Провоцирующие задачи как средство предупреждения ошибок учащихся при обучении геометрии

Майкова, Наталья Сергеевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Провоцирующие задачи как средство предупреждения ошибок учащихся при обучении геометрии

Автореферат

Автор научной работы: Майкова, Наталья Сергеевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Санкт-Петербург
Год защиты: 2009
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Провоцирующие задачи как средство предупреждения ошибок учащихся при обучении геометрии"

На правах рукописи УДК 373.016:51

Майкова Наталья Сергеевна

ПРОВОЦИРУЮЩИЕ ЗАДАЧИ КАК СРЕДСТВО ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ ОШИБОК УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ (на материале курса геометрии 7-9 классов)

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата педагогических наук

1 9 [-;0Я

Санкт-Петербург

2009

003483116

Работа выполнена на кафедре методики обучения математике государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Российский государственный педагогический университет имени А. И. Герцена»

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, доцент Радченко Валерий Павлович

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Седова Нелля Владимировна

кандидат педагогических наук, доцент Шереметьева Ольга Владиславовна

Ведущая организация:

Поморский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 19 ноября 2009 года в 1100 часов на заседании совета Д 212.199.03 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Российском государственном педагогическом университете имени А. И. Герцена по адресу: 191186, г. Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, д. 48, корп. 1, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Российского государственного педагогического университета имени А. И. Герцена.

Автореферат разослан 19 октября 2009 года.

Ученый секретарь Диссертационного уу/Л^У Совета, д.п.н., профессор ^ ¡'¿у

И. В. Симонова

Общая характеристика исследования

Образованию, его инновационному потенциалу, на сегодняшний день отводится важнейшая роль, поскольку именно образование определяет общий уровень социально-экономического развития общества. Одна из важнейших идей национального проекта «Образование» - это повышение качества образования.

Основным содержанием и важнейшей задачей обучения является освоение системы знаний, умений и овладение соответствующими навыками. Совместная деятельность учителя и учащихся на уроках математики направлена на успешное освоение системы знаний, умений и навыков. Итоги этой деятельности отражены в результатах государственной аттестации учащихся, которая уже несколько лет подряд проводится в новой форме.

Цель новой формы проведения итоговой аттестации состоит в создании независимой и объективной системы оценки качества образования и в совершенствовании организационной формы проведения государственной (итоговой) аттестации выпускников 9 классов, особенности которой изложены в письме Министерства образования и науки Российской Федерации от 03.05.2006 г. № 01-235/07-01 «О проведении государственной (итоговой) аттестации выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений в условиях внедрения единой независимой системы оценки качества образования».

Различные затруднения и ошибки возникают у учащихся не только в процессе обучения математике, но и при написании экзаменационной работы. Структура работы, формулировки заданий могут «провоцировать» ошибки учащихся различного характера.

Одной из довольно сложных методических задач, которые приходится решать учителю, является отыскание способов и приемов предупреждения ошибок учащихся на уроках математики и, конечно же, при написании экзаменационной работы.

В методической литературе по математике рассматриваются возможные подходы к классификации математических ошибок, выделению их в группы по каким-то признакам и систематизации (В. М. Брадис, В. Литцман, Г. Штейнгауз и др.), анализируются причины возникновения математических ошибок школьников (П. А. Шеварев, В. И. Рыжик и др. ), рассматриваются упражнения, направленные на предупреждение ошибок учащихся при обучении математике (М. И. Зайкин, Я. И. Груденов, И. С. Григорьева и др.).

Проводились различные исследования, посвященные проблеме психологических основ работы с ошибками школьников (Б. Г. Ананьев, Д. Н. Богоявленский, Е. Д. Божович и др.).

В диссертационных исследованиях по методике преподавания математики (Л. С. Иванова, 1988, В.А. Колосова, 1997, O.A. Тарасова, 2004 и др.) выполнен анализ отдельных аспектов методической работы с ошибками школьников и сделаны рекомендации по совершенствованию организации этой работы.

А. К. Артемов относительно причин возникновения ошибок отмечал, что вскрытие подлинных причин ошибок невозможно без обращения к психологии, т.к. каждая ошибка есть результат той или иной деятельности учащихся.

К этому можно добавить, что во многих случаях причины возникновения ошибок учащихся связаны с некоторыми внешними факторами, как, например, несовершенство методики обучения, организации процесса обучения и т.д.

Для организации систематической работы по предупреждению ошибок учащихся в процессе обучения математике, необходимы соответствующие дидактические средства.

В ходе анализа литературы, связанной с проблемами предупреждения ошибок учащихся, нами выявлено противоречие между потребностью школьной практики в средствах предупреждения ошибок учащихся и недостаточной разработанностью соответствующих дидактических средств.

В работах М. И. Зайкина, В. А. Колосовой, И. С. Григорьевой было высказано предположение о том, что одним из средств предупреждения ошибок учащихся при освоении системы знаний в процессе обучения математике могут стать провоцирующие задачи. Авторы работ отмечают, что феномен провоцирующих задач изучен недостаточно: не предложена типология провоцирующих задач, не охарактеризованы побудители, подталкивающие к выполнению ошибочных действий или выбору неправильного ответа, не разработана методика использования провоцирующих задач в процессе обучения.

В нашей работе провоцирующие задачи исследуются в качестве средства предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач. Нам не удалось выявить работ, в которых выделены особенности провоцирующих задач и методика их использования на уроках геометрии.

Все вышесказанное определяет актуальность проблемы исследования, которая состоит в выявлении средств предупреждения ошибок учащихся при освоении системы знаний в процессе обучения математике (на материале курса геометрии 7-9 классов).

Объект исследования: процесс обучения учащихся средней школы геометрии.

Предмет исследования: провоцирующие задачи и их использование при обучении решению геометрических задач.

Цель исследования: выявить особенности провоцирующих задач и разработать методику работы с ними как средством предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач.

В соответствии с этапами деятельности учащихся при решении задач на уроках геометрии, для нашего исследования мы выделили следующие виды ошибок, которые допускают учащиеся при решении задач на уроках геометрии: ошибки понимания постановки задачи, ошибки составления плана решения, ошибки осуществления плана решения, ошибки изучения полученных результатов.

Анализ литературы по провоцирующим задачам, позволили выделить следующие виды провокации, т.е. побудители, подталкивающие к выполнению ошибочных действий или выбору неправильного ответа.

1) К задаче предлагается чертеж, содержащий ошибку.

2) Блоки задач, содержащие побуждение к применению неверной аналогии при решении задачи.

3) Задача имеет неоднозначное решение.

4) Использование в вопросе слов: Верно ли, что...? Можно ли...?

5) Задача содержит противоречие в условии.

6) К задаче предлагается чертеж, который подсказывает неверное решение.

7) Ошибка в обосновании решения.

8) Предложенные к задаче варианты ответов содержат или несколько правильных ответов или не содержат правильного ответа.

На основе выявленных видов провокации мы выделили следующие типы провоцирующих задач, при решении которых у учащихся формируются умения, направленные на предупреждение ошибок на каждом этапе решения геометрических задач: задачи, содержащие провокацию на этапе понимания постановки задачи, задачи, содержащие провокацию на этапе составления плана решения задачи, задачи, содержащие провокацию на этапе осуществления плана решения задачи, задачи, содержащие провокацию на этапе изучения найденного решения задачи.

Следовательно, результатом обучения учащихся на основе методики использования провоцирующих задач может стать снижение количества ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач.

Гипотеза исследования: если при изучении курса геометрии выделить типичные ошибки учащихся на каждом этапе решения геометрических задач и подобрать соответствующие этим ошибкам провоцирующие задачи, то это будет способствовать формированию у учащихся умений, направленных на предупреждение ошибок на каждом этапе решения геометрических задач.

Для достижения цели исследования и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи исследования.

1) Выявить типичные ошибки, которые возникают у учащихся в процессе изучения математики, их причины и способы предупреждения.

2) Выявить особенности провоцирующих задач.

3) Теоретически исследовать возможности использования провоцирующих задач как средства предупреждения ошибок учащихся при обучении математике.

4) Разработать методику работы с провоцирующими задачами.

5) Экспериментально проверить эффективность разработанной методики использования провоцирующих задач как средства предупреждения ошибок учащихся.

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования.

1) Теоретический анализ математической, психолого-педагогической, методической и учебной литературы, касающейся темы исследования, с целью изучения состояния исследуемой проблемы и ее методологических основ.

2) Анализ научных исследований с целью выяснения вопросов, относящихся к предмету данного исследования.

3) Изучение состояния исследуемой проблемы в практике работы школы.

4) Организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего этапов экспериментального исследования.

5) Статистическая обработка данных полученных в ходе экспериментального исследования.

Исследование проводилось с 2003 по 2009 гг. и включало в себя три этапа.

На первом этапе (2003-2004 гг.) проводился анализ математической, психолого-педагогической, методической и учебной литературы по проблеме исследования, определены проблема, цель, предмет, объект исследования и сформулирована его гипотеза.

На втором этапе (2004-2006 гг.) проводились констатирующий и поисковый эксперименты. В ходе констатирующего эксперимента были выявлены виды провоцирующих задач. В результате проведения поискового эксперимента была разработана методика работы с провоцирующими задачами, особенности использования данного вида задач, которые помогают предупредить ошибки учащихся при обучении решению геометрических задач.

На третьем этапе (2006-2009 гг.) проводился формирующий эксперимент, качественная и количественная обработка полученных данных, обобщение результатов исследования, а также были сформулированы выводы по результатам исследования.

Научная новизна исследования заключается в том, что впервые в методике обучения математике предложено решение проблемы предупреждения ошибок учащихся при освоении системы знаний в процессе обучения геометрии (на материале курса геометрии 7-9 классов) через провоцирующие задачи и их использование при обучении решению геометрических задач.

Разработана методика работы с провоцирующими задачами как средством предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач.

Теоретическая значимость исследования.

1) Теоретически обоснована эффективность использования провоцирующих задач при обучении решению геометрических задач с целью предупреждения ошибок учащихся.

2) Выделены виды провокаций в процессе обучения решению геометрических задач, лежащие в основе построения провоцирующих задач.

Практическая значимость исследования. 1) Выделены следующие источники и способы составления провоцирующих задач: использование соответствующей литературы, составление новых задач на основе уже существующих, использование работ учащихся.

2) Предложена методика использования провоцирующих задач, способствующая предупреждению ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач.

3) Разработанные материалы могут быть непосредственно использованы учителями математики общеобразовательных школ для предупреждения ошибок учащихся 7-9 классов при обучении решению геометрических задач, а также в системе подготовки и повышения квалификации учителей математики.

Достоверность результатов исследования обеспечивается теоретическим анализом психолого-педагогической литературы, связанной с предметом исследования; использованием методологических и психолого-педагогических основ для решения проблемы предупреждения ошибок учащихся; применением методов исследования, адекватных предмету, целям, задачам исследования; корректной организацией опытно-экспериментальной работы; корректной математической обработкой результатов; результатами экспериментальной проверки, подтвердившей справедливость основных положений диссертации.

На защиту выносятся следующие положения. 1) Типы провоцирующих задач, выделенные в соответствии с видами провокации, служат эффективным средством предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач на каждом этапе решения задачи:

• провоцирующие задачи, содержащие провокацию на этапе понимания текста задачи, позволяют предупреждать ошибки, которые допускают учащиеся при построении чертежа, ошибки связанные с применением неверной аналогии, ошибки связанные с поиском нескольких решений задачи,

• провоцирующие задачи, содержащие провокацию на этапе составления плана решения задачи, позволяют предупреждать ошибки учащихся, которые связаны с применением теорем, свойств, признаков при решении задач, ошибки связанные с выявлением противоречия в условии задачи, ошибки при решении задач с использованием предложенного чертежа,

• провоцирующие задачи, содержащие провокацию на этапе осуществления плана решения задачи, позволяют предупреждать ошибки учащихся в обосновании решения задачи,

• провоцирующие задачи, содержащие провокацию на этапе изучения найденного решения задачи, позволяют предупреждать ошибки, которые допускают учащиеся при выборе ответа задачи из предложенных вариантов ответов.

2) Основные положения методики использования провоцирующих задач при обучении решению геометрических задач и при изучении теории на уроках геометрии в 7-9 классах:

• использование провоцирующих задач при изучении геометрии направлено на осознание учащимися теории и на овладение этапами решения геометрических задач,

• провоцирующие задачи предъявляются учащимся до самостоятельного выполнения ими соответствующих действий, связанных с усвоением содержания темы,

• виды провоцирующих задач, отобранных для использования при изучении темы, определяются, исходя из содержания темы и типичных ошибок учащихся.

3) Разработанная методика использования провоцирующих задач позволяет формировать у учащихся следующие умения, которые направлены на предупреждение ошибок при обучении решению геометрических задач:

• умение находить ошибки в готовых чертежах,

• умение осуществлять анализ текста каждой отдельной задачи, а не решать по аналогии с уже решенными задачами,

• умение находить несколько решений задачи (если они есть),

• умение приводить контрпримеры,

• умение находить противоречие в условии задачи (если оно есть),

• умение анализировать предложенный для решения задачи чертеж,

• умение находить ошибки в своих и чужих решениях задачи (если они есть),

• умение анализировать предложенные к задаче варианты ответов (решая или не решая задачу).

Апробация и внедрение результатов исследования. Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в ГОУ: № 263, № 287, № 538 города Санкт-Петербурга. Результаты исследования докладывались и обсуждались на методологических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ им. А. И. Герцена (2003-2008 гг.), на Международной научной конференции «61 Герценовские чтения» в 2008 году, на семинаре учителей математики и информатики лицея № 393 и гимназии № 261 города Санкт-Петербурга (февраль 2006 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложения. Работа изложена на 179 страницах.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулированы проблема, цель и задачи исследования, гипотеза и положения, выносимые на защиту, раскрываются научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе «Психолого-педагогические причины возникновения ошибок учащихся при обучении математике и средства их предупреждения» представлена теоретическая база исследования.

В параграфе 1 рассмотрены психолого-педагогические причины возникновения ошибок учащихся в процессе обучения, которые могут быть связаны: 1) с учебной деятельностью ученика, 2) с работой учителя с учеником. Для того, чтобы выявить причины ошибок, связанные с учебной деятельностью ученика, рассмотрены содержание и структура учебной деятельности на основе работ С.Л. Рубинштейна, В.Я. Ляудис, Е.И. Машбица, Л.С.Выгодского, А.Р. Лурия, А.Н.Леонтьева, В.В. Давыдова, Д.Б. Элькони-на, А.К. Марковой, Л.М. Фридмана, О. Б. Епишевой.

А.Н.Леонтьев, рассматривая проблему ведущей деятельности, отмечал, что каждому периоду детства соответствует своя особая ведущая деятельность, которая обусловливает главные изменения личности ребенка в данном возрасте. При разработке методов учебно-воспитательной работы в школе важно учитывать основные психологические закономерности учебной деятельности.

Рассмотренные публикации позволяют судить о том, что учебная деятельность ученика осуществляется во взаимодействии с учителем, при этом организатором и руководителем этой деятельности является учитель.

Особое место в структуре учебной деятельности, как отмечает Л. М. Фридман, занимают действия контроля и оценки. В нашем исследовании используется понятие «уровень усвоения», которое определено в исследованиях О.Б.Епишевой и оценка уровней усвоения знаний соответствующими баллами, разработанная З.И. Калмыковой.

Для целей нашего исследования с учетом специфики учебной деятельности учащихся среднего школьного возраста и особенностей содержания курса геометрии 7-9 классов наиболее целесообразен деятельностный подход для выявления ошибок учащихся.

Более подробно рассмотрены публикации Л.М.Фридмана и Е. Д. Божо-вич, в которых отмечается, что именно учитель ставит цели и задачи предстоящей деятельности учащихся, дает им для этой деятельности всю необходимую информацию, задания для конкретных действий и осуществляет постоянное руководство ходом всей деятельности учащихся. Качественное проведение учителем совместной деятельности имеет огромное значение в деле становления учебной деятельности учащихся и предупреждения многих ошибок.

Методика обучения любому школьному предмету должна опираться на знание причин и условий верного и ошибочного выполнения заданий. Для этого необходимо выяснить: 1) какие причины и условия закономерно вызывают верное выполнение учащимися определенного задания, 2) какие причины и условия вызывают или, по крайней мере, могут вызвать ошибочное выполнение того или другого задания.

В дидактике проведена группировка учебных предметов и затруднений учащихся при их изучении по ведущему компоненту в содержании предмета. Предмет «математика» можно отнести к типу предметов, в которых ведущими компонентами являются научные знания и способы деятельности.

Следовательно, причины появления ошибок при обучении математике связаны с теоретическими знаниями учащихся (правила, образцы, алгоритмические предписания), и практическими умениями (уметь осуществлять действия и операции, воплощенные в гибких и оперативных умениях и навыках, основанных на свернутых правилах их выполнения).

Во 2 параграфе рассмотрены виды ошибок при обучении математике. На основе анализа работ П.А. Шеварева, А. К. Артемова, 3. И. Слепкань, Н.

A. Менчинской, Я. И. Груденова выделены причины математических ошибок школьников с психологической точки зрения. Психологический анализ математических ошибок школьников ставит своей целью вскрыть природу и объяснить причины появления ошибок. Возможные причины математических ошибок связаны: с психологическими факторами (ослабление психических функций: внимания, памяти, мышления); с интерференцией навыков -тормозящее взаимодействие навыков, при котором уже сложившиеся навыки затрудняют образование новых навыков либо снижают их эффективность; с доминированием ассоциативных связей над смысловыми.

Источником происхождения ошибок служат и недостатки учебных пособий для учащихся: в учебниках преобладает единообразие форм предъявления задачи; в системе задач не учитывается оптимальное сочетание задач, решение которых требует репродуктивной и продуктивной деятельности.

Работу с целью предупреждения ошибок по причинам несовершенства организации учебного процесса должен проводить учитель. К таким причинам можно отнести следующие: нет эффективной работы учителя по предупреждению у учащихся автоматического применения изучаемых фактов; у учащихся не формируются навыки самоконтроля.

Подробно рассмотрены различные виды математических ошибок, которые выделяли в своих работах В.М. Брадис, П.М. Эрдниев, Г. Штейнгауз,

B.И. Рыжик, В. А. Далингер, А. С. Лында, В. Литцман, Н. А. Менчинская, В. Г. Захарова, B.C. Карнацевич.

Анализ работ показал, что в качестве основания для систематизации ошибок в методике обучения выбирались различные принципы: предметный (сущность ошибки), причинный (причина возникновения ошибки), тематический (тема, при изучении которой появляется ошибка), деятельностный (вид учебной деятельности, при выполнении которой допускаются ошибки), количественный (число учащихся, допустивших ошибку).

Важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Для того чтобы математические понятия, теоремы, законы, правила стали предметом учебной деятельности школьников, необходимо работать с ними при решении задач.

По проблеме существования различных трактовок понятия «задача», «структура задачи», «решение задачи» были проанализированы работы A.A. Столяра, P.C. Черкасова, Н.В. Метельского, Г.А. Балла, Ю.М. Колягина, JI.M. Фридмана.

В литературе по методике обучения математике, как правило, выделяются четыре этапа решения задачи, которые отличаются формулировкой, но совпадают по содержанию. В нашем исследовании использовались формулировки этапов решения задачи Д. Пойа: понимание текста задачи, составление плана решения, осуществление плана, изучение найденного решения.

Причины ошибок учащихся надо искать в процессе и структуре учебной деятельности. Как было отмечено, самоконтроль является одним из компонентов учебной деятельности.

В работах Ю. М. Колягина, Н. С. Манвелова, О. А. Тарасовой, С. С. Дегтяревой, А. С. Лынды, В. В. Чебышевой, С. Г. Манвелова, П. М. Эрдние-ва, С. М. Чуканцова отражены разнообразные подходы к определению сущности самоконтроля.

Согласно структуре процесса формирования самоконтроля учащихся при обучении математике, которую выделяет С. Г. Манвелов, процесс постепенного перехода от внешнего контроля учителя к самоконтролю ученика содержит этап непосредственного развития самоконтроля, который включает в себя предупреждение ошибок.

К концу среднего школьного возраста самоконтроль превращается в обобщенное и сокращенное умственное действие, а мыслительные операции, необходимые для самоконтроля, начинают выступать в свернутой форме. Однако самоконтроль снова становится более осознанным и развернутым, если ученик встречается в процессе учебной деятельности с определенными трудностями и начинает переживать в связи с этим чувство неуверенности в правильности выполняемого задания.

В нашем исследовании выделены цели заданий на преднамеренное провоцирование ошибок:

1) побуждение учащихся к самоконтролю за счет введения игрового момента, атмосферы интриги;

2) создание психологической ситуации (возможно проблемного характера), способствующей усвоению учащимися некоторых принципиальных элементов содержания;

3) создание условий для формирования таких общеучебных умений, как умение контролировать и корректировать деятельность, анализировать процесс и его результаты.

Результаты исследования представленные во втором параграфе позволили сделать вывод о том, что одним из средств предупреждения ошибок учащихся при освоении системы знаний в процессе обучения математике могут стать провоцирующие задачи.

Подробному рассмотрению провоцирующих задач посвящен 3 параграф, в котором рассмотрены провоцирующие задачи как средство предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач. Анализ работ М.И. Зайкина, В.А. Колосовой, И. С. Григорьевой, Я. И. Груде-нова, И. Я. Субботина потребовал уточнения понятия «провоцирующей задачи» через понятие «провокация».

Под провокацией в задаче будем понимать побуждение к ошибочным действиям на одном из этапов ее решения задачи.

Охарактеризовать провоцирующие задачи можно исходя из названия данного вида задач. Можно сказать, что провоцирующая задача - это задача, которая содержит побудители, подталкивающие к выполнению ошибочных действий на одном из этапов ее решения.

Анализ литературы связанный с видами математических ошибок при решении задач и их причинами, а также анализ литературы по провоцирующим задачам, позволили выделить следующие виды провокации, т.е. побудители, подталкивающие к выполнению ошибочных действий или выбору неправильного ответа.

1) К задаче предлагается чертеж, содержащий ошибку.

2) Блоки задач, содержащие побуждение к применению неверной аналогии при решении задачи.

3) Задача имеет неоднозначное решение.

4) Использование в вопросе слов: Верно ли, что...? Можно ли...?

5) Задача содержит противоречие в условии.

6) К задаче предлагается чертеж, который подсказывает не верное решение.

7) Ошибка в обосновании решения.

Следовательно, разновидности провоцирующих задач зависят от видов провокации. Провокация может быть связана:

1) с пониманием учащимися постановки задачи (вид 1,2,3),

2) с составлением учащимися плана решения задачи (вид 4, 5, 6),

3) с осуществлением учащимися плана решения задачи (вид 7),

4) с изучением найденного решения задачи (вид 8).

После рассмотрения на уроках задач с использованием каждого вида провокации, у учащихся формируются определенные умения, которые будут направлены на предупреждение ошибок при обучении решению геометрических задач.

1) Умение находить ошибки в готовых чертежах. Формируется при решении задач, к которым предлагается чертеж, содержащий ошибку. Позволяет предупреждать ошибки при построении чертежа.

2) Умение осуществлять план решения каждой отдельной задачи, а не решать по аналогии с уже решенными задачами. Формируется при решении блоков задач. Позволяет предупреждать ошибки связанные с применением неверной аналогии.

3) Умение находить несколько решений задачи (если они есть). Формируется при решении задач, которые имеют неоднозначное решение. Позволяет предупреждать ошибки связанные с поиском нескольких решений задачи.

4) Умение приводить контрпримеры. Формируется при использовании учителем вопросов, которые начинаются словами: «Верно ли, что...? Можно

ли...?». Позволяет предупреждать ошибки связанные с применением теорем, свойств, признаков при решении задач.

5) Умение находить противоречие в условии задачи (если оно есть). Формируется при решении задач, содержащих противоречие в условии. Позволяет предупреждать ошибки связанные с выявлением противоречия в условии задачи.

6) Умение анализировать предложенный для решения задачи чертеж. Формируется при решении задач, содержащих готовый чертеж, который подсказывает неверное решение. Позволяет предупреждать ошибки при решении задач с использованием предложенного чертежа.

7) Умение находить ошибки в своих и чужих решениях задачи (если они есть). Многие авторы отмечают в своих работах, что данное умение формируется при взаимоконтроле (взаимопроверках) учащихся и формирует самоконтроль. Позволяет предупреждать ошибки в обосновании решения задачи.

8) Умение анализировать предложенные к задаче варианты ответов (решая или не решая задачу). Формируется при решении задач, к которым даны варианты ответов. При этом предложенные к задаче варианты ответов содержат несколько либо правильных ответов или не содержат правильного ответа. Позволяет предупреждать ошибки, которые допускают учащиеся при выборе ответа задачи из предложенных вариантов ответов.

Перечисленные выше умения связаны с анализом учащимися:

1) текста задачи (умение 1,2,3),

2) своего решения задачи (умения 4, 5, 6) или уже решенной задачи (умение 7),

3) ответов, предложенных к задаче или полученных в результате ее решения (8).

Приведем пример провоцирующей задачи, содержащей провокацию на этапе понимания постановки задачи. Провокация заключается в том, что блок задач содержит побуждение к применению неверной аналогии при решении одной из задач.

Блок задач. Теорема о площади треугольника.

1) Вычислите площадь треугольника, у которого АВ=6 см, ВС=4 см, ¿АВС = 30°.

2) В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 12 см, а угол при вершине 60". Найдите площадь треугольника.

3) В треугольнике ABC АВ=ВС=8 см, ¿ВАС = 30". Вычислите площадь треугольника.

В этом параграфе проведен сопоставительный анализ основных школьных учебников по геометрии для 7-9 классов, с целью определить, есть ли в них задачи, которые можно будет назвать провоцирующими и использовать их на уроках геометрии с целью предупреждения ошибок учащихся. Оказалось, что число задач, направленных на предупреждение ошибок в школьных учебниках не постоянно, а колеблется в пределах, границы которых устанавливаются чаще всего произвольно. Используемые задачи в отдельно взятом

учебнике, как правило, однообразны, а их формулировки выбраны на усмотрение авторов.

Анализ провоцирующих задач предложенных различными авторами учебников показал, что это задачи на сообразительность, на смекалку, но среди них нет задач для систематического использования их на уроках в каждой теме курса геометрии в 7-9 классах. В связи с этим в работе выделены источники и способы составления провоцирующих задач.

Итак, среди всего многообразия аспектов совершенствования методической работы с ошибками учащихся мы остановились на одном из направлений, а именно на предупреждении ошибок с помощью провоцирующих задач.

Вторая глава «Методика использования провоцирующих задач при изучении планиметрии» посвящена раскрытию методических аспектов использования провоцирующих задач на уроках геометрии в 7-9 классах.

В 1 параграфе формулируются основные положения методики использования провоцирующих задач при обучении решению геометрических задач и при изучении теории на уроках геометрии в 7-9 классах.

В этом параграфе обосновывается выбор темы «Площади многоугольных фигур» курса геометрии 7-9 классов для реализации методики использования провоцирующих задач на основе анализа программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Анализ программы показал, что наибольшее внимание при изучении темы «Площади многоугольных фигур» уделяется решению задач, в ходе которых отрабатываются практические умения применять свойства и признаки трапеции, параллелограмма и его частных видов, необходимые для распознавания конкретных видов четырехугольников и вычисления их элементов.

Методика использования провоцирующих задач на уроках геометрии при изучении темы «Площади многоугольных фигур» позволит учителю отрабатывать перечисленные выше умения, а также формировать у учащихся понятие площади многоугольника, развивать умение вычислять площади фигур, применяя изученные свойства и формулы.

Вычисление площадей многоугольников является составной частью решения задач на многогранники в курсе стереометрии. Поэтому основное внимание при изучении темы «Площади многоугольных фигур» уделяется формированию практических навыков вычисления площадей многоугольников в ходе решения задач.

Таким образом, основное внимание при изучении темы уделяется решению задач, в которых учащимся необходимо уметь:

1) оперировать геометрическими понятиями,

2) работать с алгебраическими выражениями,

3) использовать именованные величины.

Такое многообразие знаний и умений, которые отрабатываются у учащихся при решении задач, определило выбор темы «Площади многоугольных фигур» для реализации методики использования провоцирующих задач.

Для каждого вида провоцирующих задач выделены:

1) приемы работы с провоцирующими задачами;

2) способы организации учителем деятельности учащихся при решении задач каждого вида;

3) ошибки учащихся, которые можно предупреждать с помощью провоцирующих задач;

4) умения учащихся, которые формируются при решении задач каждого вида и направлены на предупреждение ошибок;

5) примеры задач каждого вида и методика работы с ними. На примерах задач по теме «Площади многоугольных фигур» представлена деятельность учащихся, приводящая к ошибочным действиям и деятельность учителя, которая направлена на предупреждение этих ошибок.

Параграф 2 посвящен описанию эксперимента и его результатов. На этапе констатирующего эксперимента с помощью анкетирования и бесед с учителями математики школ № 263, № 287, № 393, № 538 города Санкт-Петербурга выяснялось отношение учителей к ошибкам школьников, знание способов их предупреждения на уроках математики.

По результатам анкетирования и бесед сделан вывод о том, что чаще всего на уроках ошибка исправляется учителем. Большинство учителей проводят фронтальную работу с ошибками школьников эпизодически, по мере необходимости. Учителя используют метод констатации ошибки (ее обнаружение и исправление). Для предупреждения ошибок учеников учителями проводится работа по формированию среди учащихся необходимости аргументации каждого действия (каждого этапа решения задачи).

На этапе констатирующего эксперимента с целью правильного выбора средств предупреждения ошибок учащихся было выявлено отношение учителей к использованию провоцирующих задач на уроках математики, знание ими данного вида задач.

Отметим, что целенаправленную работу по использованию провоцирующих задач на уроках математики, направленную на предупреждение ошибок учащихся, не вел ни один из опрошенных нами учителей (20 человек).

В ходе поискового эксперимента решались следующие задачи:

1) выявление особенностей методики использования провоцирующих задач,

2) обоснование выбора темы «Площади многоугольных фигур» в 8 классе средней школы для реализации методики использования провоцирующих задач,

3) определялись источники провоцирующих задач,

4) выявлялись умения, направленные на предупреждение ошибок учащихся при решении провоцирующих задач.

Были проведены занятия для пробной проверки методики использования провоцирующих задач на уроках геометрии при изучении темы «Площади многоугольных фигур» в 8 классе средней школы. Проводилась отработка методики направленной на предупреждение ошибок учащихся при обучении решению задач.

Проведенный поисковый эксперимент убедил нас в том, что использование провоцирующих задач при обучении геометрии позволяет предупреждать ошибки учащихся.

Обучающий эксперимент проводился с целью проверки выдвинутой гипотезы. В эксперименте приняли участие 207 учащихся восьмых классов школ г. Санкт-Петербурга: школа № 263 Адмиралтейского района (учитель: Н. П. Иволгина), школа № 538 Кировского района (учитель: С. В. Бочейков-ская).

Контрольные классы и экспериментальные классы выбирались таким образом, чтобы успеваемость в них была приблизительно одинаковой, и курс геометрии преподавал один учитель.

Обучающий эксперимент был направлен на подтверждение эффективности применения методики использования провоцирующих задач, как средства предупреждения ошибок учащихся при решении геометрических задач. На начальном этапе эксперимента была выявлена успеваемость учащихся сравниваемых классов, которая оказалась приблизительно одинаковой.

Для получения объективных данных о влиянии методики использования провоцирующих задач на процесс обучения решению геометрических задач нами проводились два контрольных среза.

Первый контрольный срез был проведен в начале обучающего эксперимента. В него вошли задания по теме «Четырехугольники».

Второй контрольный срез проводился после изучения темы «Площади многоугольных фигур» по разработанной нами методике использования провоцирующих задач. В него вошли задачи по теме «Площади многоугольных фигур».

Таблица

Анализ ошибок, совершенных учащимися при выполнении контрольных

работ в начале и в конце обучающего эксперимента

№ Характер совершенных ошибок Процент учащихся, совершивших ошибки в начале обучающего эксперимента Процент учащихся, совершивших ошибки в конце обучающего эксперимента

КК ЭК КК ЭК

1. Ошибка в чертеже 26 31 25 19

2. Ошибка в применении неверной аналогии 42 38 33 24

3. В задаче, имеющей неоднозначное решение, найдено лишь одно 49 45 45 40

4. Ошибка в применении теоремы, свойства, признака и т. д. 25 30 23 15

5. Ошибка при решении задачи, содержащей противоречие в условии 37 35 31 25

6. Ошибка при решении задачи с использованием предложенного чертежа 23 19 13 7

7. Ошибка в обосновании решения задачи 35 31 28 20

8. Ошибка при выборе ответа задачи из предложенных вариантов 40 44 33 25

Проверка достоверности вывода об эффективности применения методики использования провоцирующих задач, направленной на предупреждение ошибок при обучении решению геометрических задач осуществлялась по критерию «/2>> (хи-квадрат).

Результаты экспериментального исследования показали, что методика использования провоцирующих задач способствует предупреждению ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач. Проведенное исследование подтвердило выдвинутую нами гипотезу.

Заключение

Исследование посвящено проблеме выявления средств предупреждения ошибок учащихся при освоении системы знаний в процессе обучения математике (на материале курса геометрии 7-9 классов).

В ходе проведенного исследования получены следующие результаты и сделаны выводы.

1) Анализ психолого-педагогической и методической литературы, а также обобщение практического опыта учителей математики показали, что в методической работе, направленной на выявление и предупреждение математических ошибок школьников, провоцирующие задачи используются крайне редко. В то же время нами выявлено, что если при изучении курса геометрии использовать провоцирующие задачи, то это будет способствовать предупреждению ошибок учащихся при обучении геометрии.

2) На основе анализа психолого-педагогической, методической литературы и экспериментального исследования, выделены группы ошибок, возникающих при обучении геометрии, которые могут быть предупреждены с помощью провоцирующих задач. Эти ошибки связаны как с изучением теории (понятий и их определений, теорем и их доказательств) так и с обучением решению геометрических задач (на каждом этапе их решения).

3) Анализ научной и методической литературы по вопросам, связанным с такими понятиями, как «провокация», «задача», «провоцирующая задача» позволил нам выявить особенности провоцирующих задач и уточнить само понятие «провоцирующая задача». В результате для каждой группы ошибок выделены виды провокации и соответствующие провоцирующие задачи.

4) В исследовании представлены основные положения методики использования провоцирующих задач на уроках геометрии в 7-9 классах, а также методика работы с провоцирующими задачами на примере темы «Площади многоугольных фигур» в 8 классе.

5) Установлено и экспериментально подтверждено, что разработанная методика использования провоцирующих задач на уроках геометрии способствует предупреждению ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач.

Таким образом, в результате проведенного исследования была подтверждена гипотеза исследования и достигнута цель - выявлены особенности провоцирующих задач и разработана методика работы с ними как со средст-

вом предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач.

Основные положения диссертационного исследования отражены в следующих публикациях.

1. Майкова Н.С. Использование провоцирующих задач в курсе геометрии (на примере темы «Площадь фигур») [Текст] // Вестник студенческого научного общества РГПУ им. А. И. Герцена: Сборник лучших научных работ 2003. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2003. Вып. 4. -206 с. - ISBN 5-8064-0750-0. - с. 200 (0,1 пл.).

2. Майкова Н.С. Использование провоцирующих задач в курсе геометрии средней школы [Текст] // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «57 Герценовские чтения» /Под ред. В.В.Орлова. - СПб.: Идз-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2004. - 351с. -ISBN 5-8064-0798-5. - с. 181 (0,2 пл.).

3. Майкова Н.С. Провоцирующие задачи как средство развития критического мышления в курсе математики средней школы [Текст] // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «58 Герценовские чтения» /Под ред. В.В.Орлова. - СПб.: Идз-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2005. - 349с. - ISBN 5-8064-0901-5. - с. 160 (0,13 пл.).

4. Майкова Н.С. Провоцирующие задачи как средство развития критического мышления в курсе геометрии средней школы [Текст] // Теоретические и методические проблемы обучения в школе и вузе (математика, информатика). Межвузовский сборник научных трудов. С.Петербург-Мурманск, 2005. - 203с. - ISBN 5-88476-659-9. - с. 29 (0,25 пл.).

5. Майкова Н.С. Провоцирующие задачи как средство предупреждения ошибок учащихся на уроках математики [Текст] // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «59 Герценовские чтения» /Под ред. В.В.Орлова. - СПб.: Идз-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2006. - 281с. - ISBN 5-8064-1034-Х. - с. 162 (0,2 пл.).

6. Майкова Н.С. Использование провоцирующих заданий как средства повышения качества усвоения знаний учащихся [Текст] // Метамето-дика как перспективное направление развития частных методик (Материалы Третьей Всероссийской научно-практической конференции 89 декабря 2005 года). СПб., «Сударыня», 2006. - 187с. - ISBN 5-87499-001-1.-с. 87 (0,25 пл.).

7. Майкова Н.С. Провоцирующие задачи как средство развития самоконтроля учащихся при обучении планиметрии [Текст] // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «LX Герценовские чтения», посвященную 210-летию РГПУ им. А.И. Герцена /Под

ред. В.В.Орлова. - СПб.: Идз-во РГПУ им. А.И.Герцена, 2007. - 312с. -ISBN 978-5-8064-1191-5. - с. 190 (0,2 пл.).

8. Майкова Н.С. Провоцирующие задачи как средство предупреждения ошибок учащихся при изучении планиметрии [Текст] // Теоретические и методические проблемы обучения в школе и вузе (математика, информатика). Межвузовский сборник научных трудов. С.-Петербург-Мурманск, 2007. - 99с. - ISBN 978-5-88476-784-3. - с. 23 (0,2 пл.).

9. Майкова Н. С. Провоцирующие задачи как средство предупреждения ошибок учащихся в обучении математике [Текст] // Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. № 17(43). В 2 частях: Ч. II. Педагогика и психология, теория и методика обучения: Научный журнал. - СПб., 2007. -259 с. - ISSN 1992-6464. - с. 152 (0,32 пл.).

10. Майкова Н. С. Провоцирующие задачи как средство предупреждения ошибок учащихся и развития самоконтроля при обучении математике в средней школе [Текст] // Вестник Поморского университета. Выпуск 7/2007. Серия «Гуманитарные и социальные науки». - Поморский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 2007. - 168 с. -ISSN 1728-7391. - с. 162 (0,3 пл.).

П.Майкова Н. С. Психологические причины использования провоцирующих задач на уроках геометрии в средней школе [Текст] // Материалы IV Всероссийского съезда РПО. 18-21 сентября 2007 года: том 2 - Москва - Ростов-на-Дону: Издательство «КРЕДО», 2007. - 384 с. -ISBN 978-5-91375-007-5. - с. 281 (0,06 пл.).

12. Майкова Н. С. Виды ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач, их причины и способы предупреждения [Текст] Ц Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. № 33(73). В 2 частях: Ч. И. Педагогика и психология, теория и методика обучения: Научный журнал. - СПб., 2008. - 244 с. - ISSN 1992-6464. - с. 113 (0,45 пл.).

Подписано в печать 15.10.2009 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ № 1326.

Отпечатано в ООО «Издательство "ЛЕМА"»

199004, Россия, Санкт-Петербург, В.О., Средний пр., д.24, тел./факс: 323-67-74 e-mail: izd_lema@mail.ru http://www.lemaprint.ru

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Майкова, Наталья Сергеевна, 2009 год

Введение.

Глава 1. Психолого-педагогические причины возникновения ошибок учащихся при обучении математике и средства их предупреждения.

1.1. Причины появления ошибок в процессе обучения.

1.2. Виды ошибок при обучении математике.

1.3. Использование провоцирующих задач для предупреждения ошибок учащихся на уроках геометрии.

Глава 2. Методика использования провоцирующих задач при изучении геометрии.

2.1. Методика работы с провоцирующими задачами в теме «Площади многоугольных фигур» в 8 классе.

2.2. Основные этапы и результаты экспериментального исследования.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Провоцирующие задачи как средство предупреждения ошибок учащихся при обучении геометрии"

Образованию, его инновационному потенциалу, на сегодняшний день отводится важнейшая роль, поскольку именно образование определяет общий уровень социально-экономического развития общества. Одна из важнейших идей национального проекта «Образование» — это повышение качества образования.

Одной из довольно сложных методических задач, которые приходится решать учителю, является отыскание способов pi приемов предупреждения ошибок учащихся на уроках математики и, конечно же, при написании экзаменационной работы.

В диссертационных исследованиях по методике преподавания математики (JL С. Иванова, 1988, В.А. Колосова, 1997, О.А. Тарасова, 2004 и др.) выполнен анализ отдельных аспектов методической работы с ошибками школьников и сделаны рекомендации по совершенствованию организации этой работы.

Объект исследования: процесс обучения учащихся средней школы геометрии.

Предмет исследования: провоцирующие задачи и их использование при обучении решению геометрических задач.

В соответствии с этапами деятельности учащихся при решении задач на уроках геометрии, для нашего исследования мы выделили следующие виды ошибок, которые допускают учащиеся при решении задач на уроках геометрии: ошибки понимания текста задачи, ошибки составления плана решения, ошибки осуществления плана решения, ошибки изучения полученных результатов.

Анализ литературы по провоцирующим задачам, позволил выделить следующие виды провокации, т.е. побудители, подталкивающие к выполнению ошибочных действий или выбору неправильного ответа.

1) К задаче предлагается чертеж, содержащий ошибку.

2) Блоки задач, содержащие побуждение к применению неверной аналогии при решении задачи.

3) Задача имеет неоднозначное решение.

4) Использование в вопросе слов: Верно ли, что.? Можно ли.?

5) Задача содержит противоречие в условии.

6) К задаче предлагается чертеж, который подсказывает неверное решение.

7) Ошибка в обосновании решения.

На основе выявленных видов провокации мы выделили следующие типы провоцирующих задач, при решении которых у учащихся формируются умения, направленные на предупреждение ошибок на каждом этапе решения геометрических задач: задачи, содержащие провокацию на этапе понимания текста задачи, задачи, содержащие провокацию на этапе составления плана решения задачи, задачи, содержащие провокацию на этапе осуществления плана решения задачи, задачи, содержащие провокацию на этапе изучения найденного решения задачи.

2) Выявить особенности провоцирующих задач.

4) Разработать методику работы с провоцирующими задачами.

Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования.

2) Анализ научных исследований с целью выяснения вопросов, относящихся к предмету данного исследования.

3) Изучение состояния исследуемой проблемы в практике работы школы.

5) Статистическая обработка данных, полученных в ходе экспериментального исследования.

Исследование проводилось с 2003 по 2009 гг. и включало в себя три этапа.

Теоретическая значимость исследования.

Практическая значимость исследования.

1) Выделены следующие источники и способы составления провоцирующих задач: использование соответствующей литературы, составление новых задач на основе уже существующих, использование работ учащихся.

На защиту выносятся следующие положения. 1) Типы провоцирующих задач, выделенные в соответствии с видами провокации, служат эффективным средством, предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач на каждом этапе решения задачи:

• провоцирующие задачи, содержащие провокацию на этапе понимания текста задачи, позволяют предупреждать ошибки, которые допускают учащиеся при построении чертежа, ошибки связанные с применением неверной аналогии, ошибки, связанные с поиском нескольких решений задачи,

• провоцирующие задачи, содержащие провокацию на этапе составления плана решения задачи, позволяют предупреждать ошибки учащихся, которые связаны с применением теорем, свойств, признаков при решении задач, ошибки, связанные с выявлением противоречия в условии задачи, ошибки при решении задач с использованием предложенного чертежа,

• умение находить ошибки в готовых чертежах,

• умение находить несколько решений задачи (если они есть),

• умение приводить контрпримеры,

• умение находить противоречие в условии задачи (если оно есть),

• умение анализировать предложенный для решения задачи чертеж, и

• умение находить ошибки в своих и чужих решениях задачи (если они есть),

• умение анализировать предложенные к задаче варианты ответов (решая или не решая задачу).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложения.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы к Главе 2. На основе выделенных нами в Главе 1 видов провоцирующих задач, которые рассматриваются как средство предупреждения ошибок учащихся, нами разработана методика использования провоцирующих задач при изучении курса геометрии в 7-9 классах. Использование данной методики в процессе обучения показало возможность предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач, выделенных нами в работе. Проведенное экспериментальное исследование подтвердило высказанную в ходе теоретического исследования гипотезу о том, что если при изучении курса геометрии применять разработанную нами методику использования провоцирующих задач, то это будет способствовать предупреждению ошибок учащихся.

Заключение

Исследование посвящено проблеме выявления; средств предупреждения ошибок учащихся при освоении системы знаний в процессе обучения математике (на материале курса геометрии 7-9 классов).

В ходе проведенного исследования получены следующие результаты и сделаны выводы.

2) На основе анализа психолого-педагогической, методической литературы и экспериментального исследования, выделены группы ошибок, возникающих при обучении геометрии, которые могут быть предупреждены с помощью провоцирующих задач. Эти ошибки связаны как с изучением теории понятий и их определений, теорем и их доказательств) так и с обучением решению геометрических задач (на каждом этапе их решения).

Гипотеза нашего исследования получила подтверждение в ходе проведенного теоретического исследования и педагогического эксперимента.

Выделенные виды провоцирующих задач могут быть использованы при изучении любой темы курса геометрии. Некоторые виды провоцирующих задач могут применяться и на других предметах, но с учетом их специфики.

В процессе работы обозначились новые проблемы. Предметом дальнейших исследований могут выступить: 1) проблема применения методики использования провоцирующих задач при изучении не только геометрии, но и других предметов естественно-математического и гуманитарного циклов; 2) влияние использования разработанной нами методики на развитие самоконтроля учащихся, критической деятельности и критического мышления.

166

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Майкова, Наталья Сергеевна, Санкт-Петербург

1. Ангелов Д. С. Анализ ошибок по алгебре в знаниях учащихся и пути их устранения и предупреждения Текст. : Автореф. дис. на соиск. учен, степ. канд. пед. наук: (13.00.02). - М., 1980. - 15 с.

2. Артемов А.К. Об одной причине ошибок школьников по геометрии Текст. // Математика в школе. — 1963. № 6. - с. 23.

3. Белобрысова Т. С. Планирование и контрольные работы по геометрии в 8 и 9 классах Текст. // Математика в школе. 2005. - №7. - с. 19-23.

4. Богоявленский Д. Н. Психология усвоения орфографии Текст. / М., 1966.-307 с.

5. Болтянский В. Г. Преодолеть заблуждения, связанные с ОДЗ Текст.

6. Гавакова Т. И. Формирование самоконтроля у учащихся 5-8 классов в учебной деятельности: Автореф. канд. дис. Киев, 1965.

7. Геометрия для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики Текст. / А. Д. Александров, A. JI. Вернер,

8. B. И. Рыжик. М.: Просвещение, 1991. - 415с.: ил.+ 22 см. - ISBN 509-003387-0.

9. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений Текст. / [JI.

10. C. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.. — 5-е изд. — М.: Просвещение, 1995. 334, 1. е.: ил. + 22 см. - 50000 экз. - ISBN 5-09006554-3.

11. Германович П. Ю. Сборник задач по математике на сообразительность. Текст. / Пантелеймон Юльевич Германович. М.: Учпедгиз, 1996. — 224 с. с черт. 21 см. — 66 000 экз. — (в пер.).

12. Григорьева И.С. Отклики на статьи прошлого учебного года Текст. // Математика в школе. 1998. - №6. с. 72-73.

13. Груденов Я. И., Середа А. М., Середа В. И. Психология подсказывает методике Текст. // Математика в школе.,- 1990. №6. с. 33-34.

14. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении Текст. / (Логико-психол. проблемы построения учеб. предметов). М.: Педагогика. — 1972. - 423 с. (Ин-т общ. и пед. психологии Акад. пед. наук СССР). - Библиогр.: с. 400-420. - 21 см. - 14000 экз.

15. Давыдов В. В. Основные вопросы современной психологии детей младшего школьного возраста Текст. / В. В. Давыдов Д. Б. Эльконин, А.К. Маркова. М. - 1978.

16. Дегтярева С. С.Формирование опыта самоконтроля подростков в учебной деятельности Текст.: дис. . канд. пед. наук.: 13.00.01/ Дегтярева Светлана Станиславовона. Армавир, 2005. - 167 с. - Библиогр. С. 151-166.

17. Доблаев JI. П. Типичные ошибки в усвоении учащимися 6 классов буквенной символики и их преодоление Текст. // Математика в школе. -1961,-№2.-с. 45-49.

18. Дорофеев Г. В. О существовании конфигурации в геометрических задачах Текст. // Математика в школе. 1987. - №5. - с. 40-44.

19. Епишева О. Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учеб. деятельности: Кн. для учителя Текст. / Ольга Борисовна Епишева. М. : Просвещение, 1990. - 127, 1. с. : ил.+ 22 см. - Библиогр.: с. 127.-200000 экз. - ISBN 5-09-002713-7.

20. Зб.Захарова В. Г. Логические ошибки учащихся при выполнении действий с алгебраическими дробями и пути их устранения Текст. // Ученые записки. Выпуск 12(1). - Магнитогорск. - 1961. - с. 112-145.

21. Иванова JI. С. Методы предупреждения типичных математических ошибок учащихся начальных классов: Автореф. дис. на соиск. учен, степ. канд. пед. наук: (13.00.02) Текст. / НИИ педагогики УССР. Киев, 1988. - 24 с. - Библиогр.: с. 23-24 (6 назв.).

22. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки Текст. / Под. ред. М. К. Потапова; Текстол. обраб. Ю. В. Нестеренко. — 5-е изд., испр. М.: Наука. - 1987. - 174, [2] е.: ил.+ 20 см. - 300000 экз.

23. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Метод, рекомендации к учеб.: Кн. для учителя Текст. / [Л. С. Атанасян и др.]. 4-е изд. - М.: Просвещение. - 2001.-254, 1. е.: ил.+ 22 см. - ISBN 5-09-010485-9. - 15000 экз.

24. Калмыкова 3. И. Проблема преодоления неуспеваемости глазами психолога Текст. / М.: Знание. 1982. - 96 е.: ил.+ 16 см. - (Новое в жизни, науке, технике; № 3. Серия «Педагогика и психология»). — Библиогр.: с. 96. - 139010 экз.

25. Карнацевич В. С. Система текущего учета знаний, умений и навыков по геометрии в, средней школе Текст. // Ученые записки. Том 4. Выпуск 2. Тюмень. - 1958. - с. 93-183.

26. Кирилецкий И. М. Анализ и предупреждение типичных ошибок учащихся при изучении алгебры и начал анализа: Автореф. дис. на соиск.учен. степ. канд. пед. наук: (13.00.02) Текст. / НИИ педагогики УССР. -Киев, 1987.- 19 с.

27. Кирсанов А. А. Индивидуализация учебной деятельности как педагогическая проблема Текст./ Казань : Изд-во Казан. Ун-та. 1982. — 224 с. : ил.+ 20 см. - Библиогр. в конце глав. - 2875 экз.

28. Колосова В.А. Совершенствование системы методической работы с математическими ошибками школьников Текст.: дис. .канд. пед. наук : 13.00.02 / Колосова Вера Анатольевна. Арзамас, 1997. - 148с. -Библиогр.: 132-147.

29. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике Текст. / Ю. М. Колягин; Науч.-исслед. Ин-т школ. М.: «Просвещение». - 1977. — С НИИ школ. - 21 см. - Ч. 1: Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. - 1977. - 110 е.: ил. - 2000 экз.

30. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике Текст. / Ю. М. Колягин; Науч.-исслед. Ин-т школ. М.: «Просвещение». - 1977.— С НИИ школ. — 21 см. - Ч. 2: Обучение математике через задачи и обучение решению задач. - 1977 - 144 е.: ил. - 2000 экз.

31. Корчевский В. Е., Салимжанов Р. М. Приемы составления тестовых заданий Текст. // Математика в школе. 1995. - №2. с. 41-43.

32. Леонтьев А. Н. Деятельность, сознание, личность Текст. / А. Н. Леонтьев. М., Политиздат. - 1975. - 304 е.; 20*10 см. - 35000 экз.

33. Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики Текст. / 3-е изд. М., Изд-во Моск. ун-та. — 1972. — 575 с. с ил. Указ. имен и предм.: с. 535-574. — 21 см. 14800 экз. - В пер.

34. Литцман В. Где ошибка? Текст. / Пер. с нем. Б. С. Виленской. Под. ред. В. Г. Болтянского. М., Физматгиз, 1962. — 192 с. с ил. 20 см. -50000 экз.

35. Лихачев Б. Т. Педагогика Текст. / М.: Юрайт, 1999. 464 с. ISBN 585294-020-8.

36. Лында А. С. Самостоятельная работа и самоконтроль в учебной деятельности старших школьников Текст. / Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской. М., 1972.

37. Манвелов Н. С. Проектирование системы заданий по математике на развитие самоконтроля у учащихся 5-6 классов Текст.: дис. . канд. пед. наук.: 13.00.02 / Манвелов Николай Сергеевич. — Армавир, 2005. -190 с.-Библиогр.: с. 136-156.

38. Манвелов С. Г. Задания по математике на развитие самоконтроля учащихся: Кн. для учителя Текст. / М.: Просвещение. 1997. 143 с. — ISBN 5-09-005133-Х.

39. Метельский Н. В. Дидактика математики: Общ. методика и ее пробл. -2-е изд., перераб. Текст. / Минск.: Изд-во БГУ, 1982. 256 е.: Ио.+ 20 см. - Библиогр.: с. 254-255. - 23000 экз.

40. Методика преподавания математики: Общая методика Текст. / Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М.: Просвещение, 1985. — 336 с.

41. Недогарок Г. П. Знакомить учащихся с условием задания геометрических фигур Текст. // Математика в школе. 1986. - №2. - с. 47-50.

42. Никифоров С. Г. Самоконтроль человека Текст. / JL: Издательство Ленинградского университета. 1989. - 192 с. - ISBN 5-288-00270-3.

43. Педагогика Текст. / Под ред. П. И. Пидкасистого. М.: Педагогическое общество России, 1998. - 640 с. ISBN 5-93134-001-7

44. Педагогика Текст. / С. П. Баранов, Л. Р. Болотина, В. А. Сластенин и др.; Под ред. С. П. Баранова, В. А. Сластенина. 2-е изд., доп. — М.: Просвещение, 1986. - 336 с.

45. Перминова А. Решение занимательных задач один из путей активизации творческой деятельности учащихся Текст. // Математика. Еженедельное учебно-методичесоке приложение к газете «Первое сентября». -2000.-№41.-с. 1-7.

46. Погорелов. А. В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений Текст. / — 6-е изд. М.: Просвещение, 1996. - 383 е.: ил.+ 22 см. - ISBN 5-09-007067-9. - 50000 экз.

47. Пойа Д. Как решать задачу Текст. / М.: Учпедгиз. 1961.

48. Пойа Д. Математическое открытие Текст. / М.: Наука. 1970.

49. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика 5-11 классы Текст. / Москва. — 2000.

50. Процесс учения: контроль, диагностика, коррекция, оценка Текст. / Под ред. Е. Д. Божович /: Учебное пособие. — Московский психолого-социальный институт, 1999.-224 с. ISBN 5-89502-047-Х.

51. Рыжик В. И. 25000 уроков математики: Кн. для учителя Текст. / М.: Просвещение, 1993. 238, [3] е.: ил.+ 21 см. - (Библиотека учителя математики). - Библиогр.: с. 239. - ISBN 5-09-004602-6. - 35000 экз.

52. Рыжик В. И. Геометрия: контрол. измерит, материалы профил. уровня для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: кн. для учителя / В. И. Рыжик. М.: Просвещение, 2007. - 96 с. - (Текущий контроль). - ISBN 509-014887-2

53. Рыжик В. И. Логика в школьном математическом образовании Текст. // Математика в школе. 2007. - № 3. - с. 39-48.

54. Рыжик В. И. Логика в школьном математическом образовании Текст. // Математика в школе. 2007. - №4. - с. 29-37.

55. Рыжик В. И. Формирование потребности в самоконтроле при обучении математике Текст. // Математика в школе. 1980. - №3. - с. 26-30.

56. Сапогова Е. Е. Вниз по кроличьей норе: метафора и нонсенс в детском воображении Текст. //Вопросы психологии. — 1996. №2. - с. 3-13.

57. Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике Текст. / М.: Просвещение, 1995. — 239, 1. е.: ил.+ 22 см. - (Библиотека учителя математики). - Библиогр.: с. 239. - ISBN 5-09-004602-6. - 35000 экз.

58. Скобелев Г. Н. Контроль на уроках математики: Пособие для учителя Текст. / Минск: Нар. асвета. 1986. — 103 1. е.: ил.+ 20 см. Библиогр.: с. 102-104.-17500 экз.

59. Слепкань 3. И. Психолого-педагогические основы обучения математике: Методическое пособие Текст. / Киев: Рад. шк., 1983. 192 е.; ил.+ 20 см. - Библиогр.: с. 189-190 (60 назв.). - 25000 экз.

60. Словарь иностранных слов Текст. / Под ред. Лехина И. В. и проф. Петрова Ф. Н. М., 1954.

61. Солонин Е. В. Дистракторы — ключ к решению тестового задания Текст. // Математика в школе. 2005. - №8. - с. 59-63.

62. Столяр А. А. Педагогика математики: Учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов. [Текст] / — 3-е изд., перераб. и доп. Минск.: Вы-шейш. шк., 1986. - 413, 1. е.: ил.+ 21 см. - Библиогр.: с. 409. - 9000 экз.

63. Стратилатов П. В. О системе работы учителя математики: (Метод. Рекомендации по орг. учеб. процесса) Текст. / М.: Просвещение, 1984. -96 е.: ил.+ 22 см. — (Библиотека учителя математики). — 241500 экз.

64. Струтинская Н. Л. Условия формирования инновационной среды Текст. / Н. Л. Струтинская // Национальные проекты: журнал о развитии России. 2008. - № 3(22) ; с. 60-62. - ISSN 1819-3099.

65. Субботин И. Я., Якир М. С. Обучающая функция ошибки Текст. // Математика в школе. 1992. - №2-3. - с. 27-28.

66. Талызина H. Ф. Контроль и его функции в учебном процессе Текст. // Советская педагогика. 1989. - №3. - с. 11-16.

67. Формирование учебной деятельности студентов Текст. / [В. Я. Ляудис, X. Варнеке, И. И. Ильясов и др.]; Под ред. В. Я. Ляудис. М., 1989. -239, 1. с.+ 20 см. - Авт. Указаны на 4-й с. - Библиогр.: с. 230-234 (93 назв.). - ISBN 5-211-00223-7. - 13300 экз.

68. Фридман Л. М. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. шк. 3-е изд., дораб. Текст. / М.: Просвещение, 1989.- 191 1. е.: ил.+ 22 см. ISBN 5-09-000596-6. - 500000 экз.

69. Фридман Л. М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач Текст. / М.: Педагогика, 1977. — 208 с.

70. Фридман Л. М. О требованиях к решению геометрических задач на вычисление Текст. // Математика в школе. 1955. - №4. - с. 7-11.

71. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о пед. психологии Текст. / М.: Просвещение, 1983. 160 е.: ил.+ 22 см. — (Психолого-педагогические основы обучения в школе). — Библиогр.: с. 159. — 100000 экз.

72. Хитрииа Н. А. О применении контрпримеров Текст. / Математика в школе. 1997. - №6. - с. 34-37

73. Ходот Т. Г. Задачи по геометрии: Учебное пособие: 7-11. [Текст] / Т. Г. Ходот, И. Д. Захарченко, А. В. Михайлова. СПб: Спец. лит., 1998. - 279 е.: ил.+ 21 см. - На обл. авт. не указаны. - Библиогр.: с. 277279. - ISBN 5-87685-105-1. - 15000 экз.

74. Цетлин B.C. Предупреждение неуспеваемости учащихся Текст. / М.: Знание, 1989. — 77, [3] с.+ 17 см. — (Новое в жизни, науке, технике; 11/1989. Педагогика и психология). Библиогр.: с. 79. - ISBN 5-07-000-962-1.-155521 экз.

75. Цукарь А. Я. О полезности интерпретации решения задач Текст. / Математика в школе. 2000. - №7. - с. 34-37.

76. Чаплыгин В. Ф. Подборка задач на «окружность» Текст. // Математика в школе. 2000. - №7. - с. 37-44.

77. Чебышева В. В. Психология трудового обучения Текст. / М.: Прсвещение, 1969.

78. Чуканцов С. М. Где ошибка?.: Самоконтроль при решении мат. задач Текст. / С. М. Чуканцов. — Тула: Приок. кн. изд-во, 1976. 65 е.; 20 см. - (Делимся опытом). — На обл. авт. не указан. — 20000 экз.

79. Шеварев П. А. Обобщенные ассоциации в учебной работе школьника Текст. / М., Изд-во Акад. пед. наук РСФСР. 1959. — 303 с. 27 см. (Акад. пед. наук РСФСР. Ин-т психологии). - 1700 экз. - В пер. -Библиогр.: с. 296-299 (131 назв.).

80. Штейнгауз Г. Задачи и размышления. Пер. с польск. сост. и пер. Ю. А. Данилов. Под ред. Я. А. Смородинского Текст. / М.: «Мир», 1974. 400 е., с ил. 20 см. - В пер.

81. Эльконин Д. Б. Психология обучения младшего школьника Текст. / М., «Знание», 1974. 64 с. (На обл.: Новое в жизни, науке, технике. Серия «Педагогика и психология». 10). Перед загл. авт.: Д. Б. Эльконин чл.-кор. АПН СССР. - 16 см. - 65000 экз.

82. Эрдниев П. М. Развитие навыков самоконтроля при обучении ма-тематие Текст. / М.: Учпедгиз, 1957. — 70 с. с черт. 20 см. (На обл.: Из опыта учителя). — 30000 экз.