автореферат и диссертация по педагогике 13.00.02 для написания научной статьи или работы на тему: Структура натуральных чисел и школьный курс математики

Автореферат диссертации по теме "Структура натуральных чисел и школьный курс математики"

ТБИПИССШ ГОСУДАРСТВЕНШЙ УНИВЕРСИТЕТ им.И.ДЕАВАХИШНЛИ

На правах рукописи

МАНАНА ГИВИЕША дасддзЕ СТРУКТУРА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И

околыш юте шашики

Специальность: 13.00.02 - Методика преподавания

математики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

ТШИСИ 1997

Работа выполнена в Национальном Институте педагогических наук ш.й.Гогабаавили. Научный руководитель:

доктор педагогических наук Елена Засильевна ШРЛШШИ. Зксперт совета:

доктор яедагогяческих наук, профессор Ростом Леванович ХДГЕРГЖИ. Официальное оппоненты:

1) доктор ледагоглчэсяих наук, профессор Залврдан Несторович ШБАШШ;

2) кандидат ^иэико-штешгячвскях наук Гурам Петрович ГОГШВШИ.

Ведущее учреждение:

Тбилисский государственный педагогический укявэрсятет им.Сулхан-Саба Орбелпани.

Защита диссертации состоится »^¿Г«*// 2997 г.,

ос

в /I/ час. на заседании диссертационного совета

р^Ц01.02 С № 3 ТГУ.

Адрес: Тбилиси, проспект И.Чавчавацзе 3, БФА. С диссертацией мокно ознакомиться в библиотеке университета (высоттй корпус).

Автореферат разослан

1597 г.

Ученый секретарь

цяоовртационного совета, доцент

О.Цо^г^-

плшшштв

¿я

ОБЩАЯ ХАРАКТ ЕРИСГЯКА РАБОТЫ

Актуальность работы. То большое значение, которое придается в современной математике теории кноаеств определяется не только тем,что сама теория множеств является ныне содержательной я обнимкой,а и её огромным влиянием на большинство отреслеЯ современной математики.

"Если прежде могли думать,что каждая отрасль математики зависит от специфических интуиции, дающих ей первичные понятия и истины, я потопу для кандой отрасли необходим свой специфический формализованный язык, то сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современнус -затематику из единого источника - "Теории мнозеств"?

Начиная с Х7ТП зека и особенно в XIX столетии математики заинтересовались проблемами обоснования математики. Можно думать, что это было связано с Нормированием и развитием математической логики. До XIX века господствовала логика Аристотеля - одно из из блестящих достижения греческой цивилизации.

Теория действительного числа, котора| считается основанием анализа, является продуктом раннего критического движения начавшегося ещё Гауссом, '{опк л Абелеп.

Кто двиаешге приело к концу XIX века'к т.н. арнРметнзацкя анализа, которую создали Вейерптрасс, Дзденинд, Мерей. При этом свойства действительного числа были доведены до свойств натуральных чисел.

В критике XIX века особое место занимает утверждение аксио-метрического метода. £то происходит, с одной стороны, трудами Пеано, а с другой, выходом книги 2. Гильберта "Основание геоыет-I и. Бур баки. Теория даокеств, стр. 25.

рки, которая сразу аз с полным основанием стала своего рода хартией современное аксиоматики.

Исходя из аясиометряческого подхода,связанной) с именем Пеано, натуральным рядом ^ . структура ^ру

которая состоит из

1) Множество , элементы которого называется натуральными числами;

2) Выделенного в этом множестве элемента " 4 " называемо. го единицей;

3) Определенного на отношения читаемого

^ непосредственно' следует за X которая подчинена четырем аксиомам Пеано.

А в средне.*; общеобразозателькол пиале натуральные числа изучается таким подходом и такими методами, как будтов в этом направлении ничего не было достигнуто и ничего не изменилось.

Актуальность работы состоит именно з тон, чтобы исходя иа вышесказанного показать новке методы изучения множества натуральных чисел.

Цель исследован я я. МДея диссертационной работы заключается в то:«, чтобы показать натуральные числа как множество наделенное структурой, а не как отдельные числа получавшиеся в результате счета.

Правда, об этом мы не говорим учащимся, не называя даже тещина "структура", но в преподавании красной нитью должен проходить структурный характер строения множества натуральных чисел.

Научная новизна. Разработана новая методика

преподавания натуральных чисел, отвечавшая приведенным требованиям.

Практическое назначение. Подразумевается использование работы преподавателем мате;-!аткгси средней пколы. Он получит зостгточнуи теоретическую подготовку паре.о'отаз над I гжазо" работы.

Вся И глаза но свячена «етедаческсз разработке.

А п р о б а д и л !> г б с т ы. Основные подо пеки я диссертэд:?онноП работы опубликованы з ну риалах. С дна из основных чзстеп работы - об элементах теория множества опубликовала з учебнике "!•{£? екатака"-для студентоз по специальности Р 2121 (соазторк Взгелг-зе '{., Гиоргадзз Т.) •

Педагогический эксперимент. Лгннг-н з работе соображения методического характера б'глп проверен« з процессе т:рактихя з 1995-96, 1996-97 уч.голах в I! 9 пколе-гжиаз:!л г.Кугзксл з н 1Г удассах л средней иколк р. I села Меглгкн Дхалтубско" зоны. Указанное урогот прозод::л::сь опираясь на 3"ссертг.ционка2 гатэрпал.

Учапмеся основательно, хоропо оспислкли данные ка этих угонах основное покектн, которые нами быаш представлены и соответстгогали уровни подготовки учащихся.

Структура работы

Диссертационная работа содерлот: введение и три главы.

I. Натуральны?, ряд, как струзстура.

П, Арг^иеткха натуральных чисел.

И. Методика преподавания натуральных чисел.

Содержание р ?. й о т н, 3 зелен:::; ставится проблема г.асачтаяся изучения нетуральных чисел. Ия кожного рассматривать как результат счета,что имеет ;;есто в нестоящее время в общеобразовательно;! средней нкоде или, как считается в современно:" математике, принять натуральны! ряд чисел за структуру .вернее считать, что натуральный ряд чисел есть множество, наделенное определенно" ст.туктуро".

"гея диссертационно : работк з этом и заключается: преподавать натуральнее числа не как результат счета, а как математическую структуру.

Глава I. Натуральный ряд как структура.

Мояно сказать, что эта глава представляет собой теоретическую основу диссертационно-:: работы. Она предназначена для преподавателя. Здесь даются определенные структуры. Как говорит А.Н.Колмогоров, кавдая специальная отрасль математики изучает специальный ряд структур. Каадыа род структуры определяется соответствуетеЯ системой аксиом, которые высказаны на языке теории множеств.

В этой тв главе дается другое построение натурального ряда чисел связанное с именем Г.Кантора. Кантор был пеовшг, который обратил внимание на метод изучения бесконечных множеств,в частности, натуральных чисел. Перечислении новые понятия, введенные Кантором: счетные и несчетные множества, мощность, кардинальные и трансфинитные числа. Но самая больная заслуга Кантора заклгь чается э создании теории множеств.

"Еаенно гению Г.Кантора обязаны кн созданием "Теории мно-даств", такой, как мы её понимаем сегодня"*. I Н.Еурбаки, Теория множеств, стр. 328.

Дальнейшие исследования, связанные с алгебраическими числами дали неожиданные результаты. Поставлен был вопрос: существовали или не? действительные числа отличные от алгебраических. Ответ на этот вопрос дал Оиувилль. Он нашел числа не являвшиеся алгебраическими. Их позже назвали трансцендентными. Но Г.Кантор доказал существование трансцендентных чисел. Кантор впервые обратил серьезное внимание на тот факт, что все алгебраические числа монно пересчитать.

"Это был образец такого.математического рассуждения, какое до тех пор еиё никогда не применялось в науке, а в дальнейшем послуаило прототипом для целого ряда других плодотворных

т

конструкций"^.

В конце главы приводится Фбцее определение математической структуры на примере структуры групп. После этого даются аксиомы Пеано:

I. Единица не следует ни за каким другим натуральным числом. П. Дня лобого натурального числа сувгествкет одно и только

непосредственно еле дув же за ним натуральное число. 12. Лпбое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом. ГУ. (Аксиома индукции). Подановство /М множества иЛ которое содержит элемент \ и вместе с элементом X всегда содеретт и элемент ^ следащий непосредственно за дО , совпадает со всем множеством «А/Г Аксиомы I - ТР независимы друг от друга. Все структуры удоздетзоряввде всем сказанным выше требования*, устроены "совершенно одинаково" - или как принято говорить в математике -

I И.В.Проскуряков, Энциклопедия элементарной математики, т. I, стр. 347

они "изоморфны".

Допустим имеется

Л = * < » р 7

Обладавшее перечисленными свойствам:!, мнокество У отображается на множество взаимно однозначно и с сохранением отношения непосредственного следования. Это значит, что структура натуральных чисел определена с точностью до изоморфизма.

"При последовательном проведения аксзо!.;етрмчес:;ого подхода так и говорит: природа элементов, из которых составлен натуральный ряд, не существенна; математики просто уславливаются называть натуральными числами элементы множества О/^ какой-либо определенной, раз и навсегда выбранной структура ¡Л, удовлетворявшей аксиомам Пеано"-.

Глава П. Арифметика натуральных чисел.

Она тота такзе предназначена преподавателям.

В этой главе, в основном, излагаются вопросы теоретической арифметики.

Глава П. Методика преподавания натуральных чисел.

Она состоит из двух парагра4оз:

§ I. Элементы теор:п множеств з начальной сколе.

§ 2. Преподавание натуральных чисел в У классе - методическая разработка.

Воплопенпе идеи диссертационной работы происходит именно в этой главе - здесь на передний план выдвигается отнопення множества натуральных чисел, данные в виде аксиом: композиции и их свойства - коммутативность и ассоциативность слогения п умножения; дистрибутивность умно гения относительно слозения.

I А.Н.Колмогоров, зур. "Математика в школе", 1969, I? 5

Всё 350 даётся в зкде бесед преподавателя, приводятся конспекты отдельных уроков с демонстрацией наглядных пособия

БоЗд.^о аоСоОо 1,5

~ ^¿¿СпСс;. аоеоОо 0,95

ЗЗ^Ьи

"ЗЛоО^ ^ ¿пбсдО 70

¡гбоспбпб 36П£36ЬП£Э£ПЬ 050350, 380028, аЬпрпЬо, зоЭЗ., 1