средней школе: Частые методики / Ю.М. Колягин, ГЛ. Луканкин идр.-Ы.: Просвещение, 1977. 480 с.

108. Моисеев С.А. Доказательство неравенств. Рязань: Стиль, 1996. - 139 с.

109. Моисеев СЛ., Моисеева М.С. Рязанские городские математические олимпиады. Рязань: Изд-во РГПУ, 2001. - 100 с.

110. Моисеев С.А., Моисеева М.С. Варианты вступительных работ по математике на физико-математический факультет. Рязань: Изд-во Ratel, 1999.-44 с.

111. Моисеев С.А., Моисеева М.С., Жмурова Н.В., Маскин А.В., Котанс А.Я. Содержание деятельности Рязанского областного физико-математического лагеря старшеклассников. Рязань: Изд-во РГПУ, 2001. - 179 с.

112. Моисеева М.С. Квазипараллелограммы плоскости Лобачевского и их частные случаи. Ряз. гос. пед. ун-т - Рязань, 2001. - Библиогр. 6 назв. - Деп. в ВИНИТИ 31.01.01.-№ 255-В01.-40 с.

113. Моисеева М.С. Об изучении функциональных уравнений в школе и педвузе // «Математика. Компьютер. Образование» Выпуск 8. Часть I. Сборник научных трудов. / Под ред. Г.Н. Ризниченко. - М.: Прогресс-Традиция, 2001. - С. 44-48.

114. Моисеева М.С. Об использовании геометрии Лобачевского при работе с математически одаренными учащимися // Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики. Межвузовский сборник научных трудов. Выпуск 3. Калуга: Изд-во КГПУ, 2001. - С. 93-103.

115. Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры // Математика в школе, 1996, № 6. С. 28-33.

116. Мордкович А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: Дис. . д-ра пед. наук М., 1987. - 355 с.

117. Назиев АХ. Вводный курс математики. 1: Действительные числа. Координаты: Учебное пособие. Рязань: Изд-во РГПУ, 1999. - 104 с.

118. Назиев АХ. Гуманитаризация основ специальной подготовки учителей математики в педагогических вузах: Дис. . д-ра пед. наук. М., 2000. - 386 с.

119. Назиев А.Х. Гуманитарно ориентированное обучение математике в общеобразовательной школе: Монография. Рязань: Изд-во РИРО, 1999. - 112 с.

120. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. М.: Высшая школа, 1965. - 552 с.

121. Педагогика: Учебное пособие / Под ред. П.И. Пидкасистого М.: Российское пед. агентство, 2001. - 640 с.

122. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М.: Международная педагогическая академия, 1994. - 680 с.

123. Пиаже Ж. Структуры математики и операторные структуры мышления // Преподавание математики. М.: Учпедгиз, 1960. - 215 с.

124. ПидоуД. Геометрия и искусство. М.: Мир, 1979. - 332 с.

125. Погорелое А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. -М.: Просвещение, 1991. 384 с.

126. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975.-464 с.

127. Пойа Д. Математическое открытие: Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. М.: Наука, 1970. - 452 с.

128. Пойа Д. Обучение через задачи // На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и материалов. М.: Просвещение, 1978. - С. 220-226.

129. Пономарев Я А. Психология творчества. М.: Наука, 1976. - 303 с.

130. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. 4.2. М.: Наука, 1991. - 240 с. (Серия: «Библиотека математического кружка»).

131. Психологический словарь / Под ред. В.П. Зинченко, Б.Г. Мещерякова. -М.: Педагогика-Пресс, 1999. -440 с.

132. Психология. Словарь / Под общ. ред. А.В. Петровского, М.П. Ярогиевского. М.: Политиздат, 1990. - 484 с.

133. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. - 560 с.

134. Рензулли Дж.С., Рис С.М. Модель обогащающего школьного обучения: практическая программа стимулирования одаренности детей // Основные современные концепции творчества и одаренности. М.: Молодая гвардия, 1997. - С. 214-242.

135. Розов Н.Х. Академик А.Н. Колмогоров и проблема изучения индивидуальных особенностей психологии творчества // Математика в школе, 1991, № 2. С. 9-10.

136. Рубинштейн СЛ. Основы общей психологии: В 2 т. М.: Педагогика, 1983, Т.1.-485 е.; Т.2. - 322с.

137. Рубинштейн СЛ. Проблемы общей психологии. М.: Педагогика, 1976.-416 с.

138. Салмина Н.Г. Знак и символ в обучении. М.: Изд-во МГУ, 1988. - 288 с.

139. Саранцев Г.И. Методология предметных методик обучения // Педагогика, 2000, № 8, С. 16-23.

140. Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе: Книга для учителя. М: Просвещение, 2000. - 173 с.

141. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов и университетов. Саранск: Типография «Красный Октябрь», 1999. - 208 с.

142. Скаткин М.Н. Совершенствование процесса обучения: Проблемы и суждения. М.: Педагогика, 1971. - 206 с.

143. Слепкань З.И. Методическая система реализации развивающей функции обучения математике в средней школе: Дисс. . доктора пед. наук в форме научного доклада. М.: 1987. - 47 с.

144. Смаллиан Р. Алиса в Стране Смекалки. М.: Мир, 1987. - 182 с.

145. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? М.: Мир, 1981. - 238 с.

146. Смаллиан Р. Принцесса или тигр? М.: Мир, 1985. - 221 с.

147. СойерУ.У. Прелюдия к математике. М.: Просвещение, 1972. - 192 с.

148. Стернберг Р., Григоренко АЛ. Учись думать творчески! // Основные современные концепции творчества и одаренности. М.: Молодая гвардия, 1997. - С. 186-213.

149. Столл P.P. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1967.-232 с.

150. Столяр А.А. Логика и интуиция в преподавании математики. -Минск, Изд-во Мин. высш. и сред спец. проф. образования БССР, 1963. 126 с.

151. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: Вышэйшая школа, 1986.-414 с.

152. Стругацкий А., Стругацкий Б. Отель «У погибшего Альпиниста»: Повести. Собр. Соч. Т. 5. М.: Текст, 1995. - 430 с.

153. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. М.: Изд-во МГУ, 1975. 344 с.

154. Теплое Б.М. Избранные труды: в 2-х томах. М.: Педагогика, 1985. -Т. 1.-329 е.; Т. 2.-359 с.

155. Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании // Математика в школе, 1993, № 4. С. 3-9.

156. Тихомиров В.М. О некоторых проблемах математического образования // Вестник высшей школы, 2000, № 1. С. 21-26.

157. Тихомиров O.K. Психология мышления. М.: Изд-во МГУ, 1984. - 270 с.

158. Том Р. Современная математика существует ли она? // На путях обновления школьного курса математики. Сборник статей и материалов. - М.: Просвещение, 1978. - С. 264-274.

159. Утеева Р.А. Теоретические основы организации учебной деятельности учащихся при дифференцированном обучении математике в средней школе: Монография. М.: Прометей, 1997. - 230 с.

160. Фомин Д.В. Санкт-Петербургские математические олимпиады. -СПб.: Политехника, 1994. 309 с.

161. Фоминых Ю.Ф. Задачи на раскраску // Математика в школе, 1995, № 6. С. 45-48.

162. Фоминых Ю.Ф. Инварианты // Математика в школе, 1998, № 5. С. 78-83.

163. Фридман A.M. Психолого-педагогические основы обучения математики в школе. М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

164. Фримен Дж. Обзор современных представлений о развитии способностей // Основные современные концепции творчества и одаренности. М.: Молодая гвардия, 1997. - С. 371-400.

165. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. 4.1. М.: Просвещение, 1982. - 208 с.

166. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч.П.- М.: Просвещение, 1983. 192 с.

167. Хеллер К.А. Диагностика и развитие одаренных детей и подростков // Основные современные концепции творчества и одаренности. М.: Молодая гвардия, 1997. - С. 243-264.

168. Хинчин А.Я. Педагогические статьи. М.: Изд-во АПН РСФСР, 1963.-204 с.

169. Холодная М.А. Интеллектуальная одаренность как проявление особенностей организации индивидуального ментального опыта // Основные современные концепции творчества и одаренности. М.: Молодая гвардия, 1997. С. 295-314.

170. Хусаинова З.И. Проектирование творческой деятельности учащихся как технология гуманитарно-ориентированного обучения математике: Автореф. дис. . канд. пед. наук. М., 2001. - 18 с.

171. Цукарь АЯ. Методическая основа обучения математике в средней школе с использованием образного мышления: Автореф. дис. . д-ра пед. наук. Новосибирск, 1999. - 33 с.

172. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся V-VI классов. М.: МИРОС, 1995. - 240 с.

173. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. М.: Наука, 1983. - 80 с.

174. Щебланова Е.И., Аверина И.С. Московское лонгитюдное исследование одаренности школьников // Основные современные концепции творчества и одаренности. М.: Молодая гвардия, 1997. - С. 265-274.

175. Щедровицкий Г.П., Розин В.М., Непомнящая Н.И., Алексеев Н.Г. Педагогика и логика. М.: Касталь, 1993. - 416 с.

176. Эрдниев О.П. От задачи к задаче по аналогии. / Развитие математического мышления / Под ред. П.М. Эрдниева. - М.: Столетие, 1998. - 288 с.

177. Юркевич B.C. А.Н. Колмогоров и проблема развития математической одаренности // Вопросы психологии, 2001, № 3. С. 107-116.

178. Юркевич B.C. О «наивной» и «культурной» креативности // Основные современные концепции творчества и одаренности. М.: Молодая гвардия, 1997. - С. 243-264.

179. Яглом И.М. Заключительная статья редактора перевода книги 54. -С. 308-320.

180. Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование. М.: Сов. радио, 1980. - 144 с.

181. Яглом И.М. Необыкновенная алгебра. М.: Наука, 1968. - 72 с. (Популярные лекции по математике. Вып. 45).

182. Яглом И.М. От редактора// 9. С. 7-14.

183. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия. М.: Наука, 1969. - 304 с. (Серия: «Библиотека математического кружка»).