Развитие интереса учащихся к математике через эстетический потенциал исторических задач и теорем с чертежом

Мучкаева, Светлана Сангаджиевна

Темы диссертаций по педагогике » Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)

автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Развитие интереса учащихся к математике через эстетический потенциал исторических задач и теорем с чертежом

Автореферат

Автор научной работы: Мучкаева, Светлана Сангаджиевна
Ученая степень: кандидата педагогических наук
Место защиты: Элиста
Год защиты: 2009
Специальность ВАК РФ: 13.00.02

Диссертация

Автореферат диссертации по теме "Развитие интереса учащихся к математике через эстетический потенциал исторических задач и теорем с чертежом"

□03458984

На правах рукописи

Мучкаева Светлана Сангаджиевна

РАЗВИТИЕ ИНТЕРЕСА УЧАЩИХСЯ К МАТЕМАТИКЕ ЧЕРЕЗ ЭСТЕТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ИСТОРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И ТЕОРЕМ С ЧЕРТЕЖОМ

13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

Астрахань 2008

003458984

Работа выполнена на кафедре математики, информатики и дидактики Калмыцкого государственного университета

Научный руководитель:

доктор педагогических наук, доцент Эрдниев Батыр Пюрвеевич

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор Полякова Татьяна Сергеевна

кандидат педагогических наук, доцент Горяев Юрий Александрович

Ведущая организация: Дагестанский государственный педагогический

университет

Защита состоится «6» февраля 2009 г. в 14— часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.009.05 при Астраханском государственном университете по адресу: 414000, г. Астрахань, пл. Шаумяна, д. 1, ауд. 101

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Астраханского государственного университета.

Автореферат разослан 008 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

С.З.Кенжалиева

Общая характеристика работы

Актуальность исследования. Важнейшей задачей среднего образования является всестороннее развитие учащихся, формирование у них научного мировоззрения. Значительная роль в этом процессе принадлежит курсу математики. Усиление ее мировоззренческого и воспитательного воздействия на учащихся, совершенствование методики преподавания для более глубокого усвоения основ математики - таковы основные задачи, стоящие перед отечественной системой образования.

В психологии «развитие» понимается как последовательные, прогрессирующие существенные изменения в' психике человека, проявляющиеся как определенные новообразования. Положение о возможности и целесообразности обучения, ориентированного на развитие ребенка, было обоснованно еще в 1930-е годы выдающимся российским психологом Л.С.Выготским. Вопросы развития учащихся в процессе обучения исследовались дидактами (Ю.К.Бабанский, М.А.Данилов, И.Я.Лернер, М.Н.Скаткин), учеными и математиками-методистами (Ж.Адамар, Б.В.Гнеденко, В.А.Гусев, Ю.М.Колягин, А.А.Маркушевич, Н.Х.Розов, В.А.Тестов, С.Л.Трегуб, А.Я.Хинчин, С.И.Шварцбурд, П.М.Эрдниев).

Поиски путей для повышения эффективности процесса обучения и воспитания тесно связывают с решением проблемы формирования познавательных интересов учащихся, поскольку она является ведущим мотивом учебной деятельности. Познавательные интересы учащихся не только повышают качество усвоения программного материала, активизируют учебную деятельность, но и способствуют формированию потребности в самостоятельном приобретении и углублении знаний. Сложная и многогранная проблема мотивации и интереса привлекала многих исследователей, в том числе видных педагогов и психологов (Б.Г.Ананьев, Л.И.Божович, Н.Ф.Добрынин, В.С.Ильин, А.К.Маркова, С.Л.Рубинштейн, Г.И.Щукина), которые внесли значительный вклад в ее решение, создали эффективные теории ее применения.

Способность удивляться — ценнейшая из способностей человека. Она лежит в основе познавательного интереса школьников. Под познавательным интересом понимается избирательная направленность школьников, обращенная к ее предметному содержанию, оказывающая сильное побуждающее влияние на активизацию деятельности, на общую активность личности, способствующая интеллектуальному, нравственному, эстетическому её развитию. Исследования педагогов и психологов показали, что в подростковом возрасте особенно значимым фактором в развитии интереса к учению является содержание учебного предмета.

Рассмотрение исторических задач, неразрешимых одними методами и разрешимых другими, дает хорошую иллюстрацию диалектического развития науки математики. Это позволяет смотреть на известные математические понятия, факты и представления не как на застывшие объекты, раз и навсегда

данные, а как на развивающиеся и изменяющиеся в связи с новыми стадиями развития математики структуры. Полезно познать истинные пути появления замечательных открытий, особенно таких которые были получены не интуитивно, а силой мысли. Такое познание приносит пользу не только тем, что история воздает каждому свое и побуждает других добиваться таких же похвал, оно ведет к развитию искусства открытий. Под термином "историческое" надо понимать нечто наиболее значимое, которое осталось в памяти веков не только с точки зрения содержания, но и с точки зрения эстетического восхищения.

A.Б.Юшкевича, М.Г.Ярошевского и др. Этим проблемам посвящены работы

B.М.Беркутова, М.А.Исаевой, З.Касаевой, С.М.Насибова, В.Е.Пыркова Ю.С.Свистунова, У.К.Шерматовой. В диссертационных исследованиях и работах этих авторов рассмотрены вопросы необходимости и целесообразности использования элементов историзма в школьном курсе "математика", предлагаются варианты решения отдельных аспектов данной проблемы, как на уроках, так и во внеурочное время.

Обращение к данной проблеме связано и с идеей гуманитаризации российского образования, усилением его эстетической составляющей, разработкой новой стратегии эстетического воспитания подрастающего поколения.

Данная идея широко обсуждается в работах философов (А.А.Касьян, М.С.Коган, Ф.Т.Михайлов, И.М.Орешников), педагогов (Л.Я.Зорин, И.Я.Лернер, В.Г.Разумовский), математиков и методистов (А.Д.Александров, В.И.Арнольд, Г.В.Дорофеев, А.Г.Мордкович, Т.С. Полякова, М.В. Потоцкий, Г.И.Саранцев, П.М.Эрдниев, Б.П.Эрдннев и др.). Однако еще недооценено богатое гуманитарное содержание математики и, соответственно, оно не используется еще в должной мере.

Постоянное развитие интереса к изучению учебного предмета является одной из самых значимых задач в современном образовании, решение которой должно способствовать эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм. К сожалению, систематического освещения эта проблема в отечественной литературе не имеет. В имеющихся источниках В.Г. Болтянского, Л.А. Минасян, В.А. Минковского, В.А. Оганесян, H.A. Рощиной и др. встречаются описания отдельных задач.

Психолого-педагогической наукой' обоснована целесообразность развития интереса учащихся к математике через эстетическое содержание исторических задач и теорем с чертежом, но недостаточно разработаны механизмы её реализации.

Таким образом, выбор темы исследования обусловлен противоречием между требованиями программы, стандарта среднего математического образования и общепризнанным значением знаний из истории развития науки для формирования общей культуры учащихся, развития устойчивого интереса к математике, воспитания у них интереса к предмету. Кроме того, недостаточно разработаны принципы отбора историко-математического материала для эстетического и нравственного воспитания учащихся, отсутствуют соответствующие материалы в школьных учебниках. Разработанные материалы могут быть использованы при организации учебного процесса и по другим учебным дисциплинам.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в 8-9 классах.

В качестве предмета исследования выбраны исторические задачи и теоремы с чертежом, имеющие непосредственное отношение к школьному курсу геометрии.

Цель исследования состоит в разработке теоретических и методических основ использования эстетического потенциала исторических задач и теорем с чертежом для развития интереса к математике.

Цель, объект и предмет нашего исследования позволили выделить следующую гипотезу. реализация методики использования параметризированных чертежей исторических задач и теорем в процессе обучения геометрии, основанной на:

- идее использования укрупненных дидактических единиц (УДЕ), нацеленной на достижение таких важнейших целей обучения математике в школе как формирование системности знаний учащихся и развитии их творческих способностей;

- концепции формирования основных видов учебной деятельности учителя и учащихся, нацеленной на использование в процессе обучения математике задач, сыгравших важную роль в историческом развитии математики и ее преподавании;

- использовании системы дидактических средств, включающих, в частности, методические разработки по конкретным геометрическим темам и темам исторического характера, наглядные пособия и компьютерные иллюстрации, способствует развитию у учащихся интереса к обучению математике.

Для реализации цели исследования необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать теоретические основы развития интереса к математике через эстетический потенциал исторического материала.

2. Проанализировать состояние проблемы исследования в теории и практике обучения.

3. Выявить научно-теоретические основания целесообразности использования эстетического потенциала исторического материала при обучении математике в школе.

4. Разработать методику изучения исторических задач на уроках и внеклассных занятиях, основанную на использовании параметризированных чертежей исторических задач и теорем.

5. Провести экспериментальное исследование эффективности использования разработанной методики в практике обучения геометрии в школе.

При решении поставленных задач и проверки гипотезы применялись следующие методы исследования:

анализ литературы (психолого-дидактической, методической, педагогической, учебников, учебных пособий) по проблеме исследования;

- изучение и обобщение педагогического опыта;

- анализ особенностей восприятия материала учащимися в процессе использования эстетического исторического материала;

организация и проведение педагогического эксперимента, в ходе которого использовались анкетирование, тестирование, проведение специальных семинаров, конкурсов;

применение статистических методов анализа экспериментальных

данных.

Методологической основой исследования явились фундаментальные работы в области педагогики и психологии (Ю.К.Бабанский, Л.С.Выготский, П.Я.Гальперин, С.Л.Рубинштейн, М.Н.Скаткин, Н.Ф.Талызина, О.К.Тихомиров), в области исследования познавательного интереса (М.А.Данилова, В.С.Ильин, Н.А.Можаева, Г.И.Щукина), ассоциативно-рефлекторные концепции (И.М.Сеченов, И.П.Павлов, Л.С.Рубинштейн), работы по исследованию наглядности в обучении (В.Б.Болтянский, Я.А.Коменский, К.Д.Ушинский), работы в области современного обновления школьного образования (В.В.Вавилов, Ю.М.Колягин, Г.И.Саранцев, A.A.Столяр, И.М.Смирнова, Л.М.Фридман, Х.Ш.Шихалиев, П.М.Эрдниев, Б.П.Эрдниев, И.С.Якиманская).

Апробация основных результатов исследования осуществлялась в виде докладов, выступлений и обсуждений на заседаниях кафедры алгебры, геометрии и методики математики (АГММ) Калмыцкого государственного университета (КГУ), публикации статей, тезисов, чтение лекций на курсах повышения квалификации учителей в г. Элиста, г. Армавир, г, Астрахань, выступлениях на научно-практических конференциях: международные научно-практические конференции по проблемам УДЕ (г. Элиста 1996-2006г.), Всероссийская научная конференция в 2002г. г.Саранск, Всероссийский семинар преподавателей математики педагогических вузов и университетов в РГПУ в 2002г. г. Санкт-Петербург, межрегиональная конференция Юга России г. Элиста в 1999 г., республиканские научно-практические конференции (г. Элиста 2006, 2008 г.), проведении лабораторных занятиях со студентами математического факультета КГУ (с 1998-2008 г.), практических и семинарских занятиях в Центре одаренных детей Республики Калмыкия (2000-2007г.), технического лицея г. Элиста (1998-2000 г.).

Материалы диссертационного исследования используются учителями Калмыкии, спецкурсы по использованию исторических задач в школьном курсе математики читаются студентам 4-5 курсов математического факультета Естественно-математического института КГУ, практика такого подхода к данной проблеме используется при проведении ежегодного республиканского конкурса "Юные исследователи Малой Родины", республиканских олимпиад по УДЕ, при проведении открытых уроков на научно-практических конференциях.

Экспериментальное исследование по данной проблеме было начато в 1997 году и выполнено в три этапа.

На первом этапе (1997-2000) был осуществлен теоретический анализ проблемы исследования, была изучена практика использования на уроках математики исторического материала, исторических справок, задач, определена готовность учителей к использованию данной методики в обучении, а также осуществлена конкретизация цели и задачи исследования.

На втором этапе (2001-2004) проводился поисковый эксперимент, основными задачами которого явились исследование условий повышения качества знаний учащихся по математике, отбор и организация соответствующего содержания обучения, адаптация и коррекция методики использования эстетического потенциала исторических задач и теорем с чертежом, определение основных методов диагностики влияния разработанной методики на развитие интереса у учащихся к предмету.

На третьем этапе (2005-2008 г.г.) осуществлялась экспериментальная проверка эффективности разработанной методики, проверка выводов и результатов исследования, проводилось осмысливание, обобщение и описание опытно-э кс пер им ентальной работы.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что впервые осуществлено исследование проблемы использования исторических задач и теорем с чертежом, в которых чертеж выступает как параметрическая модель знания. В работе обосновано, что использование числовой параметризации исторических задач и теорем выступает как одно из важнейших условий, обеспечивающих познавательную активность учащихся на уроках геометрии.

Практическая значимость исследования заключается в том, что разработана эффективная методика параметризации исторических задач и теорем. Предложенные методические разработки могут быть использованы учителем в своей работе независимо от типа школ и используемых учебников, как вызывающие интерес учащихся к изучению геометрии и развивающие их способности. В перспективе данные модули могут быть положены в основу построения нового курса математики. В учебниках по геометрии для 8-9 классов данные задачи могут быть ключевыми, и на их основе будут введены новые математические понятия. Но в рамках данного исследования мы не ставили таких целей, это является предметом дальнейшего исследования.

Достоверность и обоснованность результатов исследования следуют из логических выводов, основанных на теоретических положениях современной

психологии, дидактики и методики, из экспериментального подтверждения эффективности разработанной методики, а также из положительных отзывов и оценок учителей математики, использующих разработанные рекомендации в практике обучения.

На защиту выносятся-.

1. Теоретическое обоснование целесообразности использования эстетического потенциала исторического материала при обучении математике в школе.

2. Методика развития интереса учащихся к математике посредством использования числовой параметризации исторических задач и теорем с чертежом.

3. Система дидактических моделей, включающая методические разработки по конкретным геометрическим темам, наглядные пособия.

Внедрение в практику обучения данной методики осуществлялось в ходе экспериментальной проверки, которая проводилась на базе МОУ г. Элиста (23, ЦООД «Элистинский лицей», технический лицей) и районных школ Республики Калмыкия.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, приложений.

Основное содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи исследования, определены объект, предмет и гипотеза, показаны новизна, теоретическая и практическая значимости работы, сформулированы положения, выносимые на защиту, раскрыты основные этапы и методы педагогического исследования.

В первой главе «Психолого-педагогические основы развития интереса учащихся к изучению математики через исторические задачи и теоремы с чертежом» формируются теоретические обоснования использования исторических задач с чертежом в преподавании математики, рассматривается традиционный подход и разрабатывается теоретическая концепция, нацеленная на использование задач геометрического характера, сыгравшие важную роль в историческом развитии математики и ее преподавании. Эту главу составили четыре параграфа.

При обучении математике необходимо пользоваться всеми средствами формирования интереса к предмету - и внутренними, и внешними. Интерес к предмету тесно связан с ясным пониманием (восприятием) учебного предмета. Психологи различают две возможности: «знания и их принятие», либо «знания и неприязнь». В отношении математики эта формула, безусловно, верна, однако сам процесс получения знаний и отношение ученика к ним тоже непрост и имеет много особенностей.

Познавательный интерес как психологическая категория есть форма проявления познавательной потребности, обеспечивающая направленность личности на осознание целей деятельности и тем самым способствующая более полной ориентировке, глубокому ознакомлению с новыми фактами и, в конечном счете, успешности обучения.

Познавательный интерес, частным случаем которого выступает интерес к учению, к учебным предметам, всегда признается важной характеристикой личности школьника. Как мотив учения познавательный интерес имеет ряд преимуществ по сравнению с другими мотивами. Он раньше, легче и отчетливее, чем другие мотивы, осознается учениками, при этом его конкретность и реальность побуждений видна субъекту.

Возникновению и развитию мотивации способствует тщательно отобранное содержание материала, вынесенные на урок и на внеклассные мероприятия. Средствами, связанными с содержанием учебного материала, побуждающими формирование мотивации учения, могут быть следующие:

- практическая значимость изучаемого материала для ученика;

- доступность учебного материала;

- новизна;

- исторические факты;

- наглядность и занимательность материала.

Выделенные параметры математических способностей, а также поиск эффективных средств позволили выделить исторические задачи и теоремы с чертежом, сыгравшие важную роль в историческом развитии математики и в ее методики преподавания. Специальные исследования по проблемам формирования познавательного интереса, проведенные Г.И. Щукиной, B.C. Ильиным, показывают, что интерес во всех его видах и на всех этапах развития характеризуется, по крайней мере, тремя обязательными моментами:

- положительными эмоциями по отношению к деятельности;

- наличием познавательной стороны этих эмоций;

- наличием непосредственного мотива, идущего от самой деятельности.

Отсюда следует, что в процессе обучения важно обеспечивать возникновение положительных эмоций у учащихся по отношению к учебной деятельности, к ее содержанию, формам и методам осуществления. Эмоциональное состояние ученика всегда связано с переживаниями, душевными волнениями. К процессам внимания, запоминания, осмысливания в таком состоянии подключаются глубокие внутренние переживания личности, которые делают эти процессы интенсивными.

Интерес как средство обучение действует тогда, когда на первый план выступают внутренние стимулы, способные удержать интерес, возникающий у учащихся при внешних воздействиях. Новизна, необычность, неожиданность -все эти особенности, подчеркнутые при сообщении материала, способны не только вызвать интерес, но и побудить эмоции, порождающие желание изучать материал более глубоко.

Одним из методов, обеспечивающих возникновение на уроке математики эмоциональной ситуации, является использование в учебном процессе исторического материала, а именно исторических теорем, занимательных исторических задач. Названный метод позволяет активизировать эмоциональную сферу школьника. Эмоциональные переживания вызываются созданием эффекта удивления.

Считается, что исторический факт служит средством обогащения содержания школьного курса и положительно влияет на возникновение и развитие интереса к предмету. Но этим не исчерпывается их значение. При правильной постановке дела сведения из истории науки могут играть и важную воспитательную роль, потому что с их помощью можно показать, что наука возникает и развивается под влиянием человеческой практики по ее внешним, т.е. объективным требованиям развития общества.

Исторические задачи в учебниках математики традиционно даются после изучения соответствующих тем, не определяя логику изложения и введения новых математических понятий. Поэтому исторические сведения и исторический материал в форме занимательных задач и опытов создали параллельно учебной программе учебную литературу под условным названием "За страницами учебника математики" или "Занимательная математика". В то же время в методологии научного познания, становления научных школ всё большее значение придаётся концепции известного американского философа Томаса Куна о парадигме, точнее о "дисциплинарной матрице" научной школы, важнейшим компонентом которого стоит образец решения конкретной научной проблемы.

Разнообразие и оригинальность содержания геометрии увлекает многих учащихся тем больше, чем ярче оно раскрывается учителем. Казалось бы, можно удовлетвориться теми возможностями, которые представляются программой. Опыт показывает, что многие учителя обогащают содержание предмета, привлекая материал по истории науки, возвращаясь к ранее изученному и открывая в нем новые подходы, решая оригинальные задачи повышенной сложности и т.д. Оказывается, что именно эти стороны содержания предмета являются важнейшими условиями пробуждения и развития интереса. При этом важно, что трудность задачи должна нарастать постепенно, по мере накопления знаний, умений, навыков, возрастания настойчивости и упорства. В умелом подборе задач, в воспитании настойчивости и сообразительности проявляется мастерство учителя.

Активизация мысли учащихся на уроке - одна из основных задач учителя. Важно так продумать урок, чтобы каждый ребенок участвовал в нем с напряжением всех своих сил; это и значит сделать урок максимально развивающим личность каждого ребенка. Урок - не единственная форма обучения. Факультативы, элективные курсы и другие формы внеклассных занятий при правильной постановке могут и должны играть важную дополняющую роль как в пробуждении, так и в развитии математических способностей учащихся.

В данной главе дано также психологическое обоснование применения исторических задач с чертежом. В трудах психологов Р.Арнхейма, Р.Л.Грегори, А.В.Запорожца, В.П.Зинченко, Б.Ф.Ломова Д.А.Ошанина большое место занимает исследование влияния зрительного восприятия на творческую деятельность.

Использование наглядности в обучении позволяет сделать усвоение материала более прочным и полноценным. Каждый элемент геометрии в

определенной форме обладает эстетической ценностью. Чертежи, рисунки, модели, являясь основными средствами наглядности, обладают особой эстетической ценностью.

Общепризнано, что наиболее эффективным средством представления информации для принятия решений являются графические методы ее отображения. У.Боумен: «Говорят, один рисунок стоит тысячи слов, и это действительно так, но при условии, что рисунок хороший». Принцип наглядности впервые был сформулирован Я.А.Коменским. Он выдвинул «золотое правило дидактики»: «Все, что только можно представлять для восприятия чувствами, а именно: видимое - для восприятия зрением, слышимое - слухом, запахи - обонянием, подлежащее вкусу - вкусом, доступное осязанию - путем осязания. Если какие-либо предметы сразу можно воспринять несколькими чувствами, пусть они сразу охватываются несколькими» или «если кто сомневается в том, что посредством созерцания может быть воспринято все, даже духовные и не находящиеся перед глазами предметы, тот пусть вспомнит, что все устроено свыше для гармонии». Эти взгляды Коменского были развиты многими великими педагогами прошлого. К.Д.Ушинский считал, что наглядное обучение - «это такое ученье, которое строится не на отвлеченных представлениях и словах, а на конкретных образах, непосредственно воспринятых ребенком...».

Эстетическая ценность чертежей, моделей, рисунка определяется, с одной стороны, известной близостью геометрии как науки о пространственных формах. С другой стороны, важное значение чертежей и моделей для эстетического воспитания определяется и той ролью, которую они выполняют в геометрическом творчестве. Имеется много примеров геометрических задач, красивые решения которых возникли как результат анализа удачно найденной конфигурации.

Крайне важно в дидактике математики разработать принципы рациональной группировки упражнений, методику. В настоящее время в практике подбора упражнений по математике почти безраздельно господствует аналитизм: мысль, зарождавшаяся при решении предыдущего упражнения, не получает обобщения и развития в следующем, а всего лишь повторяется. Между тем одно повторение, как говорят кибернетики, не несет никакой информации. В итоге - разрозненность знаний обучаемых.

В нашем опыте работы со студентами, учащимися школ было обнаружено, что нередко общий чертеж для разных задач тоже служит основой прочного усвоения геометрических знаний. В связи с этим, мы предлагаем рассматривать чертеж как модель знания.

Таким образом, приведенный в первой главе обзор, анализ работ и публикаций научно-педагогических изысканий по проблеме развития интереса к математике через исторический ее потенциал показал, что в поисках новых моделей образования, способных отразить и обеспечить достижение современных целей обучения математике, существенную роль выполняет опора на большой запас материала по истории математики.

Во второй главе «Методические основы реализации основных подходов к практическому использованию исторических задач с чертежом для развития интереса» излагается методика формирования интереса учащихся к математике через исторические задачи и теоремы с чертежом, рассматриваются методические основы реализации выработанной нами методики.

Для формирования устойчивого интереса к математике, а также эстетического воспитания на уроках математики через исторические задачи и теоремы мы предлагаем следующие критерии их отбора: доступность для учащихся, соответствие с программным материалом, возможность построения чертежа, возможность его параметризации для фронтальной работы в классе, гг рспектива выхода в пространство, задачи, в которых заложен мощный аппарат развития мышления, образного восприятия.

В дидактике и методике обучения математике наиболее распространенными являются два подхода к классификации методов обучения. Один из них исходит из источников знаний (словесные, наглядные, практические методы). В основе другой классификации (И.Я.Лернер, М.Н.Скаткин) лежат цели, содержание и характер познавательной деятельности учащихся (объяснительно-иллюстративный, репродуктивный методы, метод проблемного изложения знаний, эвристический, исследовательский методы). В нашем случае, удобно сочетаются и основные формы деятельности учителя и ученика (первый подход) и содержание этой деятельности (второй подход). Исторические задачи и теоремы с чертежом имеют особое место в системе методов обучения рассмотренных классификаций.

Так, учитывая источник знаний, получаем следующие виды объяснительно-иллюстративного метода: объяснение (историческая справка о происхождении теоремы или задачи, формулировка теоремы в форме рассказа, лекции), объяснение с использованием чертежа, рисунка, объяснение с выполнением моделей, практических работ, лабораторных работ.

Суть репродуктивных методов заключается в создании ситуаций, в которых либо ученик воспроизводит понятие или теорему в процессе решения задач, либо решение задач служит материалом для обобщения изученных фактов. Так, в ходе решения задач на нахождение координат ортоцентра, центра описанной окружности и точки пересечения медиан учащиеся убеждаются, что они лежат на одной прямой и это подтверждает результат великого Эйлера.

Эвристический метод заключается в создании ситуации самостоятельного открытия фактов в процессе изучения частных случаев, в открытии частностей какого-либо факта при рассмотрении общего случая, в самостоятельном обобщении. Например, учащиеся сами путем неоднократного вычисления или групповой работы убеждаются, что расстояние от точки пересечения медиан до ортоцентра в два раза больше расстояния от точки пересечения медиан треугольника до центра описанной окружности.

Суть исследовательских методов заключается в проведении исследований различных феноменов посредством изучения их конкретных проявлений,

организации исследований посредством дедуктивного развития учебного материала, создания ситуаций, приводящих к обобщенному знанию. Здесь можно предположить аналогию в пространстве, т.е. для тетраэдра.

Полученная теорема в ходе использования эвристических и исследовательских методов может служить отправным пунктом для разговора на внеклассных занятиях о деятельности Л.Эйлера, его открытиях. Сам факт ознакомления с этой теоремой имеет большое воспитательное значение: учащиеся убеждаются в том, что им доступны некоторые проблемы, которыми занимались величайшие математики.

Для того чтобы математическое содержание вызвало интерес, необходима также специальная стимуляция. Для стимулирования познавательного интереса учащихся нами были использованы следующие приемы: на первом начальном этапе - информационные приемы, на втором - инструктивные, на третьем, завершающем этапе - побуждающие. При этом выявлено, что развитие интереса происходит не в результате смены одного этапа другим, а на основе плавного перехода одного этапа в другой.

Основная цель информационного приема - «оживление» содержания учебного материала для возбуждения к нему интереса учащихся. Следует отметить, что интерес на этой стадии опирается на занимательность, таинственность, практическую значимость и т.д. История происхождения той или иной теоремы волнует любого учащегося, таинственность вокруг идей доказательства интригует его, возбуждает интерес биографии ученых. Но на этой стадии не происходит существенного сдвига в способах умственной деятельности учащихся. Возбуждение интереса к содержанию - только начальная стадия его формирования.

Основное внимание на втором этапе уделяется позитивным действиям по формированию самостоятельной работы, потому что активизируется познавательная деятельность учащихся, без которой не мыслимо дальнейшее развитие учебно-познавательной деятельности учащихся. На этом этапе применяются инструктивные приемы, основная функция которых — организация учебно-познавательной деятельности по заданному образцу. Данная группа приемов предполагает постановку учебных проблем и решение их учителем при активном участии учащихся. Например, рассматриваются задачи, решаемые с использованием изученных теорем, а также серии обратных задач, проверка теорем координатным методом и т.д.

При побуждающих приемах, формирующих третий уровень познавательных интересов, учащиеся уже не получают строго регламентируемых указаний. Знания, факты и наблюдения, полученные учащимися в процессе обучения, служат основой для создания проблемных ситуаций. Для ответа на проблемные вопросы учащиеся должны вспомнить, сравнить, переработать, полученную на разных этапах информацию.

При этом мы видим следующие условия, способствующие развитию интереса к математике:

1. Ведущую роль в процессе формирования интереса к материалу, формирующему эстетическое воспитание учащихся, играет учитель и степень

его подготовленности к проведению урока. Для того чтобы увлечь детей математикой, учитель сам должен иметь глубокие знания по предмету, являться автором или знать несколько программ элективных, факультативных курсов, в зависимости от потребностей и интересов учащихся.

2. Урок сейчас не единственная форма обучения, кроме урока есть еще факультативные, элективные и другие внеклассные занятия. Перечисленные нами формы занятий при правильной постановке могут и должны играть важную роль как в пробуждении, так и в развитии математических интересов учащихся.

3. Отбор учебного и наглядного материала осуществляется учителем с использованием лучших образцов математической теорий, теорем и задач, обладающих не только важностью в развитии самой математики, но и обладающие красивыми формулировками, чертежами, схемами, диаграммами, моделями (и которые тесно связаны с реально существующими объектами и процессами окружающего мира). История математики - это не только набор математических фактов, но и неиссякаемый источник для поиска красивого и уродливого, совершенного и громоздкого, взлёта фантазии и неизбежные тупики, простые и сложные, общие и частные конструкции и теории. Задача учителя, думающего о развитии интереса учащихся, заключается в подборе учебных задач и теорем исторического характера, в которых доходчиво и отчетливо были бы видны привлекательные и совершенные стороны изучаемого материала.

4. Развитию интереса учащихся способствуют приобщение их к самостоятельной и творческой деятельности (участие в работе факультативов и кружков, в конкурсах и олимпиадах, подготовка докладов на научные конференции школьников, работа с основной и дополнительной литературой), ознакомление школьников с математическим стилем и методами проведения математических исследований (индукция, дедукция, обобщение, аналогия, рекурсия, полнота аргументации, логика рассуждений). С этой целью необходимо проводить проблемные уроки, лабораторные и экспериментальные работы, нацеленные на развитие интереса к изучению математики и ее приложений.

5. Считается, что исторический факт сам по себе служит средством обогащения содержания школьного курса и положительно влияет на возникновение и развитие интереса к предмету. Но это явно недостаточно. При правильной постановке вопроса сведения из истории науки могут играть важную воспитательную роль, поэтому планирование учебного процесса и поурочные планы учителя должны быть ориентированны на эстетическую сторону воспитания и развития учащихся. Тем самым, соответствующий учебный, методический и иллюстративный материал будет заранее подобран на весь период обучения. Эстетическое воспитание обладает высоким развивающим потенциалом не только в области гуманитарного, но и естественно-научного образования. Перспективны курсы с богатым культурологическим, эстетическим и художественным содержанием.

С целью развития интереса к математике через эстетический потенциал исторических задач и теорем с чертежом, нами были разработаны учебные модули. Приведем их краткое описание.

Китайская задача «О камыше» как прототип задачи «О лотосе»

Древнекитайская бронзовая линейка построена на треугольнике (15;36;39). Эта триада используется в старинной китайской задаче "О камыше".

Имеется водоем со стороной 1 чжан (1чжан=10чи). В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается: какова глубина водоема и длина камыша? (х+1)г=х2+25 х=12 А = с - в

Мт

№ А а в с

1 1 5 12 13

2 8 12 5 13

1 чжзн * 10 чи

Рис. I Задача «О камыше»

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата "Гоу-гу"

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1чжан = 10 чи).

Какова высота бамбука после сгибания?

с + в

№ У. а в с

1 10 3 91/20 109/20

2 9 3 4 5

3 25 5 12 13

Рис.2 Задача «О бамбуке»

Фабула сюжета в поэтике Древнего Китая и Индии носит философский характер, показывающий истинную высоту личности и зависимость от «длины» памяти о ней. Например, известны поэма о принцессе выданной замуж на степного хана и оплакивающая на берегу озера свою судьбу, в более позднее время стихотворение Бхаскары на английском языке (см. ниже)

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом Отнес его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной В двух футах от места. Где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока?

Рис.3. Задача о лотосе

Решение этой задачи несложное и дано как решение Я.Перельмана:

(х + 'А)2 — х2 + 1.4

В новейшую историю немецкий математик И.Леман ввел в европейскую дидактику китайскую задачу. Его современники при построении типологии таких задач в первую очередь обратились к знаменитым триадам. Например, американский изобретатель многочисленных математических и шахматных головоломок Сэм Лойд, взяв обобщенный сюжет из романа "Каванаг" У.Лонгфелло, составил свою числовую конструкцию параметров. Условие этой задачи: цветок лотоса возвышается над поверхностью озера на 10 дюймов, а отклонение равно локтю, т.е. 21 дюйм. Надо также найти глубину озера. Ответ: 17,05 дюйма. Если же вместо 21 взять значение 20, то получается египетский треугольник.

ВС __ СО ВС

ВС1 = С7-" хСА

Рис.4

1.20x20=400 2.400:10=40 3.40-10=30 4.30:2=15 (дюймов).

Дополнение С.Лойда:

1.21x21=441

2.441:10=44,1

3.44,1-10=34,1

4.34,1:2=17,05

(дюймов).

ЛВС-5%

ДАС -12%

Целочисленные параметры получаются непосредственно из формул. Для нынешнего студента интересна задача Мари Беррандо "о нефтяной вышке в Северном море". Она использует ту же числовую триаду, что и Сэм Лойд, но в метрических единицах: глубина моря-68,2м; отклонение-84м; высота-40м.

таового чертежа Таблица 1

СО ВС АС АВ

10 20 15 25

10 22 19,2 29,2

10 18 11,2 21,2

18■ 18 =324 324 : 10 =32,4 32,4-10=22,4 22,4 : 2=11,2

Данный чертеж имеет самостоятельную ценность. Так как мы можем рассматривать ДВРЕ, у которого ВР=40, СР=40 ; ЭР=>/20г + 40г = л/2000. Тогда ортоцентр Н будет симметричен О относительно ВЕ и РН=30. Где О-ортоцентр.

В традиционном обучении используют цветовую окраску, динамический чертеж. Но нет самого главного - связи этих теорем с классическими разделами математики: уравнения прямых с угловым коэффициентом, условием перпендикулярности, параллельности и т.д. В графических работах используются геометрические примитивы в форме пифагоровых триад. Целочисленность организует устный счет, систематизирует теоретический материал.

Прямая Эйлера

Архимед, определяя положение центра тяжести однородной треугольной пластинки, установил, что он лежит на каждой из трех медиан. Точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести или центроидом треугольника.

Закономерность в расположении этих трех замечательных точек треугольника - центра О описанной окружности, центроида в, ортоцентра Н - впервые обнаружил знаменитый математик Леонард Эйлер (1707-1783). Теорема интересна и продуктивна тем, что можно успешно обобщить понятие «прямая Эйлера» с треугольника на ортоцентрический тетраэдр.

В качестве объекта испытания истинности теоремы удобно осуществлять проверку на эталонных фигурах, на которых быстрее можно получить числовые данные (или зрительно убедиться в истинности теоремы). Такой «эталонной фигурой» в пространстве служит равногранный тетраэдр.

Равногранный тетраэдр

Рис.5 Рис.6

Первый треугольник общего вида строится как композиция двух пифагоровых.

а b с а Р

6 8 10 37° 53°

8 15 17 28° 62°

- египетский треугольник

- индийский Бхаскары

в,о

Л2 =

ВН _h~f

2 2 p2+q2+h2+f 4

где О

p + q.h-f

- центр описаннои окружности

- теорема Apxmieda. G= í 4j j - центр тяжести

0G=

6 6) 3 3

GH = 2 ■ OG

Угол между гранями на ребре АС- тупой. На четырехугольнике ABCD два остроугольных треугольника ABC и ABD. Для ДАВС строим развертку равногранного тетраэдра ABCD*:. Высота D ¡D, находится вне тетраэдра.

AD*)2=q2+y2+z2= ВС2, y2+z2=h2. BD*12=(p-q)2+(h-y)2+z2= (p+q)2, y=h-2f z2=4hf-4f2

D*i(q; h-2f; >/4hf-4f2) = (48,-38;16л/2б)- вершина

тет|

раэдра. Числовая проверка: 48 +(-38)2+162-26 = 1022.10404=10404.

Угол между гранями на ребре АС- тупой. Второму остроугольному треугольнику АВЭ соответствует равногранный тетраэдр АВОЭг , у которого высота О О) находится внутри тетраэдра. 02* (П р-2Ч,Л/4А/-492) = (64, 24, 4ВТб ).

В равногранном тетраэдре центр вписанной окружности, сферы и центр тяжести совпадают. 0*= I* = С*..1

R,=RL+¿

Я =-

= 85

[л = (90 + 0 +154 + 64): 4 = 77 <>> = (120 + 0 + 0 + 24): 4 = 36 - = 48л/б ' 4 = 12л/б

Проверка: О проектируется в центр описанной окружности Кьр = л/772 + 362 =85.

Примечателен геронов тетраэдр, у которого ребра, площадь граней и объем целочислены.

ь, С|

12 35 37

а2 ь2 с2

7 24 25

AD=845, BD=288+245=533 НС=285, АС=888 D2* (245, 672,504)

Для граничного варианта у=0, две грани перпендикулярны, а соответствующая высота грани равна высоте тетраэдра.

Задача «Луночки Гиппократа»

В древнем мире были найдены квадрируемые фигуры, ограниченные кривыми линиями, которые получили название луночки (мениски) Гиппократа Хиосского, которые образованны дугами окружностей (рис.).

Для формирования самостоятельной работы и в этой связи активизации познавательной деятельности учащихся, без которой не мыслимо развитие познавательного интереса, по наглядному чертежу можно организовать самостоятельную работу на заполнение коллективной таблицы. Учитель при этом осуществляет лишь контроль за правильностью выполнения действий.

Гвш,с=(а+в-с)/2 ГлУн=(а+в-с)/4 г*=а+в-с

изюминкаЧ.Тригга

Рис.9

__Таблица 2

№ а в с Р 8 82 VI!

1а 6 8 10 24 24 14 10 1 2

16 30 40 50 120 600 7 ? 5 10

1в 60 80 100 240 2400 ? ? 10 20

2а 20 21 29 70 210 ? ? 3 6

26 80 84 116 280 3360 ? ? 12 24

3 12 35 37 84 210 ? ? 5/2 5

После заполнения таблицы строим данный треугольник по готовым параметрам. По завершению работы учащиеся делают вывод, что площадь двух луночек равна площади треугольника. Кстати, у этой фигуры есть еще одно замечательное свойство и в этом можно убедиться при построении и вычислении: луночки имеют одинаковую ширину. Точнее говоря, диаметры наибольших вписанных в них окружностей равны каждый половине разности между суммой катетов и гипотенузой треугольника.

Теорема Содди В формулировке Содди теорема состоит из двух утверждений:

1. Сумма квадратов значений кривизны четырех взаимосоприкасающихся окружностей равна половине квадрата суммы значений кривизны этих

„1 1 1 1 1(1 1 1 I окружностей:—+—-+— + — = — —+—+—+— Т г, гг- 2 и, гг г, гА

В символах кривизны эта формула будет иметь следующий вид:

2(к; + к; + к> +к1)=(к, + к2 + кг+к,У, (*)

где Л, = — кривизна взаимосоприкасающихся окружностей. г,

2. Сумма квадратов значений кривизны пяти взаимосоприкасающихся сфер равна трети квадрата суммы значений кривизны этих сфер:

1 I I 1 1 1(1 1 1 1 1V

— + -Г + -Г + -Г + -Г = ~— + — + — + — + — г' гг г, г/ г5 г2 г, /•, г5>|

В символах кривизны эта формула будет иметь следующий вид:

з(*,2 + ¿2г + к] + + к])= +к2+к,+к,+к,)\ (**) где а,. =— - кривизна взаимосоприкасающихся сфер.

Теорема Содди связывает значения радиусов пяти касающихся окружностей. Построение этих окружностей достаточно сложно для учащихся, но оно полезно для студентов инженерных профессий. Для учащихся была организована групповая работа по нахождению Г4 и Г5.

Рис.10.

Таблица 3

N Г) г2 гз Г4 г5

1 1 2 3 6 -6

2 1 2 2

3 2 1 1

4 3 1 1

5 2 2 2

Включение формулы Содди в практикум по решению задач обогащает не столько ассортимент задач, сколько общепсихологическую культуру переработки информации.

Задача о построении окружности, касающейся трех заданных линий, является классической задачей (частным случаем проблемы Аполлония). После освоения формул Содди в распоряжении учителя оказываются три способа решения данной задачи, а именно:

1. радиус искомой окружности Я4 можно вычистить по формуле Содди;

2. радиус И4 можно вычислить координатным методом;

3. радиус Я4, можно найти измерением длины перпендикуляра, если предварительно точно построить искомую окружность О4 с помощью циркуля и линейки. Наиболее ценный дидактический элемент в подобных ситуациях — это выполнение классического правила дидактики математики: лучше одну задачу решить несколькими способами, чем несколько задач одним способом.

В целях проверки нашей гипотезы, т.е. проверки возможности формирования повышенного уровня образованности учащихся за счет использования исторических задач, теорем с изящным чертежом, а также развития творческого начала учащихся, в течение 1997г.- 2008г. нами проводился педагогический эксперимент. Эксперимент состоял из трех этапов: констатирующего, поискового и формирующего.

Итак,. на первой стадии эксперимента, анализируя результаты анкетирования и тестирования учителей, преподавателей, а также учащихся и студентов, мы пришли к следующему выводу:

- традиционная организация обучения математике не в полной мере использует исторический материал и его эстетический потенциал;

- школьные учебники в недостаточной мере содержат красивые чертежи, занимательные задачи, оригинальные решения для привлечения интереса к самому предмету геометрии.

- определенная работа по данной проблеме проводится в школе, но она носит эпизодический, бессистемный характер и не находит продолжения на внеклассных мероприятиях;

- учителя понимают всю значимость эстетического в историческом материале, но не используют в полной мере, так как не владеют необходимыми знаниями и не обладают достаточным количеством методической литературы.

Этот экспериментальный этап позволил предположить, что необходимо найти средство по улучшению методики изучения курса истории математики с целью повышения интереса учащихся к предмету, ввести некоторые изменения в содержание и структуру курса истории математики, определить разумное соотношение материала, используемого на уроке и во время внеурочных занятий.

Второй этап экспериментальной работы носил исследовательский характер и проводился с 2000-2004 год на учащихся ЦООД РК "Элистинский лицей", технического лицея, гимназии, учащихся МОУ №23 г. Элиста, студентов математического факультета КГУ, учителей математики, посещавших курсы при КРИПКРО. При этом предполагалось проведение семинаров, курсов, чтение лекций, подготовка материалов для проведения олимпиад, конкурсов, уроков, разработка методических рекомендаций. Главной целью этого этапа эксперимента являлась качественная проверка эффективности использования нашей методики.

КГУ. Обучение указанной группы учащихся осуществлялось с использованием разработанных нами на предыдущем этапе эксперимента методических материалов. Была выделена и контрольная группа, в которой обучение велось без обращения к составленным нами методическим материалам.

В программе обучения школьников экспериментальной группы была использована методика развития интереса учащихся к математике через эстетический потенциал исторических задач и теорем с чертежом. Наиболее распространенным вариантом оценки является вычисление среднего балла по каждому ученику, классу, школе. Дополнительно начисляли баллы за сложность и самостоятельное составление обратных задач. В эксперименте были жесткие ограничения по времени: 2 часа на 15 заданий. При статистической обработке результатов использовались методы, сущность которых раскрыта в работах Д.А.Новикова. На заключительном этапе экспериментальной работы была проведена проверка эффективности предложенной педагогической технологии. В соответствии с количеством (из 15 задач повышенной трудности по качеством решенных заданий) были выделены три уровня качества знаний и навыков: 1 уровень - низкий (баллы от 6 до 9); 2 уровень - средний (10-12); 3 уровень - высокий (13-15).

_ Таблица успеваемости групп учащихся._Таблица 4

Значение КГ (человек) ЭГ (человек)

цо начала эксперимента после окон, эксперимента до начала эксперимента после окон, эксперимента

Низкий 24,65% 23,28% 23,19% 10,14%

Средний 49,32% 46,58% 50,72% 40,58%

Высокий 26,03% 30,14% 26,09% 49,28%

Заполнялась общая таблица, учитывающая сравнительную характеристику успеваемости. Статистическая обработка ряда данных исследования для параллельного эксперимента проводилась с использованием критерия х2- Расчеты проводились с помощью программ Статистика+ фирмы AnalystSoft и табличного редактора Microsoft Excel.

В нашем случае шкала отношений преобразуется в порядковую с L=3. Характеристикой группы будет число ее членов, набравших тот или иной балл.

Контрольная и экспериментальная группы до эксперимента были выровнены по показателю качества знаний (табл.4). Так, например, средний уровень оценок для этих групп отличается на не более 1,5%, а для низкого и высокого - менее чем на 1 %. Критические значения критерия у2 для уровня значимости 0,05 приведены в таблице 5.

Эмпирические значения критерия % ■

Таблица 5

До начала После окон.

2 х„„ эксперимента эксперимента

КГ ЭГ КГ ЭГ

До КГ X 0.05 0 3 1 X

начала ЭГ 0.05 X 0.33 X

После КГ 0.3! 0.3 Л X 7.21

оконча ЭГ X X 7.21 X

Из таблицы видно, что все эмпирические значения критерия, кроме результата х]т= 7,21 - сравнения экспериментальной и контрольной групп после окончания эксперимента, меньше критического значения. Следовательно "характеристики всех сравниваемых выборок, кроме экспериментальной и контрольной групп после окончания эксперимента, совпадают с уровнем значимости 0,05". Так как =7,06>5,99 = ^(Й> то "достоверность различий характеристик экспериментальной и контрольной групп после окончания эксперимента составляет 95%".

Итак, до начала эксперимента состояния экспериментальной и контрольной групп совпадают, а после окончания эксперимента - различаются. Можно сделать вывод, что эффект изменений обусловлен именно применением экспериментальной методики обучения и является доказательством того, что в усвоении учебной информации с применением методики использования исторических задач и теорем с параметризированным чертежом имеются существенные различия, обусловленные объективными предпосылками, при этом качество знаний именно в экспериментальных группах заметно повысилось. Также, важно заметить, что активность в изучении математики и соответственно и интерес к обучению именно в экспериментальной группе заметно повысился. Исследования в развитии интереса учащихся в обучении математике выявили четкую взаимосвязь между выраженностью у учащихся высокого уровня данных показателей и методикой развития интереса учащихся к математике через эстетический потенциал исторических задач и теорем с чертежом. Итоги статистической обработки данной части экспериментальной работы подтвердили обоснованность выдвинутой гипотезы.

В заключении обобщены и систематизированы результаты диссертационного исследования.

Результаты проведённого теоретического и экспериментального исследования научной проблемы в соответствии с поставленными целями и задачами подтверждают основные положения гипотезы и позволяют сделать следующие выводы.

1. Цели и задачи современного математического образования, такие как получение школьниками качественных, осознанных знаний, развитие способностей учащихся, развитие самостоятельности, повышение познавательной активности и т.д., могут быть реализованы при широком использовании в образовательном процессе исторических задач и теорем с эстетическим потенциалом чертежа.

2. Теоретический анализ различных подходов к пониманию развития интереса к обучению математике позволил нам уточнить дефиницию понятий «дидактическая единица» и «чертеж». Чертеж - это конкретное графическое изображение геометрической фигуры или конфигураций с выделенными геометрическими примитивами: признаки равенства и подобия треугольников, теорема Пифагора и т.д. Традиционно параметры чертежа присутствуют в нем в неявной форме. Мы считаем, что воспроизведение чертежа всегда допускает

его вариацию параметра, которые легли в основу заданий наших экспериментальных уроков.

3. В результате анализа литературы мы уточнили понятие эстетического потенциала так называемых исторических задач и теорем, которое заключается в числовой и графической изюминке чертежа, содержательный смысл которого проявляется в системе упражнений.

4. Проведенное исследование позволило сделать вывод, что развитие интереса учащихся к математике через эстетический потенциал исторических задач и теорем с чертежом, выступает как одно из важнейших условий, обеспечивающих познавательную активность учащихся на уроках геометрии, побуждающих школьников к самостоятельному изучению этих тем. Введение в проблему целесообразно осуществлять с помощью тщательно продуманной параметризации исторических задач.

5. В разработанную нами методику обучения учащихся по математике входят следующие компоненты: тематическое планирование уроков геометрии, позволившее определить для каждого урока построение опорного чертежа, методика совместной деятельности учителя и учащихся, предполагающая смену лидерской позиции учителя и ученика, чередование графических и алгебраических приемов на уроках математики в соответствии с содержанием учебной темы, механизм дополнения исторической задачи и теоремы системой графических и числовых упражнений.

Проведённое нами исследование и данные статистической обработки полученных результатов подтверждают теоретическую и практическую значимость числовой параметризации исторических задач и теорем с эстетическим потенциалом, позволяющей формировать устойчивый интерес к математике, повышение качества знаний каждого ученика, выполняющего индивидуальный чертеж.

Полученные результаты свидетельствуют о достижении цели исследования, которая состояла в научном обосновании и разработке методики развития интереса учащихся к математике через исторические задачи и теоремы с эстетическим чертежом.

Основные положения исследования отражены в следующих публикациях:

1. Мучкаева С.С., О параллелях технологии УДЕ и модульного обучения / С.С. Мучкаева// VI годичное собрание Южного отделения РАО, XVIII региональные психолого-педагогические чтения Юга России «Развитие личности в образовательных системах Южно-Российского региона». - 1999. - С. 285-286.

2. Мучкаева С.С. Формирование элементов исследовательской деятельности учащихся / С.С. Мучкаева // Открытый урок. Сб. статей и методических материалов ЦООД РК «Элистинский лицей». - Элиста, 2002. - С. 45-47.

3. Эрдниев Б.П., Мунчинова Л.Д., Мучкаева С.С. Пути обновления содержания национальной системы образования РК на основе результатов обучения по системе УДЕ/ Б.П.Эрдниев, Л.Д.Мунчинова, С.С.Мучкаева //Этнос. Образование. Личность. Материалы 9 конференции народов циркумполярных народов севера. - Якутия, 2002. - С. 68-70.

4. Мучкаева С.С. Основные подходы к раскрытию эстетического потенциала математики в процессе обучения/ С.С.Мучкаева //Этнос. Образование. Личность. Материалы 10 конфер./ народов циркумполярных народов севера. -Якутия. 2006 С. 94-96.

5. Мучкаева С.С.Эстетический потенциал исторических теорем и задач/ С.С.Мучкаева //Сборник «Столичное образование» Выпуск №1. - Элиста. 2004 С. 104-106.

6. Манцаев Н.Г., Мучкаева С.С. Об одном из путей реализации принципа гуманизации при обучении геометрии/ Н.Г.Манцаев, С.С.Мучкаева // Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики: Труды XXI Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов / Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2002. - 220 е., с. 164 -166..

7. Мучкаева С.С. Развитие эстетического восприятия математической информации/ С.С.Мучкаева //Научная мысль Кавказа. Спецвыпуск №5 Северокавказский научный центр высшей школы - 2006 С. 42-45.

8. Мучкаева С.С.Дидактические возможности чертежа/ С.С.Мучкаева //Сб. статей научно-практической конференции «Метаметодика как перспективное направление развития предметных методик». - СПб. 2007.

9. Мучкаева С.С. Реализация дидактического потенциала исторических задач и теорем/ С.С.Мучкаева // Сборник статей научно-практической конференции «Современные технологии повышения качества профессионального образования». - Элиста. 2008 С. 75-77.

10. Мучкаева С.С. Развитие эстетического восприятия математической информации/ С.С.Мучкаева //Сб. статей НМК «Современные технологии повышения качества образовательного процесса в вузе». - Элиста. 2006 С.113-118.

Тираж 100 экз. Заказ № 4871.

Отпечатано в ЗАОр «НПП «Джангар», 358000 г. Элиста, ул. Ленина, 245

Содержание диссертации автор научной статьи: кандидата педагогических наук, Мучкаева, Светлана Сангаджиевна, 2009 год

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Психолого-педагогические основы развития интереса учащихся к изучению математики через исторические задачи и теоремы с чертежом.

1.1. Использование исторических задач и теорем как средство развития интереса к обучению математики.

1.2. Теоретические основы становления и использования исторических задач в математическом образовании.

1.3. Анализ психолого-педагогической и научно-педагогической литературы по использованию исторического и эстетического материалов в процессе обучения математике.

1.4. Чертеэю как средство развития интереса к математике.

ГЛАВА 2. Методические основы реализации основных подходов к практическому использованию исторических задач с чертежом для развития интереса.

2.1. Методика формирования интереса учащихся к математике через эстетический потенциал исторических задач и теорем.

2.2 Методические основы реализации выработанной методики.

2.2.1. Теорема Содди.

2.2.2. Прямая Эйлера.

ГЛАВА 3. Организация и проведение опытно - экспериментальной проверки разработанной методики.

Введение диссертации по педагогике, на тему "Развитие интереса учащихся к математике через эстетический потенциал исторических задач и теорем с чертежом"

В современных условиях сложного, противоречивого, но взаимосвязанного мира резко усиливается роль человеческого фактора, возрастает потребность в умении человека научно и обоснованно подходить к решению проблем, выдвигаемых объективной диалектикой жизни.

Важнейшей задачей среднего образования является всестороннее развитие учащихся, формирование у них научного мировоззрения. Это подчеркивается во всех основных документах последних лет, направленных на совершенствование школы. Значительная роль в этом процессе принадлежит курсу математики. Усиление ее мировоззренческого и воспитательного воздействия на учащихся, совершенствование методики преподавания для более глубокого усвоения основ математики - таковы основные задачи, стоящие перед отечественной системой образования.

Поиски путей для повышения эффективности процесса обучения и воспитания тесно связывают с решением проблемы формирования познавательных интересов учащихся, поскольку познавательный интерес является ведущим мотивом учебной деятельности. Сложная и многогранная проблема мотивации и интереса привлекала многих исследователей, в том числе видных педагогов и психологов (Б.Г.Ананьев, Л.И.Божович, Н.Ф.Добрынин, В.С.Ильин, А.К.Маркова, С.Л.Рубинштейн, Г.И.Щукина), которые внесли значительный вклад в ее применение и решение применительно к обучению в школе.

Способность удивляться - ценнейшая из способностей человека. Она лежит в основе формирования познавательного интереса школьников. Под познавательным интересом, согласно определению Г.И.Щукиной [148,149], понимается избирательная направленность школьников, обращенная к области познания, к ее предметному содержанию и к процессу овладения знаниями, оказывая сильное побуждающее влияние на деятельность, на активность личности, интеллектуальному, нравственному, эстетическому ее развитию. Исследования педагогов и психологов показали, что в подростковом возрасте особенно значимым фактором в развитии интереса к учению является содержание учебного предмета. В истории математики немало того, что достойно восхищения и приятного удивления.

О значении истории наук прекрасно сказал Г.Лейбниц: "Весьма полезно познать истинное происхождение замечательных открытий, особенно таких которые были сделаны не случайно, а силой мысли. Это приносит пользу не только тем, что история воздает каждому свое и побудит других добиваться таких же похвал, ведет к развитию искусства открытий" [74]. "Историко-научный материал помогает школьнику понять, что наука развивается через диалектическое движение от относительной истины к абсолютной; что знание развивается по спирали: новое знание, отрицая старое, в то же время не отбрасывает его, а вбирает в себя и развивает его объективную истину; что движущими силами процесса познания являются потребности практики, преломленные через внутреннюю логику развития науки; что взаимозависимость развития науки, культуры и развития общества носит исторический характер" [68 с. 123].

История математики, которая сама содержит множество образцов эстетических рассуждений и образов оказывает неограниченное влияние на эстетическое воспитание учащихся. ".Чтобы стать математиком, - писал У.Сойер, - нужно увлекаться прелестью закономерностей и логической стройностью законов. Это не значит, конечно, что такое увлечение должно быть единственной страстью, у вас могут быть и другие цели, вы можете заниматься другими делами, но если вы не попадете под очарование математики, вы в математике ничего не совершите" [115 с. 322]. Г.Лейбниц говорил, что тот, кто хочет ограничиться современным без знания прошлого, никогда не поймет значения настоящего. Об этом И.Ньютон сказал так: "Если я увидел больше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов"[31 с. 144]. К данным мнениям присоединяются известные ученые современности. Так, Б.В.Гнеденко пишет: "Отсутствие представлений о прошлом математики может исказить наши представления о ее настоящем и привести к потере перспектив ее развития. Для того чтобы разумно работать в математике, выдвигать новые проблемы и развивать перспективные ее ветви, необходимо серьезное знание ее становления и прогресса"[31 с. 46].

Обращение к истории науки дает возможность привлечь богатейший и интереснейший материал. Исторические задачи могут стать источником создания проблемных ситуаций. Чем больше будет ученик решать старинные задачи, тем богаче будет его возможность для творчества, развития глубокого и устойчивого интереса к предмету.

Проблемы включения элементов историзма в систему обучения математике исследованы уже во многих диссертационных работах как, в чисто дидактическом, так и в методологическом плане. Вопросы использования элементов истории математики в преподавании рассмотрены в работах А.Д.Александрова, З.Я.Гельмана, Г.Д.Глейзера, Б.В.Гнеденко, В.В.Гузеева, Л.Я.Зориной, Т.С. Поляковой, К.А. Рыбникова, В.И.Рыжика, В.М.Тихомирова, А.Б.Юшкевича, М.Г.Ярошевского и др. Этим проблемам посвящены работы В.М.Беркутова, М.А.Исаевой, З.Касаевой, С.М.Насибова, Ю.С.Свистунова, У.К.Шерматовой. В диссертационных исследованиях и работах авторов рассмотрены вопросы необходимости и целесообразности использования элементов историзма в школьном курсе "математика", предлагаются варианты решения отдельных аспектов данной проблемы как на уроках, так и во внеурочное время.

Обращение к данной проблеме обусловлено прежде всего и процессом гуманизации российского образования, усилением его эстетической составляющей, разработкой качественно новой стратегии эстетического воспитания подрастающего поколения. Принцип гуманитаризации является одним из ведущих принципов модернизации российского образования и математического в частности. Поэтому данный вопрос обсуждается в работах философов (А.А.Касьян, М.С.Коган, Ф.Т.Михайлов, И.М.Орешников), педагогов (Л.Я.Зорин, И.Я.Лернер, В.Г.Разумовский), математиков и методистов (А.Д.Александров, В.И.Арнольд, Г.В.Дорофеев, А.Г.Мордкович, Т.С. Полякова, М.В. Потоцкий, Г.И.Саранцев, П.М.Эрдниев, Б.П.Эрдниев и др.). Однако еще недооценено богатое гуманитарное содержание математики и, соответственно, оно не используется в должной мере.

Итак, один из путей реализации гуманитарной направленности обучения математике с целью формирования общей культуры учащихся состоит в максимальном использовании эстетического потенциала математики, а именно через красоту и изящество исторических теорем и задач с чертежом. В решении коллегии МО РФ от 24 мая 1995г. "О развитии эстетического образования в ОУ." отмечено, что в современных условиях эстетическое образование начинает играть все большую роль в процессе перехода от педагогики знаний, умений и навыков к педагогике развития (Сб. мат. и док. МО РФ за 1995г. - М., 1995г. с. 287-288).

В Программе для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев эстетической направленности математики уделяется особое внимание. ".Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Необходимым компонентом общей культуры в ее современном толковании является общее знакомство с методами познания действительности, что включает понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, его отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усилению идеи симметрии ."[101].

Важную роль в развитии эстетического потенциала играет история науки: исторические теоремы, задачи, история их открытия, рассказы о ходе научных поисков.

Данный подход обеспечивает благоприятные условия для реализации дидактического принципа наглядности в обучении, который применительно к обучению геометрии играет ведущую роль. При этом реализуются как классическое понимание наглядности (Я. А. Коменский, А. Дистервег, К.Д. Ушинский) и его современное раскрытие в системе парного соотнесения дидактических принципов (М.А. Данилов, М.Н. Скаткин, В.И. Загвязинский), так и методическая интерпретация наглядности в обучении математике (В.Г. Болтянский, В.Н. Березин).

На протяжении многих столетий человек в своем творчестве учился у природы, постигая законы ее гармонии, ее красоту. Сегодняшний человек слишком далеко ушел от природы, потерял духовную связь с ней. Созданная им "окружающая среда" - это мир дисгармонии, мир, чуждый естественной природе человека. Очевидно, в этом следует искать причину внутренней дисгармонии человека, дисгармонии его духовной жизни, проявляющейся в самых различных формах — от создания примитивных художественных форм до эксцессов вандализма и насилия. Но, времена меняются. Люди вновь возвращаются к природе, ищут единства с ней, начинают ценить ее как наивысшую ценность. Возврат к природе неизбежен, человек должен научиться жить в единстве с природой, найти духовное родство с природой, но уже на новой, более высокой основе, не на интуитивной, а на научной. И тогда человек придет к новому уровню гармонии, новому витку эволюционной спирали развития.

Мы предлагаем основное содержание математики в школьном курсе сопровождать наиболее значимыми, красивыми, изящными историческими теоремами и задачами. Исторические задачи, связанные, как правило, с именами тех, кому они обязаны своим существованием, можно считать документом времени, отражающим типичные жизненные ситуации, практические потребности человечества, уровень научных знаний на том или ином этапе развития цивилизации.

С помощью внеклассных занятий можно в определенной мере расширить проблему, связанную с формированием у учащихся опыта исследовательской деятельности и на этой основе творческого усвоения знаний и умений. Идея укрупнения дидактических единиц позволила подойти к данной проблеме с интересной точки зрения; к историческим теоремам производить своего рода "дидактическое окружение". Что мы понимаем под "дидактическим окружением"? Это - теорема — доказательство теоремы - различные способы доказательства теоремы - обратная теорема — упражнения на применение теоремы - обратные задачи - построение -проверка координатным способом и т.д. Таким образом, мы производим упорядочивание понятия, создавая при этом целостное окружение к данной теореме или задаче. Каждое геометрическое рассуждение сопровождаем чертежом. Для развития «общей культуры» мы используем яркие задачи и теоремы с изящными чертежами, которые оставили огромный след в истории математики. Тем самым учащимся дается возможность почувствовать, что элементарная математика является частью живого древа математики всех прошлых и будущих времен.

Постоянное развитие интереса к изучению учебного предмета является одной из значимых задач в современном образовании, решение которой должно способствовать эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм. К сожалению, систематического освещения эта проблема в отечественной литературе не имеет. В имеющихся источниках В.Г.Болтянского, Л.А.Минасян, В.А.Минковского, В.А.Оганесян, Н.А.Рощиной и др. встречаются описания отдельных задач.

Актуальность исследования определяется противоречием между необходимостью развития интереса учащихся к изучению математики (в частности, через эстетический потенциал исторических задач и теорем с чертежом), и недостаточностью соответствующих методических разработок. Актуальность обусловила и выбор темы исследования.

Проблема заключается в разработке методики использования эстетического потенциала исторических задач и теорем с чертежом с целью развития интереса к математике.

Объектом исследования является процесс обучения математике в 7-9 классах.

В качестве предмета исследования выбрана методика использования исторических задач и теорем с чертежом.

Цель исследования состоит в разработке и методическом обосновании использования эстетического потенциала исторических задач и теорем с чертежом для развития интереса к математике.

Цель, объект и предмет нашего исследования позволили выделить следующую гипотезу.

Развитие у учащихся интереса к изучению математики происходит более эффективно, если в процессе обучения реализуется методика использования эстетического потенциала исторических задач и теорем с чертежом, основанная на:

- идее использования укрупненных дидактических единиц (УДЕ), способствующей формированию системности знаний учащихся и вариативности математических заданий как базы развития интереса; применении исторических задач, обладающих эстетическим потенциалом и сыгравших важную роль в историческом развитии математики и ее преподавании;

- использовании системы дидактических средств, включающих, в частности, совокупности специально подобранных исторических задач по математике и теорем с чертежом.

Для реализации цели исследования необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести анализ психолого-педагогической, методической литературы по проблеме развития у учащихся интереса к изучению математики;

2. Проанализировать современное состояние исследуемой проблемы в практике обучения;

3. Выделить методические пути развития у учащихся интереса к изучению математики;

4. Разработать методику изучения исторических задач на уроках и внеклассных занятиях, основанную на использовании эстетического потенциала исторических задач и теорем с чертежом;

5. Провести экспериментальное исследование эффективности использования разработанной методики в практике обучения математике в школе.

Методологической основой исследования явились фундаментальные работы в области педагогики и психологии (Ю.К.Бабанский, Л.С.Выготский, П.Я.Гальперин, С.Л.Рубинштейн, М.Н.Скаткин, Н.Ф.Талызина, О.К.Тихомиров), в области исследования познавательного интереса (М.А.Данилова, В.С.Ильин, Н.А.Можаева, Г.И.Щукина), ассоциативно-рефлекторные концепции (И.М.Сеченов, И.П.Павлов, Л.С.Рубинштейн), работы в области современного обновления школьного образования (В.В.Вавилов, Ю.М.Колягин, Г.И.Саранцев, А.А.Столяр, И.М.Смирнова, Л.М.Фридман, Х.Ш.Шихалиев, П.М.Эр дниев, Б.ПЭрдниев, И.С.Якиманская), работы по исследованию наглядности в обучении (В.Б.Болтянский, Я.А.Коменскип, К.Д.Ушинский).

При решении поставленных задач и проверки гипотезы применялись следующие методы исследования: анализ литературы (психолого-дидактической, методической, педагогической, учебников, учебных пособий) по проблеме исследования;

- изучение и обобщение педагогического опыта;

- анализ особенностей восприятия материала учащимися в процессе использования эстетического потенциала исторического материала;

- организация и проведение педагогического эксперимента, в ходе которого использовались наблюдение за деятельностью школьников в процессе обучения, индивидуальные беседы, анкетирование, тестирование, анализ письменных работ учащихся, проведение специальных семинаров, конкурсов; применение статистических методов анализа экспериментальных данных.

Научная новизна исследования состоит в том, что впервые осуществлено исследование проблемы использования исторических задач по математике и теорем с чертежом с целью развития интереса учащихся к математике:

1. Обоснована целесообразность разработки методики развития интереса учащихся к математике, приведена аргументация выбора методических путей в обучении школьников математике, состоящих в использовании исторических задач по математике и теорем с чертежом;

2. В качестве средств, связанных с содержанием учебного материала и способствующих развитию интереса учащихся к изучению математики, выделены: - практическая значимость изучаемого материала для ученика, показывающая, что наука возникает и развивается под влиянием человеческой практики, подчиняясь объективным требованиям развития общества; - исторические задачи по математике, исторические факты, вызывающие положительные эмоции по отношению к деятельности, -наглядное представление материала, способствующее привлечению образной составляющей мышления учащихся и их эмоциональному восприятию; чертежи, рисунки, модели, являясь основными средствами наглядности, обладают особой эстетической ценностью, помогая реализовать эстетический потенциал исторических задач по математике и теорем с чертежом. Таким образом, выделены и предложены два методических пути развития у учащихся интереса к изучению математики: - посредством эстетического потенциала исторических задач, - через теоремы с чертежом и варьирование числовых данных.

Теоретическая значимость проведенного исследования состоит в том, что в результате анализа большого числа психолого-педагогических, методических и математических источников подтверждена необходимость разработки методики развития интереса учащихся к математике, обоснован выбор двух методических путей: использование исторических задач по математике и применение теорем с чертежом, способствующих развитию у учащихся интереса к изучению математики; обоснована перспективность использования математического материала с богатым культурологическим, эстетическим и художественным содержанием.

Практическая значимость исследования заключается в том, что разработана эффективная методика развития интереса учащихся к математике посредством: - использования специально подобранных совокупностей исторических задач, снабженных механизмом их дополнения совокупностью графических и числовых заданий (параметризацией), каждая из которых преобразуется в довольно полную систему задач (обратных, аналогичных, деформированных), связанных с исходной исторической, с постепенным нарастанием уровня сложности и проблемности; - применения теорем с чертежом и их варьирования за счет специального подбора числовых данных задачи, и тем самым создание учебных модулей, обусловленных тем, что нередко общий чертеж для разных задач служит основой развития интереса и прочного усвоения знаний, в связи с чем чертеж рассматривается как модель знания; этим же достигается и эстетическое восприятие решения. Предложены методические разработки использования исторических задач по математике и теорем с чертежом, которые могут быть использованы учителем в своей работе независимо от типа школ и используемых учебников, как вызывающие интерес учащихся к изучению математики и их желание заниматься предметом. Материалы, аналогичные разработанным, могут быть использованы при организации учебного процесса по другим учебным дисциплинам.

Достоверность и обоснованность результатов исследования следуют из логических выводов, основанных на теоретических положениях современной психологии, дидактики и методики, из экспериментального подтверждения эффективности разработанной методики, а также из положительных отзывов и оценок учителей математики, использующих разработанные рекомендации в практике обучения.

Апробация и внедрение результатов исследования проводились на практических и семинарских занятиях в Центре одаренных детей Республики Калмыкия (2000-2007г.), МОУ «Технический лицей» г. Элиста (1998-2000 г.) и МОУ «СОШ № 23» г. Элиста (2000-2007г.). Основные положения диссертации, результаты педагогического эксперимента и сделанные выводы получили отражение на ряде конференций и семинаров: на заседаниях кафедры алгебры, геометрии и методики математики (АГММ) Калмыцкого государственного университета (КГУ); на научно-практических конференциях: международные научно-практические конференции по проблемам УДЕ в 1996-200бг. (г. Элиста), Всероссийская научная конференция в 2002г. (г. Саранск), Всероссийский семинар преподавателей математики педагогических вузов и университетов в РГПУ в 2002г. (г. Санкт-Петербург), межрегиональная конференция Юга России (г. Элиста, 1999г.), республиканские научно-практические конференции (г. Элиста, 2006, 2008 г.). Автором по материалам исследования прочитаны лекции на курсах повышения квалификации учителей в гг. Элиста, Армавир, Астрахань, проведены лабораторные занятия со студентами математического факультета КГУ (с 1998-2008 г.).

Результаты исследования отражены в 10 публикациях, в том числе одна в научном издании, рекомендованном ВАК РФ. Еще одна статья принята к публикации в сборнике «Вестник Адыгейского государственного педагогического университета», рекомендованном ВАК РФ.

Материалы диссертационного исследования используются учителями Калмыкии, спецкурсы по использованию исторических задач в школьном курсе математики читаются студентам 4-5 курсов математического факультета Естественно-математического института КГУ; практика такого подхода к данной проблеме используется при проведении ежегодного республиканского конкурса "Юные исследователи Малой Родины", республиканских олимпиад по УДЕ, при проведении открытых уроков на научно-практических конференциях.

Экспериментальное исследование по данной проблеме было начато в 1997 году и выполнено в три этапа.

На третьем этапе (2005-2008) осуществлялась экспериментальная проверка эффективности разработанной методики, проверка выводов и результатов исследования, проводилось осмысливание, обобщение и описание опытно-экспериментальной работы.

На защиту выносятся:

1. Теоретическое обоснование эффективности разработанной методики развития интереса учащихся к математике.

2. Методика развития интереса учащихся к математике посредством:

- использования эстетического потенциала исторических задач при обучении математике в школе;

- применения теорем с чертежом и варьирования их числовых данных.

Заключение диссертации научная статья по теме "Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)"

Выводы по второй главе.

1. Традиционно проблему заинтересованности учащихся видели в большей степени в «оживлении» самого преподавания: знакомили с биографиями, любопытными фактами открытия теорем, мифами, легендами. В советской школе, но уже с позиции исторического и диалектического материализма, эстетическая оценка математического знания не получала должного дидактического развития в методике математики.

2. Выбор авторами (от Евклида до сегодняшнего времени) красивых рисунков исторических теорем и задач, оценка которых была проведена многовековым опытом человечества, нашел свое отражение в знаменитых задачниках и современных учебниках.

3. В качестве образцов, разработанной нами методики, были взяты теорема Содди, прямая Эйлера в треугольнике и тетраэдре, луночки Гиппократа, задача о лотосе, на основе которых можно закрепить сквозные понятия школьной математики - теорема Пифагора, площадь круга, объём тетраэдра, уравнения прямой, окружности и т.д.

4. Для работы по данному образцу мы предлагаем осуществить:

- выбор исторических теорем и задач из учебников, энциклопедий, в соответствии с содержанием урока. Анализ дидактического изложения по методической литературе: «Квант», «Математика в школе», «Математика»;

- выделение дидактической изюминки, которая и определяет эстетическую ценность урока;

- разработку базового чертежа (желательно с учетом координатной сетки);

- анализ доказательства теоремы или решения задачи с возможным построением граф-схем;

- подбор удобных для вычислений и зрительного восприятия числовых параметров, а также выбор масштаба для графических построений;

- разработку глоссария как терминологического, так и числового для закрепления понятий урока;

- перспективную разработку фронтальной работы по данной теме: матрица коллективной работы.

- разработку упражнений в контексте укрупненной дидактической единицы: обратная, симметричная и сопряженная (или двойственная).

- научное развитие данной задачи: выход в пространство, оригинальные доказательства, динамические чертежи. Разработка проектов по данной теме.

Глава 3.

Организация и проведение опытно - экспериментальной проверки разработанной методики.

В целях проверки нашей гипотезы, т.е. проверки возможности формирования повышенного уровня образованности учащихся за счет использования исторических задач, теорем с изящным чертежом, а также развития творческого интереса учащихся, нами был проведен эксперимент. Педагогический эксперимент продолжался с 1997 г. по 2008 г. Эксперимент состоял из трех этапов: констатирующего, поискового и формирующего.

Цель первого этапа (1997-2000) состояла в изучении практики использования на уроках и во внеурочное время исторического материала: исторических справок, задач, теорем, анализе психолого-педагогической литературы по данной проблеме. В результате, полученные сведения, работа в школе, послужили основой для выдвижения гипотезы исследования.

На втором этапе (2000-2004) проводился поиск путей и средств решения проблемы исследования, осуществлена разработка экспериментальных материалов. Результатом этого этапа было уточнение гипотезы исследования.

Третий этап, завершающий (2004-2008), состоял в проверке гипотезы. Он включал анализ результатов экспериментального обучения с выделением исторического материала по математике, апробацию основных результатов исследования на практике.

В соответствии с указанными этапами остановимся на описании методики и результатов экспериментальной работы.

Первый этап экспериментальной работы носил констатирующий характер.

В ходе констатирующего эксперимента (1997 - 2000 г.) необходимо было решить следующие задачи:

1). Получить информацию о насыщении содержания школьного курса математики эстетически значимыми историческими задачами, об основных тенденциях и закономерностях развития математики, о месте и роли математики в системе наук, о приоритетах современной математики и т.д.

2). Выявить недостатки в процессе обучения для развития интереса к математике, эстетического воспитания учащихся на уроках математики и во внеурочной деятельности.

3). Определить уровень сформированности умения применять историко-математические знания в практической деятельности в школе.

4). Исследовать состояние преподавания математики в республике.

Констатирующий эксперимент включал в себя: тестирование учителей и учащихся, анкетирование, посещение уроков учителей математики, анализ школьных учебников, методической литературы, беседы с преподавателями, учителями, консультации и методическая помощь учителям по рекомендациям известных методистов, взятых из педагогической литературы, тщательный анализ психолого-педагогической литературы по данной проблеме.

В ходе проведения первого этапа, прежде всего, были посещены уроки в школах, проведены беседы с учителями и преподавателями. В результате чего выяснилось, лишь немногие из них ставят на уроке цель эстетически заинтересовать каждого ребенка введением исторических задач, теорем, головоломок. Чаще всего проводят лекции на уровне биографических справок об авторах теорем, формул, в лучшем случае, решают задачи способом автора. Т. е. связь с прекрасным проходит быстро, при этом чаще не концентрируя ребенка на эстетически ценных фактах, моментах.

Анализируя учебную литературу, выяснилось: очень скудный исторический материал, мало оригинальных рисунков, чертежей, практически отсутствуют оригинальные, рациональные решения исторических задач. Традиционно исторические задачи в учебниках математики даются после изучения соответствующих тем, не определяя тем самым логику изложения и введения новых математических понятий. Исторические сведения, исторические задачи создали как бы параллельную учебной программе, учебную литературу под условными названиями "За страницами учебной математики", "Занимательная математика".

В то же время в методологии научного познания, становления научных школ все большее значение придается концепции известного американского философа Томаса Куна о парадигме, точнее о "дисциплинарной матрице" научной школы, важнейшим компонентом которого стоит образец решения конкретной научной проблемы. В качестве такого образца нами позже взяты исторические эстетически значимые своим чертежом задачи. "Задачи-образцы" и их решения в английской литературе называют "pattern" (образец, шаблон, модель), который в книге У.У. Сойера переводится как "закономерность", "прототип", а по JI. Пригожину, по существу являются наиболее емкой и уплотненной формой научного познания.

Результаты тестирования учащихся в школах, студентов в Вузе, показали, что учителя еще реже, чем преподаватели Вуза используют на уроках эстетический потенциал математики. Конечно, это можно объяснить многими причинами: большим сокращением часов, и открытиям всевозможных классов по интересам, где собраны дети или очень заинтересованы математикой или, наоборот, а также нехваткой специальной литературы по раскрытию эстетической стороны исторического материала, да и времени, чтобы максимально раскрыть "изюминку" математической информации.

Но наблюдения показывают, что учащихся заинтересовывают уроки, содержащие элементы новой организации, чем-то отличающиеся от предыдущих, требующие активной, напряженной работы, эмоционально насыщенные и увлекательные [130].

В умелом подборе задач, в воспитании настойчивости и сообразительности проявляется мастерство учителя. "Я бы почувствовал настоящее удовлетворение в том случае, если бы смог передать моему ученику не просто знания, а стройность и красоту науки, столь привлекательную для ума, а также и гибкость ума, которая дала бы ему возможность в дальнейшем самостоятельно решать задачи" [115. с. 7].

Также были проведены анкетирования в течение трех лет на проблемных курсах учителей математики, категорийных курсах при Калмыцком Республиканском Институте повышения квалификации работников образования, Армавирском и Астраханском ИУУ. Всего в анкетировании приняло участие более 200 учителей РК., 100 учителей г. Армавира и 30 учителей г. Астрахани. Некоторые из них прогнозировались дважды, для прогнозирования динамики данной проблемы.

В результате анкетирования учителей удалось выяснить положительное отношение учителей к деятельности по использованию элементов эстетического через исторические задачи, теоремы, головоломки (95 % учителей считают необходимым и целесообразным их использование в учебном процессе, более того, 90 % из них считают, что именно через красоту и изящество исторических задач можно развить интерес учащихся к математике, наиболее эффективно раскрыть эстетический потенциал математики), недостаточность средств для ее осуществления; книг по историческим материалам, методических рекомендаций по включению наиболее яркого материала в курс преподавания математики.

Выяснилось, что эстетический материал используется от случая к случаю, чаще на открытых уроках, во время конференций, при написании рефератов. Выяснилось также, что учителями не осуществляется процесс преемственности урока и внеурочной деятельности. Прохождение тем на уроке никак не связано с прохождением материала на факультативах, кружках, конференциях и т.д. Но ведь, определенно точно, при правильной постановке эти формы могут и должны играть важную роль, как в пробуждении, так и в развитии математических способностей учащихся.

С целью получения информации о фактических знаниях учащихся, о содержании школьного курса математики эстетически значимого материала было проведено тестирование учащихся 9, 10, 11 классов трех учебных заведений республики: ЦООД РК " Элистинский лицей технического лицея, гимназии г. Элиста. Выбор для тестирования этих учащихся объясняется тем, что данные учреждения имеют как классы с углубленным изучением математики, так и классы гуманитарного профиля, где замечено существенное сокращение часов математики, чтобы в сравнении увидеть взгляд на эстетику математики. Содержание теста включало задания на знание: великих математиков истории, их биографии, исторических теорем, именных задач. Всего в тестировании участвовало около 150 учащихся на начальном этапе и 150 на конечном этапе.

Рассмотрим более подробно, как отвечали на предложенные вопросы теста 20 учащихся ЦООД РК. "Элистинский лицей" и студенты 1 курса Калмыцкого Государственного Университета математического факультета. Надо заметить, учащиеся и студенты имеют определенную математическую подготовку (набор в лицей определяется строго по итогам сдачи экзамена по математике). Нами подсчитывался коэффициент правильности ответов по следующей формуле k = m/n , где m - количество верно данных ответов, а п -общее число всех ответов. В результате получили, что у учащихся к = 0,48, а у студентов к = 0,52.

Результаты опроса учащихся представлены в следующей таблице:

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

77 32 39 73 68 71 11 72 13 22

Таб. 7.

Результаты опроса студентов представлены в следующей таблице:

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

82 31 42 85 69 75 17 81 14 28

Таб. 8.

Из анализа данных, представленных в таблицах, можно сделать вывод, что, конечно, студенты лучше, чем учащиеся, осведомлены в вопросах о происхождении некоторых терминов, об авторах некоторых теорем, задач. Следовательно, преподаватели чаще, чем учителя, включают в свой лекционный материал исторические сведения об авторах теорем, задач. Однако больышнство студентов затруднились дать правильный ответ о происхождении большинства символов, терминов, слабо представляют роль отечественных математиков в истории науки.

Конечно, самостоятельно познакомиться с историей некоторых идей, понятий, методов, деятельностью ученых по действующим учебникам (анализ был дан ранее) достаточно трудно. В связи с этим возрастает роль учителя при решении этой проблемы. Однако среди многочисленных книг по истории математики имеется лишь одна, предназначенная для учителя, в которой она наиболее полно представлена. Таковой является пособие Г.И. Глейзера "История математики в школе" [29]. Однако, в нем не нашли отражения ряд достаточно важных, на наш взгляд, вопросов истории математики и не показаны пути включения сведений из него в учебный процесс. Неразборчивость методики использования историко-математических материалов при обучении математике затрудняет работу учителя с литературой по истории математики, направленную на отбор сведений из истории науки, а также на определение их места в учебном процессе и роли в формировании общей культуры учащихся, влияния на мотивацию изучения предмета.

Одновременно с этим тестом учащимся и студентам было предложено ответить на вопросы. Содержание вопросов включало задания на определение эстетического в предложенном историческом материале. Надо заметить, что и учащиеся и студенты четко определяют эстетику в математике. Из всего многообразия они отбирают самый оптимальный рисунок, самую удачную модель, оригинальное доказательство (было предложено несколько доказательств теоремы Пифагора), самые волнующие биографии математиков. Эти ответы подтверждают, что дети тянутся к красивому, они умеют их распознавать.

Полученные выводы и анализ результатов анкетирования и тестирования учителей, преподавателей, а также учащихся и студентов позволяют нам утверждать следующее:

- школьные учебники в недостаточной мере содержат красивые чертежи, занимательные задачи, изящные решения для поднятия интереса к самому предмету:

- в школах проводится определенная работа по данной проблеме, но она носит эпизодический, не системный характер, не находят продолжения на внеклассных мероприятиях;

- учителя понимают всю значимость эстетического в историческом материале, но не используют в полной мере, т.к. не владеют для этого знаниями и не обладают достаточным количеством соответствующей литературой.

Этот экспериментальный этап позволил предположить, что необходимо: найти средство по улучшению методики изучения курса истории математики с целью повышения уровня образованности учащихся; ввести некоторые изменения в содержание и структуру курса истории математики; определить разумное распределение материала на уроке и на внеурочные занятия.

Второй этап экспериментальной работы носил исследовательский характер и проводился с 2001-2004 год на учащихся ЦООД РК "Элистинский лицей", технического лицея, гимназии, учащихся средней школы №23 г. Элиста, студентов КГУ, учителей математики, посещавших курсы при КРИПКРО. При этом предполагалось проведение семинаров, курсов, чтение лекций, подготовка материалов для проведения олимпиад, конкурсов, уроков, разработка методических рекомендаций.

Основная цель лекций учителям математики, ученикам, студентам состояла в том, чтобы дать целенаправленную целостную картину развития математики от зарождения до современного состояния. Именно на этих лекциях сообщались процесс зарождения той или иной теоремы, задачи, исходя из событий того времени, рассматривались различные способы их доказательств, решений, создавались изящные рисунки, оригинальные макеты. Любая наука могла бы гордиться такой историей, как история математики, ибо она менее всего история ошибок. У школьной математики есть великое преимущество — она стабильна по своей природе. В самом деле, теорема Пифагора, например, не подвержена ни политической, ни социальной, ни экономической конъектуре.

История математики тысячами нитей связана с историей других наук, она - существенная часть истории человеческой культуры. В ней обозначен вклад в математику ученых — представителей народов Востока и Запада, древних и новых, больших и малых. В ней есть главы, посвященные отдельным людям и их научным подвигам. Эти главы нельзя читать без волнения.

Создался цикл лекций по историческим персональным теоремам. На семинарских занятиях учителя сами создавали дидактические окружения красивым теоремам, задачам. В связи с реформой в школьном образовании элективные курсы позволили продолжить начатое на уроке знакомство с интересным.

Разрабатываемые методические материалы должны были содержать систему заданий для выполнения учащимися и методические рекомендации к ее выполнению. Поэтому на данном этапе исследования осуществлялись отбор, составление заданий, которые следовало включить в разрабатываемую систему. Полученные задания внедрялись в процесс изучения учащимися учебного материала. Наблюдения за ходом, результатами их выполнения давали возможность для уточнения, улучшения заданий и методических рекомендаций к их использованию.

Основная цель лекций учителям математики, ученикам, студентам состояла в том, чтобы дать целенаправленную целостную картину развития математики от зарождения до современного состояния. Именно на этих лекциях сообщались процесс зарождения той или иной теоремы, задачи, исходя из событий того времени, рассматривались различные способы их доказательств, решений, создавались изящные рисунки, оригинальные макеты. Любая наука могла бы гордиться такой историей, как история математики, ибо она менее всего история ошибок. У школьной математики есть великое преимущество — она стабильна по своей природе. В самом деле, теорема Пифагора, например, не подвержена пи политической, ни социальной, ни экономической конъектуре.

История математики тысячами нитей связана с историей других наук, она - существенная часть истории человеческой культуры. В ней обозначен вклад в математику ученых - представителей народов Востока и Запада, древних и новых, больших и малых. В ней есть главы, посвященные отдельным людям и их научным подвигам. Эти главы нельзя читать без волнения.

Третий, завершающий этап экспериментального исследования, носил обучающий характер. Основная цель этого этапа исследования состояла в проверке выдвинутой гипотезы и эффективности предложенной методики. В нем принимали участие 150 учащихся школ и лицеев (СШ №23, ЦООД РК «Элистинский лицей», Элистинская классическая гимназия, технический лицей г. Элиста), а также 45 студентов КГУ математического факультета.

На данном этапе проведены вторичное анкетирование учителей, школьные и городские олимпиады по математике с учетом принципа УДЕ, конкурс "Юные исследователи малой Родины", анализ контрольных и лабораторно — графических работ, исследовательские работы учащихся, в основу которых были взяты исторические задачи, теоремы.

Проведен анализ одноименного семинара для учителей математики первой и высшей квалификационной категории на курсах повышения квалификации в Калмыцком РИПКРО и Армавирском ИУУ.

В дальнейшем, при повторных анкетированиях учителей, выяснилось, многими учителями после посещения курсов был пересмотрен подход к обучению математики; все чаще включались в процессе урока яркие задачи, оригинальные рисунки, изящные доказательства, которые "будоражили" деятельность ученика. Внеклассная деятельность стала продолжением работы на уроке.

А мы в свою очередь, видя такой интерес учителей к данной проблеме, все чаще стали проводить круглые столы, конференции на курсах, на которых учителя делились опытом работы по реализации этой важной задачи.

В связи с выходом в 1995 году Указа Президента РК. "О внедрении системы УДЕ в школы республики" в республике ежегодно проводятся олимпиады по математике для 5-8 классов. Целью данной олимпиады являются - выявление наиболее одаренных школьников по математике, утверждение системы УДЕ, развитие способностей учащихся. Задания, составленные для проведения олимпиады, в основном включали исторические задачи, головоломки. Приведем пример одного такого задания.

Задание для учащихся 5 класса. ас а + с

Известно, что любых положительных дробей ~, ~ дробь --г о а Ь + а удовлетворяет неравенству Джона Фарея а а + с с <-< —. b b + d d а + с ас

Дробь --т — медианта дробей —, — . b + a b а '

A) Какое наименьшее число участников может быть в математическом кружке, если известно, что девочки составляют в нем: 40% < девочки < 50%.

B) Сделайте проверку решением сопряженной задачи : мальчики составляют в нем 50% < мальчики < 60%.

C) 35% < девочки < 40%.

Д) Подберите проценты так, чтобы в кружке было 7 девочек и 9 мальчиков. Составленные таким образом задания интересны еще и тем, что если кто из участников не смог решить задачу, но он уяснял для себя интересные исторические факты. Время, проведенное на олимпиаде, не прошло даром: он уносил с собой частичку истории и, наверняка, придя домой, он будет искать в источниках дополнительный материал по услышанному, по прочитанному.

С 1995 года в республике проводится конкурс среди старшеклассников "Юные исследователи малой Родины". Работы по математике, представленные учащимися на конкурс в основном написаны под руководством учителей, участвовавших на семинарах, курсах по развитию интереса учащихся с использованием эстетического потенциала исторических теорем, задач в школьном курсе. Таким образом, данная методика, как видим, заинтересовала учителей, преподавателей, а они в свою очередь привлекают своих подопечных к написанию интересных работ (Приложение №3,4). Некоторые работы написаны коллективом учащихся.

Воспитанники Элистинской классической гимназии Касаев Т., Сарангова Д., Цоргаева М. с помощью метода укрупнения дидактических единиц вокруг задачи о лотосе собрали задачи, которые связаны с первой логической структурой, и расклассифицировали их. Эти задачи имеют глубокую культурную ценность, поскольку проходят через все страны мира: Китай, Индия, США, Россия.

В работе рассмотрены китайская задача о камыше, индийская задача о лотосе, задача о лилии. На основе четырех задач записана морфологическая матрица, в которой все условия записаны в одной таблице, причем заметим, что каждая задача решается своим способом. Но так как эти задачи имеют один тип, то, значит, каждую из задач можно решить всеми способами.

Высота над Отклоненн Искома Египетский Метод зад поверхност е от я треугольник решения ачи ью, h первонача льно положения , а глубин а,1

1 1 5 12 5:12:13 Теорема Пифагора

2 0,5 2 3,075 8:15:17 Теорема Пифагора

3 10 21 17,05 341:420:541 Теорема о пропорционал ыюсти отрезков хорд окружности

4 10 21 17,05 341:420:541 Уравнение серединного перпендикуля ра

Таб. 9.

И это не единственная их работа. Как правило, следующие за ними учащиеся продолжают работать над данной проблемой, вовлекая в этот процесс все больше заинтересованных детей.

Победители конкурсов затем, как правило, участвуют в подобного рода конкурсах в учебных заведениях, где они продолжают учебу. Одна из участниц коллективной работы гимназии, а ныне студентка СУНЦ МГУ Петкиева Е., получила наивысшую оценку на международных Харитоновских чтениях в 2007 г. Ею и ее сподвижниками было найдено множество точек плоскости (пространства), где могут находиться вершины треугольника (ортоцентрического тетраэдра)' при заданном ортоцентре и центре описанной окружности (сферы).

Обучение экспериментальной группы учащихся осуществлялось с использованием разработанных нами на предыдущем этапе эксперимента методических материалов. Была выделена и контрольная группа, в котором обучение велось без обращения к составленным нами методическим материалам. Контрольная группа проходила обучение по традиционной программе. Наиболее распространенным вариантом оценки качества знаний является вычисление среднего балла по каждому ученику, классу, группе, школе. При статистической обработке результатов использовались методы, сущность которых раскрыта в работах Д.А.Новикова. На заключительном этапе экспериментальной работы была проведена проверка эффективности предложенной методики. Экспериментальным материалом служило изучение решения исторических задач с чертежом по геометрии. Учащиеся и студенты, принимавшие участие в эксперименте, выполняли контрольную работу, которая содержала 5 задач геометрического характера, предусматривавшие оригинальный чертеж и различные способы решения.

В соответствии с количеством и качеством решенных задач были выделены три уровня качества знаний и навыков: 1 уровень - низкий (баллы от 3 до 5); 2 уровень - средний (5 - 8); 3 уровень - высокий (8 - 10).

Заключение

Возрастающие требования, предъявляемые обществом к современному школьнику, а так же появление гибких программ и разнообразных типов школ, обуславливают необходимость поиска эффективных путей по совершенствованию преподавания математики, формирования научного мировоззрения учащихся, приобщения их к самостоятельности и творчеству.

1. Проведенный анализ психолого-педагогической, методической литературы позволяет констатировать необходимость и целесообразность разработки проблемы развития у учащихся интереса к изучению математики (в том числе, посредством использования в образовательном процессе исторических задач по математике и теорем с эстетическим потенциалом чертежа), поскольку данная проблема недостаточно разработана.

2. Анализ современного состояния исследуемой проблемы в практике обучения показал, что учителя не имеют достаточно методических разработок по данной проблеме и потому в практике школьного образования методика развития интереса учащихся к математике реализована далеко не в полной мере.

3. Впервые осуществлено исследование проблемы использования исторических задач по математике и теорем с чертежом с целыо развития интереса учащихся к математике. Выделены и предложены два методических пути развития у учащихся интереса к изучению математики: - посредством эстетического потенциала исторических задач, - через теоремы с чертежом и варьирование числовых данных. В качестве средств, связанных с содержанием учебного материала и способствующих развитию интереса учащихся к изучению математики, выделены: - практическая значимость изучаемого материала для ученика, показывающая, что наука возникает и развивается под влиянием человеческой практики, подчиняясь объективным требованиям развития общества; - исторические задачи по математике, исторические факты, вызывающие положительные эмоции по отношению к деятельности, - наглядное представление материала, способствующее привлечению образной составляющей мышления учащихся и их эмоциональному восприятию; чертежи, рисунки, модели, являясь основными средствами наглядности, обладают особой эстетической ценностью, помогая реализовать эстетический потенциал исторических задач по математике и теорем с чертежом.

4. Разработана методика использования исторических задач по математике и теорем с чертежом, снабженная механизмом их дополнения совокупностью графических и числовых заданий (параметризацией) и созданием учебных модулей, обусловленных тем, что нередко общий чертеж для разных задач служит основой развития интереса и прочного усвоения знаний, в связи с чем чертеж рассматривается как модель знания; обоснована перспективность использования математического материала с богатым культурологическим, эстетическим и художественным содержанием.

5. Проведенный эксперимент подтвердил справедливость выдвинутой гипотезы об эффективности использования разработанной методики с целью развития интереса учащихся в практике обучения математике в школе.

Полученные результаты свидетельствуют о достижении цели исследования, которая состояла в научном обосновании и разработке методики развития интереса учащихся к математике через эстетический потенциал исторических задач и теоремы с системой графических и числовых упражнений.

Список литературы диссертации автор научной работы: кандидата педагогических наук, Мучкаева, Светлана Сангаджиевна, Элиста

1. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., 1970. - 152 с.

2. Александров, А.Д. Начала стереометрии -9. М., - стр.5.

3. Алехина, Л.В., Аронов В.Р. Марксистско-ленинская эстетика: учебное пособие для вузов, /под ред. Овсянникова/ М.: Высшая школа, 1983.-стр.81.

4. Анохин, П.К Методологический анализ узловых проблем условного рефлекса. М., 1962. - стр. 62.

5. Арнольд, В.И. Математика с человеческим лицом. // Природа. 1988. №3. С. 117-119.

6. Асеев, А.Г. Мотивация поведения и формирования личности. М.: Педагогика, 1976.

7. Бабанский, Ю.К. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований. М.: Педагогика, 1992. - 207 с.

8. Бабанский, Ю.К. Оптимизация учебно- воспитательного процесса. -М.: Просвещение, 1982. — 192с.

9. Бабанский, Ю.К., Поташник М.М. Об интенсификации и оптимизации учебно- воспитательного процесса. // Народное образование, 1987. —№10.

10. Балк, М.Д., Балк, Г.Д. Математика после уроков. Пос. для учителя. -М.: Просвещение, 1971. 462 с.

11. Белинский, В.Г. Собрание сочинений, т. 1. — М.: Изд—во худ. лит-ры, 1948.-220 с.

12. Белозеров, С.Е. Пять знаменитых задач древности. Издательство Ростовского университета. 1975. - 320 с.

13. Бернштейн, Д.Н., Васильев, Н.Б. 10 Всероссийская математическая олимпиада. Журнал «Математика в школе» №6, 1976.

14. Библиотека школьника. Планиметрия. Геометрия на плоскости. -Висагинас: Альфа, 1998. 592 с.

15. Божович, Л.И. Изучение мотивации детей и подростков. М., 1972.

16. Болтянский, В.Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. 1982. №2. стр. 41.

17. Большая советская энциклопедия. 3 —е изд. Т 1- М.: Наука. 1970.

18. Брунер, Дж. Процесс обучения. М.: Изд-во АПН РСФСР. - 1962.

19. Будищева, Н.Н. Педагогические основы эстетического воспитания учащихся школ Республики Саха (Якутия) на уроках математики. Канд. Диссертация. 13.00.01. Якутск. 1998.

20. Вахтомин, Н.К. Практика-мышление-знание. М. 1978. - стр.52.

21. Вепнинджер, М. Модели многогранников / под ред. Яглома И.М. / М.: Мир. 1974.

22. Волошинов, А.В. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000.-Стр. 32-33.

23. Гайдук, Ю.М., Хованский, А.Н. Краткий обзор исследований по геометрии треугольника. Журнал «Математика в школе» №6. 1958.

24. Гальперин, П.Я., Талызина, Н.Ф. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий.1. М.: МГУ, 1968.

25. Гарднер, М. Путешествие во времени. М.: Изд. «Мир», 1990. - стр. 145.

26. Гарднер, М., Математические чудеса и тайны Текст.: Пер. с англ.- 4-е изд., стереотипн. -М.: Наука, 1982.-128 с.

27. Геометрия. Учебник для 7-9 кл. ср.шк. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение. 1991. 335 с.

28. Геометрия. Учебник для 10-11 кл. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев и др. М.: Просвещение. 1993. - 207 с.

29. Глейзер, Г.И. История математики в школе. М.: Просвещение. 1981.240 с.

30. Глаголев, Н.А Элементарная геометрия.- М.: Учпедгиз. 1954. стр.164.

31. Гнеденко, Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике. М., 1982. - 144 с.

32. Готман, Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом. Пособие для учащихся. М.: Просвещение. 1979.

33. Гусева, Н.В. Теоретические и методические основы раскрытия эстетического потенциала школьной математики при обучении в 5-6 классах. Канд. Диссертация. 13.00.02. Арзамас. 1999.

34. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике. М.: Изд. «Вербум М», 2003. - 432 с.

35. Дорофеев, Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования. /Математика в школе. №6. 1990. 2-5 с.

36. Епишева, О.Б Технология обучения математике на основе деятельностного подхода. — М.: Просвещение, 2003. с.40-45.

37. Жохов, A.J1. Как помочь формированию мировоззрения школьников. Самара.: изд. Сам.ГПУ, 1995. 288 с.

38. Жохов, А.Л. Мировоззренчески направленное обучение математике в общеобразовательной и профессиональной школе (теоретический аспект). М., 1990. - 150 с.

39. Журнал «Математика в школе» 1961. №1 - с. 46-55.

40. Журнал «Квант». Задачник «Кванта». 2005. №4 - стр.21.

41. Журнал «Математика в школе». Г.Б.Кузнецова г. Ярославль. № 1, 1971. стр. 84-85.

42. Журнал «Математическое просвещение» М. №1, 1957. - стр. 182.

43. Запорожец, А.Б. Избранные психологические труды.- М.: Педагогика, 1986. т-1,т-2.

44. Зенкевич, И.Г. Эстетика урока математики: Пособие для учителей математики.- М.: Просвещение, 1981. 79 стр.

45. Загвязинский, В.И., Поташник, М.М. Как учителю подготовить и провести эксперимент. Методическое пособие. — М.: Педагогическое общество России, 2006. 144 с.

46. Зорина, Л.Я. Дидактические аспекты естественнонаучного образования. -М.: Изд-во РАО, 1993.- 163 с.

47. Зетель, С.И. Задачи на максимум и минимум. М.: Гостехиздат, 1948 г.

48. Игнатьев, Е.И. Хрестоматия по математике. Ростов-на-Дону., 1995.300 с.

49. Каган, М.С. Лекции по марксистско-ленинской эстетике. ЛГУ, 1971.

50. Калмыкова, З.И. Психологические принципы развивающего обучения.-М.: Знание. 1979.

51. Коменский, Я.А. Избранные педагогические сочинения. — М. 1955.

52. Касаева, 3. Элементы историзма при изучении геометрии в неполной средней школе. Канд. Диссертация Кзыл Орда. 1991.

53. Кобалия, О.А. Эстетическое воспитание при обучении геометрии в средней школе / Канд. Диссертация 13.00.02. М., 1985.

54. Ковалев, В.И. Учебно-методические материалы для студентов 3 курса библиотечного факультета. Л., 1969.

55. Ковешников, B.C. Элементы эстетического воспитания в преподавании математики /Канд. Диссерт. Пед.наук. М., 1969. - 210 с.

56. Коксетер, Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Наука. 1966. 642 с.

57. Колмогоров, А.Н. О профессии математика.- М.: Советская наука. 1954.

58. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математики ч. 1. М.: Просвещение. 1977.

59. Кордемский, Б.А. Очерки о математических задачах на смекалку. М.: Учпедгиз. 1958. - стр.76.

60. Коротов, В.М. Воспитывающее обучение.— М.: Просвещение, 1980. -192 с. :

61. Краевский, В.В. Методология педагогического исследования: Пособие для педагога-исследователя. Самара: Изд-во СамГПИ, 1994.

62. Кривицкий, К. Школьникам об эстетике. Книга для чтения. — М.: Просвещение, 1979.

63. Крутецкий, В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968.- 431 с.

64. Кузнецова, Л.В. Гармоничное развитие личности младшего школьника.1. М.: Просвещение, 1988 г.

65. Купцов. Л.П., Канунникова, Г.А. Третий этап всероссийской олимпиады по математике. Журнал «Математика в школе»., №5, 1986.

66. Левитас, Г. Г. Геометрическая рапсодия. М.: Знание, 1984. - 176 с.

67. Левитас, Г.Г. Современный урок математики — методы преподавания. Метод. Пособие для преп. ПТУ. М.: Высш. шк. 1989. - 88 с.

68. Лернер, И .Я. Процесс обучения и его закономерности. М. 1980. с. 123.

69. Ллойд, С. Математическая мозаика.- М.: Мир, 1980. 344с.

70. Лурье, М.В. Геометрия. Техника решения задач.- М.: Физматлит, 2002.

71. Луначарский, А.В. Проблемы народного образования. М., 1923.

72. Людмилов, Д.С. Задачи без числовых данных. М., 1961. - стр.133.

73. Магомедбеков, П.К., Мирзаев, С.М., Челябов, И.В. Принципы и средства развития творчества учащихся по математике. Махачкала.:

74. Изд-во ДИПКПК. 2001. 66 с.

75. Малыгин, К. А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. М.: Учпедгиз. 1958. - стр. 25.

76. Маркова, А.К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте. -М.: Просвещение, 1983.

77. Маруловр, Ж. журнал "Курьер Юнеско". Волшебный мир математики. -№1, 1990.-с. 24.

78. Математика в понятиях и определениях. Часть 2., стр. 322.

79. Махмутов, М.И. Современный урок: Вопросы теории.- М., 1981. 192 с.

80. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. /В.А. Оганесян, Ю.М. Калягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский.2.е изд. Перераб. и доп. М., 1980. - 367 с.

81. Морозова, Н. Г. Учителю о познавательном интересе. М.: Знание, 1979.

82. Мучкаева, С.С., О параллелях технологии УДЕ и модульного обучения / XVIII региональные психолого-педагогические чтения Юга России «Развитие личности в образовательных системах Южно-Российского региона».- 1999. С. 285-286.

83. Мучкаева, С.С. Формирование элементов исследовательской деятельности учащихся / Сб. статей и методических материалов ЦООД РК «Элистинский лицей». — Элиста, 2002. С. 45-47.

84. Мучкаева, С.С. Основные подходы к раскрытию эстетического потенциала математики в процессе обучения/ Материалы 10 конфер. Народов циркумполярных народов севера. — Якутия. 2006.- С. 94-96.

85. Мучкаева, С.С.Эстетический потенциал исторических теорем и задач/

86. Сборник «Столичное образование» Вып. №1. Элиста. 2004.- С. 104-106.1

87. Мучкаева, С.С. Развитие эстетического восприятия математической информации/ Научная мысль Кавказа. Спецвыпуск №5 Северокавказский научный центр высшей школы — 2006. С. 42-45.

88. Мучкаева, С.С.Дидактические возможности чертежа/ Сб. статей научно-практической конференции «Метаметодика как перспективное направление развития предметных методик». — СПб. 2007.

89. Мучкаева, С.С. Развитие эстетического восприятия математической информации/ Сб. статей НМК «Современные технологии повышения качества образовательного процесса в вузе». — Элиста. 2006.- С.113-118.

90. Ницше, Ф. т. 1. М.: Мысль, 1990. - с. 161.

91. Обращение академека Н.Н.Моисеева к участникам «круглого стола» на тему «Быть или не быть человечеству?» /Вопросы философии. -2000. №9 стр.3.

92. Педагогический энциклопедический словарь.- М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 2003.

93. Педагогика. Научно- педагогический журнал. №3, 2004, стр. 24-32, Г.И.Саранцев. Красота в математике, математика в красоте.

94. Перельман, Я.И. Занимательная алгебра. Занимательная геометрия.-М.: ACT. Астрем, 2002. стр. 474.93. "Перспективы", Юнеско. т. 26. № 1, Париж-Москва. 1997. с. 194.

95. Пиаже, Н.С. Избранные психологические труды. -М: Просвещение. 1969.-659 с.

96. Погорелов, А.В. Геометрия 7-11. М.: Просвещение, 1992 г.

97. Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. -М.: Наука, 1975.

98. Пойа, Д. Как решать задачу ./Пер. с англ. Львов. Журнал «Квантор» 1991.-216 с.

99. Полякова, Т.С. История математического образования в России. М.: Издательство Московского университета. 2002.- 624 с.

100. Поташник, М.М. Об оптимизации управления школой. //Народное образование, 1984.-—№10

101. Поташник, М.М. Управление современной школой в вопросах и ответах-М., 1997.

102. Программа для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. М.: Дрофа. 2001. - стр.5.

103. Психология: Словарь /Сост.: Л.А. Карпенко. М.: Политиздат, 1990.

104. Пуанкаре, А. Наука и метод. Одесса. 1910.-е. 165.

105. Разумовский, В.Г. Развитие творческих способностей учащихся—М.: Просвещение, 1975. 272 с.

106. Рожина, Л.Н. Формирование познавательных интересов старшеклассников. Минск.: Народа асвета, 1970.

107. Рощина, Н.Л. О воспитании эстетического вкуса учащихся при решении планиметрических задач. Журнал «Математика в школе», №2. 1997.

108. Рубинов, Р. По следам теоремы Пифагора. Журнал «Квант». 1981., № 11

109. Рубинштейн, С.Л. Основы общей психологии. М., 1989.В 2 т.

110. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки. -М.: Просвещение. 1987. стр.40 - 48.

111. Рыбников, К.А. История математики. М.: Учпедгиз. 1974. - 455 С.

112. Саранцев, Г.И. Упражнения в обучении математике. М., 1995. -240 С.

113. Саранцев, Г.И. Общая методика преподавания математики. Саранск., Тип. Краен. Окт., 1999.- стр. 269.

114. Саранцев, Г. И. Методология методики обучения математики. -Саранск. «Красный октябрь». 2001.

115. Саттерли, Д. Описанная и вписанная окружности. «School Science And mathematics». 1956. №7. -с. 517-528.

116. Сойер, У.У. Прелюдия к математике.- М.:Просвещение, 1965. с. 352.

117. Скопец, З.А. Геометрические миниатюры. М.: Просвещение, 1990.

118. Смирнова, И.М., Смирнов, В.А. Геометрия. Нестандартные и исследовательские задачи. /Уч. Пособие 7-11. М.: Мнемозина, 2004.

119. Стивен Бара. Россыпи головоломок.- М.: Мир, 1977.

120. Талызина, Н.Ф. Деятельностный подход к механизмам обобщения. //Вопросы психологии. 2001. №3 с. 3-14.

121. Тихомиров, В.М. Геометрия в современной математике и математическом образовании. /Математика в школе №4. 1993 с. 3-9/

122. Учебно-методическая газета «Математика». №17. 2005. Вавилов В., Красников П. Пифагоровы штаны.

123. Ушинский, К.Д. Сочинения. Т. 6. М.Л., 1949.

124. Фетисов, А.И. Геометрия в задачах. М.: Просвещение. 1977.

125. Фирсов, В.В. Пути повышения эффективности преподавания математики в современных условиях. Математика в школе. 1982. №5.

126. Фирстова, Н. И. Эстетическое воспитание при обучении математике в средней школе. / Канд. Диссертация. М.: 1999.

127. Фридман, Л.М., Турецкий, Е.Н., Стеценко, В.Я. Как научиться решать задачи. Пособие для учащихся. -М.: Просвещение. 1979. стр. 18-26.

128. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике. М.: Издательство «Флинта», 1998 г.- 130 стр.

129. Фридман, Л.М. Учитесь учиться математике. Кн. для учащихся. -М.: Просвещение, 1985. 112 с.

130. Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о педагогической психологии. — М.: Просвещение, 1983. — 160 с.

131. Хинчин, А.Я. Педагогические статьи. /Под. Ред. Б.В. Гнеденко М., 1963. - 204 с.

132. Хинчин, А .Я. О воспитательном эффекте уроков математики. Математическое просвещение. 1961г. №6.

133. Цукарь, А.Я. Систематизация и моделирование при решении текстовых задач,- М. 1978.

134. Черникова, JL Ф. Упражнения на готовых чертежах. Журнал «Математика в школе», № 6, 1994. с. 4 - 7.

135. Шабаев, И.Г. Сочетание алгоритмической и эвристической познавательной деятельности учащихся в процессе обучения. Автореф. Дис. Канд. Пед. Наук М.: 1977.

136. Шагинян, М. Столетия лежат на ладони. М.: Наука. 1981. - с. 263.

137. Шарыгин, И.Ф. Задачи по геометрии. М.: Наука. 1982.

138. Шарыгин, И.Ф., Ерганжиева, JT.H. Наглядная геометрия. М.: Мирос, 1995.-240 с.

139. Шарыгин, И.Ф., Шторгин, М.И. Кто открыл формулу Содди? Математика в школе №3.1991.

140. Шарыгин, И.Ф. Математика для школьников старших классов. -М.: Изд.-во «Дрофа», 1995.-c.210.

141. Шаталов, В.Ф. Точка опоры. М.: Педагогика, 1987. - 160 с.

142. Шаталов, В.Ф. Куда и как исчезли тройки: из опыта работы школ г. Донецка. -М.: Педагогика, 1979. 136 с.

143. Шаталов, В.Ф. Педагогическая проза: из опыта работы школ г. Донецка М.: Педагогика, 1980. - 96 с.

144. Швырев, B.C. Научное познание как деятельность Текст. — М.: Политиздат, 1984. 232 с.

145. Швырев, B.C. Теоретическое и эмпирическое в научном познании М.: Наука, 1984.-288 с.

146. Шерматова, У. Из опыта включения в школьный курс элементов истории математики в средней Азии. /Математика в школе 1978. №4

147. Щетников, А. Японская храмовая геометрия. Приложение к «Первое сентября». Математика № 17, 2006. с 18-21.

148. Шумилин, А.Т. Проблемы структуры и содержания процесса познания. М.: Изд-во МГУ, 1969.

149. Щукина, Г.И. Педагогические проблемы формирования познавательного интереса учащихся. М.: Педагогика, 1968.

150. Щукин, Г.И. Проблема познавательного интереса в педагогике. -М.: Педагогика, 1971 с. 13.

151. Эрдниев, О.П. От задачи к задаче по аналогии. М.: Столетие, 1998. — 275с.

152. Эрдниев, П.М. Преподавание математики в школе. (Из опыта обучения методом укрупненных упражнений). М., 1978. - 304 с.

153. Эрдниев, П.М. Укрупнение дидактических единиц как технология обучения. В 2 Ч.-М., 1992. 255 с.

154. Эрдниев, П.М. Математика. Учеб. для 7 класса. М.: Просвещение, 1995.

155. Эрдниев, П.М. Математика. Учеб. для 8 класса. М.: Просвещение, 1997.

156. Эрдниев П.М. Математика. Алгебра. Учебник для 9 класса. Элиста, Калмыцкое книжное издательство. 2003.

157. Эрдниев, П.М. Математика. Геометрия. Учебник для 9 класса. — Элиста, Калмыцкое книжное издательство. 2003.

158. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика. 1985.-352 с.

159. Эффективное управление школой в современных условиях: Учебно-методическое пособие. СПб.: Каро, 2005. — 272 с.

160. Юдин, Э.Г. Системный подход и принцип деятельности: Методологические проблемы современной науки. М., 1978. - 391 с.

161. Юшкевич, А.П. История математики в средние века. М.: Физматгиз. 1961.

162. Якиманская, И.С. Личностно ориентированное обучение в современной школе. М., 1996. 96 с.

163. Якиманская, И.С. Развивающее обучение. М.: Педагогика. 1979.

164. Якир, М.С. Что же такое красивая задача? Журнал «Математика в школе». №6, 1989. стр. 41-46.

165. Яковлева, Н.М. Теория и практика подготовки будущего учителя к творческому решению воспитательных задач: дисс. . д-ра пед. наук.-Челябинск, 1992. — 403 с.

166. Ямбург, Е.А. Педагогический ансамбль школы. М.: Знание, 1987. — 80с.

167. Яновская, С.А. Методологические проблемы науки. — М.: Мысль, 1972. — 280 с.

168. Ярошевский, М.Г. , Зорина, Л.Я. История науки и школьное обучение. -//Серия «Педагогика и психология» №7. М.: Знание, 1978. - 48 с.